close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О локальных условиях выпуклости трубок достижимости управляемых распределенных систем.

код для вставкиСкачать
Известия вузов. Математика
2014, № 11, c. 72–86
http://old.kpfu.ru/journals/izv_vuz/
e-mail: izvuz.matem@kpfu.ru
А.В. ЧЕРНОВ
О ЛОКАЛЬНЫХ УСЛОВИЯХ ВЫПУКЛОСТИ ТРУБОК
ДОСТИЖИМОСТИ УПРАВЛЯЕМЫХ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ
Аннотация. Для нелинейного функционально-операторного уравнения, являющегося формой
описания широкого класса управляемых начально-краевых задач, введено понятие абстрактного множества достижимости, аналогичное понятию трубки достижимости. Получены локальные условия, обеспечивающие выпуклость этого множества. В качестве примера редукции управляемой начально-краевой задачи к изучаемому уравнению, а также проверки сделанных предположений, рассматривается смешанная задача для полулинейного гиперболического уравнения второго порядка достаточно общего вида.
Ключевые слова: трубка достижимости, локальные условия выпуклости, функциональнооператорное уравнение, нелинейные распределенные системы.
УДК: 517.957 : 517.988 : 517.977
Введение
Статья посвящена получению условий выпуклости трубок достижимости управляемых
распределенных систем. Информация о геометрической и топологической структуре множеств и трубок достижимости управляемых начально-краевых задач (НКЗ) играет важную
роль при исследовании различных проблем управления. В частности, если целевой функционал и функционалы ограничений не зависят явно от управления, то от той или иной задачи
оптимального управления можно перейти к задаче математического программирования с
функционалами, заданными на множестве (трубке) достижимости. Если полученная таким
образом задача оказывается выпуклой, то, как правило, можно доказать, что необходимые условия оптимальности становятся достаточными, имеют место теоремы двойственности, и, кроме того, удается построить эффективные численные методы ([1], гл. VI; [2]; [3]).
Информация о том, что множество (трубка) достижимости, отвечающее малой окрестности допустимого управления, выпукло, по аналогичным причинам оказывается полезной
при выводе необходимых и достаточных условий локального минимума. Соответствующие
достаточные условия будем называть локальными условиями выпуклости множества или
трубки достижимости.
Выпуклость множества достижимости линейных и билинейных сосредоточенных систем,
а также (при определенных обстоятельствах) линейных по фазовой переменной хорошо
Поступила 25.04.2013
Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ в рамках
государственного задания на оказание услуг в 2012–2014 гг. подведомственными высшими учебными
заведениями (шифр заявки 1.1907.2011), а также при частичной поддержке грантом (соглашение
от 28 августа 2013 г. № 02.B.49.21.0003 между МОН РФ и ННГУ).
72
О ЛОКАЛЬНЫХ УСЛОВИЯХ ВЫПУКЛОСТИ
73
известна (например, [4], п. 5.1.3; [5]; [6]). Что касается глобальных достаточных условий выпуклости множеств достижимости управляемых систем с существенно нелинейной правой
частью, в [7] приводится следующий пример отсутствия выпуклости
x1 (t) = −(x2 )2 + u1 (t), x2 (t) = u2 (t), t ∈ (0, T ];
uj (t) ∈ [−1, 1], t ∈ [0, T ], j = 1, 2.
Здесь множество достижимости из нуля в любое положительное время T не выпукло. Этот
пример наглядно показывает, что нелокальные достаточные условия выпуклости множества достижимости (даже сосредоточенных) управляемых систем, нелинейных по фазовой
переменной, если и существуют, то имеют некоторый специальный вид.
В работе [2] для нелинейных сосредоточенных управляемых систем была предложена
техника получения локальных условий, обеспечивающих выпуклость множества достижимости. Главное требование заключалось в том, чтобы управление принадлежало шару в L2
достаточно малого радиуса. Делались и другие предположения. В частности, о том, что порядок роста правой части по фазовой переменной не более, чем линеен, а по управляющей
переменной — не более, чем квадратичен; линеаризованная система вполне управляема и
т. д. Основу техники [2] составлял принцип выпуклости [8], дающий достаточные условия
выпуклости нелинейного образа малого шара в гильбертовом пространстве.
В данной статье техника [2] получения локальных достаточных условий выпуклости множеств достижимости распространяется на полулинейные распределенные системы достаточно широкого класса. При этом ослабляются условия на порядок роста правой части по
фазовым переменным; требование вполне управляемости заменяется требованием сюръективности частной производной правой части по управляющей переменной; вместо множества достижимости речь идет о трубке достижимости.
В заключение отметим, что на данный момент существует не слишком много работ, посвященных исследованию геометрической и топологической структуры множеств достижимости распределенных систем. Среди известных укажем, например, [9], [10]. Кроме того,
в ([11], § 5.5) исследовалась компактность и связность интегральной воронки дифференциального включения в банаховом пространстве.
1. Основные обозначения и соглашения
Пусть n, m, , s ∈ N — заданные числа, Π ⊂ Rn — измеримое (здесь и далее в смысле
Лебега) ограниченное множество, X = X (Π), Z = Z(Π), U = U (Π) — некоторые лебеговы
пространства1 с индексами суммируемости из [1, +∞). Пусть, кроме того, D ⊂ U s — заданное множество, A : Z m → X — заданный линейный ограниченный оператор (ЛОО).
Рассмотрим функционально-операторное уравнение В.И. Сумина [12], [13]
(1)
z(t) = f t, A[z](t), u(t) , t ∈ Π, z ∈ Z m ,
управляемое с помощью управления u ∈ D. Здесь f (t, x, u) : Π × R × Rs → Rm — заданная
функция, измеримая по t ∈ Π, непрерывная по {x, u} ∈ R × Rs и такая, что
F1 ) для всех x ∈ X , u ∈ U s суперпозиция f ·, x(·), u(·) ∈ Z m .
Как видно из [12], [13], класс распределенных систем, допускающих представление в виде
уравнения (1), довольно широк (см. также пример в разделе 6). Множество Ξ1 (D) ≡ ξ ∈ Z m : ∃ u ∈ D такое, что z[u] = ξ назовем абстрактным
множеством достижимости управляемого функционально-операторного уравнения (1).
1На протяжении всей статьи все рассматриваемые пространства вещественные.
74
А.В. ЧЕРНОВ
Отметим, что в ряде работ автора в качестве основного инструмента исследования (различных проблем теории управления) используется также уравнение
(2)
x(t) = θ(t) + A f (·, x(·), u(·)) (t), t ∈ Π, x ∈ X .
Здесь θ ∈ X . Абстрактное множество достижимости уравнения (2) будем обозначать Ξ2 (D).
Как показывают многочисленные примеры [14]–[18] (см. также пример в разделе 6), класс
распределенных систем, допускающих представление в виде (2), тоже довольно широк. В
связи с этим отметим, что в случае, когда имеет место единственность решения уравнений
(1) и (2), эти два уравнения эквивалентны. Действительно,
если z — решение уравнения (1),
то действуя
на
(1)
оператором
A,
получаем
A[z]
=
A
f
(·,
A[z],
u) . Полагая x = A[z], имеем
x = A f (·, x, u) . Это означает, что x = A[z] есть решение уравнения (2) при θ = 0. Таким образом, при заданном управлении u каждому решению z уравнения (1) соответствует
некоторое решение x уравнения (2). Это соответствие однозначно в силу единственности
решения уравнения (2): если бы одному z соответствовало два решения x = x1 и x = x2
уравнения (2), то оказалось бы, что управлению u отвечают два решения уравнения
(2).
Наоборот, пусть x — решение уравнения (2) при замене f = g, т. е. x = θ + A g(·,x, u) .
Обозначим z = g(·, x, u), тогда x = θ + A[z],
следовательно, g(·, x, u) = g ·, θ + A[z], u , и по
обозначению z =g(·, x, u) = g ·, θ + A[z], u . Это означает, что z есть решение уравнения (1)
при f (t, x, u) = g t, θ(t) + x, u . Таким образом, при заданном управлении u каждому решению x уравнения (2) соответствует некоторое решение z уравнения (1). Это соответствие
однозначно в силу единственности решения уравнения (1). Итак, при заданном допустимом
управлении u существует соответствие между решениями уравнений (1) и (2), которое однозначно в обе стороны. В этом смысле уравнения (1) и (2) эквивалентны. Отсюда, вообще
говоря, не следует взаимно однозначное соответствие2 между множествами Ξ1 (D) и Ξ2 (D),
поскольку двум различным управлениям могут отвечать одинаковые решения уравнения
(1) или уравнения (2). Но с точки зрения теории управления это не важно. Главное, что
(организуя тем или иным образом перебор управлений u ∈ D), мы не теряем решений и не
получаем посторонних решений при переходе от уравнения (1) к (2) и обратно. В зависимости от того, какой вопрос теории управления исследуется, бывает более удобно переходить
либо к уравнению (1), либо к уравнению (2). Для дальнейшего также важно, что указанное
выше соответствие между решениями устанавливается формулой x = θ +A[z]. Что касается
выпуклости множеств Ξ1 (D) и Ξ2 (D), отметим следующее. Учитывая, что x = θ +A[z] (если
перешли от (2) к (1)), из выпуклости Ξ1 (D) следует выпуклость Ξ2 (D). Действительно, для
любых x0 , x1 ∈ Ξ2 (D) найдутся управления u0 , u1 ∈ D такие, что x0 = x[u0 ], x1 = x[u1 ]
(здесь x[u] — решение уравнения (2), отвечающее управлению u ∈ D). Поскольку уравнение
(2), согласно нашему предположению, разрешимо для данных двух управлений, то, как уже
было установлено выше, уравнение (1) тоже разрешимо. Поэтому этим же управлениям отвечают некоторые z0 , z1 ∈ Ξ1 (D) такие, что z0 = z[u0 ], z1 = z[u1 ]. При этом xi = θ + A[zi ],
i = 0, 1. В таком случае, пользуясь только лишь линейностью оператора A, для всякого
числа λ ∈ (0, 1) имеем
xλ = (1 − λ) x0 + λ x1 = (1 − λ) θ + A[z0 ] + λ θ + A[z1 ] = θ + A[zλ ],
где zλ = (1 − λ) z0 + λ z1 . В силу выпуклости множества Ξ1 (D) получаем zλ ∈ Ξ1 (D). Но это
означает, что z = zλ является решением уравнения (1) при некотором u = uλ ∈ D. В таком
2Здесь и далее уравнение (2) рассматривается при f = g, а уравнение (1) — при f (t, x, u) = g t, θ(t)+x, u.
Тогда, если z — решение (1), то A[z] = A g(·, θ+A[z], u) , и полагая x = θ+A[z], получаем x = θ+A g(·, x, u) ,
т. е. x — решение (2).
О ЛОКАЛЬНЫХ УСЛОВИЯХ ВЫПУКЛОСТИ
75
случае (как устанавливалось выше) xλ = θ + A[zλ ] является решением уравнения (2) при
том же управлении u = uλ ∈ D. Отсюда следует xλ ∈ Ξ2 (D).
2. Формулировка основного результата
Далее будем считать, что X = Lq (Π), q ≥ 2, Z = L2 (Π), U = L2 (Π), ZX = Lσ (Π),
1/q + 1/σ = 1/2, ZU = L∞ (Π), управление u ∈ U s таково, что ему отвечает единственное
решение z = z[u] уравнения (1), y = A[z]. Кроме того, будем предполагать, что, помимо
условия F1 ), выполняются также следующие условия.
F2 ) Функция f (t, y, u) имеет частные производные fy (t, y, u) : Π × R × Rs → Rm× ,
fu (t, y, u) : Π×R ×Rs → Rm×s , измеримые по t ∈ Π, непрерывные по {y; u} ∈ R ×Rs
и такие, что fy (·, y(·), u(·)) ∈ ZXm× , fu (·, y(·), u(·)) ∈ ZUm×s ∀y ∈ X , u ∈ U s .
F3 ) Существует функция N : R+ → R+ такая, что
max fy (·, y, u) − fy (·, x, v), fu (·, y, u) − fu (·, x, v) ≤ N (M ) y − x
+ u − v
для всех y, x ∈ X , u, v ∈ U s , y
, x
, u
, v
≤ M .
F4 ) rank fu (t, y(t), u(t)) = m для п. в. t ∈ Π, и более того, уравнение fu (·, y, u) u = z
разрешимо относительно u ∈ U s для любого z ∈ Z m .
A) Для любого ϕ ∈ ZXm× и оператора A(ϕ) : Z m → Z m , определяемого формулой
A(ϕ) [z] = ϕA[z], спектральный радиус ρ(A(ϕ )) = 0.
Замечание 2.1. Пусть функция g(t, y, u) : Π × R × Rs → Rm измерима по t ∈ Π и непрелемме
о мажоранте
рывна по (y; u) ∈ R × Rs ; 1 ≤ p, q, r < ∞. Тогда согласно известной
m
([19], лемма 5.17.6; см. также [21], лемма 3.4), суперпозиция g ·, x(·), v(·) ∈ Lp (Π) для всех
x ∈ Lq (Π), v ∈ Lsr (Π) тогда и только тогда, когда существуют число b ≥ 0 и функция
q/p + b |u|r/p для п. в. t ∈ Π, y ∈ R , u ∈ Rs .
a ∈ L+
p (Π) такие, что g(t, y, u) ≤ a(t) + b |y|
Пользуясь этим обстоятельством, в случае q < ∞ можно конкретизировать условия F1 ),
F2 ), F3 ). Действительно, в случае |f (·, 0, 0)| ∈ L2 (Π) выполнение предположения F1 ) следует (в силу теоремы Лагранжа о конечных приращениях в интегральной форме, а также
неравенства Гёльдера) из предположения F2 ). Что касается предположений F2 ), F3 ), F4 ),
то (в случае3 q < ∞) достаточно выполнения следующих условий.
G1 ) Имеет место представление f (t, y, u) = ϕ(t, y) + ψ(t) u, где ψ ∈ L∞ (Π), а функция ϕ(t, y) вместе с частными производными ϕy (t, y), ϕyy (t, y) измерима по t ∈ Π,
непрерывна по y ∈ R и такова, что |ϕ(·, 0)| ∈ L2 (Π), |ϕy (·, 0)| ∈ Lσ (Π), причем4
|ϕyy (·, x)| ∈ Lγ (Π) для всех x ∈ Lq (Π); 1/q + 1/γ = 1/σ, т. е. 2/q + 1/γ = 1/2.
G2 ) Матрица ψ треугольная, причем все функции, стоящие на главной диагонали, по
модулю равномерно ограничены снизу положительной величиной.
Замечание 2.2. Различные условия, равносильные условию F4 ), можно найти, например,
в ([20], § 8.10, теорема 3, с. 598).
3В случае q = ∞ условие G ) меняется: при аналогичном представлении функции f (t, y, u) можно
1
считать, что ψ = ψ(t, y); функции ϕ и ψ удовлетворяют условиям Каратеодори вместе с ϕy , ψy , причем
обе производные локально липшицевы по y (равномерно по t ∈ Π); |ϕ(·, 0)| ∈ L2 (Π), |ψ(·, 0)| ∈ L∞ (Π),
|ϕy (·, 0)| ∈ L2 (Π), |ψy (·, 0)| ∈ L∞ (Π).
4Это требование нетрудно переписать с помощью леммы о мажоранте, из которой, кстати, следует ограниченность оператора внутренней суперпозиции и выполнение условия F3 ).
76
А.В. ЧЕРНОВ
Замечание 2.3. Предположение A) часто выполняется в приложениях, связанных с эволюционными уравнениями (например, [15], [22]). Действительно, достаточно, чтобы ρ(A(ϕ) )<1
1
при всех возможных ϕ = fy (·, y + θ∆y, u) dθ, y, ∆y ∈ X , u ∈ U s .
0
Для числа ε > 0 обозначим Dε = u ∈ U s : u − u
≤ ε . При сделанных предположениях
справедлива
Теорема 2.1. Существует число ε > 0 такое, что при всех ε ∈ [0, ε] выполняются следующие утверждения:
1) для всякого u ∈ Dε уравнение (1) имеет единственное решение z = z[u];
2) образ множества Dε при отображении z = z[u] является выпуклым, и, более того,
строго выпуклым (т. е. множество Ξ1 (Dε ) выпукло и строго выпукло);
3) граница ∂z[Dε ] = ∂Ξ1 (Dε ) порождается лишь границей ∂Dε (внутренние точки переходят во внутренние).
Утверждения следующих двух разделов необходимы для доказательства теоремы 2.1.
3. Об условиях сохранения разрешимости операторного уравнения
Пусть Y — вещественное банахово пространство, U — линейное нормированное пространство, D : Y × U → Y. Далее, считая u ∈ U управлением, будет удобно прежде всего
исследовать управляемое операторное уравнение второго рода
y = D[y, u],
y ∈ Y.
(3)
Ясно, что уравнения (1) и (2) являются частными случаями уравнения (3). Переход к уравнению (3) позволяет избежать излишней громоздкости выкладок и сделать изложение более
ясным и универсальным. Пусть Ω0 (U) — совокупность всех u ∈ U, для каждого из которых
уравнение (3) имеет решение; Ω1 (U) — совокупность всех u ∈ U, для каждого из которых
уравнение (3) не может иметь более одного решения; Ω(U) = Ω0 (U) ∩ Ω1 (U).
Теорема 3.1. Пусть u ∈ U и для всех y1 , y2 ∈ Y существует ЛОО F (y1 , y2 ; u) : Y → Y
такой, что справедливо представление D[y1 , u] − D[y2 , u] = F (y1 , y2 ; u)[y1 − y2 ], причем
спектральный радиус ρ(F (y1 , y2 ; u)) < 1. Тогда u ∈ Ω1 (U).
Доказательство. Предположим, от противного, что нашлись два решения y1 , y2 ∈ Y уравнения
(3). Обозначим
∆y = y1 − y2 . Тогда ∆y = D[y1 , u] − D[y2 , u] = F (y1 , y2 ; u)[∆y], т. е.
F (y1 , y2 ; u) − I [∆y] = 0. Поскольку ρ(F (y1 , y2 ; u)) < 1, отсюда следует ∆y = 0.
Для элемента u0 ∈ U и числа d > 0 через Ud (u0 ) будем обозначать открытый шар
с центром u0 радиуса d в пространстве U. Непосредственным следствием классической
теоремы о неявной функции (например, [23], § X.2, теоремы 1, 2) является
Теорема 3.2. Пусть выполнены следующие условия:
1) (y; u) ∈ Y × U, y = D[y, u] и существует число d > 0 такое, что Ud (u) ⊂ Ω1 (U);
2) для каждой пары (y; u) ∈ Yd (y) × Ud (u) существуют производные по Гато Dy (y, u),
Du (y, u), непрерывные в точке (y; u);
3) спектральный радиус ρ(Dy (y, u)) < 1.
Тогда существует число δ > 0 такое, что Uδ (u) ⊂ Ω(U), и определен оператор y =
y[u] : Uδ (u) → Y, обладающий производной Фреше
y (u) = S −1 Du (y, u),
S ≡ I − Dy (y, u).
О ЛОКАЛЬНЫХ УСЛОВИЯХ ВЫПУКЛОСТИ
77
Более того, всякий функционал J : Uδ (u) → R вида J[u] = G[y(u), u], где функционал
G : Y × U → R дифференцируем по Фреше, имеет производную Фреше
J (u) = ΨDu (y, u) + Gu (y, u),
где Ψ = Gy (y, u)S −1 = (S −1 )∗ Gy (y, u) = (S ∗ )−1 Gy (y, u), т. е. Ψ ∈ Y ∗ — единственное
решение сопряженного уравнения I − Dy (y, u)∗ Ψ = Gy (y, u).
4. Принцип выпуклости для операторного уравнения
Далее нам придется несколько модифицировать принцип выпуклости из [8]. Дело в том,
что если непосредственно применять его к оператору y = y[u], то нам потребовалась бы
липшицевость производной y (u), а обеспечить ее для абстрактного уравнения (3) было бы
затруднительно; и, кроме того, пришлось бы некоторым образом усиливать требования к
входным параметрам этого уравнения. Поэтому применим технику рассуждений [8] непосредственно к операторному уравнению (3), используя также теорему 3.2.
Следующие две леммы5 формулируются в [8].
Лемма 4.1. Шар в гильбертовом пространстве X сильно выпуклый. А именно, если
x1 , x2 ∈ Xε (x), то для x0 = (x1 + x2 )/2 имеем Xρ (x0 ) ⊂ Xε (x) при ρ = x1 − x2 2 /(8ε).
Лемма 4.2. Пусть U, Y — гильбертовы пространства; F : U → Y — нелинейное отображение такое, что для некоторых L, ρ, µ > 0 и u0 ∈ U, y0 ∈ Y имеем
F (u) − F (v)
≤ L u − v
∀u, v ∈ Uρ (u0 ),
F (u)∗ y
≥ µ y
∀u ∈ Uρ (u0 ), y ∈ Y,
F(u0 ) − y0 ≤ ρ µ. Тогда уравнение F(u) = y0 имеет решение u∗ ∈ Uρ (u0 ), и справедлива
оценка u0 − u∗ ≤ µ1 F(u0 ) − y0 .
Лемма 4.3. Пусть ε ∈ (0, 1], ν > 0 — заданные числа; W — произвольное множество
в линейном нормированном пространстве E такое, что для любых w1 , w2 ∈ W и соответственно точки w0 = (w1 + w2 )/2 и числа δ = ε w1 − w2 νE шар Eδ (w0 ) ⊂ W . Тогда
множество W выпукло (а тем самым, и строго выпукло6).
Доказательство. Зафиксируем любые w1 , w2 ∈ W и покажем, что [w1 , w2 ] ⊂ W . Используя
=
процедуру деления отрезка пополам, обозначим v1 = w1 , v2 = w2 , v3 = (v1 +
v2 )/2, v4 (v1 + v3 )/2, v5 = (v3 + v2 )/2 и т. д. В результате получим множество W∗ = vj : j ∈ N ,
содержащееся в W и всюду плотное в отрезке [w1 , w2 ]. Выберем произвольно число λ ∈ (0, 1),
λ = 1/2. Достаточно показать, что wλ ≡ w1 + λ(w2 − w1 ) ∈ W . Без ограничения общности
рассуждений будем считать, что λ < 1/2. Учитывая всюду плотность множества W∗ в
отрезке [w1 ; w2 ], найдутся точки w1 ∈ W∗ и соответственно w0 = (w1 + w1 )/2 ∈ W такие,
что w0 − wλ E < ε
wλ − w1 νE , w1 − w1 E > wλ − w1 E . Таким образом, w0 − wλ E <
ε
w1 − w1 νE , т. е. wλ ∈ Eδ (w0 ) ⊂ W при δ = ε
w1 − w1 νE .
Модифицикацией принципа выпуклости [8] является
Теорема 4.1. Пусть пространства U и Y гильбертовы и выполнены все условия теоремы 3.2, а также следующие предположения:
1) производные Dy (y, u), Du (y, u) локально липшицевы по совокупности переменных;
2) оператор Du (y, u) осуществляет сюръективное отображение U на Y.
5О понятиях сильной и строгой выпуклости см., например, ([24], § 2.2, с. 55).
6Напомним, что выпуклое множество W называется строго выпуклым, если ∀x, y ∈ W , x = y, средняя
точка (x + y)/2 является внутренней точкой множества W .
78
А.В. ЧЕРНОВ
Тогда найдется число ε > 0 такое, что для всякого ε ∈ [0, ε] образ шара Uε (u) при
отображении y = y[u] является выпуклым, и более того, строго выпуклым. Кроме того,
граница образа шара Uε (u) порождается лишь границей шара Uε (u) (внутренние точки
переходят во внутренние).
Доказательство проведем в несколько этапов.
1. Очевидно, что выполняется утверждение теоремы 3.2. Таким образом, на шаре Uδ (u)
определено отображение y = y[u], дифференцируемое по Фреше в точке u и такое, что
y(u) = D[y(u), u] для всех u ∈ Uδ (u). Поэтому для любого u ∈ Uδ (u) имеем
y[u] − y[u] = y (u)[u − u] + r(
u − u
),
r
= o(
u − u
).
Без ограничения общности рассуждений можем считать, что r
≤ u − u
. Следовательно,
существует константа γ = y (u)
+ 1, которая обеспечивает оценки
y[u] − y[u] ≤ γ u − u
≤ γδ, y[u] ≤ y
+ γδ ∀u ∈ Uδ (u).
2. Согласно условию 1), найдется константа Kδ > 0 такая, что
Dy (y, u) − Dy (z, v) ≤ Kδ y − z
+ u − v
,
Du (y, u) − Du (z, v) ≤ Kδ y − z
+ u − v
(4)
(5)
для всех y, z ∈ Yγδ (y), u, v ∈ Uδ (u). Далее докажем, что найдется число σ = σδ ∈ (0, δ)
такое, что на шаре Uσ (u) функция y[u] удовлетворяет условию Липшица. Итак, выберем
произвольно σ ∈ (0, δ), u, v ∈ Uσ (u) и обозначим y = y[u], z = y[v]. Имеем
∆y ≡ y − z = {D[y, u] − D[z, u]} + {D[z, u] − D[z, v]}.
Пользуясь формулой конечных приращений (например, [23], п. X.1.3, формула (10)), можем
записать ∆y = Dy (z, u)[∆y] + Du (z, v)[∆u] + r1 + r2 , где
r1 ≤ sup Dy (z+θ∆y, u)−Dy (z, u)·
∆y
, r2 ≤ sup Du (z, v+θ∆u)−Du (z, v)·
∆u
.
0≤θ≤1
0≤θ≤1
Обозначим ∆y = y − y, ∆z = z − y, ∆u = u − u, ∆v = v − u. Аналогично п. 1, имеем
∆y
≤ γσ, ∆z
≤ γσ. При этом ∆y = Dy (y, u)[∆y] + Du (y, u)[∆u] + r1 + r2 + r3 + r4 , где
r3 ≤ Dy (z, u) − Dy (y, u) ∆y
≤ Kδ ∆z
+ ∆u
∆y
,
r4 ≤ Du (z, v) − Du (y, u) ∆u
≤ Kδ ∆z
+ ∆v
∆u
,
откуда r3 ≤ Kδ σ(γ + 1)
∆y
, r4 ≤ Kδ σ(γ + 1)
∆u
.
Аналогично (добавлением и вычитанием соответственно Dy (y, u) и Du (y, u)) получаем
r1 ≤ 2Kδ σ(γ + 1)
∆y
, r2 ≤ 2Kδ σ(γ + 1)
∆u
. Таким образом,
∆y = S −1 Du (y, u)[∆u] + R1 + R2 ,
где S = I − Dy (y, u), R1 ≤ 3Kδ (γ + 1)σ
∆y
, R2 ≤ 3Kδ (γ + 1)σ
∆u
.
Подберем σ = σδ так, чтобы 3Kδ (γ + 1)σ
S −1 ≤ (1/2). Тогда получим
∆y
≤ S −1 2Du (y, u) + 1 ∆u
≡ Lδ ∆u
.
Иначе говоря,
y[u] − y[v] ≤ Lδ u − v
∀u, v ∈ Uσ (u).
(6)
Далее будет удобно считать, что σ < δ/2. Тогда множество Yσ ≡ y[u] : u ∈ Uσ (u)
содержится в шаре Yγδ/2 (y) (в силу п. 1). Поэтому на нем выполнены оценки (4), (5).
О ЛОКАЛЬНЫХ УСЛОВИЯХ ВЫПУКЛОСТИ
79
3. Дальнейшее доказательство основано на идеях доказательства теоремы 1 из [8]. Обозначим αδ = min 1/2, (4Lδ )−1 , γδ/2Lδ , σδ . Выберем произвольно число ε ∈ (0, αδ ) и обозначим через Gε образ замыкания шара Uε (u) при отображении y = y[u]. Докажем, что
при достаточно малом ε множество Gε будет выпуклым. Выберем произвольно две точки
y1 , y2 ∈ Gε . Им соответствуют управления u1 , u2 ∈ Uε (u) такие, что yi = D[yi , ui ], yi = y[ui ],
i = 1, 2. Положим u0 = (u1 + u2 )/2, y0 = (y1 + y2 )/2. Выберем произвольно y∗ ∈ Y так,
чтобы y∗ − y0 ≤ y1 − y2 2 . Прежде всего, получим некоторые важные оценки. В силу (6)
y0 − y
≤
2
2
2
1
1
Lδ γδ
;
yi − y
=
y[ui ] − y[u]
≤
ui − u
≤ Lδ ε <
2
2
2
2
i=1
i=1
i=1
γδ
.
2
Таким образом, y∗ − y
≤ y∗ − y0 + y0 − y
≤ 2Lδ ε < γδ. Пользуясь формулой конечных
приращений (например, [23], п. X.1.3, формула (10)), можем записать
y∗ − y0 ≤ y1 − y2 2 ≤ L2δ u1 − u2 2 ≤ 4L2δ ε2 ≤ Lδ ε <
D[y∗ , u0 ] − D[y0 , u0 ] = Dy (y0 , u0 )[y∗ − y0 ] + R1 ,
R1 ≤ sup Dy (y0 + θ(y∗ − y0 ), u0 ) − Dy (y0 , u0 ) y∗ − y0 .
0≤θ≤1
В силу (4) оценим
Dy (y0 + θ(y∗ − y0 ), u0 ) − Dy (y, u) ≤ Kδ θ
y∗ − y
+ (1 − θ)
y0 − y
+ u0 − u
.
Отсюдавидно, что существует
константа κδ = Dy (y, u)
+ 3Kδ 2γδ + σδ , обеспечивающая
оценку D[y∗ , u0 ] − D[y0 , u0 ] ≤ κδ y∗ − y0 . Таким образом,
D[y∗ , u0 ] − y∗ ≤ (κδ + 1)
y∗ − y0 + D[y0 , u0 ] − y0 ,
откуда
D[y∗ , u0 ] − y∗ ≤ L2 (κδ + 1)
u1 − u2 2 + D[y0 , u0 ] − y0 .
δ
Далее собираемся исследовать разрешимость уравнения
y∗ = D[y∗ , u],
u ∈ Uε (u).
(7)
(8)
Воспользуемся для этого леммой 4.2.
4. Прежде всего, оценим величину D[y0 , u0 ] − y0 . Рассмотрим
1 D[yi , ui ] − yi + y0 − D[y0 , u0 ],
y0 − D[y0 , u0 ] =
2
2
i=1
откуда y0 − D[y0 , u0 ] =
1
2
2
D[yi , ui ] − D[y0 , u0 ] . Обозначим ∆yi = yi − y0 , ∆ui = ui − u0 ,
i=1
i = 1, 2. Согласно формуле конечных приращений
D[yi , ui ] − D[y0 , u0 ] = Dy (y0 , u0 )[∆yi ] + Du (y0 , u0 )[∆ui ] + r1 + r2 ,
r1 ≤ sup Dy (y0 + θ∆yi , u0 + θ∆ui ) − Dy (y0 , u0 ) ∆yi + ∆ui ,
0≤θ≤1
r2 ≤ sup Du (y0 + θ∆yi , u0 + θ∆ui ) − Du (y0 , u0 ) ∆yi + ∆ui .
0≤θ≤1
Согласно (6) можем оценить ∆yi = 12 y[u1 ] − y[u2 ]
≤ 12 Lδ u1 − u2 . Отсюда с учетом
(4), (5) имеем r1 + r2 ≤ Kδ (Lδ + 1) u1 − u2 2 . Заметим, что
∆y1 + ∆y2 = (y1 − y0 ) + (y2 − y0 ) = (y1 + y2 ) − 2y0 = 0;
∆u1 + ∆u2 = 0.
80
А.В. ЧЕРНОВ
Таким образом, D[y0 , u0 ]−y0 = r1 +r2 ≤ Kδ (Lδ +1) u1 −u2 2 . Отсюда и из (7) получаем
D[y∗ , u0 ] − y∗ ≤ Qδ u1 − u2 2 , Qδ = L2δ (κδ + 1) + Kδ (Lδ + 1).
5. Как указано в [8], имеет место следующий известный факт. А именно, для любого
сюръективного линейного оператора B : U → Y найдется такая константа ν > 0, что
справедлива оценка B ∗ y
≥ ν
y
∀y ∈ Y ∗ = Y. Поэтому согласно условию 2), получаем,
что найдется такая константа ν > 0, что Du (y, u)∗ y
≥ ν
y
∀y ∈ Y ∗ = Y. По доказанному
в п. 3, y∗ − y
≤ 2Lδ ε. Отсюда, а также из липшицевости частной производной (5), для
любых y ∈ Y и u ∈ Uε (u) получаем
∗ Du (y∗ , u)∗ y
≥ Du (y, u)∗ y
− Du (y∗ , u)−Du (y, u) y ≥ ν
y
−Kδ 2Lδ +1 ε y
= µ y
,
где µ ≡ ν − Kδ (2Lδ + 1)ε .
6. По лемме 4.1 Uρ (u0 ) ⊂ Uε (u) при ρ = u1 − u2 2 /(8ε). Для краткости обозначим
Mδ = Kδ (2Lδ + 1). Пользуясь теперь произволом в выборе числа ε ∈ (0, αδ ), далее будем
считать, что µ ≥ 8Qδ ε, т. е. ε ≤ ν/(Mδ + 8Qδ ). Тогда по доказанному в п. 4,
D[y∗ , u0 ] − y∗ ≤ Qδ u1 − u2 2 = ρ 8Qδ ε ≤ ρµ.
Таким образом, с учетом (5) для оператора F[u] = D[y∗ , u] выполняются все условия леммы 4.2. Отсюда следует, что уравнение (8) имеет решение u = u∗ ∈ Uρ (u). Но это означает,
что y∗ ∈ Gε . Пользуясь леммой 4.3, отсюда делаем вывод о выпуклости (и более того,
строгой выпуклости) множества Gε .
7. Пусть u0 ∈ Uε (u) (открытому шару). Тогда найдется число ρ > 0 такое, что Uρ (u0 ) ⊂
элемент y∗ ∈ Y, удовлетворяющий
Uε (u), y(u0 ) − y
≤ Lδ u0− u
. Выберем произвольный
оценке y∗ − y(u0 )
≤ min Lδ ε, (ρµ)/(κδ + 1) , где все константы те же, что и выше. Имеем
y∗ − y
≤ y∗ − y(u0 )
+ y(u0 ) − y(u)
≤ Lδ ε + Lδ ε = 2Lδ ε < γδ.
После этого аналогично п. 5 ∀y ∈ Y и u ∈ Uε (u) получаем Du (y∗ , u)∗ y
≥ µ
y
. Кроме того,
аналогично п. 3 имеем D[y∗ , u0 ] − D[y(u0 ), u0 ]
≤ κδ y∗ − y(u0 )
. В результате, учитывая,
что D[y(u0 ), u0 ] = y(u0 ),
D[y∗ , u0 ] − y∗ ≤ D[y∗ , u0 ] − D[y(u0 ), u0 ] + y∗ − y(u0 )
+
+ D[y(u0 ), u0 ] − y(u0 ) ≤ (κδ + 1)
y∗ − y(u0 )
≤ ρµ.
Таким образом, выполняются все условия леммы 4.2, и, тем самым, уравнение y∗ = D[y∗ , u]
(как уравнение относительно неизвестного u) имеет решение u∗ ∈ Uε (u). Это означает, что
y∗ ∈ Gε для всех y∗ ∈ Y, достаточно близких к y(u0 ). Иначе говоря, для всякого u0 ∈ Uε (u)
точка y(u0 ) принадлежит множеству Gε вместе с некоторой своей окрестностью. Поэтому образ точек открытого шара Uε (u) при отображении y[u] принадлежит внутренности
множества Gε , т. е. граница ∂Gε порождается только границей ∂Uε (u).
5. Доказательство основного результата
Докажем несколько вспомогательных утверждений. Непосредственно из ([15], лемма 3.1)
(это одно из следствий теоремы измеримого выбора) вытекает
Лемма 5.1. Пусть функция Φ(t, ξ) : Π × [0, 1] → R+ измерима по t и непрерывна по ξ.
1
Тогда найдется измеримая функция θ : Π → [0, 1] такая, что Φ(t, ξ) dξ ≤ Φ t, θ(t) .
0
О ЛОКАЛЬНЫХ УСЛОВИЯХ ВЫПУКЛОСТИ
81
Лемма 5.2. Пусть E — некоторое банахово идеальное пространство измеримых на Π
функций; Φ(t, ξ) : Π × [0, 1] → R — функция, измеримая по t ∈ Π, непрерывная по ξ ∈ [0, 1],
и такая, что Φ(·, θ(·)) ∈ E для всех измеримых θ(·) : Π → [0, 1], и справедлива оценка
1
1
Φ(·, θ(·))
E ≤ K. Тогда Φ(·, ξ) dξ ∈ E, причем Φ(·, ξ) dξ ≤ K.
0
E
0
Доказательство. Заметим, во-первых, что функция
1
Φ(·, ξ) dξ измерима, поскольку яв-
0
ляется пределом в смысле п. в. некоторой последовательности интегральных сумм Дарбу,
каждая из которых есть измеримая функция как конечная сумма измеримых функций.
Пользуясь леммой 5.1, для произвольного t ∈ Π оценим модуль
1
1
Φ(t, ξ) dξ ≤ Φ t, θ(t) ,
Φ(t, ξ) dξ ≤
0
0
где θ : Π → [0, 1] — функция из леммы 5.1. Отсюда в силу идеальности пространства E
1
1
Φ(t, ξ) dξ ∈ E, Φ(·, ξ) dξ ≤ Φ t, θ(t) E ≤ K.
0
0
E
m
Z ×U s →
Определим нелинейный оператор D[z, u] :
Тем самым, уравнение (1) можно переписать в виде
z = D[z, u],
Z m формулой D[z, u] = f (·, A[z], u).
z ∈ Z m.
(9)
Проверим для него выполнение предположений теоремы 4.1 (считая, что Y = Z m , U = U s ).
Лемма 5.3. Для любого u ∈ U s уравнение (9) не может иметь более одного решения.
Доказательство. Достаточно проверить выполнение условий теоремы 3.1. Выберем произвольно z1 , z2 ∈ Z m , u ∈ U s . Обозначим yi = A[zi ], i = 1, 2. По теореме Лагранжа о конечных
приращениях в интегральной форме имеем
1
fy (·, y1 + θ(y2 − y1 ), u) dθ A[z2 − z1 ] = A(ϕ) [z2 − z1 ].
D[z2 , u] − D[z1 , u] =
0
По лемме 5.2 и предположениям F1 )–F2 ) функция ϕ ≡
1
0
fy (·, y1 + θ(y2 − y1 ), u) dθ ∈ ZXm× ,
причем в соответствии с условием F3 ) и неравенством Гёльдера оператор A(ϕ) [∆z] является
линейным и ограниченным (как оператор от произвольного ∆z ∈ Z m при фиксированных
z1 , z2 ) Z m → Z m . В силу предположения A) имеем ρ(A(ϕ) ) = 0 < 1. Это и означает, что
выполнены условия теоремы 3.1.
Лемма 5.4. Оператор D[z, u] дифференцируем
в смысле Фреше по обеим переменным на
всем пространстве. При этом ρ Dz (z, u) = 0 и справедливы формулы
Dz (z, u)[∆z] = fy (·, A[z], u) A[∆z],
Du (z, u)[∆u] = fu (·, A[z], u) ∆u.
Доказательство. Выберем произвольно z ∈ Z m , u ∈ U s , ∆z ∈ Z m , ∆z
≤ 1. Используя
условия F1 )–F2 ) и теорему Лагранжа о конечных приращениях в интегральной форме (а
также лемму 5.2), получаем
D[z + ∆z, u] − D[z, u] = fy (·, A[z], u) A[∆z] + r[∆z],
1
fy ·, A[z] + θA[∆z], u − fy ·, A[z], u dθ A[∆z].
r[∆z] =
0
82
А.В. ЧЕРНОВ
Остаток в соответствии с условием F3 ) и неравенством
Гёльдера можем оценить следующим образом r[∆z]
≤ N (M )
A
2 ∆z
2 , M = max A[z]
+ A
, u
. Кроме того, по
условию F3 ) и неравенству Гёльдера, оператор A(ϕ) при ϕ = fy (·, A[z], u) является линейным и ограниченным. Поэтому существует производная Фреше Dz [z, u] = A(ϕ) . Наконец,
согласно предположению A) имеем ρ(A(ϕ) ) = 0. Существование производной Фреше Du [z, u]
доказывается аналогично.
Доказательство теоремы 2.1. В соответствии с леммой 5.3 множество Ω1 (U = U s ) = U.
Поэтому условие 1) теоремы 3.2 выполнено, например, при d = 1. Непосредственно из
производные
Фреше Dz [z, u], Du [z, u] сущелеммы 5.4 и предположения F3 ) получаем,
что
ствуют и локально липшицевы, причем ρ Dz (z, u) = 0. Это означает выполнение условий
2) и 3) теоремы 3.2, а также условия 1) теоремы 4.1. Наконец, предположение F4 ) в совокупности с леммой 5.4 означает выполнение условия 2) теоремы 4.1. Таким образом, все
условия теоремы 4.1 выполнены, следовательно, справедливо утверждение теоремы 2.1. Замечание 5.1. Предположим, что для всякого ϕ ∈ ZXm× и оператора A[ϕ] : X → X ,
определяемого формулой A[ϕ] [y] = A[ϕy], имеем ρ(A[ϕ] ) = 0. Тогда аналогично лемме 5.3
получаем единственность решения уравнения (2). Теперь, используя теорему 2.1 и повторяя
рассуждения из завершающей части раздела 1, получаем выпуклость множества Ξ2 (Dε ).
6. Пример
Приведем пример редукции управляемой НКЗ к уравнению (1), а также проверки сделанных предположений.
Пусть числа n ∈ N, T > 0 произвольно фиксированы, Q ⊂ Rn — ограниченная область
(звездная относительно шаровой подобласти) переменных t ≡ {t1 , . . . , tn }; Π = [0, T ] × Q —
t ; S ≡ (0, T ] × ∂Q — боковая
заданный цилиндр в пространстве Rn+1 переменных t = t0 , поверхность цилиндра Π. По поводу определения используемых далее функциональных
◦ (1)
(1)
(1)
◦ (1,1)
пространств Ḋ(Q) ⊂ W2 (Q), W 2 (Q), Ḋ1 (Π) ⊂ W2 (Π), W 2
◦
(1)
(Π), Ḋ2 (Π) ⊂ W2 (Π),
D2 (Π) (см. [25], гл. 1, §§ 3, 4). Пусть в цилиндре Π задан дифференциальный оператор
L[x](t) ≡
n
i,j=0
∂2x
∂x
+
ai (t) ,
∂ti ∂tj
∂ti
n
aij (t)
t ∈ Π,
i=0
гиперболического типа, т. е. такой, что aij = aji , i, j = 0, n, a00 = 1, и справедливо нераn
n
aij ξi ξj ≥ d
ξi2 ∀ξ ∈ Rn , d = const > 0, причем коэффициенты оператора
венство −
i,j=1
i=1
L[·] определены в Π и удовлетворяют следующему условию: aij (·) непрерывны и имеют
ограниченные обобщенные производные до второго порядка включительно, причем производные первого порядка непрерывны, ai (·) непрерывны и имеют ограниченные обобщенные
производные первого порядка.
Обозначим qn = 2(n + 1)/(n − 1) и будем считать, что задано число q ∈ (2, qn ).
Пусть функция f : Π × R × R → R удовлетворяет условиям F1 )–F4 ) при m = = s = 1,
◦ (1)
ψ1 ∈ W 2 (Q), ψ2 ∈ L2 (Q); u = 0 и любом y ∈ X = Lq (Π). Если допустим qn > 4 (т. е.
n = 1, 2) и q = 4, то в качестве такой функции f можно взять f (t, y, u) = α(t) ω(y) + β(t) u,
где α, β, 1/β ∈ L∞ (Π), ω(y) = y 2 , либо ω(y) = 2 y arctg y − ln(1 + y 2 ) и т. д. Выберем u ∈ U
и рассмотрим смешанную задачу
L[x](t) = f (t, x(t), u(t)),
t ∈ Π;
(10)
О ЛОКАЛЬНЫХ УСЛОВИЯХ ВЫПУКЛОСТИ
x(0, t) = ψ1 (
t),
t ∈ Q;
xt0 (0, t) = ψ2 (
t),
t ∈ Q;
83
xS = 0.
(11)
Решение задачи (10), (11) будем понимать в обобщенном смысле. Чтобы дать соответству◦ (1)
◦ (1,1)
(1)
ющее определение, положим Ψ ≡ W 2 (Q) × L2 (Q) ⊂ E ≡ W2 (Q) × L2 (Q), X ≡ W 2
◦
(Π),
Φ ≡ D2 (Π), ψ ≡ {ψ1 , ψ2 } ∈ Ψ. Кроме того, для x ∈ X, z ∈ Z, ψ ∈ Ψ, ϕ ∈ Φ пусть
I1 [x, z, ψ, ϕ] ≡
Q
n
∂x ∂ϕ
∂ψ1
∂x ∂ϕ
ψ2 + 2
ϕ(0, t)dt +
a0i
+2
a0i
+
∂ti
∂ti ∂t0
Π ∂t0 ∂t0
i=1
i=1
n
n
n
n
∂x ∂ϕ
∂a0i ∂x
∂aij ∂x ∂x
aij
+ 2
+
−
ai
+ z ϕ dt;
+
∂ti ∂tj
∂t0 ∂ti
∂tj ∂ti
∂ti
n
i,j=1
i=1
i,j=1
i=0
I2 [x, ψ] ≡ lim x(∆τ, ·) − ψ1 (·)L2 (Q) .
∆τ →0
Обобщенным решением задачи (10), (11) для заданных ψ ∈ Ψ назовем функцию x ∈ X
(1)
(ясно, что X ⊂ W2 (Π)), удовлетворяющую условиям
I1 [x, f (·, D[x](·), u(·)), ψ, ϕ] = 0 ∈ R ∀ϕ ∈ Φ;
I2 [x, ψ] = 0 ∈ R.
(12)
Положив I[x, z, ψ, ϕ] ≡ {I1 [x, z, ψ, ϕ], I2 [x, ψ]}, {x, z, ψ} ∈ X ×Z ×Ψ, ϕ ∈ Φ, запишем условия
(12) в виде
◦
I[x, f (·, x(·), u(·)), {ψ1 , ψ2 }, ϕ] = 0 ∀ϕ ∈D2 (Π).
(13)
Чтобы пояснить корректность этого определения, выберем z ∈ L2 (Π) и рассмотрим задачу
(11) для вспомогательного уравнения
L[x](t) = z(t),
t ∈ Π.
(14)
Согласно ([25], гл. 3, § 1), обобщенным решением задачи (14), (11) для заданных z ∈ Z,
(1)
ψ ∈ Ψ называется функция x ∈ X ⊂ W2 (Π), удовлетворяющая условию
I[x, z, ψ, ϕ] = 0 ∀ϕ ∈ Φ.
(15)
Справедлива ([25], гл. 3, § 2, с. 150, теорема 5)
(1)
Лемма 6.1. Для всех z ∈ Z, ψ ∈ Ψ существует единственное решение x ∈ X ⊂ W2 (Π)
уравнения (15). Для этого решения справедливо неравенство
x
W (1) (Π) ≤ K · {
ψ
E + z
Z } .
2
Поскольку Ker I[·, ϕ] — линейное множество для каждого ϕ ∈ Φ, то из леммы 6.1 следует,
что всякое решение уравнения (15) задается в виде x = Θ[ψ] + A[z], где
◦ (1)
◦ (1,1)
Θ : Ψ ≡ W 2 (Q) × L2 (Q) → X ≡ W 2
◦ (1,1)
(Π), A : L2 (Π) → X ≡ W 2
(1)
(Π)
— ЛОО. В силу теоремы вложения С.Л. Соболева пространство W2 (Π) ограниченно вло(1)
жено в Lκ (Π) при любом 1 ≤ κ < qn , в частности, W2 (Π) ⊂ Lq (Π). Поэтому A можем
понимать как ЛОО L2 (Π) → Lq (Π). Таким образом, в силу условия F1 ), наше определение
обобщенного решения корректно, а соотношение (13) эквивалентно уравнению (2):
(16)
x = θ + A f (·, x(·), u(·)) , x ∈ Lq (Π),
84
А.В. ЧЕРНОВ
где θ = Θ[ψ]. Далее будем предполагать, что управлению u = u отвечает решение x = x
задачи (10), (11); та же функция x = x может рассматриваться как решение уравнения (16)
при u = u. Как будет показано далее,
ρ(A(ϕ) ) = 0,
ρ(A[ϕ] ) = 0 ∀ϕ ∈ ZXm×
(17)
(в частности, выполняется предположение A)). Поэтому (согласно лемме 5.3 и замечанию 5.1) уравнение (16) эквивалентно следующему уравнению вида (1):
z = f ·, θ + A[z], u , z ∈ Z,
(18)
причем связь между решениями выражается формулой x = θ + A[z]. Кроме того, как
было
показано в разделе 1, управлению u = u отвечает решение уравнения (18) z = z = f ·, x, u .
Таким образом, для того, чтобы можно было пользоваться теоремой 2.1, остается лишь
проверить (17). Воспользуемся результатами [22]. Напомним необходимую терминологию.
Пусть V , W — банаховы идеальные пространства измеримых на Π функций; G : V → W
— ЛОО. Измеримое подмножество H ⊂ Π назовем вольтерровым множеством ЛОО G,
если PH GPH = PH G, где PH — оператор умножения на характеристическую функцию множества H. Заметим, что система B(G) всех вольтерровых множеств оператора G непуста,
так как заведомо содержит ∅ и Π. Если B(G) состоит только из этих двух множеств, будем
называть ее тривиальной. Далее считаем, что система B(G) нетривиальна.
Определение 6.1. Пусть δ > 0. Подсистему T = ∅ = H0 ⊂ · · · ⊂ Hk = Π системы B(G)
назовем
1) вольтерровой
δ-цепочкой
ЛОО G, если для всех h = Hi \ Hi−1 , i = 1, k, выполняется
неравенство Ph GPh < δ;
2) вольтерровой δ-малой по мере цепочкой ЛОО G, если для всех h = Hi \ Hi−1 , i = 1, k,
выполняется неравенство mes h < δ.
Как показано в [22], в случае W = V для того, чтобы спектральный радиус ρ(G) = 0,
достаточно, чтобы оператор G обладал вольтерровой δ-цепочкой для любого δ > 0.
Поскольку q > 2, то ZX = Lσ (Π), 1/q + 1/σ = 1/2, где σ ∈ [2, ∞). Поэтому в силу
очевидных оценок
Ph A(ϕ) Ph = Ph ϕAPh ≤ Ph ϕ
Lσ A
,
Ph A[ϕ] Ph = Ph AϕPh ≤ Ph ϕ
Lσ A
,
и абсолютной непрерывности интеграла Лебега, имеем Ph A(ϕ) Ph → 0 при mes h → 0.
Таким образом, осталось лишь показать, что ЛОО A обладает вольтерровой δ-малой по
мере цепочкой для любого δ > 0.
Для τ ∈ [0, T ] обозначим через Ḋτ (Π) совокупность всех тех функций из Ḋ1 (Π), каждая
◦
из которых обращается в нуль при t0 ∈ [0, τ ], Dτ (Π) — замыкание класса Ḋτ (Π) в норме
(1)
пространства W2 (Π).
◦
Замечание 6.1. Очевидно, что построение класса Dτ (Π) совершенно аналогично постро◦
◦
ению класса D2 (Π), и, таким образом ([25], гл. 1, § 4, с. 38–39), Dτ (Π) — подпространство в
(1)
◦
◦ (1,1)
W2 (Π) и справедливо вложение Dτ (Π) ⊂ W 2
(1)
(Π) ⊂ W2 (Π).
Пусть Πτ ≡ {t ∈ Π | t0 ∈ [0, τ ]}. Так как везде выше можно взять Π = Πτ ∀τ ∈ [0, T ], а
всякое глобальное решение является локальным, то из леммы 6.1 и замечания 6.1 следует
Лемма 6.2. Если z Πτ = 0, x — решение (15) при ψ = 0, то xΠτ = 0.
О ЛОКАЛЬНЫХ УСЛОВИЯХ ВЫПУКЛОСТИ
85
Докажем, что Πτ ∈ B(A) ∀τ ∈ [0, T ]. Действительно, в соответствии с леммой 6.2, для
всякого τ ∈ [0, T ] имеем следующее: PΠτ APΠ\Πτ = 0, и в силу линейности оператора A
PΠτ A = PΠτ A PΠτ + PΠ\Πτ = PΠτ APΠτ + PΠτ APΠ\Πτ = PΠτ APΠτ .
Отсюда получаем, что ЛОО A для любого δ > 0 обладает вольтерровой δ-малой по мере цепочкой. Следовательно, для любого δ > 0 ЛОО A(ϕ) , A[ϕ] обладают вольтерровой
δ-цепочкой. А в таком случае ρ(A(ϕ) ) = 0, ρ(A[ϕ] ) = 0.
Пусть Dε = u ∈ L2 (Π) : u
≤ ε ; Ξ(Dε ) — множество всех решений задачи (10), (11),
отвечающих управлениям u ∈ Dε ; Ξ1 (Dε ) — абстрактное множество достижимости уравнемножестводостижимости уравнения (16). По доказанному
ния (18); Ξ2 (Dε ) — абстрактное
Ξ(Dε ) = Ξ2 (Dε ) = θ + A[z] : z ∈ Ξ1 (Dε ) . Применяя теорему 2.1 к уравнению (18), получаем, что для всех достаточно малых ε > 0 множество Ξ1 (Dε ), а тем самым и Ξ(Dε ),
выпуклы.
Литература
[1] Рокафеллар Р. Выпуклый анализ (Мир, М., 1973).
[2] Polyak B. Convexity of the reachable set of nonlinear systems under L2 bounded controls, Dynamics of
continuous, discrete and impulsive systems. Ser. A: Mathematical Analysis 11 (2–3), 255–267 (2004).
[3] Сумин М.И. Регуляризация в линейно выпуклой задаче математического программирования на основе
теории двойственности, Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 47 (4), 602–625 (2007).
[4] Егоров А.И. Основы теории управления (Физматлит, М., 2005).
[5] Вахрамеев С.А. Замечание о выпуклости в гладких нелинейных системах, Итоги науки и техники.
Сер. Соврем. матем. и ее прил. Тематич. обзоры. Оптим. управление – 1 / ВИНИТИ 60, 42–73 (1999).
[6] Топунов М.В. О выпуклости множества достижимости гладкой управляемой системы, линейной по
фазовым переменным, Автоматика и телемеханика, № 11, 79–85 (2004).
[7] Cannarsa P., Sinestrari C. Convexity properties of the minimum time function, Calc. Var. Partial Differential
Equations 3 (3), 273–298 (1995).
[8] Поляк Б.Т. Локальное программирование, Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 41 (9), 1324–1331 (2001).
[9] Krabs W., Sklyar G.M., Wozniak J. On the set of reachable states in the problem of controllability of rotating
Timoshenko beams, J. Anal. Anwendungen 22 (1), 215–228 (2003).
[10] Djebali S., Gorniewicz L., Ouahab A. First-order periodic impulsive semilinear differential inclusions:
existence and structure of solution sets, Math. Comput. Modelling 52 (5–6), 683–714 (2010).
[11] Толстоногов А.А. Дифференциальные включения в банаховом пространстве (Наука, Новосибирск,
1986).
[12] Сумин В.И. Об обосновании градиентных методов для распределенных задач оптимального управления, Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 30 (1), 3–21 (1990).
[13] Сумин В.И. Функциональные вольтерровы уравнения в теории оптимального управления распределенными системами. Часть I (Изд-во ННГУ, Н. Новгород, 1992).
[14] Чернов А.В. О вольтерровых функционально-операторных играх на заданном множестве, Матем.
теория игр и ее приложения 3 (1), 91–117 (2011).
[15] Чернов А.В. Об одном мажорантном признаке тотального сохранения глобальной разрешимости
управляемого функционально-операторного уравнения, Изв. вузов. Матем., № 3, 95-107 (2011).
[16] Чернов А.В. О мажорантно-минорантном признаке тотального сохранения глобальной разрешимости управляемого функционально-операторного уравнения, Изв. вузов. Матем., № 3, 62–73 (2012).
[17] Чернов А.В. О достаточных условиях управляемости нелинейных распределенных систем, Журн.
вычисл. матем. и матем. физ. 52 (8), 1400–1414 (2012).
[18] Чернов А.В. Об управляемости нелинейных распределенных систем на множестве конечномерных аппроксимаций управления, Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные
науки, вып. 1, 83–98 (2013).
[19] Красносельский М.А., Забрейко П.П., Пустыльник Е.И., Соболевский П.Е. Интегральные операторы
в пространствах суммируемых функций (Наука, М., 1966).
[20] Васильев Ф.П. Методы оптимизации (Факториал Пресс, М., 2002).
86
А.В. ЧЕРНОВ
[21] Чернов А.В. О поточечной оценке разности решений управляемого функционально-операторного уравнения в лебеговых пространствах, Матем. заметки 88 (2), 288–302 (2010).
[22] Сумин В.И., Чернов А.В. Операторы в пространствах измеримых функций: вольтерровость и квазинильпотентность, Дифференц. уравнения 34 (10), 1402–1411 (1998).
[23] Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (Наука, М.,
1976).
[24] Реконструкция изображений, Под ред. Г. Старка (Мир, М., 1992).
[25] Ладыженская О.А. Смешанная задача для гиперболического уравнения (ГИТТЛ, М., 1953).
А.В. Чернов
доцент, кафедра математической физики,
Нижегородский государственный университет,
пр. Гагарина, д. 23, г. Нижний Новгород, 603950, Россия,
e-mail: chavnn@mail.ru
A.V. Chernov
On convexity local conditions for attainable tubes of controlled distributed systems
Abstract. For a nonlinear functional operator equation being a form of describing for a wide class
of controlled initial boundary-value problems, we introduce the concept of abstract attainable set
as an analog of the attainable tube concept. We obtain local sufficient conditions for the convexity
of such a set. Using the general results is illustrated by example of the mixed boundary-value
problem associated with a semilinear hyperbolic equation of the second order and a rather general
form.
Keywords: attainable tube, convexity local conditions, functional operator equation, nonlinear
distributed systems.
A.V. Chernov
Associate Professor, Chair of Mathematical Physics,
Nizhny Novgorod State University,
23 Gagarin Ave., Nizhny Novgorod, 603950 Russia,
e-mail: chavnn@mail.ru
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
300 Кб
Теги
локальные, управляемое, условия, распределенный, выпуклости, система, трубой, достижимости
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа