close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О методе усреднения для квазилинейных параболических уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами.

код для вставкиСкачать
2000
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 7 (458)
УДК 519.4 + 513.88
В.Б. ЛЕВЕНШТАМ
О МЕТОДЕ УСРЕДНЕНИЯ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ
ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
С БЫСТРО ОСЦИЛЛИРУЮЩИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
В работах [1], [2] метод усреднения обоснован для задачи об (общих) ограниченных решениях
квазилинейных параболических уравнений произвольного порядка 2k с быстро осциллирующей
по времени главной частью. В данной работе исследуется задача о периодических по времени
решениях для таких уравнений. В x 1 обоснован метод усреднения. Показано, что при определенных условиях в некоторой окрестности стационарного решения v0 усредненной задачи для
больших значений асимптотического параметра ! существует единственное l!;1 -периодическое
по времени решение возмущенной задачи (l!;1 | период коэффициентов этой задачи) и справедлива оценка 1
ku! ; v0 kC2k+;=2k c!;1+=2k ; 2 [0; 1); c = const :
В x 2 при дополнительных
условиях гладкости коэффициентов возмущенной задачи построn
ены старшие приближения v ! , n = 0; 1; : : : , для которых при любых неотрицательных числах r
и s выполняются оценки
ku! ; vn! kCr;s cn !;(n+1)+s; ! 1;
где cn = cn (r; s) = const.
1. Обоснование метода усреднения
2kP
;1
1 . Пусть k и m | натуральные числа, l > 0. Обозначим через p = (m + i ; 1)!=i!(m ; 1)!
i=0
количество всевозможных частных производных гладкой функции u(x), x 2 Rm, до порядка
2k ; 1 включительно. Пусть на множестве Rm C p R1 заданы функции a (x; e; ) и f (x; e; ),
@f
p
которые вместе с производными @a
@ei (x; e; ), @ei (x; e; ) по компонентам вектора e 2 C непрерывны по совокупности переменных и l-периодичны по . Пусть, кроме того, для произвольного
ограниченного множества 2 M C p эти функции и их указанные производные на множестве
Rm M R1 равномерно ограничены и удовлетворяют по x условию Гельдера с показателем
2 (0; 1) и константой c(M ), не зависящей от (x; e; ) 2 Rm M R1 , а функции @a@ei (x; e; )
и @e@fi (x; e; ) удовлетворяют, кроме того, равномерному относительно x, e, условию Липшица
по e.
1 Определение гельдеровой нормы k kC r;s , r 0, s 0 см. в п. 1 .
2 Под множеством M можно подразумевать фиксированный шар в C p , содержащий строго внутри себя
все векторы ( 2k;1 v0 )(x), x 2 Rm , где v0 | решение усредненной задачи, определенное ниже (обозначение
2k;1 также введено ниже).
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований
(коды проектов 96-01-01417 и 98-01-00136).
22
Рассмотрим задачу о l!;1 -периодических по времени t решениях квазилинейного параболического уравнения
@u = X a (x; 2k;1 u; !t)D u + f (x; 2k;1 u; !t):
@t jj=2k (1.1)
Здесь ! | большой асимптотический параметр, = (1 ; 2 ; : : : ; m ) | m-мерный мультиинm
;
P
jj u
2k;1 декс, jj = i , D u = @x1 @1 :::@x
mm , 2k;1 u = u; : : : ; @@x2k;u1 | вектор-функция, составленная из
m
i=1
всевозможных частных производных функции u по x1 ; : : : ; xm до порядка 2k ; 1 включительно.
Предположим, что для уравнения (1.1) выполнено условие равномерной параболичности,
т. е. для всех вещественных векторов = (1 ; 2 ; : : : ; m ) справедлива оценка
X
(;1)k+1 Re
a(x; e; ) jj2k ;
jj=2k
где постоянная = (M ) не зависит от (x; e; ) 2 Rm M R1 .
Обозначим через a (x; e) и f (x; e) средние функций a (x; e; ) и f (x; e; ) по :
l
Z
g(x; e) = l;1
0
где g = a ; f .
Предположим, что усредненная задача
g(x; e; )d;
@v = X a (x; 2k;1 v)Dv + f (x; 2k;1 v)
@t jj=2k (1.2)
имеет стационарное решение v0 такое, что множество векторов (2k;1 v0 )(x), x 2 Rm , в пространстве C p ограничено. Все решения в данной работе понимаются в классическом смысле.
Прежде чем сформулировать теорему 1, напомним определения некоторых банаховых пространств и введем необходимые обозначения.
Через C r , r 0, обозначается банахово пространство непрерывных в Rm функций u(x),
имеющих непрерывные и равномерно ограниченные производные по x до порядка r0 = [r] ([r]
| целая часть r) включительно и удовлетворяющие условию
X
X
kukCr = supm
jDu(x)j + r sup
jDu(x00) ; Du(x0 )j=jx00 ; x0j(r;r0) < 1;
00 0
x2R jjr0
x 6=x jj=r0
где r = 0 при r целом и r = 1 при r нецелом.
Через C r; , где r 0, 2 [0; 1), обозначается банахово пространство непрерывных в Rm+1
функций u(x; t), имеющих непрерывные производные по x до порядка r0 = [r] включительно и
удовлетворяющих условию
X
X
kukCr; = supm+1
jD u(x; t)j + r 0 sup 00
jDu(x00; t) ; Du(x0; t)j=jx00 ; x0 jr;r0 +
(x;t)2R
jjr0
(x ;t)6=(x ;t) jj=r0
+ sup
0
X
(x;t )6=(x;t00 ) jjr0
jDu(x; t00) ; Du(x; t0 )j=jt00 ; t0 j < 1:
Пусть r; s 0. Если функция u(x; t) 2 C r;s;s0 , где s0 = [s], имеет непрерывные по t производные
до порядка s0 включительно, которые также принадлежат пространству C r;s;s0 , то определим
ее C r;s-норму с помощью равенства
s0 @ i u(x; t) X
kuk r;s = :
C
i=0
23
@ti
C r;s;s0
Для функций u(x; t), заданных на декартовом произведении Rm [a1 ; a2 ], где ;1 < a1 <
a2 < 1, аналогичным образом вводится норма kukC[r;sa1 ;a2 ] .
Через L обозначим линейный оператор, действующий в пространстве C по правилу
Lv =
X
jj=2k
a (x; 2k;1 v0)Dv +
X
jj=2k
f[De a (x; 2k;1 v0)](2k;1 v)gD v0 +
+ [(De f )(x; 2k;1 v0 )](2k;1 v); v 2 D(L) = C 2k+ :
p
P
Здесь [(De a)(x; e )](e) = @a@e(x;i e) ei | частный дифференциал функции a(x; e) по группе переi=0
менных e.
2k;1+ и
Теорема 1. Пусть усредненная задача (1:2) имеет стационарное решение v0 2 C
спектр (L) оператора L не содержит нуля. Тогда для любого 1 2 (0; ) найдутся такие
0 и !0, что при ! > !0 справедливы следующие утверждения.
1. Уравнение (1:1) имеет в шаре SC02k+1 ;1 =2k (v0 ) := fu 2 C 2k+1 ;1 =2k : ku ; v0 kC 2k+1 ;1 =2k 0 g единственное l!;1 -периодическое по t решение u! , причем справедлива точная по
параметру ! оценка
ku! ; v0kC2k+1 ;1=2k c!;1+1 =2k ; c = const :
2. Если спектр (L) лежит строго внутри левой комплексной полуплоскости, то решение
u! экспоненциально устойчиво при произвольном выборе начального момента времени
s, причем равномерно по ! и по s. Это означает существование таких положительных
1
чисел r0 , 1 , 2 , что для любого s 2 R и любой функции
2 C 2k+1 , удовлетворяющей
s
условию ku! (x; s) ; (x)kC 2k+1 r0 , существует решение u! (x; t), t s, задачи Коши для
s
уравнения (1:1) с начальным условием u! (x; s) =
(x), и при t s справедлива оценка
ku! (x; t) ; us! (x; t)kC2k+1 1 exp[;2(t ; s)]ku! (x; s) ; us! (x; s)kC2k+1 :
2 . Как известно, оператор L порождает в пространстве C аналитическую полугруппу
exp(tL), которая является эволюционным оператором уравнения
@v ; Lv = 0:
(1.3)
@t
положительные числа
Отсюда, из теоремы об отображении спектра для аналитических полугрупп и предположения
0 2= (L) следует, что при некотором (фиксируемом здесь) числе T > 0 спектр (exp(TL))
оператора exp(TL) не содержит единицы.
Рассмотрим вспомогательное линейное параболическое уравнение
L! u := @u
@t =
;
X
jj=2k
X
jj=2k
a (x; 2k;1 b! (x; t); !t)D u ;
f[(De a )(x; 2k;1 c! (x; t))](2k;1 u)gD v0 ; [(De f )(x; 2k;1 d! (x; t))](2k;1 u) = 0; (1.4)
где b! ; c! ; d! 2 C 2k;1+;0 | зависящие от параметра ! > 0 функции. Введем величину t! =
[T!l;1 ]l!;1 . Пусть U! (t; ), ;1 < < t < 1, | оператор сдвига по траекториям уравнения
(1.4) (эволюционный оператор), а V! (s) = U! (s + t! ; s), s 2 R | оператор, являющийся в случае
t! -периодических по t функций b! , c! , d! оператором монодромии, отвечающим периоду t! .
Через Hom(B1 ; B2 ), где B1 , B2 | банаховы пространства, обозначается пространство линейных
ограниченных операторов, действующих из B1 в B2 , с равномерной операторной нормой.
Справедлива
24
1 2 (0; ). Тогда существуют такие положительные числа !1 , r1 и c1 , что
! > !1 и любых функциях b! , c! и d! , лежащих в шаре SCr12k;1+1 ;0 (v0 ), спектр оператора
V! (s), s 2 R в пространстве C 2k+1 не содержит единицы и, более того, справедлива оценка
k[I ; V! (s)];1 kHom(C2k+1 ;C2k+1 ) c1:
Лемма. Пусть
при всех
несложно и опускается. Отметим лишь некоторые оценки ([3], c. 64{115;
[2]), на которые оно опирается.
Пусть s 2 R1 , T0 > 0. Обозначим через G(t ; ; x; ) и G! (t; ; x; ), s < < t < s + T0 ,
фундаментальные решения задачи Коши для уравнений (1.3) и (1.4) соответственно. Пусть
h 2 Rm , h1 2 R1,
h;h1 f (x; t) = f (x + h; t + h1 ) ; f (x; t);
Доказательство
v! (x; t; ) =
Z
t
t0
d
Z
Rm
G! (t; ; x; ) (; )d; s t0 < t s + T0 :
Имеют место следующие соотношения для функций G! (а также аналогичные оценки и для G):
jDxG! (t; ; x; )j c0 (t ; );(m+jj)=2k exp[;c1(t; ; x; )];
(1.5)
0
0
0
jh;h1 DxG! (t; ; x; )j c0 (t ; );(m+jj+ )=2k [jhj + jh1 j =2k ] maxfexp[;c1 (t; ; x ; )]; exp[;c1(t; ; x + h ; )]g;
(1.6)
0
0
0
jh;h1 Dxv! j c0 [jhj + jh1 j =2k ][t ; t0](2k;jj+; )=2k k kC;0 :
(1.7)
m
P
Здесь (t; ; x) = [jxi j(t ; );1=2k ]2k=(2k;1) , 0 h1 a(t ; ) при некоторой постоянной a > 0,
i=1
c0 , c1 | положительные постоянные, не зависящие от !, t0 , t, , x, , h, h1 , s и , 0 < 0 ,
причем при jj = 2k, 0 < .
3 . Перейдем к доказательству первого утверждения теоремы 1. Обозначим через Cw (t; ; x; )
и Uw (t; ), 0 < t 2t! , соответственно фундаментальное решение задачи Коши и оператор
сдвига по траекториям уравнения
@u ; X a (x; 2k;1 (w + v ); !t)D u ; X f[(D a )(x; 2k;1 v )](2k;1 u)gD v ;
0
e 0
0
@t jj=2k jj=2k
;0
; [(De f )(x; 2k;1 v0)](2k;1 u) = 0; w 2 C[02k;2;t1+
!] :
Пусть 1 2 (0; ). Согласно лемме 1 найдутся такие положительные числа r1 , !1 и c1 , что при
всех w, лежащих в шаре S r1 := SCr12k;1+1 ;0 (0) и всех ! > !1 справедлива оценка
[0;2t! ]
k[I ; Uw (t! ; 0)];1 kHom(C2k+1 ;C2k+1 ) c1 :
При ! > !1 определим оператор P , действующий из шара S r1 в пространство C[02k;2+t!1];1 =2k по
правилу
[P (w)](x; t) = Uw (t! ; 0)[I ; Uw (t! ; 0)];1
X
jj=2k
Z t!
0
d
Z
Rm
Gw (t! ; ; x; ) a (; 2k;1 (w + v0 ); ! ) ; a (; 2k;1 v0 ) ; [(De a )(; 2k;1 v0 )] Dv0 +
2k;1 v );[(D f )(; 2k; 1 v )]( 2k; 1 w)
0 ); !t);f (; 0
e 0
+f (; 2k;1 (w+v
25
Zt
Z
0
Rm
d + d
Gw (t; ; x; )f: : : gd
(1.8)
Можно показать (см., напр., [4], c. 34), что сужение на участок t 2 [0; 2t! ] каждого t! периодического по t решения u уравнения (1.1), для которого u ; v0 2 S r1 , удовлетворяет уравнению
u = P (u ; v0 ) + v0 ;
(1.9)
и наоборот, каждое t! -периодическое продолжение решения уравнения (1.9) является t! -периодическим решением уравнения (1.1).
Докажем, что существуют такие числа ! !1 и r0 2 (0; r1 ], что при ! > !0 оператор P в
шаре Se r0 := fw 2 SCr02k+1 ;1 =2k (0) : w(x; t + t! ) = w(x; t); t 2 [0; t! ]g является сжатием. Пусть
[0;2t! ]
функции w1 ; w2 2 Se r1 . Обозначим разность w2 ; w1 через w и воспользуемся равенством
P (w2 ) ; P (w1 ) = Uw1 (t; 0)[I ; Uw1 (t! ; 0)];1
Z
Gw1 (t! ; ; x; )
m
R
+
hZ
0
+
1
(De a
hZ
1
0
X nZ
jj=2k
)[; 2k;1 (sw
1
0
Z t!
0
d (De a )[; 2k;1 (sw2 + (1 ; s)w1 + v0 ); ! ]ds(2k;1 w)D P (w2 ) +
2 + (1 ; s)w1 + v0 ); ! ]ds ; (De a )(; 2k;1 v
i
0)
o
(2k;1 w)D v0 +
i
(De f )[; 2k;1 (sw2 + (1 ; s)w1 + v0 ); ! ]ds ; (De f )(; 2k;1 v0 ) (2k;1 w) d +
+
t
Z
0
d
Z
Rm
Gw1 (t; ; x; )f: : : gd: (1.10)
С помощью оценок (1.5){(1.7) из равенств (1.8), (1.10) выводятся соотношения
kP (w)kC[2tk!+;2t1!;] 1=2k d1(r1 ; !1);
kP (w2 ) ; P (w1 )kC[2tk+;2t1 ;] 1=2k d2(r1 ; !1)kw2 ; w1 kC[02k;t+]1;1 =2k ;
! !
!
где функции di таковы, что r1 !0lim
d (r ; ! ) = 0, i = 1; 2. Отсюда следует указанное в начале
;!1 !1 i 1 1
абзаца утверждение, а вслед за тем в силу принципа сжатых отображений и утверждение 1
теоремы 1.
Утверждение 2 теоремы 1 доказывается аналогично второму утверждению теоремы 3 [2].
2. Старшие приближения
1 . Пусть функции a (x; e; ), jj = 2k, и f (x; e; ), входящие в уравнение (1.1), удовлетворяют
предположениям п. 1 x 1 и следующим дополнительным условиям. Существуют их непрерывные
производные по всем аргументам любого порядка, и для произвольного ограниченного в C p
множества M (см. сноску в п. 1 x 1) при всех (x; e; ) 2 Rm M R1 выполняются оценки
@ i g(x; e; ) c ;
Dx De @
;;i
i
(2.1)
где g = a или f , = (1 ; 2 ; : : : ; m ), = (1 ; 2 ; : : : ; p ) | произвольные мультииндексы, i |
произвольное целое неотрицательное число, c;;i = const.
Введем следующие обозначения. Для любых l-периодических по функций a(x; e; ), v(x; )
обозначим через M a = a , M v = v их средние по , а через a1 , v1 | их осциллирующие составляющие, так что
a = a + a;1 v = v + v;1
где
Z l
Z l
;
1
;
1
a(x; e) = l
a(x; e; )dt; v(x; e) = l
v(x; e; )d:
0
0
26
Уравнение (1.1) теперь можно переписать в виде
@u = X [a (x; 2k;1 u) + a1 (x; 2k;1 u; !t)]D u + [f (x; 2k;1 u) + f1 (x; 2k;1 u; !t)]:
@ jj=2k (2.2)
Будем искать приближение к l!;1 -периодическому по t решению u! уравнения (2.2) в виде
суммы
vn! (x; t) =
n
X
i=0
!;1vi (x; !t) =
n
X
i=0
!;1 [v i (x) + v1 i (x; !t)]:
(2.3)
Подставляя (2.3) в уравнение (2.2), раскладывая формально коэффициенты в ряды Тейлора
по группе переменных 2k;1 u с центром разложения 2k;1 v0 , а затем группируя члены с одинаковыми степенями ! отдельно для стационарных и осциллирующих слагаемых, приходим к
следующим задачам:
@ v1 0 = 0; X a (x; 2k;1 v )Dv + f(x; 2k;1 v ) = 0;
0
0
0
@
jj=2k
@ v1 1 = X a1 (x; 2k;1 v ; )D v + f1 (x; 2k;1 v ; );
0
0
0
@t jj=2k Lv1 = ;M
X
(2.4)
(2.5)
f[(De a1 )(x; 2k;1 v 0; )]( v1 1)Dv 0 ;
jj=2k
1
;a1 (x; v 0; )D v1 1 g ; [(De f )( v 0; )]( v1 1) ;
(2.6)
@ v1 k = '1 (x; );
k
@
Lv k = k (x); 1 < k n; = !t:
(2.7)
(2.8)
Здесь осциллирующие функции '1 k имеют нулевое среднее по и выражаются через функции v i ,
v1 i с номерами i k ; 1, а стационарные функции k определяются с помощью этих же функций
и v1 k .
Из первого уравнения (2.4) находим v10 = 0. Второму уравнению (2.4) согласно предположениям п. 1 x 1 удовлетворяет функция v 0 = v0 , где v0 | стационарное решение усредненного
уравнения (1.2). При этом для любого r 0 v0 2 C r , в чем можно убедиться, например, с помощью непосредственного многократного дифференцирования по x уравнения (1.2) и применения
после каждого дифференцирования оценки (1.7).
Для нахождения решения v11 уравнения (2.5) обозначим для краткости правую часть последнего через '1 1 (x; ). Тогда, очевидно, единственное решение уравнения (2.5) примет вид
v1 1(x; ) =
Z
0
'1 (x; s)ds ; l;1
l
Z
0
d
Z
0
'1 (x; s)ds:
При этом из данного представления и (2.1) следуют оценки
kv1 1 kCr;s c1r;s; c1r;s = const; r; s 0:
(2.9)
Функция v 1 однозначно находится из уравнения (2.6), поскольку оператор L по условию
п. 1 x 1 обратим. При этом для любого r 0 v 1 2 C r , что устанавливается с учетом (2.1), (2.9)
27
так же, как и аналогичное утверждение для v0 (см. выше). (Для единообразия изложения мы
рассматриваем v 1 как стационарное решение соответствующего параболического уравнения.)
Если функции v i , v1 i , i k ; 1, определены, причем при любых r; s 0 функции v i 2 C r ,
v1 i 2 C r;s, то описанным выше способом из уравнений (2.7) и (2.8) однозначно найдем функции
v1 k и v k соответственно. При этом для любых чисел r; s 0 справедливы соотношения
kv k kCr + kv1 k kCr;s ckr;s; ckr;s = const :
Теорема 2. Существует такое число
чисел
!0 > 0, что при ! > !0 для любых неотрицательных
r и s при всех натуральных n выполняются оценки
ku! ; vn! kCr;s cn;r;s !;(n+1)+s;
(2.10)
u! | указанное в теореме 1 l!;1-периодическое по t решение уравнения (1:1), vn! | приближение (2:3), а cn;r;s | не зависящие от ! постоянные.
где
Пусть vn0! = vn! + !;(n+1) v1 n+1 . Подставляя u = vn0 + w (здесь и далее индекс
! будем опускать) в уравнение (1.1), получим
Доказательство.
@w ; X fa (x; 2k;1 (vn0 + w); !t)D w ; [(D a )(x; 2k;1 v )](2k;1 w)D v g ;
e 0
0
@t jj=2k ; [(De f )(x; 2k;1 v0 )](2k;1 w) =
;
X
X
[a (x; 2k;1 (vn 0 + w); !t) ; a (x; 2k;1 vn 0 ; !t)]D vn0 ;
jj=2k
2
k
;
[(De a )(x; 1 v0 )](2k;1 w)D v0 + f (x; 2k;1 (vn0 + w); !t) ;
jj=2k
; f (x; 2k;1 vn0) ; [(De f )(x; 2k;1 v0)](2k;1 w) + !;(n+1)a(x; !t; !) := (x; w; !t; !):
(2.11)
Здесь a(x; ; !) | бесконечно дифференцируемая по (x; ) 2 Rm+1 при любом ! > 0 функция,
причем для произвольных r; s 0 справедлива оценка
kakCr;s cr;s ;
где постоянная cr;s не зависит от ! > 1. Это легко устанавливается с использованием известной
оценки остаточного члена ряда Тейлора и неравенства (2.1).
Для любого v 2 C 2k;1+0 ;0 , 0 2 (0; 1) обозначим через Gv (t; ; x; ) и Uv (t; ) соответственно
фундаментальное решение и оператор сдвига по траекториям уравнения
Lv (w) := @w
@t ;
X
jj=2k
fa (x; 2k;1 (vn0 + v); !t)D w ;
; [(De a )(x; 2k;1 v0 )](2k;1 w)D v0 g ; [(De f )(x; 2k;1 v0)](2k;1 w) = 0:
Пусть, как и в x1, t! = [T!l;1 ]l!;1 . В силу леммы 1 существуют такие положительные числа r1
и !1 , что для всех ! > !1 и всех v 2 Se r1 := fv : kvkC[02k;+2t0];0 =2k r1 , v(x; t + t! ) = v(x; t), t 2 [0; t! ]g
!
оператор I ; Uv (t! ; 0) обратим в C 2k+0 и, более того,
k[I ; Uv (t! ; 0)];1 kHom(C2k+0 ;C2k+0 ) c(r1 ; !1);
где постоянная c(r1 ; !1 ) не зависит от v, !.
28
(2.12)
При ! > !1 обозначим через N! (w) оператор, действующий из Se r1 в C[02k;2+t!0];0 =2k по правилу
N! (w) := Uw (t; 0)[I ; Uw (t! ; 0)];1
Z t!
0
+
d
t
Z
0
Z
Rm
d
Gw (t! ; ; x; )(; w; !; !)d +
Z
Rm
Gw (t; ; x; )(; w; !; !)d; t 2 [0; 2t! ]: (2.13)
Корректность такого определения следует из оценок (2.12), (1.7). Заметим, что при ! > !1
сужение на участок t 2 [0; t! ] каждого l!;1 -периодического по t решения u уравнения (1.1),
для которого u ; vn0! 2 Se r1 , удовлетворяет уравнению u = N! (u ; vn0! ) + vn0! , и наоборот, каждое
l!;1 -периодическое продолжение решения последнего уравнения является l!;1 -периодическим
решением уравнения (1.1).
Обозначим через r! величину 2kN! (0)kC[00;t;0] =2k . В силу соотношений (2.11){(2.13), (1.7) r! !
c!;(n+1), ! > !1, c = const. Нетрудно доказать существование такого числа !0 > n0, что при
! > !0 оператор N! в шаре Se r! является сжатием. Отсюда следует, что w! = u! ; v0! 2 Se r! и,
в частности,
ku! ; vn0! kC2k+0 ;0 cn!;(n+1); cn = const :
Для получения оценок погрешности в старших нормах, т. е. оценок (2.10), перепишем равенство (2.11) в виде
@w ; X a (x; 2k;1 (vn0 + w); !t)D w ; X b (x; !t)D w = !;(n+1) a(x; !t; !); (2.14)
@t jj=2k jj2k;1
где
X
jj2k;1
b (x; !t)D w :=
X Z
1
jj=2k 0
[(De a )(x; 2k;1 vn0 + 2k;1 w; !t)]ds(2k;1 w)D vn0 +
+
Z
1
0
[(De f )(x; 2k;1 vn0 + 2k;1 w; !t)]ds(2k;1 w):
Рассмотрим задачу Коши для уравнения (2.14) на участке t 2 [;1; T ], где T то же, что и в
x 1, с начальным условием
w(x; ;1) = u! (x; ;1) ; vn0 (x; ;1):
Оценка (2.10) при s = 0 устанавливается путем многократного дифференцирования этой задачи
по x и применения оценок (1.5){(1.7) на участке t 2 [0; T ].
Из уравнения (2.14) для производной @w
@t следуют те же оценки, которые только что получены
для w при s = 0 (заметим, что w не содержит v1 n+1 ). Для оценки старших производных по t
перепишем еще раз (2.14) в виде
@w ; X a (x; 2k;1 (vn 0 + w))D w = X a1 (x; 2k;1 (vn0 + w); !t)D w +
@t jj=2k jj=2k
X
+
b (x; !t)D w + !;(n+1) a(x; t!; !): (2.15)
jj2k;1
С помощью многократного дифференцирования уравнения (2.15) по x, t, полученных выше оценок для w и неравенств (1.5){(1.7) выводим для r 0, s 0 оценки
ku! ; vn0! kC[0r;s;T ] dn;r;s !;(n+2)+s; dn;r;s = const :
Учитывая l!;1 -периодичность по t функции w и структуру функции v1 n+1 , приходим к оценкам
(2.10).
2 . Из доказательства теоремы 2 вытекает следующее
29
Замечание. Если r и s | фиксированные неотрицательные числа, то для построения nго приближения vn! с оценкой (2.10) достаточно в дополнение к условиям п. 1 x 1 выполнения
следующих требований (вместо условий
п. 1 x 2). Функции a (x; e; ) и f (x; e; ) имеют непреi
@
рывные производные вида Dx De @ i , где j j k0 = max(0; [r] ; 2k), i k1 = max(0; [s] ; 1),
j j n + 1 + k0 + k1 , причем эти производные удовлетворяют условию Гельдера по совокупности переменных x, e, с показателем 1 > frg, 2 = max(1 ; 3 ), 3 = fsg соответственно, и
константами, не зависящими от (x; e; ) 2 Rm M R1 , где fbg означает дробную часть числа
b > 0 : fbg = b ; [b].
Литература
1. Левенштам В.Б. Экспоненциальная дихотомия и метод усреднения для параболических уравнений с быстро осциллирующей главной частью // ДАН СССР. { 1991. { Т. 318. { Є 6. {
С. 1316{1319.
2. Левенштам В.Б. Усреднение квазилинейных параболических уравнений с быстро осциллирующей главной частью. Экспоненциальная дихотомия // Изв. РАН. Сер. матем. { 1992. { T. 56.
{ Є 4. { С.8_ 13{852.
3. Эйдельман С.Д. Параболические системы. { М.: Наука, 1964. { 444 с.
4. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. { М.:
Наука, 1966. { 499 с.
Ростовский государственный университет
Поступили
первый вариант
11:06:1996
13:11:1998
окончательный вариант
30
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
208 Кб
Теги
квазилинейных, уравнения, усреднения, осциллирующими, метод, коэффициента, быстро, параболические
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа