close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О марковском свойстве поля времени пребывания для цепей Маркова с непрерывным временем относительно нескольких состояний.

код для вставкиСкачать
УДК 519.217.2
Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2013. Вып. 4
О МАРКОВСКОМ СВОЙСТВЕ ПОЛЯ ВРЕМЕНИ ПРЕБЫВАНИЯ
ДЛЯ ЦЕПЕЙ МАРКОВА С НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ
ОТНОСИТЕЛЬНО НЕСКОЛЬКИХ СОСТОЯНИЙ
А. А. Воротов
С.-Петербургский государственный университет,
аспирант, vaa.spb@gmail.com
1. Введение. Хорошо известно (см. [1]), что условное локальное время для одномерного броуновского движения (до экспоненциального момента времени) является марковским процессом. Возникает естественная идея рассмотреть подобный вопрос для однородной марковской цепи. Впервые такие попытки были предприняты
С. С. Валландером [2–5]. Аналогом локального времени в данном случае служит время пребывания τ (v) процесса X(t) в состоянии v до экспоненциального момента θ, а
марковское свойство рассматривается относительно условных мер Pab , фиксирующих
начало и конец траектории (X(0) = a, X(θ) = b). Трудность здесь заключается в том,
что если пространство состояний не имеет каких-либо дополнительных структур, то
говорить о «прошлом», «настоящем» и «будущем», а соответственно и о марковском
свойстве, нельзя. Однако в относительно простых случаях, например, для случайного
блуждания по целым числам, никаких проблем с определением не возникает. Оказывается (см. [2]), что если рассматривать блуждание по Z с дискретным временем, то
марковским процесс τ (v) не будет. В случае же непрерывного времени марковость
τ (v) удается проверить для блуждания по произвольному дереву (см. [3–5]).
В общем случае марковское свойство поля времени пребывания понимается следующим образом. Цепь X(t) с непрерывным временем можно рассматривать как
блуждание по некоторому графу Γ. Для простоты определений накладывается условие двусторонней проходимости ребер, заключающееся в том, что если процесс X(t)
может с ненулевой вероятностью перескочить из состояния a в состояние b без промежуточных состояний, то он также с ненулевой вероятностью может перескочить и
из b непосредственно в a. Рассматриваются несколько вершин (состояний) v1 , . . . , vn ,
называемых необходимыми, при удалении которых (вместе с инцидентными им ребрами) граф распадается на N > 1 компонент связности A1 , . . . , AN . Соответственно,
под марковским свойством времени пребывания относительно необходимых вершин
v1 , . . . , vn понимается независимость относительно условных мер Pab значений τ на
множествах A1 , . . . , AN при фиксированных значениях τ (v1 ), . . . , τ (vn ).
Утверждается, что относительно одной необходимой вершины поле времени пребывания марковское [6]. В этой же работе рассматривается блуждание по многоугольнику как пример процесса, для которого время пребывания относительно двух
вершин не марковское. Однако, если одна из вершин v1 , v2 необходимая, то, как легко
видеть, поле τ марковским будет. Представляется интересным, выполняется ли марковское свойство при каких-то менее ограничительных условиях. Мы покажем, что
это не так.
Помимо этого мы рассмотрим различные естественные варианты обобщения марковского свойства для блуждания по графу, называемому «лестницей». Оказывается,
c
30
А. А. Воротов, 2013
что и в этом частном случае сколь-нибудь нетривиальных обобщений получить не удается. Таким образом, марковость времени пребывания даже при различных подходах
к ее пониманию определяется тем, сосредоточено «настоящее» в одной вершине или
в нескольких.
2. Основные определения и факты. Приведем основные определения и факты, касающиеся поля времени пребывания для марковских цепей с непрерывным
временем. При этом в основном будем придерживаться работы [3], к которой можно
будет обратиться за подробностями. Аналогичные результаты для цепей с дискретным временем можно найти в [2].
Пусть X(t), t ≥ 0 — однородная марковская цепь с не более чем счетным пространством состояний A и переходными функциями P (a, b, t). Будем также предполагать, что процесс X(t) сепарабельный и стохастически непрерывный.
В этих предположениях
переходный оператор P t , переводящий функцию f на A
P t
t
в (P f )(a) =
P (a, b)f (b), и оператор Q, определенный аналогичным образом по
b∈A
переходным плотностям, связаны обратным уравнением Колмогорова: ∂P t /∂t = QP t .
Далее мы будем рассматривать только регулярные процессы, то есть считать, что
(п.н.) на каждом конечном промежутке процесс совершает конечное число переходов.
Пусть θ — не зависящая от цепи экспоненциальная с параметром α случайная
величина. В этих предположениях время пребывания
τ (v) =
Zθ
1{v} (X(t))dt
0
определено корректно.
Процесс X(t) можно рассматривать как случайное блуждание (с непрерывным
временем) на графе Γ(P ) с множеством вершин A и множеством ребер {(a, b)|Q(a, b) 6=
0}. Ребра вместо «(a, b)» будем для краткости обозначать просто «ab», а соответствующие им переходные плотности называть значениями этих ребер.
Пусть Pa — вероятностная мера для процессов, начинающихся из точки a, Pab —
соответствующая мера при условии X(θ) = b.
Рассмотрим неотрицательную ограниченную функцию k на A.
Функция Грина определяется как единственное ограниченное решение уравнения
(α + k − Q)G(·, b) = 1{b} (·).
(2.1)
Функция Грина является удобным инструментом, позволяющим описывать конечномерные распределения поля времени пребывания τ . Можно проверить, что
h
Ea e
−
Rθ
0
k(X(s))ds
i
, X(θ) = b = αG(a, b),
(2.2)
Из уравнения (2.1) выводится, что при увеличении k(v) на s функция Грина
становится равной
G(x, v)G(v, y)
Gs (x, y) = G(x, y) − 1
.
(2.3)
s + G(v, v)
31
Если же k изменяется в двух вершинах: k(v1 ) увеличивается на s1 , k(v2 ) увеличивается на s2 , то функция Грина записывается в виде
G(x,v1 )
G(x,v2 )
G(x,y)
G(v1 ,y) 1/s1 +G(v1 ,v1 ) G(v1 ,v2 ) G(v ,y) G(v ,v ) 1/s +G(v ,v ) 2 1
2
2 2
2
Gs1 ,s2 (x, y) =
.
(2.4)
1/s1 +G(v1 ,v1 ) G(v1 ,v2 ) G(v2 ,v1 ) 1/s2 +G(v2 ,v2 ) Формулы (2.3) и (2.4) позволяют получать из (2.2) соответственно одномерные
и двумерные распределения поля τ . Подобный подход может быть применен и к
нахождению многомерных распределений, однако, как будет видно ниже, даже для
двумерного случая явные формулы крайне сложны. Для многомерных распределений
написать их и вовсе не удается.
От одномерных распределений нам далее понадобится только формула
h − Rθ k(X(s))ds
i
G(a, b)
G(a, v)G(v, b)
Eab e 0
, τ (v) = 0 =
−
.
G0 (a, b) G0 (a, b)G(v, v)
(2.5)
Rθ
h
i
− k(X(s))ds
Ea e−s1 τ (v1 )−s2 τ (v2 ) e 0
, X(θ) = b = αGs1 ,s2 (a, b).
(2.6)
Здесь через G0 обозначена функция Грина с k ≡ 0.
Вывод формул для двумерных распределений осуществляется следующим образом. Из (2.2) получаем, что
А из последнего выражения уже несложно получить, что при t1 , t2 > 0
h − Rθ k(X(s))ds i
Eab e 0
τ (v1 ) = t1 , τ (v2 ) = t2 =
h
i
L−1 Gs1 ,s2 (a, b) − Gs1 ,∞ (a, b) − G∞,s2 (a, b) + G∞,∞ (a, b)
h
i , (2.7)
=
L−1 G0;s1 ,s2 (a, b) − G0;s1 ,∞ (a, b) − G0;∞,s2 (a, b) + G0;∞,∞ (a, b)
где L−1 — обратное преобразование Лапласа (переменной s1 соответствует t1 , s2 соответствует t2 ).
Также нам потребуется двумерный аналог формулы (2.5):
G(a,b) G(v1 ,b) G(v2 ,b) θ
R
G(a,v
)
G(v
,v
)
G(v
,v
)
1
1 1
2 1
h − k(X(s))ds
i G(a,v2 ) G(v1 ,v2 ) G(v2 ,v2 )
0
.
Eab e
, τ (v1 ) = τ (v2 ) = 0 =
(2.8)
G(v ,v ) G(v ,v ) G0 (a,b)
1 1
2 1 G(v1 ,v2 ) G(v2 ,v2 ) Кроме того, приведем широко известное тождество Доджсона (см., например,
[7]), которое понадобится нам далее.
Лемма 1 [тождество Доджсона]. Для квадратной матрицы A размера N × N
через Am
n (1 ≤ n, m ≤ N ) обозначим определитель матрицы, которая получается из
A вычеркиванием n-й строки и m-го столбца. Аналогично через Ap,q
n,m (1 ≤ n, m, p, q ≤
N ) обозначим определитель матрицы, получающейся из A вычеркиванием n-й и m-й
строк и p-го и q-го столбцов. Тогда для 1 ≤ i, j, k, l ≤ N выполнено равенство
Aji Alk − Ali Ajk = σ(i, j, k, l) |A| Aj,l
i,k ,
32


если i < k, j < l или i > k, j > l,
1,
где σ(i, j, k, l) = −1, если i > k, j < l или i < k, j > l,


0,
если i = k или j = l.
Непосредственной подстановкой в (2.1) несложно проверить, что при добавлении
к Γ(P ) ребра cd со значением s и уменьшении значения ребра (петли) cc на s функция
Грина станет равной
Gs (x, y) = G(x, y) +
G(x, c)(G(d, y) − G(c, y))
.
1
s + G(c, c) − G(d, c)
(2.9)
Следует отметить, что разрешается «добавлять» ребра, уже имеющиеся в графе. В
этом случае мы просто изменяем значение на ребре.
3. О марковском свойстве времени пребывания для дискретных марковских процессов относительно нескольких вершин. Как говорилось выше, в
любой необходимой вершине поле времени пребывания τ обладает марковским свойством. Возникает вопрос, будет ли то же самое выполнено и для нескольких вершин∗ .
К сожалению, положительно ответить на этот вопрос нельзя. Для простоты можно считать, что при удалении ребер, инцидентных v1 и v2 , граф распадается на две
компоненты связности A1 и A2 . В [6] показывается, что даже для простейшего графа, вершины и ребра которого образуют многоугольник (ребра соединяют соседние
вершины, ориентация ребер двусторонняя), поле τ не является марковским. Тем не
менее легко видеть, что если хотя бы одна из вершин v1 , v2 является необходимой,
то τ обладает марковским свойством. Представляется интересным, выполняется ли
марковское свойство при каких-то менее ограничительных условиях на v1 , v2 хотя бы
для некоторых графов.
Следующая теорема позволяет ответить на этот вопрос отрицательно, показывая тем самым, что нетривиального обобщения марковского свойства поля времени
пребывания на случай нескольких вершин получить не удается.
Теорема 1. Пусть поле времени пребывания τ обладает марковским свойством
относительно вершин {v1 , v2 }, в совокупности являющихся необходимыми. Тогда
одна из этих вершин сама является необходимой.
Доказательство. По условию для любой функции k ≥ 0 с k(v1 ) = k(v2 ) = 0 и
любых неотрицательных t1 , t2 имеем
h − Rθ k(X(s))ds i
h − Rθ k1 (X(s))ds i
0
Eab e
τ (v1 ) = t1 , τ (v2 ) = t2 = Eab e 0
τ (v1 ) = t1 , τ (v2 ) = t2 ×
h − Rθ k2 (X(s))ds i
× Eab e 0
τ (v1 ) = t1 , τ (v2 ) = t2 . (3.1)
Для функции k через ki (i = 1, 2) обозначим ее ограничение на Ai , продолженное
нулем на остальные состояния. Соответствующие ki выражения будем сопровождать
индексом «i» снизу.
h
i
Если обозначить L−1 Gs1 ,s2 (a, b) − Gs1 ,∞ (a, b) − G∞,s2 (a, b) + G∞,∞ (a, b) через
M (t1 , t2 ), то (3.1) перепишется в виде
M (t1 , t2 )M0 (t1 , t2 ) = M1 (t1 , t2 )M2 (t1 , t2 ).
(3.2)
∗ Здесь и далее рассматриваются цепи с непрерывным временем и предполагается двусторонняя
проходимость ребер.
33
Далее найдем M (t1 , t2 ). Непосредственное взятие обратного преобразования Лапласа по s1 приводит к
h
G(v2 ,v2 )t1
G(v2 ,b)G(v1 ,v2 )−G(v1 ,b)G(v2 ,v2 )
M (t1 , t2 ) = L−1 −e −G(v1 ,v1 )G(v2 ,v2 )+G(v1 ,v2 )G(v2 ,v1 ) −G(v
×
1 ,v1 )G(v2 ,v2 )+G(v1 ,v2 )G(v2 ,v1 )
×
(G(v2 ,v2 )s2 +1)t1
G(v2 ,v1 )G(a,v2 )−G(a,v1 )G(v2 ,v2 )
−G(v1 ,v1 )G(v2 ,v2 )+G(v1 ,v2 )G(v2 ,v1 )
+ e G(v1 ,v2 )G(v2 ,v1 )s2 −G(v1 ,v1 )(G(v2 ,v2 )s2 +1) ×
i
1 ,b)(G(v2 ,v2 )s2 +1))(G(v2 ,v1 )G(a,v2 )s2 −G(a,v1 )(G(v2 ,v2 )s2 +1))
× (G(v2 ,b)G(v1 ,v2 )s2 −G(v
. (3.3)
2
(G(v1 ,v2 )G(v2 ,v1 )s2 −G(v1 ,v1 )(G(v2 ,v2 )s2 +1))
Выражение под L−1 имеет вид
e
pt1 +ut1 s2
q+vs2
h cd
vpt1 −uqt1
ut1 cd
ut1
(r + cs2 )(m + ds2 )
vq+v2 s2
v
v
−
e
=
e
−
(1
−
e
)+
(q + vs2 )2
v2
v2
vpt1 −uqt1
(rmv 2 − cdq 2 ) + (rdv 2 + cmv 2 − 2cdqv)s2 i
;
+ e vq+v2 s2
v 2 (q + vs2 )2
L−1 от каждого из слагаемых может быть выражено через функции Бесселя. Поэтому, если принять стандартное обозначение Iα (x) для модифицированной функции
Бесселя первого рода порядка α, получим
M (t1 , t2 ) =
r
r
h r
h r p uq
ut1 qt2
cd p uq t1 rmv 2 −cdq 2 −q(rdv+cmv−2cdq) t2 i
−
p
= e v v I1 2 ( − 2 )t1 t2
−
+
+
v v
v 2 v v 2 t2
t1
v 4 pv − uq
v2
r
p uq
rdv + cmv − 2cdq i
+ I0 2 ( − 2 )t1 t2
. (3.4)
v
v
v3
ex
Используя асимптотику функций Бесселя Iα (x) ∼ √
при x → ∞, получим
2πx
(t1 → ∞, t2 фиксировано)
r
r
r
r
u0 q0
u1 q1
u2 q2
p uq
p0
p1
p2
− 2 +
− 2 =
− 2 +
− 2 ,
(3.5)
v
v
v0
v0
v1
v1
v2
v2
r
r
p1
u1 q1
c2 d2 p2
u2 q2
− 2 × 2 4
− 2 .
(3.6)
v1
v1
v2
v2
v2
x α
1
Используя асимптотику Iα (x) ∼
при x → 0, получим (t1 → ∞,
Γ(α + 1) 2
t2 → 0, t1 t2 → 0)
cd
v2
4
p uq c0 d0
− 2 × 2
v
v
v0
cd p uq 34
c0 d0
− 2
× 2
v2 v
v
v0
r
4
p0
u0 q0
c1 d1
− 2 = 2
v0
v0
v1
p0
u0 q0
− 2
v0
v0
43
r
4
c1 d1
= 2
v1
p1
u1 q1
− 2
v1
v1
34
c2 d2
× 2
v2
что вместе с (3.6) дает
r
r
r
r
p uq p0
u0 q0
p1
u1 q1 p2
u2 q2
− 2
− 2 =
− 2
− 2 .
v
v
v0
v0
v1
v1
v2
v2
34
p2
u2 q2
− 2
v2
v2
34
,
(3.7)
(3.8)
q
Из (3.5) и (3.8) получаем, что
p2
v2
−
u2 q2
.
v22
pp
v
−
uq
v2
совпадает либо с
q
p1
v1
−
u1 q1
,
v12
либо с
Для определенности предположим первое. Тогда при изменении k в вершине
w ∈ A2 выражение
p
r
G(v1 , v2 )G(v2 , v1 )
p uq
− 2 =
(3.9)
v
v
G(v1 , v1 )G(v2 , v2 ) − G(v1 , v2 )G(v2 , v1 )
не должно измениться.
Пусть k(w) увеличилось на t. Согласно формуле (2.3), используя тождество
Доджсона (лемма 1), получим, что (3.9) перейдет в
r
G(v1 ,v2 ) G(v1 ,w) G(v2 ,v1 ) G(v2 ,w) G(w,v2 ) 1/t+G(w,w) G(w,v1 ) 1/t+G(w,w) .
(3.10)
G(v1 ,v1 ) G(v1 ,v2 ) G(v1 ,w) G(v2 ,v1 ) G(v2 ,v2 ) G(v2 ,w) G(w,v ) G(w,v ) 1/t+G(w,w) 1
2
Легко видеть, что чтобы (3.9) и (3.10) совпадали при всех t, необходимо
G(v1 ,v1 ) G(v1 ,v2 ) G(v1 ,w) G(v1 ,v1 ) G(v1 ,v2 ) G(v1 ,v2 ) G(v1 ,w) G(v1 , v2 ) G(v2 ,v1 ) G(v2 ,v2 ) G(v2 ,w) = G(v2 ,v1 ) G(v2 ,v2 ) G(w,v2 ) G(w,w) .
G(w,v1 ) G(w,v2 ) G(w,w)
Отсюда из тождества Доджсона получаем
G(v1 ,v1 ) G(v1 ,v2 ) G(v1 ,v1 ) G(v1 ,w) G(w,v1 ) G(w,v2 ) G(v2 ,v1 ) G(v2 ,w) = 0.
(3.11)
(3.12)
,v2 )G(w,v1 )
Пусть для определенности G(w, v2 )− G(v1G(v
= 0. В силу (2.5) это означает,
1 ,v1 )
что все пути из w в v2 проходят через v1 . А это и значит, что вершина v1 является
необходимой.
Рассмотрим блуждание по «лестнице» (см. рисунок), для которого все переходные плотности из вершины в соседнюю одинаковы. Такое блуждание можно свести к
блужданию по целым числам с теми же переходными плотностями, если объединить
в одну вершину каждую пару соединенных ребром вершин верхней и нижней частей
«лестницы». Пары таких вершин будем называть уровнями «лестницы». Для времени
пребывания целочисленной цепи, как известно, марковское свойство выполнено. Поэтому можно ожидать, что для «лестницы» время пребывания на каждом из уровней
является марковским процессом.
Однако ниже мы покажем, что это, к сожалению, не так.
Утверждение 1. Случайный процесс времени пребывания на уровнях «лестницы» не марковский.
Доказательство. Зафиксируем некоторый уровень, состоящий из вершин v1 и
v2 и определим соответствующие компоненты связности A1 и A2 .
35
Марковское свойство указанного процесса означало бы, что для любой функции
k ≥ 0, значения которой на вершинах одного уровня совпадают и k(v1 ) = k(v2 ) = 0,
и любого t ≥ 0 выполнено
i
h − Rθ k(X(s))ds i
h − Rθ k1 (X(s))ds 0
Eab e
τ (v1 ) + τ (v2 ) = t = Eab e 0
τ (v1 ) + τ (v2 ) = t ×
h − Rθ k2 (X(s))ds i
× Eab e 0
τ (v1 ) + τ (v2 ) = t . (3.13)
Легко видеть, что при t > 0
h − Rθ k(X(s))ds i
T (t)
Eab e 0
,
τ (v1 ) + τ (v2 ) = t =
T0 (t)
 G(a,b) G(a,v1 )
G(a,v2 ) G(v1 ,b) s1 +G(v1 ,v1 ) G(v1 ,v2 ) 
 G(v 2 ,b) G(v2 ,v1 ) s1 +G(v2 ,v
2)
где T (t) = L−1 
−
s1 +G(v1 ,v1 ) G(v1 ,v2 ) 
G(v2 ,v1 )
1
s +G(v2 ,v2 )
Таким образом, (3.13) перепишется в виде
(3.14)

G(a,b) G(a,v1 ) G(a,v2 ) G(v1 ,b) G(v1 ,v1 ) G(v1 ,v2 ) 
G(v ,b) G(v ,v ) G(v ,v ) 
2 1
2 2
2
.
G(v1 ,v1 ) G(v1 ,v2 ) 
G(v2 ,v1 ) G(v2 ,v2 ) T (t)T0 (t) = T1 (t)T2 (t).
(3.15)
Далее необходимо найти T (t) в явном виде.
Сперва проверим, что отношение определителей под L−1 , зависящих от s, несократимо.
0
G(a,v1 )
G(a,v2 ) 1
G(v
,b)
+G(v
,v
)
G(v
,v
)
1 1
1 2
Предположим противное. Тогда, очевидно, корень 1 s
1
G(v
G(v
+G(v
2 ,b)
2 ,v1 )
2 ,v2 )
s
1
s +G(v1 ,v1 ) G(v1 ,v2 ) должен быть также корнем G(v ,v ) 1 +G(v ,v ) . Это означает, что
2
1
s
2
2
G(a,v1 ) G(a,v2 ) 2
0
G(v1 ,b) G(v1 ,v1 ) G(v1 ,v2 ) + (G(v1 , v1 ) + G(v2 , v2 ))(G(a, v1 )G(v1 , b) + G(a, v2 )G(v2 , b))×
G(v ,b) G(v ,v ) G(v ,v ) 2 1
2 2
2
G(a,v1 ) G(a,v2 ) 0
1 ,v1 ) G(v1 ,v2 ) × G(v1 ,b) G(v1 ,v1 ) G(v1 ,v2 ) + (G(a, v1 )G(v1 , b) + G(a, v2 )G(v2 , b))2 G(v
G(v2 ,v1 ) G(v2 ,v2 ) = 0.
G(v2 ,b) G(v2 ,v1 ) G(v2 ,v2 )
(3.16)
Непосредственным вычислением можно проверить, что (3.16) переписывается в
виде
h
G(v2 , v1 )G(a, v2 )2 + G(a, v2 )G(a, v1 )G(v1 , v1 )−
i
− G(a, v1 )G(v2 , v2 )G(a, v2 ) − G(v1, v2 )G(a, v1 )2 ×
h
× G(v1 , b)2 G(v2 , v1 ) − G(v2 , b)G(v1 , v1 )G(v1 , b)+
i
+ G(v1 , b)G(v2 , v2 )G(v2 , b) − G(v1 , v2 )G(v2 , b)2 = 0. (3.17)
36
Предположим для определенности,
что первый сомножитель равен нулю. Тогда,
G(v ,v ) G(v ,v ) взяв a = v2 , получим G(v12 ,v11 ) G(v12 ,v22 ) = 0 или
G(v1 , v1 ) −
G(v1 , v2 )G(v2 , v1 )
= 0.
G(v2 , v2 )
Формула (2.5) показывает, что мы пришли к противоречию.
Поэтому в силу вышесказанного T (t) имеет вид
T (t) = Ces1 t + Des2 t ,
(3.18)
G(v1 ,v2 ) ; C, D — некоторые ненулевые и не зависящие
1
+G(v ,v )
1
+G(v ,v )
где s1 , s2 — корни s G(v ,v1 )1
2 1
2 2
s
от t выражения.
Нетрудно проверить, что для выполнения (3.15) необходимо, чтобы (s1 − s2 ) совпало либо с (s11 − s21 ), либо с (s12 − s22 ).
Для определенности предположим первое. Это означает, что
r
G(v ,v ) G(v ,v ) (G(v1 , v1 ) + G(v2 , v2 ))2 − 4 G(v12 ,v11 ) G(v12 ,v22 ) (3.19)
s1 − s2 =
G(v1 ,v1 ) G(v1 ,v2 ) G(v2 ,v1 ) G(v2 ,v2 ) не изменится при увеличении k на r на одном из уровней в A2 . Вершины этого уровня
обозначим u и v.
Применяя формулу (2.4) и тождество Доджсона, получим, что (3.19) перейдет в
v
u
G(v1 ,v1 ) G(v1 ,v2 ) G(v1 ,u) G(v1 ,v) u
G(v2 ,v1 ) G(v2 ,v2 ) G(v2 ,u)
G(v2 ,v) 1 +G(u,u) G(u,v) u
tf (r)2 − 4 G(u,v1 ) G(u,v2 ) 1 +G(u,u) G(u,v) r G(v,u) 1 +G(v,v) r
G(v,v1 ) G(v,v2 ) r G(v,u) 1 +G(v,v) r
,
(3.20)
G(v1 ,v1 ) G(v1 ,v2 ) G(v1 ,u) G(v1 ,v) G(v2 ,v1 ) G(v2 ,v2 ) G(v2 ,u) G(v2 ,v) G(u,v1 ) G(u,v2 ) r1 +G(u,u) G(u,v) G(v,v1 ) G(v,v2 ) G(v,u) 1 +G(v,v) r
где для краткости принято
G(v1 ,v1 ) G(v1 ,u)
f (r) = G(u,v1 ) 1r +G(u,u)
G(v,v1 )
G(v,u)
G(v1 ,v) G(u,v) 1
r +G(v,v)
G(v2 ,v2 )
+ G(u,v2 )
G(v,v )
2
G(v2 ,u)
1
r +G(u,u)
G(v,u)
G(v2 ,v) G(u,v) .
1
r +G(v,v)
Поскольку (3.20) не зависит от r, должен иметь место по крайней мере один из
двух случаев:
1) f (r) кратно знаменателю (3.20),
2) знаменатель (3.20) имеет кратный корень.
1 +G(u,u) G(u,v) В случае 1 получаем, что r G(v,u) 1 +G(v,v) также кратно знаменателю (3.20).
r
Коэффициент пропорциональности
между этими
квадратными трехчленами (от пе G(v ,v ) G(v ,v ) ременной 1r ), очевидно, равен G(v12 ,v11 ) G(v12 ,v22 ) . Тогда, рассматривая коэффициент
при r1 , получим
37
G(v1 ,v1 ) G(v1 ,v2 ) G(v1 ,u) G(v1 ,v1 ) G(v1 ,v2 ) G(v1 ,v1 ) G(v1 ,v2 ) G(v
G(u, u) G(v2 ,v1 ) G(v2 ,v2 ) + G(v, v) G(v2 ,v1 ) G(v2 ,v2 ) = 2 ,v1 ) G(v2 ,v2 ) G(v2 ,u) +
G(u,v1 ) G(u,v2 ) G(u,u)
G(v
,v
)
G(v
,v
)
G(v
1 1
1 2
1 ,v) + G(v2 ,v1 ) G(v2 ,v2 ) G(v2 ,v) .
G(v,v1 ) G(v,v2 ) G(v,v)
1 ,v1 ) G(v1 ,v2 ) Сокращая обе части равенства на G(v
G(v2 ,v1 ) G(v2 ,v2 ) и применяя (2.8), приходим к противоречию.
В случае 2 обозначим
G(v1 ,v1 ) G(v1 ,v2 ) G(v1 ,u) G(v1 ,v) G(v2 ,v1 ) G(v2 ,v2 ) G(v2 ,u) G(v2 ,v) A = G(u,v
.
)
G(u,v
)
G(u,u)
G(u,v)
1
2
G(v,v1 ) G(v,v2 ) G(v,u) G(v,v)
Тогда в обозначениях леммы имеем
(A33 + A44 )2 = 4|A|A44
33 ,
откуда в силу этой леммы
(A33 − A44 )2 = −4A43 A34 .
1 ,v1 ) G(v1 ,v2 ) 2
Деля обе части равенства на G(v
G(v2 ,v1 ) G(v2 ,v2 ) и применяя (2.8), получаем, что левая
часть равенства неотрицательна, а правая отрицательна. Противоречие.
Замечание 1. Из доказанного также следует, что если рассматривать обычное
время пребывания, а его значение фиксировать на некотором уровне (а не в каждой
из двух вершин, как при обычном определении марковского свойства), то в данном
случае поле τ все равно не будет марковским. Действительно, марковское свойство в
данном случае означало бы (3.13) без дополнительного предположения о совпадении
k для вершин одного уровня, что тем более не верно.
На первый взгляд, утверждение 1 противоречит тому, что блуждание по некоторым «лестницам» можно свести к целочисленным цепям. Это объясняется тем, что
мы рассматриваем меры Pab , которые при «склейке» вершин теряют смысл. Поэтому
более естественно рассматривать меры PaB , где B — уровень «лестницы».
Однако и в данном случае получить нетривиальные результаты не удается.
Утверждение 2. Если время пребывания на уровнях «лестницы» марковское
относительно условных мер PaB , то блуждание на этой «лестнице» может быть
сведено к целочисленной цепи.
Доказательство. Положим B = {b1 , b2 } и обозначим G(·, B) = G(·, b1 )+G(·, b2 ).
Полностью повторив рассуждения доказательства утверждения 1, получим, что единственная возможность для выполнения марковского свойства заключается в том, что
дробь
G(a,B) G(a,v1 )
G(a,v2 ) G(v1 ,B) s1 +G(v1 ,v1 ) G(v1 ,v2 ) G(v ,B) G(v ,v ) 1 +G(v ,v ) 2 1
2 2
s
2 1
s +G(v1 ,v1 ) G(v1 ,v2 ) G(v2 ,v1 ) 1 +G(v2 ,v2 ) s
можно сократить.
38
Поэтому необходимо (ср. с (3.17))
G(v1 , B)2 G(v2 , v1 ) − G(v2 , B)G(v1 , v1 )G(v1 , B)+
+ G(v1 , B)G(v2 , v2 )G(v2 , B) − G(v1 , v2 )G(v2 , B)2 = 0. (3.21)
Подставив B = {v1 , v2 }, получим
G(v1 , {v1 , v2 }) = G(v2 , {v1 , v2 }),
что позволяет переписать (3.21) в виде
h
ih
i
G(v1 , B) − G(v2 , B) G(v2 , v1 )G(v1 , B) + G(v1 , v2 )G(v2 , B) = 0.
(3.22)
(3.23)
Поскольку второй сомножитель положителен, в конце концов получаем
G(v1 , B) = G(v2 , B).
(3.24)
Для определенности считаем, что v1 лежит на верхней части «лестницы», а v2
на нижней.
У v1 , помимо v2 , есть еще две соседних вершины. Обозначим их w1 и w2 . Из
определения функции Грина получаем
(α + k(v1 ) − Q(v1 , v1 ))G(v1 , B) − Q(v1 , w1 )G(w1 , B)−
− Q(v1 , w2 )G(w2 , B) − Q(v1 , v2 )G(v2 , B) = 1B (v1 ). (3.25)
С учетом (3.24) имеем
(α + k(v1 ) − Q(v1 , w1 ) − Q(v1 , w2 ))G(v1 , B)−
− Q(v1 , w1 )G(w1 , B) − Q(v1 , w2 )G(w2 , B) = 1B (v1 ). (3.26)
То есть, говоря не совсем строго, G(·, B) — функция Грина для верхней части «лестницы». Но точно так же можно получить, что G(·, B) — функция Грина для нижней
части. Поэтому, как легко видеть, для завершения доказательства достаточно показать, что функция Грина целочисленной цепи единственным образом определяет
переходные плотности.
В самом деле, пусть для двух различных цепей функции Грина совпали. Рассмотрим ребро, на котором переходные плотности различны. Уменьшим значение на
этом ребре на меньшую из плотностей и соответствующим образом увеличим значение на петле (для сохранения условия нормировки). В силу формулы (2.9) функции
Грина по-прежнему будут совпадать. Однако по одной из цепей теперь нельзя пройти из одной части в другую, а значит функция Грина на некоторых парах вершин
равна нулю. Для другой же цепи функция Грина всегда положительна. Мы пришли
к противоречию.
39
Литература
1. Ито К., Маккин Г. Диффузионные процессы и их траектории. М.: Мир, 1968.
2. Валландер С. С. Времена пребывания для счетных цепей Маркова. I. Цепи с дискретным
временем // Зап. научн. семин. ЛОМИ. 1982. Т. 119. С. 39–61.
3. Валландер С. С. Времена пребывания для счетных цепей Маркова. II. Цепи с непрерывным
временем // Зап. научн. семин. ЛОМИ. 1983. Т. 130. С. 56–64.
4. Валландер С. С. Времена пребывания для счетных цепей Маркова. III. Цепи на дереве с
одной точкой ветвления // Зап. научн. семин. ЛОМИ. 1985. Т. 142. С. 25–38.
5. Валландер С. С. Времена пребывания для счетных цепей Маркова. IV. Цепи на произвольном
дереве // Зап. научн. семин. ЛОМИ. 1987. Т. 158. С. 39–45.
6. Валландер С. С. Некоторые свойства времен пребывания и переходов для счетных цепей
Маркова // Тезисы докладов Четвертой Международной Вильнюсской конференции по теории вероятностей и математической статистике. Т. 1. Вильнюс, 1985. С. 116–118.
7. Berliner A., Brualdi R. A combonatorial proof of the Dodgson/Muir determinant identity //
International journal of information and system sciences. 2008. Vol. 4, N 1. P. 1–7.
Статья поступила в редакцию 27 июня 2013 г.
40
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа