close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О математических задачах теории многослойных оболочек с трансверсально-мягкими заполнителями.

код для вставкиСкачать
1997
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 4 (419)
УДК 517.958
М.М.КАРЧЕВСКИЙ, А.Д.ЛЯШКО, В.Н.ПАЙМУШИН
О МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ МНОГОСЛОЙНЫХ
ОБОЛОЧЕК С ТРАНСВЕРСАЛЬНО-МЯГКИМИ ЗАПОЛНИТЕЛЯМИ
Для исследования смешанных форм потери устойчивости при реализации в многослойных
оболочках с трансверсально-мягкими заполнителями моментного докритического напряженнодеформированного состояния (НДС), а также высокочастотных динамических характеристик
таких оболочек после их предварительного статического нагружения в работе [1] предложена
уточненная теория, в которой в качестве искомых неизвестных приняты компоненты векторов
перемещений точек срединных поверхностей несущих слоев и поперечные касательные напряжения в заполнителях. В ней соответствующие уравнения равновесия и кинематические условия
сопряжения слоев по тангенциальным перемещениям на границах их контакта выводятся из
условия стационарности функционала [2], относящегося к классу смешанных. В данной статье
рассматриваются вопросы существования и единственности критической точки этого функционала. Конструируются и исследуются методы внутренней аппроксимации для краевых задач,
формулируемых на основе [1]. Изучаются вопросы линеаризации выведенных в [3] нелинейных уравнений динамики многослойных оболочек с трансверсально-мягкими заполнителями в
окрестности некоторого статического НДС. Показано, что сформулированная в [3] линеаризованная задача на собственные значения имеет вещественный чисто дискретный спектр. Исследуется внутренняя аппроксимация этой задачи.
1. Задача о стационарном НДС многослойной оболочки. Рассматривается многослойная
оболочка с чередующимися жесткими (несущими) и маложесткими слоями заполнителя. Будем предполагать, что компоненты деформации несущих слоев вычисляются на основе гипотез
Кирхгофа-Лява в рамках геометрически нелинейной теории среднего изгиба; для описания НДС
заполнителя используется модель трансверсально-мягких слоев. Будем считать также, что торцевые срезы несущих слоев жестко защемлены, а торцы заполнителя свободны от напряжений.
При этих предположениях в соответствии с [1] задача о равновесии оболочки, находящейся
под действием заданных внешних сил, приложенных к несущим слоям, может быть сформулирована как задача об отыскании критических точек функционала
L(u; ) = (u) ; f (u) + l(u; ) ; F ():
(1)
Здесь
(u) = 0 (u) +
N
X
k=1
k (uk );
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований,
коды проектов 95-01-00400, 93-013-1656
66
{{
~ ~
^
Z
k (uk ) = (ak ("k ; "k ) + bk ( k ; k ))d
; k = 1; : : : ; N;
0 (u) =
Z N
;1
X
k=1
l(u; ) = ;
F () =
f (u) =
c0k (uk3+1 ; uk3 )2 d
;
Z N
;1
X
k=1
Z N
;1
X
k=1
Z X
N
k=1
(uki +1 ; uki + k #ki + 1k #ki +1 )ki d
;
(Ck k k + dk (div k )2 )d
;
f k uk d
:
Предполагается, что срединная поверхность оболочки отнесена к криволинейным координатам
x1 ; x2 , образованным линиями главных кривизн, R2 | ограниченная двумерная область
изменения x = (x1 ; x2 ); uk = (uk1 ; uk2 ; uk3 ); k = 1; : : : ; N; | смещения точек срединной поверхности k-го несущего слоя; uki | касательные, wk uk3 | нормальные смещения (прогибы),
k = (k1 ; k2 ); k = 1; : : : ; N ; 1; | напряжения сдвига в заполнителе, f k = (f1k ; f2k ; f3k ) | нагрузки, приложенные к несущим слоям; k = tk + hk ; 1k = tk+1 + hk ; 2hk | толщина k-го слоя
заполнителя, 2tk | толщина k-го несущего слоя. Матрицы Ck , константы c0k ; dk характеризуют материал заполнителя; ak ; bk | симметричные равномерно положительно определенные и
ограниченные билинейные формы:
~
~
ck0 "ij "ij akijkl "ij "kl ck1 "ij "ij ;
ck0
{{ {{ {{
ij
ij
bkijkl
ij
kl
ck1
ij
ij
(2)
:
(3)
Коэффициенты akijkl , bkijkl характеризуют упругие свойства материала несущих слоев, в частности, для изотропного однородного материала
{{ { { { {
{ {{{
;
{
ak ("; ") = Bk "211 + 2k "11 "22 + "222 + 2 (1 ; k ) "212 ;
(4)
; 2
k
2
2
b ( ; ) = Dk 11 + 2k 11 22 + 22 + 2 (1 ; k ) 12 ;
(5)
Bk | жесткость на растяжение, Dk | цилиндрическая жесткость, k | коэффициент Пуассона
k-го несущего слоя, "k = ("k11 ; "k12 ; "k22 ); k = ( 11k ; 12k ; 22k ) | компоненты тангенциальной и
изгибной деформации срединных поверхностей несущих слоев, вычисляемые по стандартным
формулам теории среднего изгиба (см., напр., [4]):
; ;
"k11 = ek1 + 21 #k1 2 ; "k22 = ek2 + 12 #k2 ; 2
"k12 = !k + 21 #k1 #k2 ;
k
1 @uk2 + 1 @A2 uk + 1 uk ;
1 + 1 @A1 uk + 1 uk ;
k
ek1 = A1 @u
e
=
2
3
2
R1
A2 @x2 A1 A2 @x1 1 R2 3
1 @x1 A1 A2 @x2
k
k
#k = ; 1 @u3 + 1 uk ; #k = ; 1 @u3 + 1 uk ;
{
{
2
R1 1
A2 @x2 R2 2
1 @#k1
1 @A1 k
1 @#k2
1 @A2 k
k
k
11 = A @x + A A @x #2 ;
22 = A @x + A A @x #1 ;
1 1
1 2 2
2 2
1 2 1
1
1
1
k
k
k
k
k
12 = 2 (1 + 2 + R !1 + R !2 );
1
2
k
k
@u
1
@A
1
@u
1
1
2 k
2
u2 ;
!1k = A @x ; A A @x uk1 ; !2k = A @x1 ; A 1A @A
1 1
1 2 2
2 2
1 2 @x1
1
A1 @x1
{
67
!k = 12 !1k + !2k ;
k
1 @#k1 ; 1 @A2 #k :
2 ; 1 @A1 #k ;
k
1k = A1 @#
=
1
2
A2 @x2 A1 A2 @x1 2
1 @x1 A1 A2 @x2
;
В дальнейшем будем предполагать, что
A1; A2 2 C 1(
); A1; A2 m > 0; m = const; R1;1 ; R2;1 2 C 1 (
);
(6)
k
k
0
aijkl ; bijkl 2 C (
):
(7)
Нам будет удобно записывать выражения для компонент деформации в виде "k (uk ) = ek (uk ) +
dk (uk ; uk ); где e2k (uk ) | линейные
составляющие
тангенциальных компонент деформации,
; ; dk (uk ; uk ) = (dij )i;j=1 ; dij = 12 #i uk #j uk : Нетрудно видеть, что 1
jdk (uk ; vk )j c(juk j + jruk3 j)(jvk j + jrv3k j):
(8)
В силу принятых нами граничных условий имеем
k
uk = 0; @w
@ = 0; = 0; x 2 ;;
где ; | граница области ; | нормаль к ;.
(9)
1.1. Исследование разрешимости. Вследствие условий (2), (3), (9) и оценки (8) функционал
L(u; ) естественно рассматривать как функционал над пространством H = V H (u 2 V ,
2 H ), где
V = (W 12 W 12 W 22 )N ; H = (E0 )(N ;1) ;
E0 = 2 (L2 )2; div 2 L2 ; = 0; x 2 ;
| гильбертово пространство со скалярным произведением
(; )E0 = (; )L2 L2 + (div ; div )L2 :
(По поводу основных свойств пространства E0 см., напр., [5].)
Сведем задачу поиска критических точек функционала (1) к операторному уравнению в
пространстве H . Нетрудно проверить, что l(u; ) | непрерывная билинейная форма над H ,
следовательно, существуют такие взаимно сопряженные линейные операторы L12 : V ! H;
L21 : H ! V , что
l(u; ) = (L12; u)V = (; L21 u)H 8u 2 V; 2 H:
(10)
Пусть далее L11 : V ! V; L22 : H ! H; f 2 V | градиенты функционалов ; F; f (u)
соответственно, т. е.
(L11 u; )V = a11 (u; ) 2
+2
+
Z X
N
k=1
Z N
;1
X
k=1
ak ("k (uk ); ek (k ) + 2dk (uk ; k ))d
+
{ {
k=1
bk ( k (uk ); k (k ))d
+
c0k (uk3+1 ; uk3 )(3k+1 ; 3k )d
8u; 2 V;
(L22 ; )H = a22 (; ) 2
1 Через c; c1 ; : : :
Z X
N
^^
Z N
;1
X
k=1
(Ck k k + dk div k div k )d
8; 2 H;
будем обозначать положительные постоянные, возможно, различные.
68
(11)
(12)
Лемма 1.
где
f (v) (f; v)V 8v 2 V:
Стационарная точка функционала L(u; ) | решение уравнения
Py Ay ; F = 0;
!
(13)
!
A = LL1121 ;LL1222 ; y = u ; F = f0 2 H:
Для доказательства достаточно заметить, что уравнение (13) эквивалентно соотношению
d L(u + tv; q + t) = 0 8v 2 V; 2 H:
dt
t=0
Уравнение (13) имеет хотя бы одно решение, если kf kV достаточно мала.
Доказательство теоремы 1 основывается на теореме Канторовича о разрешимости нелинейных операторных уравнений (см., напр., [6], с.140) и будет приведено после формулировки ряда
вспомогательных результатов.
Заметим прежде всего, что оператор P дифференцируем по Фреше, и его производная определяется соотношением
Теорема 1.
(P 0 (y)z; )V H = (A0 (y)z; )V H = 2
+2
+2
Z X
N
Z X
N
k=1
k=1
ak ("k (uk ); 2dk (vk ; k ))d
+
ak (ek (vk ) + 2dk (uk ; vk ); ek (k ) + 2dk (uk ; k ))d
+
{ {
k=1
Z X
N
Z N
;1
X
c0k (v3k+1 ; v3k )(3k+1 ; 3k )d
+
k=1
+(L12 v; ) + (L21 v; ) + (L22 ; ) 8y; z; 2 H;
b ( (v ); ( ))d
+
k
k
k
k
k
!
!
!
(14)
y = u ; z = v ; = :
0
Введем в рассмотрение оператор L011 : V ! V ,
(L011 u; ) = a011 (u; ) 2
Z X
N
k=1
+2
{ {
(ak (ek (uk ); ek (k )) + bk ( k (uk ); k (k )))d
+
Z N
;1
X
c0k (uk3+1 ; uk3 )(k+1 ; 3k )d
8u; 2 V:
k=1
Оператор L011 положительно определен, т. е.
(L011 u; u)V 1 (u; u)V 8u 2 V; 1 = const > 0:
0
Доказательство. Из условий (2){(3) и положительности ck вытекает, что для любого u 2 V
Лемма 2.
(L011 u; u)V
c
{ {
Z N
;1
X
k=1
(ek (uk ); ek (uk )) + ( k (uk ); k (uk )))d
1 (u; u)V :
(15)
Последнее неравенство | следствие обобщенного неравенства Корна для оператора линейной
теории оболочек [7].
Лемма 3. Оператор L22 : H ! H ограничен и положительно определен:
69
2 (; )H (L22; )H 4(; )H 8 2 H; 2 ; 4 = const > 0:
Доказательство. Ограниченность оператора L22 очевидна. Докажем его положительную
определенность. Пусть 0 < < 1. Тогда для любого p 2 E0 ; 1 p N ; 1, имеем
Z ^
I
^
Cp p p + dp div p
2 Z
^
2
d
c kp k2L2L2 + div p d
:
Учитывая, что div p = div p + 1 p1 + 2 p2 , где k = ;iik , получим
I c(1 + min
min
2 )k k2 + k div p k2L2 ;
k p L2 L2
k
;2
Z
Z
Z
j1p1 jd
; j2 p2jd
; j1 2p1 p2jd
:
Применяя далее неравенство Коши с " для оценки отрицательных слагаемых, получим
I cm(kp k2L2L2 + (=2)k div p k2L2 );
m = 1 + min
min
2 ; 9 max
max
2 :
k
k
k
k
Выбирая теперь так, чтобы m было положительно, получим утверждение леммы.
Лемма 4.
Существует оператор ;0 = [A0 (0)];1 , причем
k;0 k b0 ; b0 = b0 (1; 2 ; 3 ):
Доказательство.
Нетрудно проверить, что
A0(0) =
L011 L12 :
L21 ;L22
Система уравнений
L011 u + L12 = f1 ; L21 u ; L22 = f2
имеет единственное решение при любых f1 2 V; f2 2 H , справедливы априорные оценки
kukV 1 kf1kV + 3 kf2kH ;
1
1 2
1
kkH 3 kukV + kf2kH ; 3 = kL12 k:
2
(16)
2
Последнее вытекает из того, что система (16) может быть записана в эквивалентном виде
= L;221 L21 u ; L;221 f2 ;
(L011 + L12 L;221 L21 )u = f1 + L12 L;221 f2;
а оператор L12 L;221 L21 неотрицателен.
Лемма 5.
kA0 (y1) ; A0(y2)k c(1 + ky1k + ky2k)ky1 ; y2k 8y1; y2 2 V H:
(17)
Доказательство. В силу представления (14) оценка (17) совпадает, фактически, с соответствующей оценкой для оператора геометрически нелинейной теории оболочек из [8].
70
В силу лемм 4, 5
k;0k b0; k;0P (0)k 0 = kf kV b0; ;0 = [P 0 (0)];1 ;
kP 0 (y1) ; P 0 (y2)k (1 + 2R)ky1 ; y2k
8y1; y2 2 B (R) = fy 2 V H; kyk Rg;
поэтому уравнение (13) имеет решение в сфере B (r0 ), если
p1 ; 2h
1
;
0
2
h = kf k (1 + 2R)b 1=2; r =
b kf k R:
Доказательство теоремы 1.
0
0
V
0
h0
0
V
(18)
Условия (18) выполняются при малых kf kV . Теорема доказана.
Замечание 1. Если при описании деформации несущих слоев ограничиться геометрически
линейным приближением, то решение уравнения (13) определяется однозначно и является седловой точкой функционала L [10], [11].
1.2. Внутренняя аппроксимация задачи (13). Пусть Vh ; Hh ; h ! 0, | семейства конечномерных подпространств, полные в V; H соответственно. При их построении можно
использовать,
1 2
например, хорошо известные конечноэлементные пространства, полные в W 2 ; W 2 (см., напр.,
[9]). Под приближенным решением задачи (13) будем понимать пару функций uh 2 Vh ; h 2 Hh
| стационарную точку функционала L на Hh = Vh Hh, т. е.
d L(u + tv ; + t ) = 0 8v 2 V ; 2 H :
h
h
h
h
dt h h h h t=0
Иными словам, uh ; h определяются как решение системы уравнений
a11 (uh ; vh ) + l(h; vh ) = f (vh ) 8vh 2 Vh;
(19)
a22(h ; h) ; l(h; uh ) = 0 8h 2 Hh:
(20)
Теорема 2. Если kf kV достаточно мала, то в шаре B (r0 ), где
p1 ; 2h
1
;
0
2
r0 =
c0 h0 kf kV b0 h0 = kf kV (1 + 2R)b0 ;
существует хотя бы одно решение задачи (19) ; (20): При этом справедливы равномерные по
h априорные оценки
kuhkV c1 ; kh kH c2 :
(21)
Доказательство. Существование решения задачи (19){(20) доказывается точно так же, как
и для исходной задачи. Оценки (21) следуют из принадлежности решения uh ; h шару B (r0 ),
радиус которого не зависит от h. Теорема доказана.
Теорема 3. Существует такая последовательность h ! 0, что uh * u (слабо), h ! (сильно), где (u; ) | стационарная точка функционала L; (uh ; h ) | решение задачи (19);(20):
Доказательство. Из теоремы 2 вытекает существование u 2 V и 2 H таких, что uh *
u; h * . Покажем, что (u; ) | стационарная точка функционала L. Для этого выберем
произвольные v 2 V; 2 H и последовательности vh 2 Vh ; h 2 Hh такие, что vh ! v; h ! ,
и перейдем к пределу в уравнениях (19) { (20) при h ! 0. Отметим, что предельный переход в
выражениях вида
Z
ak ("k (ukh ); 2dk (ukh ; vhk ))d
71
основывается на сильной сходимости uk3h ! uk3 в W41 . Покажем, что h ! сильно в H . Непосредственно из определений точного и приближенного решений имеем
a22(h ; ; h ; h ) = l(h ; h; u ; uh) 8h 2 Hh;
откуда
a22 (h ; ; h ; ) = ;a22(h ; ; ; h ) + l(h ; ; uh ; u) + l( ; h ; uh ; u);
и, следовательно,
2 kh ; k2h 4kh ; kH k ; h kH + cku ; uh kV1 (kh ; kH + k ; hkH ) :
Здесь и далее
V1 = (L2 L2 W21 )N :
Ясно, что uh ! u сильно в V1 . Поэтому, выбирая h так, чтобы kh ; kH ! 0, получим
kh ; kH ! 0.
Замечание 2. Если ограничиться геометрически линейным приближением при описании
деформации несущих слоев, то можно доказать сильную сходимость и для uh , более того, справедлива оценка точности [10], [11]
ku ; uhkV + k ; hkH c vhinf
ku ; vhkV + hinf
k ; hkH :
2Vh
2Hh
2. Линеаризованные уравнения динамики многослойных оболочек с трансверсально-мягкими
заполнителями. Эти уравнения могут быть записаны в виде [3]
L011v + L12 + B v = 0;
L21 v ; L22 = 0:
Здесь v = v(x; t); = (x; t); x 2 ; t 0; v = (v1 ; : : : ; vN ); vk | вектор смещений срединной
поверхности k-го несущего слоя оболочки, = (1 ; : : : ; N ;1 ); k = (1k ; 2k ) | напряжения
поперечного сдвига в k-м слое заполнителя. Предполагается, что v 2 V; 2 H 8t 0:
Операторы L22 ; L12 ; L21 определяются соотношениями (12), (10), L011 = L011 (~v), где v~ = v~(x) |
вектор смещений, соответствующий положению равновесия рассматриваемой оболочки под действием некоторой стационарной внешней нагрузки (в окрестности этого положения равновесия
и происходит линеаризация динамической задачи), B : V ! V , причем
(Bv; v)V b(v; v) =
;
Z X
N
tk k (v1k2 + v2k2 + v3k2 )d
+
k=1
#1 h
!
vi1 + vi2 + t2#2i ; t1 i + k (#2 ; #1 )2 + v31 + v32 2 d
8v 2 H; (22)
+ ~k hk
2
2
4 i i
2
i=1
где k | плотность k-го несущего слоя, ~k | плотность k-го слоя заполнителя. Остальные
Z
N
X1 обозначения совпадают с использованными выше. Решение задачи о свободных колебаниях, как
обычно, будем строить в виде
v(x; t) = u(x)ei!t ; (x; t) = (x)ei!t :
Тогда
L011 u + L12 = Bu; L21 u ; L22 = 0; = !2 :
(23)
2.1. Исследование задачи (23). В дальнейшем существенно используются методы исследования задач на собственные значения с линейными ограничениями (см. [12], гл. 9, [13] и цитированную там литературу). При этом потребуются следующие свойства участвующих в (23)
операторов.
72
Непосредственно из определения оператора B вытекает
Лемма 6.
kBukV ckukV :
1
Существуют такие постоянные c0 ; c1 > 0 , что для любых u; v 2 V
;
(L011 (u)v; v) c0 kvk2V 1 ; c1 (kukV + kuk2V ) :
Доказательство. Непосредственными вычислениями показывается, что
(L011 (u)v; v)V a011 (v; v) =
Лемма 7.
=
где
N Z
X
k=1
I1 = 2
{ {
(a (e(v ); e(v )) + b ( (v ); (v )))d
+
k
N Z
X
k=1 k
k
k
k
k
a (e(v ); d(u ; v ))d
; I2 =
k
k
I3 =
k
k
N Z
X
k=1 N Z
X
k=1 3
X
i=1
Ii 8u; v 2 V;
(24)
(25)
ak (e(uk ); d(vk ; vk ))d
;
ak (d(uk ; uk ); d(vk ; vk ))d
:
Используя обобщенное неравенство Коши-Буняковского и ограниченность оператора вложения
из W21 в L4 , получим
Z
jI1 j (jvp j + jrv1p j + jrv2p j)(jvp j + jrv3p j)(jup j + jrup3 j)d
ckvk2V kukV ;
Z
jI2 j (jup j + jrup1 jjrup2 j)(jvp j + jrv3p j)2 d
ckvk2V kukV ;
Z
jI3 j (jvp j + jrv3p j)2 (jup j + jrup3 j)2 d
ckvk2V kuk2V ;
откуда вследствие обобщенного неравенства Корна линейной теории оболочек имеем (24).
k
k
Замечание 3. Если квадратичные формы a ; b определяются соотношениями (4), (5), то
ak (d(uk ; uk ); d(vk ; vk )) = 14 (#21 (uk )#21 (vk ) + k #21(uk )#22 (vk ) +
+k #22 (uk )#21 (vk ) + #22 (uk )#22 (vk ) + 2(1 ; k )#1 (uk )#2 (uk )#1 (vk )#2 (vk )) 14 k (#21 (uk )#21(vk ) + #21(uk )#22(vk ) + #22(uk )#21 (vk ) + #22(uk )#22(vk )) 0;
и оценка (24) улучшается
(L011 (u)v; v) c0 kvk2V (1 ; c1 kukV ):
1
1
2 N
Лемма 8. Пусть u 2 (W1 W1 W1 ) . Тогда существуют такие постоянные c0 =
= c0 (u) > 0, c1 = c1 (u) > 0, что
(L011 (u)v; v) c0 kvk2V ; c1 kvk2L2 :
(26)
Доказательство. Заметим, что I1 + I2 + I3 можно представить как сумму слагаемых вида
p
@v
l
J1 = c(x)v v d
; J2 = c(x)v @x d
; k; l = 1; 2; 3;
l
Z
p
p
@vk @v3 d
; j; l = 1; 2; k = 1; 2; 3;
J3 = c(x) @x
j @xl
Z
где c(x) 2 W11 . Имеем далее
p p
k l
Z
p
k
jJ1 j; jJ2 j ckvk2V ;
73
Z
p
2 vp
@c
(
x
)
@v
@
p
3
J3 = ; v @x @x d
; vk c(x) @x23 d
;
j
l
l
c
c"
2
jJ3 j ckvkL2 kvkV 2" kvkL2 + 2 kvk2V ;
Z
p
k
" > 0 произвольно. Отсюда в силу (15) при соответствующем выборе " > 0 вытекает (26).
Из лемм 3, 4 и определения оператора B непосредственно следует
Пусть выполнено одно из следующих двух условий:
;
c1 kv~kV + kv~k2V < 1;
(27)
где c1 | постоянная из неравенства (24);
v~ 2 (W11 W11 W12 )N :
(28)
Тогда существует такая постоянная c0 = c0 (~v ) > 0 , что
(L011;c v; v) c0 kvk2V ; c0 > 0;
(29)
0
0
где L11;c = L11 + cB .
Замечание 4. При выполнении условия (27) постоянную c, очевидно, можно считать равной
нулю.
В дальнейшем для определенности будем считать выполненным условие (28), и постоянную
c выбранной так, что условие (29) выполняется. Ясно, что задача (23) эквивалентна задаче
L11;cu + L12 = 0 Bu; L21 u ; L22 = 0;
(30)
0 = + c. Для упрощения записей будем в дальнейшем придерживаться обозначений 0 = ;
L011;c = L011 .
Лемма 10. Оператор T : H ! H; Tu = v; u = (u; ); v = (v; ); где v; определяются как
решение системы
L011 v + L12 = Bu;
L21 v ; L22 = 0;
(31)
вполне непрерывен.
Справедливость утверждения леммы немедленно вытекает из лемм 4, 6 и полной непрерывности оператора вложения V в V1 . Действительно, kv k ckBukV c1 kukV1 :
Лемма 11. Пусть H 0 = fu 2 H; L12 u = L22 g: Сужение оператора T на H 0 | самосопряженный оператор в смысле скалярного произведения (u; )a = (L11 u; v)V + (L22 ; )H ,
порождающего норму, эквивалентную исходной.
Доказательство. Система (31) может быть записана в эквивалентном виде
(L11 v; )V + (L12 ; )V ; (L21 v; q)H + (L22 ; q)H = (Bu; )V
8(; q) 2 H:
Если (; q) 2 H 0 , то (L12 ; )V = (; L22 q)H = (L21 v; q)H и
(L011 v; )V + (L22 ; q)H = (Bu; )V ;
откуда в силу самосопряженности операторов B; L011 ; L22 и вытекает утверждение леммы.
Лемма 12. Ker T \ H 0 = 0.
Доказательство. Пусть (u; ) 2 Ker T \ H 0 . Тогда в силу определения оператора T имеем
(Bu; u)V = 0, т.е. u = 0; = L;221 L12 u = 0.
Из определения оператора T вытекает
Лемма 9.
74
Лемма 13.
Задача (30) эквивалентна задаче на собственные значения для оператора T ,
Tu = 1 u; u 2 H 0 :
Лемма 14. Пусть выполнены условия (29): Тогда задача (30) может иметь лишь положительные собственные числа.
Для доказательства этой леммы достаточно заметить, что для любой собственной пары
задачи (30) в силу леммы 14 справедливо соотношение
(L011 v; v)V + (L22 ; )H = (Bv; v):
Из установленных выше свойств задачи (30) вытекает
Теорема 4. Пусть выполнено условие (28): Задача (23) имеет счетное множество собственных чисел
1 2 3 : : : ; nlim
!1 n = +1:
Каждое собственное число имеет конечную кратность. Собственные функции задачи (23)
образуют ортонормированную в смысле скалярного произведения (; )a полную в H0 систему.
Замечание 5.
тельны.
Если выполнено условие (27), то все собственные числа задачи (23) положи-
2.2. Внутренняя аппроксимация задачи (23). Пусть Vh ; Hh | семейства конечномерных подпространств, полные в V; H соответственно. Под приближенным решением задачи (23) будем
понимать решение vh 2 Vh ; h 2 E0h конечномерной задачи
a011(vh ; h ) + a12 (h ; h ) = h b(vh ; h ) 8h 2 Vh ;
(32)
a21 (h ; qh) ; a22 (h; qh ) = 0 8qh 2 Hh ;
(33)
где формы a011 ; a12 = a21 ; a22 ; b определены равенствами (25), (10), (12), (22) соответственно.
Из общих результатов о внутренней аппроксимации задач на собственные значения при линейных ограничениях (см. [13], с. 430 ) следует, что оценки погрешности метода (32){(33) непосредственно вытекают из равномерной по h положительной определенности квадратичных
форм a011 (vh ; vh ); a22 (qh ; qh ) и установленных выше свойств задачи (23). Точнее, справедлива
h
Теорема 5. Пусть выполнено условие (28); i ; i | собственные числа задач (23); (32) ;
(33); занумерованные в порядке возрастания, Ei ; Eih | соответствующие им собственные
подпространства. Тогда
ji ; hij c"2h;
(Ei ; Eih ) c"h ;
где
"h =
sup
(u;p)2Ei ;kukV +kpkH =1
inf
(vh ;qh )2Vh Hh
(ku ; vh kV + kp ; qh k);
(Ei ; Eih ) | раствор подпространств Ei ; Eih (определение см., напр., в [12], с. 215).
75
Литература
1. Паймушин В.Н. Уточненная теория устойчивости многослойных конструкций (нелинейные уравнения докритического равновесия многослойных оболочек с трансверсальномягкими заполнителями) // Фундаментальные и прикладные проблемы механики деформируемых сред и конструкций. Сб. научн. трудов, вып. 1. { Нижний Новгород, 1993. { C. 44{56.
2. Паймушин В.Н. К вариационным методам решения нелинейных пространственных задач
сопряжения деформируемых тел // ДАН СССР. { 1983. { Т. 23. { Є 2. { С. 1083{1086.
3. Иванов В.А., Паймушин В.Н. Уточненные уравнения динамики многослойных оболочек с
трансверсально-мягкими заполнителями // Изв. РАН. Механ. тверд. тела. { 1995. { Є 5. {
С. 142{152.
4. Муштари Х.М., Галимов К.З. Нелинейная теория упругих оболочек. { Казань.: Таткнигоиздат, 1957. { 431 с.
5. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. { М.: Мир. { 1981. { 408 с.
6. Красносельский М.А., Вайникко Г. М., Забрейко П.П. Приближенное решение операторных
уравнений. { М.: Наука, 1969. { 455 с.
7. Корнеев В.Г. О дифференциальном операторе системы уравнений равновесия теории тонких оболочек // Изв. АН СССР. Механ. тверд. тела. { 1975. { Є 2. { С. 89{97.
8. Карчевский М.М. О разрешимости геометрически нелинейных задач теории тонких оболочек // Изв. вузов. Математика. { 1995. { Є 6. { С. 30{36.
9. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. { М.: Мир, 1980. { 512 с.
10. Карчевский М.М., Паймушин В.Н. О вариационных задачах теории трехслойных пологих
оболочек // Дифференц. уравнения. { 1994. { Є 7. { С. 1217{1221.
11. Карчевский М.М., Шурыгина О.В. Исследование вариационной задачи об изгибе трехслойной оболочки с трансверсально-мягким заполнителем. { Казанск. ун-т. { Казань, 1995. {
20 с. { Деп. в ВИНИТИ 04.05.95, Є 921-В95.
12. Дьяконов Е.Г. Минимизация вычислительной работы. { М.: Наука, 1989. { 272 с.
13. Mercier B., Osborn J., Rappaz J., Raviart P.A. Eigenvalue approximation by mixed and hybrid
methods // Math. Comput. { 1981. { V. 36. { Є 154. { P. 427{453.
Казанский государственный университет
Казанский технический университет
Поступила
05.01.1996
76
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
213 Кб
Теги
мягкими, многослойной, заполнителями, математические, оболочек, трансверсальной, теория, задача
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа