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О задаче линейного сопряжения для голоморфных функций двух комплексных переменных.

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???????? ?????????? ?????????? ??????? ? 1954 ?., ??????? ? 1976 ?. ??? ??. ?.?. ??????????. ????. ???.-???. ????, ?????? ??????? ??????????????? ?????????????? ????
??. ?.?. ???????. ????? ????? 30 ??????? ????? ? ??????? ?????? ???????, ???????????????? ????????? ? ???????????.
A. N. Kanatnikov (b.1954) graduated from the Lomonosov
Moscow State University in 1976. D. Sc.(Phys.-Math.), assoc.
professor of ?Mathematical Simulation? department of the Bauman
Moscow State Technical University. Author of more than 30
publications in the field of theory of functions, differential
equations and information technology.
??? 512.562
?. ?. ? ? ? ? ? ? ? ?, ?. ?. ? ? ? ? ? ? ? ?
? ?????? ????????? ??????????
??? ??????????? ??????? ????
??????????? ??????????
??????????? ???????? ??????????? ??????? ???? ??????????? ??????????. ? ??????? ????????????? ????????????? ?. ?????????
???????? ????? ?????????? ??????? ?????? ??????.
? ???????? 50-? ????? ?. ???????? ??????? ???????????? ????????????? ??? ??????? ??????????? ? ?????????????? ???????? ???????????? ? 2 [1]. ?????????? ?????????? ????????? ????????? ????????? ?? ??????? ????????? ??????? ?????????. ????????????
????????????? ????????? ???????? ????? ????????????? ????????????. ??-??????, ????????? ?????????? ???????? ? ??? ???? ???????? ???? (???????????? ????????????? ????????? 1-?? ????), ????
????????? ???????? ???????????? ???????????????? ???????? ????? ????????? (???????????? ????????????? ????????? 2-?? ????). ????????, ????? ????????????? ????????? ???????? ??????????? ????
???? ? ?????? ??? ????? ?????? ??????????????? ????????, ??????
??????????? ???? ? ????????? ?????? ??????? ???????????? ???????
??????????.
?????? ????? ???????????? ????????????? ????????? ? ?????????? ???? ?????? ???????????? ??????????? ???? ??????????? ??????? ?????? ???????????? ?????? ??????? ?????? ??????????? ?????????? ??????????? ????????????? ????????? ??????????? ????????? ???? ???? ? ??? ????????????. ????? ????, ???????????? ????????????? ????????? ???????? ??????? ????????? ??? ????????????
??????? ??????????? ??????? ?????? ??????????? ?????????? ? ????? ?? ????????????? ??? ???????????? ???????????????? ???????
????? [4, 5].
18
ISSN 1812-3368. ??????? ???? ??. ?.?. ???????. ???. ????????????? ??????. 2007. ? 1
? ????????? ?????? ??? ???????? ???????????? ??????? K =
= {(Z1 , Z2 ) : |Z1 | + |Z2 | < 1} ???????? ? ???????? ?????? ??????, ?
??????: 1) ?????? ? ??????; 2) ?????????? ??????; 3) ????????????
??????.
??? ?????? ??????????????? ?? ?????????? ????????????
B1 = {(Z1 , Z2 ) : |Z1 | = 1, Z2 = 0} .
?????? ?????? ??? ??????????? ? ??????? ???????? ?? ?????????? ????????????. ??????? F = F (z1 , z2 ), ???????? ?? ???? ?????? ???????????? ? 2 , ????? ????? ???????????
B1 = {(z1 , z2 ) : |z1 | = 1, z2 = 0} ? B?1 = {(z1 , z2 ) : z1 = 0, |z2 | = 1}
????? ???????? ???????? ?????? (? ), ????:
?) ??????? F (z1 ,z2 ) ?????????? ?? ??e? ???????????? C 2 , ??
??????????? ????? ??????????? ?1 ? ?2 , ?????????? ? ???????
K ? E1 ? E2 , ???
? = {(z1 , z2 ) : |z1 | + |z2 | < 1} ,
E1 = {(z1 , z2 ) : |z1 | ? |z2 | > 1} ,
E2 = {(z1 , z2 ) : |z2 | ? |z1 | > 1} ,
S S
? ? ??????? ? = C 2 \(K E1 E2 ) ??? ??e ?????????? ?????????
?F
1
?F
?F
?
kz 1
+ (k + 1) z 2
D z1 F =
?z 1
?z 2
?z1 z1
?
1
?F
?F
?F
D z2 F =
(k ? 1) z 1
,
+
+ kz 2
?z2 z2
?z 1
?z 2
??? k = |z1 |2 ? |z2 |2 ;
?) ??? ?????????? ????? (z1 , z2 ) ? ????? ????? (z10 , z20 ) ? BS ,
S = � ??????? F (z1 , z2 ) ????????? ? ???????e???? ????????
????????:
F + z10 , z20 =
F (z1 , z2 ) , (z1 , z2 ) ? K,
lim
(z1 ,z2 )?(z10 ,z20 )?Bs
lim
F ? z10 , z20 =
F (z1 , z2 ) , (z1 , z2 ) ? E1 ? E2 ,
(z1 ,z2 )?(z10 ,z20 )
lim
F? z10 , z20 =
F (z1 , z2 ) , (z1 , z2 ) ? ?,
(z1 ,z2 )?(z10 ,z20 )
? = { (z1 , z2 ) : |z1 |2 + |z2 |2 + 2m |z1 | |z2 | ? 1 = 0},
|m| 6 1, arg z1 ? arg z2 = l,
ISSN 1812-3368. ??????? ???? ??. ?.?. ???????. ???. ????????????? ??????. 2007. ? 1
19
argS 0 =
1
(1 + S) arg z10 + (1 ? S) arg z20 ? Sl,
2
(z10 , z20 ) ? BS , S = � |l| < 2?.
????? ????????, ??? ??????? p(t, ?) ??????????? ?????? ?, ????
p(t, ?) ?????????? ? ?????????? ? ???????? 2? ?? t ? ?????????????
??????? ?e??????? ?? ?:
|p (t, ?) ? p (t, ?0 ) | < A? |? ? ?0 |? ,
??? 0 < ? 6 1, ?? ? ????????? ??????????, ?????? ? ? A? ?? ???????
?? t.
????????, ??? ?????? ??????? F (z1 , z2 ), ???????????? ?????????? ???? ????????? 1-?? ????
1
F = 2
4? i
Z2?
dt
0
Z
|?|=1
? (t, ?)
d?,
? ?u
(1)
??? ?(t, ?) ? ?, u = z1 + z 2 e , ??????????? ?????? (T ).
?????????? ???????? F? (?, o) (F? (o, ?)) ??????? F (z1 , z2 ) ??????
(? ) ? ?????? ?????????? ???????????? B?1 (B?1 ) ?? ????????? ???????????? ? ?? ??????? E ???????? ?????????????? ????????? ?
?????? ?????????? ???????????? ??1 (B?1 ).
??????? ????????, ??? ???????? ???? ????????????? ???????? ??
????????? ???????????? ?1 ? ?2 (?k , k = 1, 2, ?????????? ?? ? ???????
m ?? mk , |mk | 6 1) ? ?????? ?????????? ???????????? ??????????
????????
F?1 z10 , z20 ? F?2 z10 , z20 =
it
1
=?
2?
l2Z+?2
1
? (t, u0 ) dt+
2?
l1 +?1
l2Z+?2
? (t, u0 ) dt, (2)
l1 +?1
??? |?k | 6 ?, |lk | 6 2?, (k = 1, 2).
??????e? ??? ?????????????? ??? ??????????????? ?????.
????? 1. ???????? ???? ????????? 1-?? ???? ?? ????????? ??????????? ????? ?????????? ? ????, ?.?. ????????, ???? ????? (z1 , z2 ) ????????? ? ?????? (z10 , ?) ? (?, z20 ) ?? ?????? ????, ? ? ????? (?; ?) ?
?? ?????? ????, ?????????????? ?? ???????????????? |z2 | = |z1 | + b,
??? b ? ????? ?????????????? ?????.
? ???????? ????????? ???? ????? ???????, ??? ?? ???? ?? ??????????, ????? ????, ?? ????? ???? ???????????? ?????????? (1).
????? ????????, ??? ??????? q = q(?, l1 , ?1 , l2 , ?2 ) ??????????? ?????? ?1 (q ? ?1 ), ???? ??? ????????? ??????????? ????20
ISSN 1812-3368. ??????? ???? ??. ?.?. ???????. ???. ????????????? ??????. 2007. ? 1
??? ??????????? ?? ?????????????? ?????????? lk , ?k = ?mk
(k = 1, 2; |lk | < 2?, |?k | 6 ?), ?????, ???
?q
?q
(?1)k
+
=
?(lk + ?k , ?) (k = 1, 2),
?lk ??k
?
(3)
?q
?q
(?1)k
?
=
?(lk ? ?k , ?) (k = 1, 2),
?lk ??k
?
???
?(t, ?) ? ?, q(?, l1 , ?1 , l2 , ?2 ) = 0.
(4)
????? 2. ??? ????, ????? ??????? q = q(?, l1 , ?1 , l2 , ?2 ) ???? ???????????? ? ????
lkZ+?k
2
X
(?1)k
q=
?(t, ?)dt,
(5)
2?
k=1
lk ??k
??? ?(t, ?) ? ?, ?????????? ? ??????????, ????? q(?, l1 , ?1 , l2 , ?2 ) ? ?1 .
1. ?????? ? ??????. ????????? ????? ??????? F (z1 , z2 ) ??????
(T ), ?????????? ?? ???????????? ??????????? ?????, ???????? ????????????? ???????? ??????? ? ?????? ?????????? ???????????? ?1
????????????? ???????????
F?k (?, o) ? F?2 (?, o) = q(?, l1 , ?1 , l2 , ?2 ),
(6)
??? q ? ?1 , ?k = ?mk , ?k ? ???? ???????????, ?????????? ????????
l = l k ? m = mk .
???????. ?? ????? 2 ???????? ????? ??????? ?(t, ?) ? ?, ???
lkZ+?k
2
X
(?1)k
q=
?(t, ?)dt,
2?
k=1
lk ??k
??????? ??????? (6) ???????????? ???????
lkZ+?k
2
X
(?1)k
?(t, ?)dt.
F?1 (?, o) ? F?2 (?, o) =
2?
k=1
(7)
lk ??k
??????? F (z1 , z2 ), ???????????? ???????? (1), ???????? ???????? ?????? (? ) ? ??e? ???????????? ??????? ???????????? ??????. ?
????? ????, ??????? F (z1 , z2 ) ???????? ???????? ?????? (? ), ????????????? ? ???? ??????? (2) ??????? (6) ? ???????? ?? ????????????
??????????? ?????.
ISSN 1812-3368. ??????? ???? ??. ?.?. ???????. ???. ????????????? ??????. 2007. ? 1
21
???????? ??????, ??? ?????? ????? ??e ???? ??????? ? ??????
???????, ???????????? ?????????? (1), ? ?????
1
F? = 2
4? i
Z2?
0
dt
Z
|?|=1
??(t, ?)d?
,
? ?u
??? ??(t, ?) ? ?, ???????? ???????? ???? ???? ???????. ?????, ? ????
??????? (6) ?????? ????
F??1 (?, o) ? F??2 (?, o) = 0,
?.?. q = 0. ?????? ???????, ??? ??(t, ?) ? 0, ??????? F? ? 0.
????????? 1. ???? ?? ??????? ??????? ???????????, ????? ?? ???????????? ??????????? ????? ??? ?????????? ? ?????e? ???????? ????? ?, ?? ??????? ??????, ??? ????? ??????, ????? ???????? ????????
F (z1 , z2 ) = A,
??? F (z1 , z2 ) ???? ???????? (1).
????? ????????, ??? ???????
G = G(?, l1 , ?1 , l2 , ?2 ) ? ?2 ,
e??? ??? ????????? ??????????? ??????? ??????????? ?? ?????????????? ?????????? lk , dk , |lk | < 2?, |dk | 6 ?, k = 1, 2, ?????, ???
?G
(?1)k
?G
+
=
G?(lk + ?k , ?) (k = 1, 2),
?
?lk ??k
?G
?G
(?1)k+1
?
=
G?(lk ? ?k , ?) (k = 1, 2),
?lk
??k
?
??? ?(t, ?) ? ?, G(?, l1 , ?1 , l1 , ?1 ) = 1.
????? 3. ??? ????, ????? ??????? G ? ?2 , ?????????? ? ??????????, ????? ??????????? ????????? G = exp q, ??? q ? ?1 .
2. ?????????? ??????. ????????? ????? ??????? f (z1 , z2 ) ??????
(? ), ???????????? ? ??????? ?? ???????????? ??????????? ?????,
????????????? ??????? ??????? ?? ???????????? ??????????? ?????
? ?????? ?????????? ???????????? ?1 ????????????? ???????????
f?1 (?, o) = G(?, l1 , ?1 , l2 , ?2 )f?2 (?, o),
(8)
??? G ? ?2 .
???????. ???????????? ??????? (8):
ln f?1 (?, o) = ln G(?, l1 , ?1 , l2 , ?2 ) + ln f?2 (?, o),
22
ISSN 1812-3368. ??????? ???? ??. ?.?. ???????. ???. ????????????? ??????. 2007. ? 1
? ???????, ???, ?? ????????? ????? 3 ? ??????????? ??????? q ? ?1 :
lkZ+?k
2
X
(?1)k
?(t, ?)dt + 2?ni,
ln G = q + 2?i ?
2?
k=1
lk ??k
??? ?(t, ?) ? ?, ? n = 0, � � . . ., ?????
lkZ+?k
2
X
(?1)k
ln f?1 (?, o) ? ln f?2 (?, o) =
?(t, ?)dt + 2?ni.
2?
k=1
(9)
lk ??k
???????
? (z1 , z2 ) = ln f (z1 , z2 );
lkZ+?k
2
X
(?1)k
qn =
?(t, ?)dt + 2?ni,
2?
k=1
lk ??k
??? n ? ???????????? ??????? ????????????? ????? ?????, ???????
(9) ??????????? ???:
??1 (?, o) ? ??2 (?, o) = qn .
(10)
qn (?, l1 , ?1 , l1 , ?1 ) = 0.
(11)
????? ???????, ?? ?????? ? ?????? ????????? ??????? ??????
(? ) ?? ???????? ????????????? ???????? ? ?????? ?????????? ???????????? ?1 , ????????, ???? ? ?? ??????? ??????? ?????? ????? q
???? ??????? ?????? ?1 ?, ?????????????, q(?, l1 , ?1 , l1 , ?1 ) = 0.
??????? ??? ???????????? ????? ?????? ? ??????? ???????? (10)
?????? ????? qn ?????? ????????????? ???????
?? ??????? (11) ? ??????????? qn ????????, ??? ?????? ? ??????? ???????? (10) ????? ????????? ??? n = 0. ??????? ?e ? ?????? ???????,
???????????? ?????????? ???? ????????? 1-?? ????, ??? ?????????????? ??????? ???????????? ??????? ? ??????????? ?????? ?????
???
Z2? Z
1
?(t, ?)
d?,
(12)
?= 2
dt
4? i
? ?u
0
|?|=1
?, ??????, ??????? ???????????? ??????? ?????????? ?????? ??e???
????????
f (z1 , z2 ) = e? (Z1 ,Z2 ) .
(13)
????????, ??? ??????? f (z1 , z2 ), ?????????? ???????? (13), ??????????? ?????? (T ) ? ?????????? ? ??????? ? ??????????? ??????.
ISSN 1812-3368. ??????? ???? ??. ?.?. ???????. ???. ????????????? ??????. 2007. ? 1
23
????????? 2. ???? ?? ??????? ??????? ? ?????????? ?????? ???????????, ????? ?? ???????????? ??????????? ????? ??? ??????????
? ????? ?????e? ???????? ????? ? , ?? ??????? ?????????? ??????
????? ?????????? ????????
f (z1 , z2 ) = Be? (z1 ,z2 ) .
?????????? ?????? ???????????? ?????? ????????? ??????????.
3. ???????????? ??????. ????????? ????? ??? ??????? f (z1 , z2 ) ?
?
f (z1 , z2 ) ?????? (? ) ??? ?????????????? ??????? ????????? ? ??????? ??????? f (z1 , z2 ) ? ? ???? ??????? f?(z1 , z2 ) ?? ????????????
??????????? ?????, ????????????? ??????? ??????? ? ?????? ?????????? B1 ????????????? ???????????
f?1 (?, o)f??1 (?, o) =
= G(?, l1 , ?1 , l2 , ?2 )f?2 (?, o)f??2 (?, o) + q(?, l1 , ?1 , l2 , ?2 )f?1 (?, o), (14)
??? G ? ?2 , q ? ?1 .
??????? ???????????? ?????? ???????? ? ??????? ?????????? ?????? ????????? ?????????? ? ?????? ? ??????. ??? ??? ?? ???????
??????? ??????? f (z1 , z2 ) ?????? ?????????? ? ??????? ? ??????????? ??????, ? G ? ?2 ?, ?????????????,
?
?
lk +?k
2
k Z
X
(?1)
?(t, ?)dt? ,
G = eq1 = exp ?
2?
k=1
lk ??k
??, ?????? ??????? f (z1 , z2 ) ?? ???????
f?1 (?, o) = Gf?2 (?, o),
(15)
??????? ???????? ??????? ???????? ?????????? ??????, ?????
f (z1 , z2 ) = e? (z1 ,z2 ) ,
(16)
??? ? (z1 , z2 ) ? ???????? ????????? (12).
????????????? ??????? ????????? ??????? f (z1 , z2 ) ????????????? ??????????? (15), ???????, ??????? ? ????????? (14) ???????????? ??????? Gf?2 (?, o) ?? ??????? (15) ?? f?1 (?, o), ??????? ???????,
???????? ?????? ????????????? ??????? f?(z1 , z2 ) ? ?????? ?????????? ?1 :
f??1 (?, o) ? f??2 (?, o) = q,
???, ??? ??? q ??1 , ??? ?? ?? ?????:
lk +?k
2
k Z
X
(?1)
f??1 (?, o) ? f??2 (?, o) =
?(t, ?)dt.
2?
k=1
lk ??k
24
ISSN 1812-3368. ??????? ???? ??. ?.?. ???????. ???. ????????????? ??????. 2007. ? 1
??????, ?? ????????? ??????? ?????? ? ??????, ???????
1
f? = 2
4? i
Z2?
Z
dt
0
|?|=1
??(t, ?)d?
,
? ?u
(17)
??? ??(t, ?) ? ?.
????????? 3. ???? ? ???????????? ?????? ???????????, ????? ??????? ??????? f (z1 , z2 ) ? f?(z1 , z2 ) ? ??????????? ?????? ??????????
?????????????? ? ???????????? ???????? C ? D, ?? ??????? ?????
?????? ????????? ? ????
f (z1 , z2 ) = ? e? (z1 ,z2 ) ,
1
f?(z1 , z2 ) = 2
4? i
Z2?
0
dt
Z
|?|=1
??(t, ?)??
+ D.
? ?u
?????? ??????????
1. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. ?. ?? ?????????? ????????? ? ????????? ?????????
????????????? ??????? ???? ??????????? ?????????? // ??? ????. ? 1958.
? T. 120, ? 5. ? C. 935?938.
2. B u n g a r t L. Holomorphic functions with values in locally convex spaces
and applications to integral formulas // Trans. Amer. Math. Soc. ? 1964. ? ? 2.
? P. 611?636.
3. ? ? ? ? ? ?. ?. ??????? ??????.: ? ?., ?????????, 1963. ? 543 C.
4. ? ? ? ? ? ? ? ? ?. ?. ? ????????? ??????? ??????? ??? ??????? ???? ??????????? ?????????? // ?????? ??????? ???? ??. ?.?. ????????. ? 1970. ? T. 269.
? C. 23?48.
5. ? ? ? ? ? ? ? ? ?. ?., ? ? ? ? ? ? ? ?. ?., ? ? ? ? ? ? ? ?. ?. ????????? ?????? ??? ?????? ?????? ???????? ?????????????? ?????????????? ????????? //
???????? ??? ??. ? 2001. ? ? 2(16). ? C. 94?101.
6. ? ? ? ? ?. ?. ???????? ? ?????? ????????????? ??????? ?????? ???????????
??????????. ? ?.: ?????????, 1962. ? 472 c.
?????? ????????? ? ???????? 26.04.2006
ISSN 1812-3368. ??????? ???? ??. ?.?. ???????. ???. ????????????? ??????. 2007. ? 1
25
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