close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О математической модели движения нелинейно-вязкой жидкости с условием проскальзывания на границе.

код для вставкиСкачать
2007
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 5 (540)
УДК 571.988:532.5-1/-9
М.Ю. КУЗЬМИН
О МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ДВИЖЕНИЯ НЕЛИНЕЙНО-ВЯЗКОЙ
ЖИДКОСТИ С УСЛОВИЕМ ПРОСКАЛЬЗЫВАНИЯ НА ГРАНИЦЕ
Введение
Известно много математических работ, связанных с различными вопросами разрешимости
уравнений Навье{Стокса. Математическим моделям неньютоновских жидкостей, реологические
соотношения которых подчиняются принципу объективности поведения материалов (см. [1]),
посвящено гораздо меньшее количество работ. Кроме того, различными авторами (см., напр., [2])
отмечается важность исследования задач с граничными условиями, отличными от классических
условий прилипания. Данная работа посвящена доказательству теоремы существования слабых
решений краевой задачи, описывающей стационарное движение нелинейно-вязкой жидкости с
условием проскальзывания на границе. Необходимо отметить, что различные модели нелинейновязких жидкостей ранее изучались В.Г. Литвиновым, в данной работе содержатся результаты,
существенно улучшающие некоторые результаты монографии [3].
Пусть изучаемая жидкость целиком заполняет сосуд с твердыми стенками, представляемый
ограниченной областью Rn , n 2 f2; 3g, с липшицевой границей S . Как хорошо известно,
стационарное движение любой жидкости описывается уравнением движения в форме Коши
n
X
n @
@ui ; X
ij
uj @x
@x = Fi ;
j
j =1
j =1
j
(0.1)
где x 2 ; u = (u1 ; : : : ; un ) | поле скоростей жидкости; fij gni;j=1 | тензор напряжений; F =
(F1 ; : : : ; Fn ) | плотность объемных сил. Предполагается условие несжимаемости жидкости
div u =
n
X
@ui = 0:
i=1 @xi
(0.2)
Основным объектом исследования являются нелинейно-вязкие жидкости, подчиняющиеся
следующему определяющему соотношению (см. [3], [4]):
ij (p; u) = ;pij + '(I (u))"ij (u);
(0.3)
где
ij , "ij | компоненты единичного тензора и тензора скоростей деформации; "ij (u) =
1 ; @ui + @uj ; ' | вещественная функция, определенная на множестве [0; +1)(= R ); I (u) =
+
2 @xj
@xi
n
P
("ij (u))2 ; p | сферическая часть тензора напряжений.
i;j =1
Далее на границе S вводятся условия проскальзывания жидкости (см. [2], [3]). Пусть f =
(f1 ; : : : ; fn ) | сила взаимодействия жидкости и стенки сосуда, т. е.
fi =
n
X
j =1
[;pij + '(I (u))"ij (u)]j jS ;
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований,
грант Є 04-01-00081, и Министерством образования и науки Российской Федерации.
53
= (1 ; : : : ; n ) | единичная внешняя нормаль к S , fe1 ; : : : ; en g | некоторый фиксированный
базис в Rn . Поверхностную силу f можно разложить на нормальную и касательную составляющие
f (s) = f (s) + f (s) 8s 2 S;
где
f (s) = f (s)(s); f (s) =
f (s) = f (s) ; f (s) =
n
X
i=1
n
X
i=1
fi (s)i (s);
fi (s)ei ; fi (s) = fi (s) ; f (s)i (s):
Очевидно, что для поля скоростей жидкости u имеет место аналогичное разложение.
Скольжение частиц жидкости описывается следующими двумя условиями:
u (s) = 0 8s 2 S;
(0.4)
2
f (s) = ;(f (s); ju (s)j )u (s) 8s 2 S
(0.5)
(через j j обозначается норма в евклидовом пространстве Rn ). Вместо (0.5) будет рассматриваться регуляризованное условие
f (s) = ;(fr (s); ju (s)j2 )u (s) 8s 2 S;
(0.6)
где | вещественная непрерывная функция, определенная на множестве R R+ ,
fr (p; u) = ; Rp +
Здесь
Rv(x) =
Z
Rn
n
X
i;j =1
'(I (Ru))"ij (Ru)i j S
:
!(jx ; yj)v(y) dy; x 2 ;
при ! 2 C 1 (R+ ), supp ! 2 [0; a], a 2 R+ , !(z ) > 0 при z 2 R+ , n !(jxj) dx = 1.
R
Как отмечено в ([5], с. 9), наличие в соотношении (0.5) оператора регуляризации R естественно с физической точки зрения и означает \нелокальность" рассматриваемой модели скольжения
(см. [6], с. 15).
Кроме того, на давление необходимо нормировочное условие
R
Z
p(x) dx = 0:
(0.7)
Итак, краевая задача (0.1){(0.3), (0.4), (0.6), (0.7) описывает стационарные течения нелинейно-вязких жидкостей с проскальзыванием на границе.
1. Основные определения и формулировка результата работы
Введем пространства
Z = v : v 2 H 1 (
)n ; v jS = 0 ;
W = v : v 2 H 1(
)n ; v jS = 0; div vj
= 0 :
Пространство Z является гильбертовым со скалярным произведением, определяемым для
любых u; v 2 Z равенством
(u; v)Z =
n Z
X
i;j =1 "ij [u](x)"ij [v](x) dx +
54
n Z
X
i=1 S
ui (s)vi (s) ds:
Заметим, что если умножить обе части равенства (0.1) скалярно в L2 (
)n на произвольную
функцию h 2 Z , то с учетом условий (0.3), (0.4), (0.6) получим
n Z
X
i;j =1 '(I (u)(x))"ij [u](x)"ij [h](x) dx +
+
n
X
Z
i;j =1 n Z
X
i=1 S
[frn (p(s); u(s)); ju (s)j2 ]ui (s)hi(s) ds +
n Z
@ui (x)h (x) dx + Z p(x) [div h](x) dx = X
Fi (x)hi (x) dx (1.1)
uj (x) @x
i
j
i=1 (здесь предполагается F 2 L2 (
)n ).
Определение. Слабым решением задачи (0.1){(0.3), (0.4), (0.6), (0.7) назовем пару функций
(u; p) 2 W L2 (
), удовлетворяющую при произвольной функции h 2 Z соотношению (1.1).
На функции ' и налагаются следующие условия :
C1) функция ' : R+ ! R является непрерывной;
C2) существуют положительные константы a1 и a2 такие, что a1 6 '(y) 6 a2 для любых
y 2 R+ ;
C3) функция y 7! '(y2 )y при неотрицательных y является неубывающей;
C4) функция : R R+ ! R является непрерывной;
C5) существуют положительные константы b1 и b2 такие, что b1 6 (z1 ; z2 ) 6 b2 для любых
(z1 ; z2 ) 2 R R+ .
Условия C1){C5) имеют физический смысл (см. [3]).
Основной результат работы представляет
n
Теорема. Пусть F 2 L2 (
) , функции ' и удовлетворяют условиям C1){C5). Тогда
существует по крайней мере одно слабое решение задачи (0.1){(0.3), (0.4), (0.6), (0.7).
Отметим, что задача (0.1){(0.3), (0.4), (0.6), (0.7) исследовалась в [3] без учета конвективных
n
P
членов
uj @ui и при существенно более ограничительных условиях на функции ' и .
i;j =1 @xj
Для доказательства вышеприведенной теоремы применяется аппроксимационно-топологический метод [7], для чего вначале определяется эквивалентная операторная трактовка рассматриваемой задачи, затем для полученного операторного уравнения вводится аппроксимирующее семейство уравнений, зависящее от параметра , далее с помощью теории И.В. Скрыпника
топологической степени обобщенных монотонных отображений, на основании априорных оценок доказывается существование решений аппроксимационных уравнений, в итоге совершается
предельный переход при ! 0, посредством которого и показывается разрешимость исходного
операторного уравнения, а значит, и задачи (0.1){(0.3), (0.4), (0.6), (0.7).
2. Операторная трактовка задачи
Условимся о некоторых обозначениях. Через X обозначается пространство, сопряженное
некоторому банахову пространству X , а через hg; yi | действие функционала g 2 X на элемент
y 2 X , запись X m обозначает топологическое произведение m экземпляров пространства X .
Введем операторы
A : Z ! Z ;
hA(u); hi =
K : Z L2(
) ! Z ; hK (u; p); hi =
M : Z ! Z ;
hM (u); hi =
n Z
X
i;j =1 n Z
X
i=1 S
n Z
X
[frn(p(s); u(s)); ju (s)j2 ]ui (s)hi(s) ds;
i;j =1 55
'(I (u))"ij (u)"ij (h) dx;
@ui (x)h (x) dx:
uj (x) @x
i
j
(2.1)
Положим
D : Z ! L2 (
); D(u) = div u:
Отождествляя L2 (
)n и (L2 (
)n ) , согласно теореме Рисса о представлении линейного функционала в гильбертовом пространстве можно определить оператор
D : L2 (
)n (L2 (
)n) ! Z ;
hD (p); hi =
Z
p(x)[div h](x) dx:
Очевидно, множество слабых решений задачи (0.1){(0.3), (0.4), (0.6), (0.7) совпадает с множеством пар (u; p) 2 W L2 (
), удовлетворяющих операторному уравнению вида
A(u) + K (u; p) + M (u) ; D (p) = F:
(2.2)
3. Свойства операторов
Всюду далее записи vk k!1
! v0 и vk k!1
* v0 означают соответственно сильную и слабую схо1
димости последовательности fvk gk=1 к элементу v0 ; если же члены последовательности fvk g1
не стремятся к элементу v0 в сильном смысле, то будем обозначать это как vk k!1
9 v0. k=1
Для оператора A имеют место свойства
a) оператор A ограничен и непрерывен,
b) для любых u1 ; u2 2 Z имеет место неравенство
Лемма 3.1.
hA(u1 ) ; A(u2 ); u1 ; u2i > 0:
(3.1)
Доказательство. a) Ограниченность оператора A достаточно очевидна. Докажем его непрерывность. Итак, пусть uk k!1
! u0 в Z . Не ограничивая общности, можно полагать, что для
некоторой подпоследовательности fukl g1
l=1 имеют место сходимости
I (ukl )[x] l!1
! I (u0 )[x] и ukl [x] l!1
! u0[x] для почти всех x 2 :
(3.2)
kA(ukl ) ; A(u0)kZ > (3.3)
Предположим A(uk ) k!1
9 A(u0) при некотором u в Z . Не ограничивая общности, можно считать,
что для некоторой подпоследовательности fukl g1
l=1 имеет место неравенство
с некоторым фиксированным > 0. Оцениваем
=
kA(ukl ) ; A(u0 )kZ def
sup
h 2Z; kh kZ =1
n
X
6
+
jhA(ukl ) ; A(u0 ); h ij 6
Z
i;j =1 n Z
X
i;j =1 '(I (ukl ))"ij (ukl ; u0 )"ij (h ) dx +
['(I (ukl )) ; '(I (u0 ))]"ij (u0 )"ij (h ) dx 6
6 a2kukl ; u0kZ +
1=2
Z
['(I (ukl )) ; '(I (u0 ))]2 I (u0 ) dx
; (3.4)
первое слагаемое в последней части неравенств (3.4) стремится к нулю в силу сходимости
uk k!1
! u0 в Z , второе стремится к нулю в силу теоремы Лебега. Следовательно, hA(ukl ) ;
A(u0 ); h i l!1
! 0, что противоречит неравенству (3.3).
56
b) В силу неравенства Коши{Буняковского и условия C3)
n Z
X
hA(u1 ) ; A(u2); u1 ; u2i =
i;j =1 ['(I (u1 ))"ij (u1 ) ; '(I (u2 ))"ij (u2 )]["ij (u1 ; u2 )] dx =
Z
;
= ['(I (u1 ))I (u1 ) + '(I (u2 ))I (u2 )] dx ;
n Z
X
i;j =1 ['(I (u1 ))"ij (u1 )"ij (u2 ) ; '(I (u2 ))"ij (u1 )"ij (u2 )] dx >
Z
> ['(I (u1 ))I 1=2 (u1 ) ; '(I (u2 ))I 1=2 (u2)](I 1=2 (u1) ; I 1=2(u2 )) dx > 0: a) Если K | оператор (2.1), то для любой последовательности fuk ; hk ; pk g1
k=1
из пространства Z Z L2 (
)n , для которой имеют место сходимость (uk ; hk ; pk ) k!1
*
(u0 ; h0 ; p0 ) в Z Z L2 (
)n , существует подпоследовательность fukl ; hkl ; pkl g1
l=1 такая, что
hK (ukl ; pkl ); hkl i l!1
! hK (u0 ; p0); h0 i.
b) Для произвольного оператора T : Z ! L2 (
), оператор K (; T ()) компактен.
Доказательство. a) Пусть имеют место предельные соотношения из условия доказываемого пункта леммы. Так как вложение Z ,! L2 (S )n компактно, выделим такую подпоследовательность fukl ; hkl g1
l=1 , что
(ukl ; hkl ) l!1
! (u0 ; h0 ) в L2(S )n L2(S )n ;
(3.5)
(ukl [s]; hkl [s]) l!1
! (u0 [s]; h0 [s]) в R2n для почти всех s 2 S:
Лемма 3.2.
0
n
Продолжим функции последовательности fpk g1
k=1 (и функцию p ) на все пространство R , для
k
k
k
k
l
этого положим pe (x) = p (x), если x 2 , в противном случае pe (x) = 0. Ясно, что pe l!1
* pe0 в
L2 (Rn ). Имеем
Z
Аналогично,
; Rpkl +
Rn
n
X
!(j ; yj)pekl (y) dy = R(pkl )[ ] l!1
! R(p0)[] для всех s 2 S:
(3.6)
i;j =1
! fr (p0; u0 )[s] для всех s 2 S:
'(I (Rukl ))"ij (Rukl )i j (s) = fr (pkl ; ukl )[s] l!1
(3.7)
Оцениваем
jhK (ukl ; pkl ); hkl i ; hK (u0 ; p0); h0 ij 6
6
n Z
X
i=1
S
f(fr (pkl ; ukl ); jukl j2 ) ; (fr (p0; u0 ); ju0 j2)gu0i h0i ds +
+
n Z
X
i=1
S
f(fr (pkl ; ukl ); jukl j2 )(u0i ; ukil )h0i ds +
+
n Z
X
i=1
S
f(fr (pkl ; ukl ); jukl j2 )ukil (h0i ; hkil ) ds:
(3.8)
В силу условий C5) и соотношения (3.6), (3.7) первое слагаемое в правой части неравенства (3.8)
стремится к нулю по теореме Лебега, два других стремятся к нулю в силу (3.5).
b) Далее будет использоваться признак И.М. Гельфанда относительной компактности в банаховом пространстве, предварительно переформулированный в виде следующей леммы.
57
Лемма 3.3. Для того чтобы подмножество M банахова пространства X было относительно компактным, необходимо, а если X сепарабельно, то и достаточно, чтобы из любой
последовательности функционалов ffk g1
k=1 из X такой, что
fk ( y ) ! 0
8y 2 X;
(3.9)
k!1
можно было выделить подпоследовательность ffkl g1
l=1 , для которой предельное соотношение
(3.9) оказалось бы выполненным равномерно на M.
Доказательство проводится так же, как доказательство теоремы 3(1.IX) из ([8], с. 274). Незначительные изменения связаны с переходом к подпоследовательности в формулировке леммы.
Пусть T : Z ! L2 (
) | произвольный оператор, M | некоторое ограниченное множество в
Z , hk k!1
* 0 в пространстве (Z ) Z . Имеем
hhk ; K (u; Tu)i 6 b2kukL (S)n khk kL (S)n 8u 2 M:
При этом вложение Z ,! L2 (S )n компактно, поэтому для некоторой подпоследовательности fhkl g1
! 0 равномерно по всем u из M. Следовательно, множество
l=1 hhkl ; K (u; Tu)i l!1
2
2
K (M; T (M)) относительно компактно.
Лемма 3.4.
Пусть
n Z
X
M : Z ! Z ; hM (u); hi = 1 + 1=4 k1uk
L4 (
)n i;j =1 @ui h dx ( 2 R; > 0):
uj @x
i
j
Справедливы следующие утверждения:
a) оператор M ограничен и вполне непрерывен;
k 1
k * u0
b) если последовательности fuk g1
k=1 и fh gk=1 из пространства Z таковы, что u k!1
в Z , hk k!1
* h0 в Z , то существуют подпоследовательности fukl g1l=1 и fhkl g1l=1 , для
которых имеет место сходимость hM (ukl ); hkl i l!1
! hM (u0 ); h0 i.
a) Свойства ограниченности и непрерывности оператора M доказываются стандартно. Компактность доказывается с помощью неравенства
Доказательство.
n kukH (
)n
hM (u); hi 6 k1uk+L (
)
khkL (
)n
1=4 kuk
n
1
4
L4 (
)
4
аналогично предыдущей лемме.
b) В силу компактности вложения Z ,! L4 (
)n существуют подпоследовательности fukl g1
l=1
и fhkl g1
l=1 такие, что
(ukl ; hkl ) l!1
! (u0 ; h0 ) по норме пространства L4(
)n L4 (
)n:
(3.10)
Имеем
n Z
0 @ukl X
@u
1
i
i
0
0
0
0
k
k
l
l
uj @x ; @x hi dx +
jhM (u ); h i ; hM (u ); h ij 6 1 + 1=4 ku0k n
L4 (
) i;j =1 j
j
Z
n
kl
X
i h0 dx +
+ 1 + 1=4 k1u0 k n
(u0j ; ukj l ) @u
@xj i L4 (
) i;j =1 n Z
kl
X
1
@u
i
k
k
0
l
l
+ 1 + 1=4 ku0 k n
uj @x (hi ; hi ) dx +
L4 (
) i;j =1 j
X
n Z
kl
i hkl dx: (3.11)
ukj l @u
+ 1 + 1=4 k1u0 k n ; 1 + 1=4 k1ukl k n
@xj i L4 (
)
L4 (
) i;j =1 58
Первое слагаемое в правой части неравенства (3.11) стремится к нулю в силу того, что ukl l!1
* u0
в Z , остальные слагаемые стремятся к нулю в силу (3.10).
4. Аппроксимационное уравнение и априорная оценка
Для произвольного > 0 введем вспомогательное уравнение относительно неизвестной функции u
A+ (u ) + A(u ) + K (u ) + M (u ) + ;1 D D(u ) = F;
где
hK (u); hi =
n Z
X
i=1 S
(frn (;;1 Du; u); ju j2 )ui hi ds;
1
hM (u); hi = 1 + 1=4 kuk
Положим hK + (u); hi =
n Z
X
@ui h dx;
uj @x
i
L4 (
)n i;j =1 j
Z
n
X
hA+ (u); hi = "ij (u)"ij (h) dx:
i;j =1 n R
b1 P
2 i=1 S ui hi ds.
Для семейства операторных уравнений
;
t (u ) = A+ (u ) + K + (u ) + t A(u ) + K (u ) ; K + u + M (u ) + ;1 D D(u ) ; F = 0; (4.1)
зависящих от параметра t 2 [0; 1], при достаточно малых имеет место априорная оценка
решений, т. е. при всех таких, что
0 < 6 c(a1 ; b1 ; n; );
выполняется неравенство
ku kZ 6 C (kF kZ ; a1 ; b1 ; n; );
(4.2)
где c, C | величины, зависящие только от указанных аргументов.
Доказательство. При t = 0 имеет место только нулевое решение, в этом случае оценка
(4.2) очевидна. Пусть u | решение (4.1) при некотором t 2 (0; 1]. Подействуем левой и правой
частями (4.1) на u . Имеем
hA+ (u ) + K +(u ); u i > 0;
таким образом,
hA(u ); u i + hK (u ); u i ; hK +(u ); u i + hM (u ); u i + ;1 hDD(u ); u i 6 hF; u i:
Заметим, что
hA(u ); u i + hK (u ); u i ; hK + (u ); u i > min (a1 ; b1=2) ku kZ :
Вместе с тем
n Z
X
i u dx =
uj @u
jhM (u ); u ij = 1 + 1=4 k1u k n
@xj i L4 (
) i;j =1 Z
n Z
X
1
1
1
2
2
uii ju j ds 6
= 1 + 1=4 ku k n ; 2 D(u )ju j dx + 2
L4 (
)
i=1 S
Лемма 4.1.
ku k2
6 n2 kD(u )kL (
) 1 + 1=4 kLu(
)k n
2
4
L4 (
)n
59
ku k2
6 n2 kD(u )kL (
) 1=4 kuLk(
)n n 6
2
4
L4 (
)
6 kD(u1)=k2L (
) 1=4 n2 #ku kZ 6
2
kD(u )k2L (
)
2
(# | норма оператора вложения пространства Z в пространство L4 (
)n ).
Нетрудно заметить также, что
;1 hD D(u ); u i = ;1 hD(u ); D(u )i = ;1 kD(u )k2L2 (
) ;
2
kF kZ ku kZ 6 l4 kF k2Z + l12 ku k:
Положим l настолько большим по модулю, что
1 < min a ; b1 :
1
l2
2
Тогда при достаточно малых получим
;1
2
l
b
1
1
2
ku kZ 6 2 min a1; 2 ; l2 kF k2Z :
Неравенство (4.3) и является оценкой вида (4.2).
+ 1=2 n4 #2 ku k2Z
2
(4.3)
5. Существование решений аппроксимационного уравнения
Для доказательства существования решений аппроксимационного уравнения применим метод топологической степени обобщенных монотонных отображений (см. [9]). Покажем, что семейство t осуществляет гомотопию отображений 0 и 1 . Для этого вначале заметим, что в
силу априорной оценки (4.2) в пространстве Z существует замкнутый шар R с центром в нуле
радиуса R > 0, на границе @ R которого нет решений уравнений t (u ) = 0 (при t 2 [0; 1]).
Далее необходимо показать
a) для любой последовательности fuk g1
k=1 , взятой на границе @ R , и для любой последовательности точек ftk g1
на
отрезке
[0
;
1],
из того, что имеют место предельные соотношения
k=1
uk k!1
* u0 в Z , tk (uk ) k!1
* 0 в Z , и tk (uk ); uk ; u0 k!1
! 0, следует uk k!1
! u0 в Z ,
1
b) для любой последовательности fuk gk=1 из шара R такой, что uk k!1
! u0 в Z , и такой
последовательности точек ftk g1
! t0, имеет место сходимость tk (uk ) k!1
*
k=1 (tk 2 [0; 1]), что tk k!1
t0 (u0 ) в Z .
Доказательство. a) Предположим противное, т. е. пусть uk 9 u0 в Z . Тогда для некотоk!1
рых подпоследовательностей fukl g1
l=1 и фиксированного числа " > 0
kukl ; u0 kZ > ":
(5.1)
Из последовательности fukl g1
l=1 нельзя выделить подпоследовательность, сходящуюся к u0 . Однако будет доказано обратное утверждение.
Из условия предложения a) имеем
lim h (u ); u ; u0 i = llim
h (u ) ; t0 (ukl ) + t0 (ukl ) ; t0 (u0); ukl ; u0i = 0:
l!1 tkl kl kl
!1 tkl kl
Не ограничивая общности, можем считать, что последовательность ftkl g1
l=1 такова, что
tkl l!1
! t0 2 [0; 1]. Так как все определенные операторы ограничены, то
lim
htkl (ukl ) ; t0 (ukl ); ukl ; u0 i =
l
!1
= llim
h(t ; t ) A(ukl ) + K (ukl ) ; K +(ukl ) + M (ukl ) + ;1 DD(ukl ) ; F ; ukl ; u0i = 0:
!1 kl 0
(5.2)
60
Кроме того, в силу доказанных свойств операторов из последовательности fukl g1
l=1 можно
выделить такую подпоследовательность fuklm g1
,
что
будут
выполнены
следующие
предельm=1
ные соотношения:
lim hA(uklm ) ; A(u0 ); uklm ; u0 i > 0;
(5.3)
m!1
lim hK (u ) ; K (u0 ) + K + (uklm ) ; K +(u0 ) + M (uklm ) ; M (u0 ); uklm ; u0 i = 0: (5.4)
m!1 klm
Имеет место неравенство
lim h;1 D D(uklm ; u0 ); uklm ; u0 i > 0:
(5.5)
m!1
Из (5.2){(5.5) вытекает
lim h[A+ + K + ](uklm ; u0 ); uklm ; u0 i 6 0:
m!1
(5.6)
Предельное соотношение (5.6) противоречит (5.1), т. к. оператор A+ + K + строго монотонен:
h[A+ + K +](u ; w); u ; wi > min(; b1 =2)ku ; wk2Z 8u; w 2 Z:
Доказательство предложения b). Очевидно, для произвольного h 2 Z справедливо равенство
lim h (u ); hi = klim
h (u ) ; t0 (uk ); hi + klim
h (u ) ; t0 (u0); hi:
(5.7)
k!1 tk k
!1 tk k
!1 t0 k
Первое слагаемое в (5.7) стремится к нулю в силу сходимости tk k!1
! t0, второе | в силу
деминепрерывности всех входящих в слагаемое операторов.
Таким образом, отображения 0 и 1 гомотопны, вместе с тем степень deg(0 ; R ; 0) нечетна, т. к. отображение 0 нечетно. Поэтому решение уравнения 1 (u ) = 0 существует при всех
достаточно малых .
6. Предельный переход
Возьмем последовательность k k!1
! 0 и поставим в соответствие каждому k решение uk 2 Z
k
уравнения 1 (u) = 0. Имеем
k;1 DD(uk ) = F ; A+ (uk ) ; A(uk ) ; Kk (uk ) ; Mk (uk ):
(6.1)
Как следствие результатов [10], отметим, что оператор D осуществляет изоморфизм пространств
Z
P0 = 2 L2(
) : (x) dx = 0
и W0 = ff 2 Z : hf ; ui = 0 8u 2 W g:
Из априорной оценки и соотношения (6.1) следует существование элементов u0 2 Z; p0 2
L2 (
) таких, что
uk k!1
* u0 в Z;
uk k!1
! u0 по норме L2(
)n и почти всюду на ;
uk k!1
! u0 по норме L2(S )n и почти всюду на S;
D(uk ) k!1
! 0 в L2 (
);
k;1 D(uk ) k!1
* ;p0 в P0 :
(6.2)
(6.3)
(6.4)
(6.5)
(6.6)
Положим
(uk ; v) = hA+ (uk ) + A(uk ) ; A(v) + Kk (uk ) ; K (u0 ; p0 ) +
+ Mk (uk ) ; M (u0 ) + k;1 D D(uk ) + D (p); uk ; vi:
61
Согласно леммам 3.1{3.4 и соотношениям (6.2){(6.6) можно положить, что для последовательности fuk g1
k=1 выполняются следующие предельные соотношения:
lim hA(uk ) ; A(v); uk ; vi > 0;
(6.7)
k!1
lim hK (u ) ; Kk (u0 ; p0 ) + Mk (uk ) ; M (u0 ); uk ; vi = 0;
(6.8)
k!1 k k
lim h;1 D D(uk ) + D (p); uk ; vi = 0;
(6.9)
k!1 k
lim hA+ (uk ); uk ; vi = 0:
(6.10)
k!1
Из соотношений (6.7){(6.10) имеем
lim (uk ; v) > 0 8v 2 Z:
(6.11)
k!1
С другой стороны,
lim (uk ; v) = klim
hA+(uk ); uk ; vi +
k!1
!1
+ klim
hA(uk ) + Kk (uk ) + Mk (uk ) + k;1 DD(uk ); uk ; vi +
!1
+ klim
h;A(v) ; K (u0; p0 ) ; M (u0 ) + D(p0 ); uk ; vi =
!1
= hF ; A(v) ; K (u0 ; p0 ) ; M (u0 ) + D (p0 ); u0 ; vi: (6.12)
Далее возьмем v = u0 ; h, где > 0, h 2 Z , и устремим ! 0. Из соотношений (6.11) и
(6.12) следует, что для любого h 2 Z имеет место неравенство
hF ; A(u0 ) ; K (u0; p0) ; M (u0 ) + D(p0); hi > 0;
заменяя в котором h на ;h, получим в силу произвольности h, что пара (u0 ; p0 ) | искомое
решение уравнения (2.2).
Литература
1. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. { М.: Мир, 1975.
{ 592 с.
2. Раджагопал К.Р. О некоторых нерешенных проблемах нелинейной динамики жидкостей //
УМН. { 2003. { Вып. 58. { Є 2. { С. 111{121.
3. Литвинов В.Г. Движение нелинейно-вязкой жидкости. { М.: Наука, 1982. { 376 с.
4. Астарита Дж., Марручи Дж. Основы гидромеханики неньютоновских жидкостей. { М.:
Мир, 1978. { 309 с.
5. Hoppe R.H.W., Litvinov W.G. Flow of electrorhological uids under the conditions of slip on the
boundary. { Institute of Mathematics, University of Augsburg, 2002. { 9 p.
6. Eringen A.C. Nonlocal Continuum Field Theories. { Springer-Verlag, 2002. { 15 p.
7. Звягин В.Г., Дмитриенко В.Т. Аппроксимационно-топологический подход к исследованию
задач гидродинамики. Система Навье{Стокса. { M.: УРСС, 2004. { 112 с.
8. Канторович А.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. {
М: Физматгиз, 1959. { 274 с.
9. Скрыпник И.В. Методы исследования нелинейных эллиптических граничных задач. { М:
Физматгиз, 1990. { 265 с.
10. Litvinov W.G. Optimization in Elliptic Problems with Applications to Mechanics of Deformable
Bodies and Fluid Mechanics. { Birkhauser, 2000. { 142 p.
Воронежский государственный
университет
Поступила
17.04.2006
62
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
215 Кб
Теги
граница, нелинейные, движение, математические, проскальзывания, вязкой, модель, условие, жидкости
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа