close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О линейном непрерывном правом обратном для оператора свертки на пространствах ростков аналитических функций на выпуклых компактах в C.

код для вставкиСкачать
1997
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 5 (420)
УДК 517.983
С.Н. МЕЛИХОВ, З. МОММ
О ЛИНЕЙНОМ НЕПРЕРЫВНОМ ПРАВОМ ОБРАТНОМ
ДЛЯ ОПЕРАТОРА СВЕРТКИ НА ПРОСТРАНСТВАХ РОСТКОВ
АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ НА ВЫПУКЛЫХ КОМПАКТАХ В
C
Введение
Для выпуклого компакта G в C через A(G) обозначим пространство всех ростков аналитических на G функций и снабдим его естественной топологией индуктивного предела. Если K |
выпуклый компакт в C , то каждый аналитический функционал 2 A(C )0 n f0g, определяемый
K , порождает линейный непрерывный оператор свертки
T : A(G + K ) ! A(G); T(g)(z) := (g( + z )); g 2 A(G + K )
(G + K обозначает арифметическую сумму множеств G и K ). Если K = f0g, то T является
дифференциальным оператором на A(G) (конечного или бесконечного порядка) с постоянными
коэффициентами. В этом случае T сюръективен [1], [2]. Если K 6= f0g и внутренность G непуста,
характеризация сюръективных операторов T хорошо известна [3]{[6]. В настоящей статье мы
исследуем, когда заданный сюръективный оператор свертки T : A(G + K ) ! A(G) имеет линейный непрерывный правый обратный (ЛНПО) R, т.е. когда существует решение R(f ) 2 A(G + K )
уравнения свертки T (R(f )) = f , линейно и непрерывно зависящее от f 2 A(G).
В данном направлении в настоящее время известны следующие результаты. Если K = f0g,
G совпадает с точкой, то из результатов Майзе и Тейлора [7] вытекает, что только дифференциальный оператор T конечного порядка имеет ЛНПО. Для отличного от точки замкнутого круга
G и K = f0g Ю.Ф. Коробейником [8] показано, что любой оператор T имеет ЛНПО. Положим
^(z ) := (exp(z )); z 2 C ; через A обозначим множество всех предельных точек последовательности (a=jaj)faj^ (a)=0g (если эта последовательность конечна, то считаем A = ?). Лангенбрух [9]
в случае G = [;1; 1] R, K = f0g установил, что T имеет ЛНПО тогда и только тогда, когда
A f;i; ig.
1. Предварительные сведения
Всюду далее G и K | выпуклые компакты в C и 2 A(K )0 n f0g. Линейный непрерывный
оператор свертки T : A(G + K ) ! A(G) определяется равенством
T (g)(z ) := (g( + z)); g 2 A(G + K ):
Положим ^(z ) := (exp(z )), z 2 C . ^ является целой функцией экспоненциального типа, сопряженная диаграмма которой содержится в K ([10], гл.1, x 20; [11], теорема 4.5.3). Положим
V (^) := fz 2 C j ^(z) = 0g.
Замечание 1. Далее всюду предполагаем, что множество нулей V (^
) функции ^ бесконечно. В случае, когда V (^) конечно или пусто, оператор T : A(G + K ) ! A(G) имеет ЛНПО.
При выполнении данной работы первый из авторов пользовался финансовой поддержкой Российского
фонда фундаментальных исследований (код проекта 93-011-242, 96-01-01041) и Немецкой службы академических обменов (DAAD).
38
Для выпуклого множества Q в C HQ (z ) := sup Re(zw) | опорная функция Q. Пусть H :=
w2Q
HG, L := HK . Положим D := fz 2 C jz j < 1g; @ D := fz 2 C jz j = 1g. Через SG обозначим
множество всех a 2 @ D таких, что не существует открытой окрестности a, в которой функция H
гармонична. A обозначает множество всех предельных точек последовательности (a=jaj)a2V (^) .
Для выпуклого компакта Q в C положим
AHQ := ff 2 A(C ) j kf kn := sup jf (z )j exp(;HQ(z ) ; jzj=n) < 1 8n 2 Ng:
z 2C
С естественной топологией проективного предела банаховых пространств AHQ является ядерным пространством Фреше. Если (Qn )n2N | последовательность выпуклых компактов таких,
что Qn+1 int Qn 8n 2 N , и Q = n\2NQn , то нормы sup jf (z )j exp(;HQn (z )), n 2 N , образуют
z2C
фундаментальную последовательность норм в AHQ .
Для локально выпуклого пространства (ЛВП) E через E0 обозначим сильное сопряженное
к E пространство.
Лемма 1 ([12], [13]). Пусть Q | выпуклый компакт в C . Преобразование Лапласа
F (g)(z ) := g(exp(z)), z 2 C , g 2 A(Q)0 , является линейным топологическим изоморфизмом
A(Q)0 на AHQ . Если A(G)0 и A(G +K )0 отождествить с AH и AH +L соответственно, то сопряженным к T : A(G + K ) ! A(G) оператором является оператор умножения M^ : AH ! AH +L ,
f 7! ^ f .
Замечание 2. Пусть оператор свертки T : A(G + K ) ! A(G) сюръективен. Так как AH и
AH+L | рефлексивные пространства Фреше, то ^ AH замкнуто в AH +L . Оператор T : A(G +
K ) ! A(G) имеет ЛНПО тогда и только тогда, когда подпространство ^ AH дополнимо в AH +L .
Для B C положим ;(B ) := ftb j t 0; b 2 B g.
Определение 1. Если B @ D замкнуто, то и ^ назовем медленно убывающими на ;(B ),
если 8k 2 N 9R > 0 : 8z 2 ;(B ), jz j R, 9w 2 C , jw ; z j jz j=k : j^(w)j exp(L(w) ; jwj=k).
Лемма 2. i) Если T : A(G + K ) ! A(G) сюръективен, то ^ медленно убывает на ;(SG ).
ii) Если T : A(G + K ) ! A(G) сюръективен, то ^ AH = (^ A(C )) \ AH +L .
Доказательство. i) Это утверждение по существу содержится в [4]; оно доказано также в
([6], предложение 2.3 и теорема 3.9).
ii). Пусть (Qn )n2N | последовательность выпуклых компактов таких, что Qn+1 int Qn
8n 2 N и G = n\2NQn. Для каждого n 2 N положим Hn := HQn и введем ЛВП
AHn L := ff 2 A(C ) j 9m : sup jf (z)j exp(;Hn(z ) ; L(z ) + jzj=m) < 1g;
+
z2C
наделенное соответствующей индуктивной топологией. Без ограничения общности можно считать, что 0 2 G. По ([12], теорема 4.4) 8n 2 N множество ^ C [z ] (C [z ] | пространство всех
многочленов) плотно в (^ A(C )) \ AHn +L. Так как C [z ] AH , то ^ AH плотно в (^ A(C )) \ AHn +L
для всех n 2 N . Поэтому ^ AH плотно в (^ A(C )) \ AH +L = (^ A(C )) \ proj AHn +L . Поскольку T
n
сюръективен, то ^ AH замкнуто в AH +L (см. замечание 2), а значит, ^ AH = (^ A(C )) \ AH +L .
Лемма 3 ([14], лемма 5). Пусть оператор T : A(G + K ) ! A(G) сюръективен и A SG ;
Q | выпуклый компакт в C . Тогда существует открытая окрестность U C множества
V (^) такая, что 8n 2 N 9C < 1 :
а) j^(z )j exp(L(z ) ; jz j=n ; C ), z 2 @ U ;
б) sup(HQ (z ) + jz j=(n + 1)) zinf
(H (z ) + jz j=n) + C для любой компоненты S множества U ;
2S q
z 2S
в) sup jz ; wj n1 zinf
jzj + C для любой компоненты S множества U .
2S
z;w2S
39
Замечание 3. Без ограничения общности можно считать, что окрестность U в лемме 3
состоит из последовательности компонент (Sj )j2N таких, что 8j 2 N 9zj 2 Sj \ V (^) и
inf jz j z2inf
jzj. Если nj | число нулей ^ в Sj (с учетом их кратности), то в силу условия в)
z2Sj
Sj+1
леммы 3
j
P
np
p=1
= O(zinf
jzj), j ! 1 ([10], гл. 1, x 5).
2Sj
Замечание 4. Пусть выпуклый компакт G не совпадает с точкой; ' | некоторое конформное отображение единичного круга D на C n G такое, что '(0) = 1. Положим D r := fz 2 C j
jzj < rg, 0 < r < 1.
а) Как отмечено в ([15], замечание 1.3), для всех 0 < r < 1 компакты C n '(D r ) выпуклы (это
следует из того, что Re(z'00 (z )='0 (z )) ;1 8z 2 D ).
б) Пусть Hr , 0 < r < 1, | опорная функция C n '(D r ). Для всех z 2 C функция 7! Hj j(z ) =
sup Re('(a)z ) субгармонична в D . Поэтому функция x 7! Hex (z ) выпукла на (;1; 0). Так как
jaj=1
lim H (z ) = H (z ), то для всех z 2 C существует
r!1;0 r
; H (z) = inf Hr (z) ; H (z) :
D(z) := r!lim; Hr (;z)log
<r<
r
; log r
При этом функция D : C ! [0; +1) полунепрерывна сверху.
1
0
0
(1)
1
Для последовательности банаховых пространств E := (Ej ; j jj )j2N , для
матрицы A := (ajn )j;n2N такой, что 0 < ajn aj;n+1 8j; n 2 N , положим
Определение 2.
(A; E ) := X = (xj )j2N 2
Y
j 2N
Ej n (X ) :=
X
j 2N
jxj jj ajn < 1 8n 2 N :
С естественной топологией (A; E ) | пространство Фреше. Если Ej = C 8j 2 N , то вместо
(A; E ) пишем (A).
Если j 0, j j
положим () := (A).
+1
8j 2 N , и jlim
= 1, то для матрицы A := (exp(;j =n))j;n2N
!1 j
0
2. Критерии существования линейного непрерывного
правого обратного для оператора свертки
Далее используем следующие вспомогательные построения. Пусть U | открытая окрестность V (^), состоящая из компонент Sj , j 2 N , имеющих непустые пересечения с V (^) и удовлетворяющих условиям а){в) леммы 3.
Через Bj обозначим банахово пространство всех ограниченных аналитических в Sj функций
с нормой sup jf (z )j exp(;L(z )) , а через Ij | его замкнутое подпространство ^jSj Bj , j 2 N .
z 2 Sj
Положим Ej := Bj =Ij и снабдим Ej факторнормой
jxjj := inf
sup j (z )j exp(;L(z )); x 2 Ej ; j 2 N :
2x
z2Sj
Введем отображение (f ) := (f jSj + Ij )j2N , f 2 AH +L . Выберем zj 2 Sj \ V (^), j 2 N . Из условия
б) леммы 3 и того, что log j = o(jzj j), j ! 1 (см. замечание 3), следует, что | линейное
непрерывное отображение AH +L в (A; E ), где A := (exp(;H (zj ) ; jzj j=n))j;n2N (см. определение
2).
Ниже понадобится
Лемма 4 ([16], лемма 2.8). Пусть
: [0; +1) ! [0; +1) | дифференцируемая неубывающая и неограниченная функция такая, что функция log выпукла. Тогда для любой неубывающей функции f : [0; +1) ! [0; +1), для которой f (x) = o( (x)), x ! +1, существует
40
неубывающая и выпуклая функция g : [0; +1) ! [0; +1), для которой f g и g(x) = o( (x)),
x ! +1.
По поводу более ранних результатов, аналогичных следующей лемме, отошлем к работе ([17],
теорема 1.7).
Лемма 5. Пусть оператор свертки T : A(G + K ) ! A(G) сюръективен; существует открытая окрестность U множества V (^), удовлетворяющая условиям а){в) леммы 3 и состоящая из компонент Sj таких, что 8j 2 N 9zj 2 Sj \ V (^). Предположим, что существуют
субгармонические
в C функции uj , j 2 N , со следующими свойствами: 8m 9k 9C < 1 : 8j 2 N
uj Sj 0 и uj (z ) H (z) + jzj=m ; H (zj ) ; jzj j=k + C 8z 2 C . Тогда ^ AH дополнимо в AH+L .
Доказательство. Положим ajn := exp(;H (zj ) ; jzj j=n), A := (ajn )j;n2N . Определим пространства Ej , j 2 N , и отображение , как выше.
Покажем, что : AH +L ! (A; E ) сюръективно. Соответствующее доказательство
является
модификацией доказательств ([7], п. 2.5; [18], п. 2.9; [14], п. 6) Положим q(z ) := max sup (log j^(t)j;
jtjjzj
L(t)); sup (; log j^(t)j + L(t)); 0 ; qk (z) := kq(kz), z 2 C , k 2 N . Для всех k 2 N qk (z) = o(jz j),
jtjjzj
t2@ U
z ! 1. Кроме того, j^(z)j exp(L(z) + q(z)), z 2 C , и j^(z)j exp(L(z ) ; q(z)), z 2 @ U . Как в
([19], с. 120; [18], п. 2.9), получим: существуют константа C 1, l 2 N , функция 2 C 1 (C ) такие, что для S~j := fz 2 Sj j j^(z )j < exp(L(z ) ; ql (z ))g, j 2 N , имеет место следующее: 0 1,
supp U , jU 1, где U~ := j[2NS~j и j@ j C exp ql .
Пусть X := (xj )j2N 2 (A; E ). Вследствие условия б) леммы 3 и ql (z ) = o(jz j), z ! 1,
существует строго возрастающая последовательность (jn )n2N N такая, что для jn j < jn ,
n 2 N , найдется j 2 xj , для которой
sup jj (z )j exp(;H (z ) ; L(z ) ; jz j=n + 2ql (z )) 1:
1
~
1
+1
z2Sj
Для 1 j < j1 выберем произвольные функции j 2 xj . Положим (z ) := j (z ), z 2 Sj , j 2 N , и
(z ) := 0, z 2 C n U . Тогда
sup j (z )j exp(;H (z ) ; L(z ) ; jz j=n + 2ql (z )) < 1 8n 2 N :
z 2C
Пусть v | субгармоническая в C функция, для которой Bv ( ) := sup j (z )j exp(;v(z ) ; L(z ) +
z2C
2ql (z )) < 1. Если := ;@ ( )=^ , то 2 C 1 (C ) и
Z
C
1=2
j(z)j exp(;2v(z) ; 2 log(1 + jzj ))d (z)
2
2
p C B ()
1
(d обозначает меру Лебега в C ). По ([11], теорема 4.4.2) 9h 2 L2loc (C ) : @ h = и
Z
2
C
1=2
jh(z)j exp(;2v(z) ; 4 log(1 + jzj ))d (z)
2
p C Bv ():
1
Так как для функции gv := + h ^ @ gv = 0, то gv 2 A(C ). При этом
Z
C
1=2
jgv (z)j exp(;2v(z) ; 4 log(1 + jzj ) ; 2L(z) ; 2q(z))d (z)
2
2
2p C Bv ():
1
Поэтому найдется константа C2 , не зависящая от , для которой
jgv (z)j C2Bv () exp(L(z) + q2(z) + sup v(w) + 2 log(1 + jzj2 )) 8z 2 C :
jw;zj1
41
(2)
Положим
f (x) := max supx(log j(z)j ; H (z ) ; L(z) + 2ql (z )); 0 ; x 2 R:
jzje
Тогда f (x) = o(ex ), x ! +1. По лемме 4, примененной к функции (x) := ex , существует
выпуклая неубывающая функция g : [0; +1) ! [0; +1) такая, что f g и g(x) = o(ex ), x ! +1.
Доопределим g на R : g(x) := g(0), x < 0. По ([11], теорема 1.6.7) функция (z ) := g(log jz j)
субгармонична в C . При этом (z ) = o(jz j), z ! 1. Для функции v := + H Bv ( ) < 1
и вследствие (2) gv 2 AH +L . Так как jU~ 1, то (gv ) = X . Таким образом, отображение
: AH +L ! (A; E ) сюръективно.
Пусть (ejp )1pnj (nj := dim Ej ) | базис Ауэрбаха в Ej , j 2 N (см. [20], с. 291). Положим
Xjp := (js ejp )s2N , P
1 p nj , j 2 N (js | символ Кронекера). Вследствие замечания 3 и
lim
log
j=
j
z
j
=
0
nj ajn =aj;n+1 < 1 8n 2 N . По ([21], с. 66) (Xjp )1pnj ; j2N | абсолютный
j
j !1
j 2N
базис в (A; E ).
Положим теперь X := Xjp для фиксированных j 2 N и 1 p nj . Так как jejp jj = 1, то
найдется функция jp 2 ejp , для которой sup jjp (z )j exp(;L(z )) 2. Пусть (z ) := jp (z ), z 2 Sj ;
z2Sj
(z ) = 0, z 2 C n Sj . В силу uj jSj 0 для v := uj получим Bv () 2 sup exp(2ql (z )). Значит,
z2Sj
9gjp 2 AH+L : (gjp ) = Xjp и (см. (2)) 8z 2 C
jgjp (z)j 2C2 exp(L(z) + q2(z) + 2 sup ql(t) + sup uj (t) + 2 log(1 + jzj2 )):
t2Sj
jt;zj1
Учитывая оценки сверху для uj и то, что sup ql (t) = o(jzj j), j ! 1, будем иметь 8n 9k > n
t2Sj
9cn < 1 : 8z 2 C
jgjp (z)j cn exp(H (z) + L(z) + jzj=n ; H (zj ) ; jzj j=k) 81 p nj ; 8j 2 N :
(3)
В силу ([21], сс. 65, 66) 8n 9m 9B~n < 1 :
nj
XX
jjp jajn B~nm
X X
nj
jp Xjp
j 2N p=1
j 2N p=1
P Pnj
для любого X = j2N p=1 jp Xjp 2 (A; E ) (см. определение 2). Учитывая (3), получим
8n 9k 9m = m(k) 9cn < 1 :
X X
nj
nj
nj
XX
XX
~
jjp j kgjp kn cn
jjp jajk cnBk m
jp Xjp :
j 2N p=1
j 2N p=1
j 2N p=1
P P j
Таким образом, для любого X = j2N np=1
jp Xjp 2 (P
A; E ) Pсемейство
(jp gP
jp )1pP
nnj ; j2N абn
j
j
солютно суммируемо в AH +L , а линейный оператор { : j2N p=1 jp Xjp ! j2N p=1
jp gjp
непрерывно отображает (A; E ) в AH +L . При этом { является ЛНПО для . В силу утверждения ii) леммы 2 ^ AH = Ker . Следовательно, ^ AH дополнимо в AH +L .
Замечание 5. В ходе доказательства леммы 5 попутно установлен следующий результат.
Пусть оператор T : A(G + K ) ! A(G) сюръективен; существует открытая окрестность U множества V (^), удовлетворяющая условиям а){в) леммы 3. Тогда отображение : AH +L ! (A; E )
| топологический гомоморфизм \на".
Лемма 6. Пусть выпуклый компакт G в C отличен от точки; ' | конформное отображение D на C n G такое, что '(0) = 1 и ainf
D(a) > 0, где функция D определена формулой
2A
(1). Тогда для любого b 2 ;(A ) существует субгармоническая в C функция ub такая, что
8m 9k : 8b 2 ;(A) ub (b) 0 и
ub(z) H (z ) + jzj=m ; H (b) ; jbj=k 8z 2 C :
42
Доказательство является модификацией доказательства ([14], предложение 6). Положим
для z 2 C , w 2 C + := ft 2 C j Re t > 0g
u(z; w) := sup Re('(e;w ei )z) = Hexp(; Re w)(z):
2R
Функция u плюрисубгармонична в C C + . Возьмем такое c > 0, что
c D(a) 8a 2 A:
По ([22], теорема 2.2) функция
v(z) := winf
(u(z; w) ; c Re w) = 0<r<
inf 1(Hr (z ) + c log r); z 2 C ;
2C +
(4)
субгармонична в C . В силу (4) v(a) H (a) 8a 2 A . Для b 2 ;(A ), b 6= 0, положим ub (z ) :=
jbjv(z=jbj) ; H (b). Тогда ub(b) 0 8b 2 ;(A), b 6= 0.
Зафиксируем m 2 N . Определим такое r 2 (0; 1), что 8z 2 C Hr (z ) H (z ) + jz j=m. Затем
определим k 2 N , для которого 1=k ;c log r. Получим 8b 2 ;(A ), b 6= 0,
ub (z ) Hr (z=jbj)jbj + jbjc log r ; H (b) H (z) + jzj=m ; H (b) ; jbj=k 8z 2 C :
Наконец, положим u0 (z ) := H (z ), z 2 C . Лемма 7. Пусть выпуклый компакт G в C отличен от точки, K = f0g; ' | конформное
отображение D на C n G такое, что '(0) = 1; функция D определена формулой (1). Если
оператор свертки T : A(G) ! A(G) имеет ЛНПО, то inf a2A D(a) > 0.
Доказательство. Согласно ([10], сс. 182, 183, 150) существует открытая окрестность U множества V (^), удовлетворяющая условиям а){в) леммы 3 и состоящая из компонент Sj таких,
что 8j 2 N 9zj 2 Sj \ V (^). В силу замечаний 2 и 5 существует ЛНПО { для отображения
: AH ! (A; E ). Положим
z^m := zj ;
j ;1
X
k=0
nk < m j
X
k=0
nk ; j 2 N (n := 0);
0
A^ := (exp(;H (^zm ) ; jz^m j=n))m;n2N:
Пусть Xjp , 1 p nj , j 2 N , | такие же, как при доказательстве леммы 5. Согласно ([21],
лемма 1.4) отображение
nj
XX
T:
jp Xjp 7! (jp )1pnj ; j2N
j 2N p=1
является линейным топологическим изоморфизмом (A; E ) на (A^). При этом 9k0 8n9D0 < 1 :
n (T (X )) D0 n+k0 (X ) 8X 2 (A; E ):
(5)
Положим Qn := C n '(D exp(;1=n) ), n 2 N . В силу замечания 4 Qn | выпуклые компакты,
причем Qn+1 int Qn 8n 2 N , и G = n\2NQn . Введем нормы pn (f ) := sup jf (z )j exp(;HQn (z )).
z 2C
Вследствие ([15], 1.10) существует такой линейный топологический изоморфизм q ЛВП AH на
0 ((m)) (см. определение 2), что 9k1 8n 9D1 < 1 :
pn (q;1 (c)) D1 n+k1 (c) 8c 2 0 ((m)):
(6)
Определим диагональный оператор : (A^) ! 0 ((jz^m j)), (cm )m2N 7! (cm exp(;H (^zm )))m2N.
Положим M := q { T ;1 ;1 . Тогда M | линейный топологический изоморфизм 0 ((jz^m j))
на 0 ((m)). Согласно [23] 9b 8n 9D2 < 1 :
n(M (c)) D2 bn(c) 8c 2 0 ((jz^m j)):
(7)
43
Так как { = q;1 M T , то в силу (5){(7) 9d 8n 9B < 1 :
pn({(X )) Bdn(X ) 8X 2 (A; E ):
В частности,
1 jz j) 8n; j 2 N :
sup j{ (Xj1 )(z )j exp(;HQn (z )) B exp(;H (zj ) ; dn
j
z2Sj
Поскольку jej1 jj = inf
sup j (z )j = 1, то 9wj 2 Sj : j{ (Xj1 )(wj )j 1=2. Значит, HQn (wj ) ; H (zj ) 2ej1 z2Sj
; log(2B ) + dn1 jzj j и 8zj 6= 0
B ) + 1 8n 2 N :
n(HQn (wj =jzj j) ; H (zj =jzj j)) ; n log(2
jz j
d
j
Заметим, что в силу леммы 3 A совпадает с множеством всех предельных точек последовательности (zj =jzj j)j2N . При этом, если для a 2 A zjs =jzjs j ! a, s ! 1, то и wjs =jzjs j ! a, s ! 1.
Поэтому n(Hexp(;1=n) (a) ; H (a)) 1=d 8a 2 A , 8n 2 N . Значит,
Hexp(;1=n) ; H (a) 1 8a 2 A : D(a) = nlim
!1
1=n
d
Далее потребуются некоторые факты из геометрической теории функций комплексного переменного.
Замечание 6. Пусть G | выпуклый компакт в C с непустой внутренностью. По теореме
Каратеодори конформное отображение ' единичного круга D на C n G ('(0) = 1) продолжается
до гомеоморфизма D на C n int G. Для любого z 2 @ D , для любого угла Штольца W := ft 2
D j arg(1 ; zt) < =2 ; g (0 < < =2) с вершиной z существует конечный предел lim '(t)t;;z'(z) ,
t!z
t2W
называемый угловой производной ' в z .
Вследствие выпуклости G можно предположить, что z = 1, '(1) = 0 и
t;1 . Функция F := ';1 f конформно отображает D в
t+1
D . По теореме Каратеодори
([24],
теорема
1.5) угловая производная F в 1 принадлежит (0; +1].
;1 (f (t));';1 (0) f (t);f (1)
F
(t);F (1)
'
0
Так как t;1 =
f (t)
t;1 и f (1) = 1=2, то для каждого угла V := ft 2 C j
j arg t ; j < =2 ; 0 g (0 < 0 < =2) существует предел lim ';1(t);t ';1(0) в C n f0g.
Доказательство.
G ft 2 C j Re t 0g. Положим f (t) :=
t!0
t2V
Пусть существует касательная к @ G в точке '(1). По теореме Линделефа ([25], теорема 10.4)
для каждого угла Штольца W с вершиной 1 существуют окрестность U точки 1 и угол V такие,
что '(W \ U ) V . Отсюда следует, что для каждого угла Штольца W с вершиной 1 существует
конечный предел lim '(t)t;;'1 (1) .
tt2!W1
Пусть теперь '(1) | угловая точка @ G. Это означает, что существуют 2 (0; 1) и 1 , 2 такие,
что 0 < 2 ; 1 < , Re('(1)eij ) = H (eij ), j = 1; 2; G ft 2 C j Re(teij ) H (eij ); j = 1; 2g,
и это | наименьшее с такими свойствами. Согласно ([25], теорема 10.6) существует угловая
производная ' в 1, равная 0.
а) Пусть int G 6= 0. Для z 2 @ D пусть '(z ) | угловая точка @ G и 2 (0; 1),
1 и 2 такие, как в замечании 6. Тогда D(ei ) = 0 8 2 (1 ; 2 ).
б) Если G = [;1; 1] и '(z ) = 12 (z + 1=z ), то D(a) = 0 8a 2= f;i; ig, jaj = 1, и D(;i) = D(i) = 1.
Замечание 7.
44
Докажем а). Без ограничения общности можно считать, что z = 1, '(1) = 0, =2 < < <
< 3=2 и = . Пусть G | такой выпуклый компакт в C , что G G , @ G симметрична
относительно действительной прямой, 0 2 @ G и 0 | угловая точка @ G . Пусть ' | конформное отображение D на C n G такое, что ' (0) = 1 и ' (z ) = ' (z ) 8z 2 D ; Hr; | опорная
функция ' (D r ), 0 < r < 1. В силу симметричности ' (D r ) относительно действительной прямой
Hr; (;1) = ' (r), 0 < r < 1. По лемме Шварца j('; ' )(z)j jz j 8z 2 D . Значит, ' (D r ) '(D r )
и Hr (;1) Hr; (;1) = ' (r), 0 < r < 1. Учитывая замечание 6, получим
' (1)
D(;1) = r!lim; Hr (;1)1 ;; rH (;1) r!lim; ' (r1) ;
; r = 0:
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 0
1
1
0
Утверждение б) проверяется непосредственно.
Теорема 1. Пусть G и K | выпуклые компакты в C , причем G не совпадает с точкой;
функционал 2 A(K )0 n f0g таков, что множество нулей функции ^ бесконечно и оператор
свертки T : A(G + K ) ! A(G) сюръективен. Пусть ' | конформное отображение D на
C n G такое, что '(0) = 1; функция D определена формулой (1). Следующие утверждения
равносильны:
а) T : A(G + K ) ! A(G) имеет ЛНПО.
б) ainf
D(a) > 0, где A | множество предельных точек последовательности (z=jzj)z2V (^) .
2A
в) Для любого b 2 ;(A ) существует субгармоническая в C функция ub со следующими
свойствами: 8m 9k : 8b 2 ;(A ) ub (b) 0 и ub (z ) H (z ) + jz j=m ; H (b) ; jbj=k 8z 2 C .
Доказательство. а) ) б). Пусть T : A(G + K ) ! A(G) имеет ЛНПО. Следуя [15], возьмем
последовательность (dj )j2N V (^), для которой множество Q
всех предельных точек последовательности (dj =jdj j)j2N совпадает с A , а функция d(z ) := 1
j =1 (1 ; z=dj ), z 2 C , является
целой функцией минимального типа при порядке 1. Положим c := ^=d. Существуют функционалы 2 A(K )0 и 2 A(f0g)0 такие, что ^ = c и ^ = d. Если R | ЛНПО для T , то
вследствие T = T T оператор T R является ЛНПО для T : A(G) ! A(G). В силу леммы
7 inf a2A D(a) > 0.
Импликация б) ) в) выполняется по лемме 6.
в) ) б). Построим функцию d и функционал 2 A(f0g)0 , как при доказательстве импликации
a) ) б). Согласно [10] существует открытая окрестность U множества (dj )j2N , удовлетворяющая условиям леммы 3 и состоящая из компонент Sp таких, что 8p 2 N 9zp 2 Sp \ (dj )j2N .
Выберем последовательность ap 2 A , p 2 N , для которой jap ; zp =jzp j j ! 0, p ! 1.
Пусть субгармонические в C функции vp таковы, что 8m 9k > 1 : 8p 2 N vp (ap jzp j) 0 и
vp(z ) H (z) + m1+1 jzj ; H (ap jzp j) ; k;1 1 jzp j 8z 2 C . Так как найдется константа C1 , для которой
H (zp ) H (ap jzp j) ; C1jap jzp j ; zp j 8p 2 N , то 8k > 1 9C2 < 1 : H (zp ) H (apjzp j) ; k(k1;1) jzp j ; C2
8p 2 N . Положим up(z) := sup vp(z + apjzp j ; a). Тогда up , p 2 N , | субгармонические в C
a2Sp
функции, для которых up jSp 0. Поскольку sup jap jzp j ; aj = o(jzp j), p ! 1, то, учитывая
a2Sp
полуаддитивность H , получим 8m 9k 9C3 < 1 : 8p 2 N
up(z) H (z ) + jz j=m ; H (zp ) ; jzp j=k + C3 8z 2 C :
В силу леммы 5 d AH дополнимо в AH . По лемме 7 ainf
D(a) > 0.
2A
б) ) a). Пусть ainf
D(a) > 0. По замечанию 7 A SG. По лемме 3 и замечанию 3 суще2A
ствует открытая окрестность U множества V (^), удовлетворяющая условиям а){в) леммы 3 и
состоящая
). Выберем aj 2 A так, чтобы
из компонент Sj таких, что 8j 2 N 9zj 2 Sj \ V (^
aj ; zj =jzj j ! 0, j ! 1. По лемме 6 существуют субгармонические в C функции vj такие, что
8m 9k > 1 : 8j 2 N vj (aj jzj j) 0 и vj (z) H (z) + m1+1 jzj ; H (aj jzj j) ; k;1 1 jzj j 8z 2 C . Точно
45
так же, как при доказательстве импликации в) ) б) (с помощью леммы 5), получим, что ^ AH
дополнимо в AH +L . Значит, в силу замечания 2 оператор T : A(G + K ) ! A(G) имеет ЛНПО.
Пусть K | выпуклый компакт в C и функционал 2 A(K )0 n f0g таков, что
множество нулей функции ^ бесконечно.
а) Пусть G | отличный от точки отрезок, для которого H (b) = H (;b), где jbj = 1. Сюръективный оператор свертки T : A(G + K ) ! A(G) имеет ЛНПО тогда и только тогда, когда
A f;b; bg.
б) Пусть G | выпуклый компактный многоугольник с непустой внутренностью; fbs g1sn @ D | множество внешних нормалей ко всем сторонам G. Сюръективный оператор T : A(G +
K ) ! A(G) имеет ЛНПО тогда и только тогда, когда Am fbs g1sn .
Следствие.
Утверждение а) вытекает из замечания 7 б) и теоремы 1.
б) Пусть T : A(G + K ) ! A(G) имеет ЛНПО. По теореме 1 ainf
D(a) > 0. Вследствие
2A
замечания 7 а) A fbs g1sn .
Пусть теперь A fbs g1sn . Построим замкнутый круг Bs , содержащийся в G и касающийся стороны с внешней нормалью bs , 1 s n. Ясно, что для кругов Bs (вместо G) и fbs g1sn
(вместо A ) выполняется утверждение б) теоремы 1. Тогда по лемме 6 существуют субгармонические в C функции ub , b 2 1[sn;(fbs g) ;(A ), такие, что 8m 9k : 8b 2 ;(fbs g), 81 s n
ub(b) 0 и ub (z ) HBs (z) + jz j=m ; HBs (b) ; jbj=k 8z 2 C . Поскольку HBs (z) H (z ) 8z 2 C , и
HBs (b) = H (b) 8b 2 ;(fbs g), 1 s n, то для G и A выполняется утверждение в) теоремы 1.
Значит, по теореме 1 T : A(G + K ) ! A(G) имеет ЛНПО.
Доказательство.
Пусть K | выпуклый компакт в C и 2 A(K )0 n f0g. Если G совпадает
с точкой, то T : A(G + K ) ! A(G) имеет ЛНПО тогда и только тогда, когда K = fwg и
^(z ) = P (z ) exp(wz ), z 2 C , для некоторых w 2 C и ненулевого многочлена P (при K = f0g этот
результат следует из [7]).
Замечание 8.
Лемма 8.
Пусть выпуклый компакт G отличен от точки; ' | конформное отображение
D на C n G такое, что '(0) = 1; функция D определяется формулой (1). Следующие утвер-
ждения равносильны:
а) jainf
D(a) > 0;
j=1
б) jzinf
j'0 (z)j > 0.
j<1
Доказательство. Воспользуемся идеей доказательства леммы 3.4 из [18].
a) ) б). Существует такая константа c > 0, что для всех a 2 @ D
0
H
(
a
)
;
H
(
a
)
Hr (a) ; H (a) ;
r
inf
=
min
inf
<r<
<r<
=
1;r
1;r
;
log r Hr (a) ; H (a) minfH (a) ; H (a); D(a)g c:
inf
=
= r< 1 ; r
; log r
1
0
1 2
1 2
1 2
1
Зафиксируем z 2 D . По классической теореме о расстоянии для конформных отображений
([25], следствие 1.4) j'0 (z )j 12 dist ('(z ); @ G)=(1 ; jz j). Возьмем такое a 2 @ D , что Re('(z )a) =
Hjzj(a). Так как dist ('(z ); @ G) Hjzj(a) ; H (a), то j'0 (z)j c=2.
б) )a). Пусть d := jzinf
j'0 (z)j > 0. Зафиксируем a 2 @ D . Выберем z 2 @ D , для которого
j<1
H (a) = Re('(z)a). Если для r 2 (0; 1) '(wr ) | точка пересечения @ Gr и внешней нормали к @ G
46
в '(z ), то dist ('(wr ); @ G) = Re(('(wr ) ; '(z ))a). По ([25], следствие 1.4)
Hr (a) ; H (a) lim inf Re(('(wr ) ; '(z))a) D(a) = r!lim
r!1;0
1;0
1;r
1;r
1
d
2 lim
inf j'0 (wr )j 2 :
r!1;0
Из теоремы 1 и леммы 8 вытекает
Теорема 2. Пусть выпуклый компакт G в C отличен от точки; ' | конформное отображение D на C n G такое, что '(0) = 1; функция D определена формулой (1); K - выпуклый
компакт в C . Утверждение: в) любой сюръективный оператор свертки T : A(G + K ) ! A(G),
2 A(K )0 , имеет ЛНПО | равносильно утверждениям а), б) из леммы 8.
Замечание 9.
Каждое из эквивалентных условий в теореме 2 выполняется, например, если
G имеет границу класса C для некоторого > 1, и не выполняется, если @ G имеет угловые
точки.
Авторы выражают признательность Л.А.Аксентьеву за внимание к работе.
Литература
1. Martineau A. Equations
dierentielles d'ordre inni // Bull. Soc. math. France. { 1967. { V. 95.
{ P. 109{154.
2. Коробейник Ю.Ф. О решениях некоторых функциональных уравнений в классах функций,
аналитических в выпуклых областях // Матем. сб. { 1968. { Т. 75. { Є 2. { С. 225{234.
3. Моржаков В.В. Об уравнениях свертки в пространствах функций, голоморфных в выпуклых
областях и на выпуклых компактах в C n // Матем. заметки. { 1974. { Т. 16. { Є 3. { С. 431{
440.
4. Епифанов О.В. Уравнение свертки в комплексной области // Исследов. по теории операторов. { Уфа, 1988. { С. 48{58.
5. Кривошеев А.С. Критерий разрешимости неоднородных уравнений свертки в выпуклых
областях пространства C n // Изв. АН СССР. Сер. матем. { 1990. { Т. 54. { Є 3. { С.480{500.
6. Momm S. Division problems in spaces of entire functions of nite order // Funct. Anal., Bierstedt,
Pietsch, Ruess, Vogt (eds.) { Marcel Dekker, New York, 1993. { P. 435{457.
7. Meise R., Taylor B.A. Sequence space representations for (FN )-algebras of entire functions modulo
closed ideals // Studia math. { 1987. { T. 85. { Є 3. { S. 203{227.
8. Коробейник Ю.Ф. О правом обратном операторе для оператора свертки // Укр. матем.
журн. { 1991. { Т. 43. { Є 9. { С. 1167{1176.
9. Langenbruch M. Continuous linear right inverses for convolution operators in spaces of real
analytic functions // Studia math. { 1994. { T. 110. { Є 1. { S. 65{82.
10. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. { М.: Гостехиздат, 1956. { 632 с.
11. Хермандер Л. Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных. { М.: Мир,
1968. { 279 с.
12. Красичков-Терновский И.Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. I.
Спектральный синтез на выпуклых областях // Матем. сб. { 1972. { Т. 87. { Є 4. { С. 459{
489.
13. Епифанов О.В. Разрешимость уравнения свертки в выпуклых областях // Матем. заметки.
{ 1974. { Т. 15. { Є 5. { С. 787{796.
14. Momm S. Convolution equations on the analytic functions on convex domains in the plane // Bull.
sci. math. { 1994. { T. 118. { P. 259{270.
47
15. Коробейник Ю.Ф., Мелихов С.Н. Линейный непрерывный правый обратный для оператора
представления и приложения к операторам свертки // Сиб. матем. журн. { 1993. { Т. 34. {
Є 1. { С. 70{84.
16. Momm S. On the dependence of analytic solutions of partial dierential equations from the righthand side // Trans. Amer. Math. Soc. { 1994. { V. 345. { P. 729{752.
17. Langenbruch M., Momm S. Complemented submodules in weighted spaces of analytic functions //
Math. Nachr. { 1992. { Bd. 157. { S. 263{276.
18. Momm S. Convex univalent functions and continuous linear right inverses // J. Funct. Anal. {
1992. { V. 103. { P. 85{103.
19. Berenstein C.A., Taylor B.A. A new look at interpolation theory for entire functions of one variable
// Advances Math. { 1979. { V. 33. { Є 2. { P. 109{143.
20. Jarchow H. Locally convex spaces. { Stuttgart: Teubner, 1981. { 548 p.
21. Meise R. Sequence space representations for (DFN )-algebras of entire functions modulo closed
ideals // J. reine und angew. Math. { 1985. { Bd. 363. { S. 59{95.
22. Kiselman C.O. The partial Legendre transformation for plurisubharmonic functions // Invent.
math. { 1978. { Bd. 49. { Є 2. { S. 137{148.
23. Dubinsky E. Nonlinear analysis in dierent kinds of Frechet spaces // Nonlinear analysis and
applications (St. Johns Nd., 1981). Lecture Notes in Pure and Appl. Math. 83. { Dekker,
New York: 1982. { P. 91-116.
24. Ahlfors L.V. Conformal invariants. Topics in geometric function theory. { New York: McGraw-Hill,
1973. { 157 p.
25. Pommerenke C. Univalent functions with a chapter on quadratic dierentials by Gerd Jensen. {
Gottingen: Vandenhoek and Ruprecht, 1975. { 376 p.
Ростовский государственный университет
Математический институт
университете Дюссельдорфа (ФРГ)
48
Поступила
04.11.1994
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа