close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О многомерных вейвлетах с матричным коэффициентом масштабирования.

код для вставкиСкачать
Вестник КемГУ
УДК 519.6
№4
Математика
2008
О МНОГОМЕРНЫХ ВЕЙВЛЕТАХ
С МАТРИЧНЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ МАСШТАБИРОВАНИЯ
Н. К. Смоленцев
В данной работе установлены основные формулы теории вейвлетов с матричным коэффициентом
масштабирования: условия ортогональности, формулы быстрого вейвлет-преобразования, условия на
передаточные функции вейвлетов для разложения и
точного восстановления сигнала.
пространства Rp определяется совершенно аналогично одномерному случаю. Нужно считать, что x =
(x1,…,xp) ∈ Rp , n = (n1,…, np) ∈ Zp. Вместо коэффициента масштабирования берется невырожденная
целочисленная p × p матрица A, модули собственных чисел которой больше единицы. Рассмотрим
тор Tp = Rp/2πZp. Он является прямым произведени1. Введение. Для анализа многомерных сигна- ем Tp = S1×…× S1 единичных окружностей S1⊂ C.
лов обычно используются вейвлеты, построенные на
Определение 1. Функция ϕ(x)∈ L2(Rp) называоснове одномерных вейвлетов. Для общего случая ется A-масштабирующей, если она может быть
вейвлетов с матричным коэффициентом масштаби- представлена в виде следующего ряда:
рования известны пока только самые общие факты о
(3)
=
ϕ ( x)
| det A | ∑ hn ϕ ( Ax − n),
существовании таких вейвлетов [2 – 4]. При их поn∈Z p
строении возникают дополнительные трудности дагде числа {hn}, n∈ Zp, удовлетворяют усложе в простейшем случае построения аналогов вейв2
летов Хаара. Носитель вейвлета может быть фрак- вию ∑ n∈Z p | hn | < ∞ . Набор коэффициентов {hn}
тальным множеством [1]. Вследствие этого данное называется масштабирующим фильтром.
направление теории вейвлетов развито пока в неПусть ϕ(x) – масштабирующая функция. Обрадостаточной степени. Нет систематического изло- зуем следующие функции:
жения данной темы. Поэтому имеет смысл устано(4)
=
ϕ j , n ( x)
| det A | j ϕ ( A j x − n), j ∈ Z, n ∈ Z p .
вить основные формулы о многомерных вейвлетах с
p
Теорема
1.
Для
любых
j∈
Z,
k∈
Z
имеет мематричным коэффициентом масштабирования, хотя,
возможно, что некоторые из них являются извест- сто следующее разложение:
ными.
=
ϕ j −1, k ( x) ∑
=
hn − A k ϕ j , n ( x) ∑ hn ϕ j , n + A k ( x).
(5)
n∈Z p
n∈Z p
Многомерным сигналом будем называть массив
действительных чисел {an}, где индекс n меняется
Доказательство аналогично одномерному слуво множестве Zp всех наборов целых чисел, n = чаю, см. [6].
Сделаем преобразование Фурье масштабирую(n1,…, np), p>1. Если n ∈ Zp и z = (z1, …, zp) ∈ Cp, то
символом zn будем обозначать моном вида щего соотношения (3):
n
z n = z1n1  z pp . С каждым многомерным сигналом
hn F [ϕ ( Ax − n)]
ϕˆ (ω )
=
=
| det A | ∑
{an}
ассоциируется
степенной
n
n
=
X ( z) ∑
=
an z
∑ an1 ,,np z1n1  z pp .
n∈Z p
ряд
вида:
=
n∈Z d
| det A | ∑ hn F [ϕ=
( A( x − A−1 n))]
n∈Z d
n∈Z p
Нам потребуются
также некоторые свойства
=
многомерного преобразования Фурье. Пусть
f(x)∈L1(Rp)∩ L2(Rp). Преобразование Фурье функции
f(x) определяется формулой:
fˆ (ω ) = ∫ f ( x)e − i ( x ,ω ) d p x ,
t −1
1
=
| det A |
∑ hn e−i ( n,( A ) ω )ϕˆ (( At )−1 ω )
| det( A) | n∈Z p
= H 0 (( At ) −1 ω )ϕˆ (( At ) −1 ω ).
Окончательно получаем:
ϕˆ (ω ) = H 0 (( At ) −1 ω )ϕˆ (( At ) −1 ω ) ,
(6)
1
(7)
где H 0 (ω ) =
∑ hn e−i ( n,ω )
| det A | n∈Z p
– частотная функция масштабирующей функции
ϕ(x). Отметим, что она определена на торе Tp =
Rp/2πZp.
3. A-кратномасштабное разложение. Определение ортогонального кратномасштабного разложения  ⊂ V−1 ⊂ V0 ⊂ V1 ⊂ V2 ⊂  пространства
L2(Rp) с матричным коэффициентом масштабирования A точно такое же, что и в одномерном случае
(см. [3] и [6]). Ортонормированный базис пространства V0 образуют функции:
ϕ0, n ( x) =
ϕ ( x − n), n ∈ Z p .
Rp
где ω = ( ω1, ω2, …, ωp), x = (x1, x2, …, x p), (x, ω) = x1 ω1
+ x2ω2 + … + xp ωp и dnx = dx1dx2…dxp.
Преобразование Фурье в Rp обладает аналогичными свойствами, что и в одномерном случае. Отметим некоторые из них. Сдвиг пространственной
(1)
переменной: F [ f ( x − b)](ω ) =
e − i (b ,ω ) fˆ (ω ).
Действие линейного оператора на x. Пусть y =
Ax – линейный невырожденный оператор в пространстве Rp. Тогда
1
(2)
F [ f ( Ax)](ω ) =
fˆ (( At ) −1 ω ) ,
| det( A) |
где ( At ) −1 – обратная транспонированная матрица.
2. Масштабирующие функции. Масштабирующее соотношение для случая многомерного
25
Вестник КемГУ
№4
Математика
2008
ванный базис подпространства V0 , то частотная
функция H0(ω) обладает следующим свойством:
Поскольку пространства Vj являются масштабированными версиями пространства V0, то функции
N −1
=
ϕ j , n ( x)
| det A | j ϕ ( A j x − n), n ∈ Z p образуют ортонормированный базис пространства Vj для любого
j. Установим аналоги условия ортогональности.
Легко видеть, что функции ϕn(x) = ϕ(x-n) образуют ортонормированный базис подпространства
V0 ⊂ L2(Rp), тогда и только тогда, когда
(8)
1 п. в.
∑ | ϕˆ (ω + 2π n) |2 =
∑| H
j =0
0
(ω + 2π ( At ) −1 (d j )) |2 =
1 п. в.,
(9)
где dj∈ Zp/AtZp пробегает все элементы факторгруппы Zp/AtZp.
Доказательство. Подставим в (8) выражение
(6):
n∈Zp
Теорема 2. Если сдвиги ϕn(x) = ϕ(x-n) масштабирующей функции ϕ(x) образуют ортонормиро-
∑
1=
k ∈Z
| ϕˆ (ω + 2π k ) |2 =
=
∑ | H 0 (( A )
t
k ∈Z
∑
k ∈Z
p
−1
| H 0 (( At ) −1 (ω + 2π k ))ϕˆ (( At ) −1 (ω + 2π k )) |2 =
p
ω + 2π ( At ) −1 k )ϕˆ (( At ) −1 ω + 2π ( At ) −1 k ) |2 =
ς] =
[( At ) −1 ω =
p
ˆ (ς + 2π ( At ) −1 k ) |2 .
=
∑ | H 0 (ς + 2π ( At ) −1 k )ϕ
k ∈Z p
Выберем по одному представителю из каждого класса конечной группы Zp/AtZp. Пусть это будут элементы d0 = 0, d1, …, dN-1. Тогда целочисленная решетка Zp является объединением следующих классов: AtZp,
d1 + AtZp, …, dN-1 + AtZp. Поэтому последняя сумма может быть разбита на N сумм следующим образом:
∑ | H 0 (ς
k ∈Z
N −1
∑ ∑ | H 0 (ς
=
m ∈Z
j =0
N −1
∑ ∑ | H 0 (ς
=
m ∈Z
=
p
p
j =0
N −1
∑ ∑
j =0 m∈Z p
+ 2π ( At ) −1 k )ϕˆ (ς + 2π ( At ) −1 k ) |2 =
p
+ 2π ( At ) −1 ( d j + At m))ϕˆ (ς + 2π ( At ) −1 ( d j + At m)) |2 =
+ 2π ( At ) −1 ( d j ) + 2πm))ϕˆ (ς + 2π ( At ) −1 ( d j ) + 2πm)) |2 =
| H 0 (ς + 2π ( At ) −1 ( d j ) + 2πm)) | 2 | ϕˆ (ς + 2π ( At ) −1 ( d j ) + 2πm)) | 2 =
=
| H 0 (ς + 2π ( At ) −1 ( d 0 )) |2 +  + | H 0 (ς + 2π ( At ) −1 ( d N −1 ))
|2
=
торые вместе с V0 образуют ортогональное разложение пространства V1:
(11)
V1 = V0 ⊕ W01 ⊕  ⊕ W0N −1 .
Для любого j получаем следующее ортогональное разложение: V j +1 = V j ⊕ W j1 ⊕  ⊕ W jN −1 . Функ-
В последнем равенстве мы использовалиπ 2 –
периодичность функции H0(ω) и равенство (8).
Таким образом, мы имеем следующие два условия ортогональности:
1 п. в.
∑ | ϕˆ (ω + 2π k ) |2 =
k ∈Z p
и
N −1
∑| H
1.
ции
(10)
(ω + 2π ( At ) −1 (d j )) |2 =
1 п. в.
(12)
N j ψ l ( A j x − n), n ∈ Z p ,
образуют
ортонормированные
базисы
пространств
4. Вейвлеты с матрицей масштабирования A.
W jl , l 1, 2,  , N − 1 .
Пусть A – некоторая невырожденная целочисленная =
p × p матрица и N = |detA|. Предположим, что задано
Поскольку ψ l ( x) ∈ W0l ⊂ V1 , то каждый вейвлет
ортогональное N-кратномасштабное разложение
l
пространства L2(Rp) c масштабирующей функцией ψ (ω ) раскладывается по базису функций пространства V1:
ϕ(x)∈ V0.
… , ψ l ( x)
Определение 3. Функции ψ1(x), =
| det A | ∑ g nl ϕ ( Ax −=
n) , l 1,  , N − 1 . (13)
N-1
2
p
n∈Z p
ψ (x) ∈ L (R ) называются вейвлетами для Aмасштабирующей функции ϕ(x), если их целочисЧисла {g nl } называются фильтрами вейвлетов
ленные сдвиги образуют ортонормированные бази- ψl(x). Определим частотные функции вейвлетов
сы подпространств W01 , W02 ,  , W0N −1 в L2(Rp), ко- ψ l(x):
j =0
0
ψ lj ,=
n ( x)
26
Вестник КемГУ
1
H l (ω ) =
∑
№4
g nl e − i ( n ,ω ) , l = 1,2, …, N-1.
Математика
2008
cA1 = {a1, k } и cD1 = {d k1 ,  , d kN −1 } производится следующим образом:
(14)
N n∈Z p
N −1
5. Вейвлет-преобразование. Получим формулы
=
an
g nl − A k d1,l k .
(17)
∑d hn − A k a1, k + ∑
∑
быстрого вейвлет-преобразования. Предположим,
p
l =1 k ∈Z
k ∈Z
что мы знаем приближение Pj(f) функции f(x) в проПоследнюю формулу можно также записать в
странстве Vj : Pj ( f ) = ∑ an ϕ j , n ( x) ,
виде свертки, сделав обратную децимацию массивов
n∈Z d
cA1 = {a1, k } и cD1 = {d k1 ,  , d kN −1 } ,
где an = ( f , ϕ j , n ) .
 a ,если m = Ak,
1, m =  1, k
a
m ∉ A,Z p
0,если
Тогда, в соответствии с разложением
V j = V j −1 ⊕ W j1−1 ⊕  ⊕ W jN−1−1 , имеем:
N −1
∑
=
Pj ( f )
a1, k ϕ j −1, k ( x) + ∑
∑
l =1 k ∈Z p
k ∈Z d
 d l ,если m = Ak,
d1,l m =  1, k
m ∉ A.Z p
0,если
Тогда формула (17) принимает вид:
d1,l kψ lj −1, k ( x) ,
где a1, k = ( f , ϕ j −1, k ) и
l
=
d1,l k ( f ,ψ
=
1, 2,  , N − 1 .
j −1, k ), l
Выразим
базисные
функции
ψ lj −1, k ( x) в этих формулах через базисные функции
∑h
n
ϕ j , n + A k ( x) ,
n∈Z p
l
ψ
=
j −1, k ( x )
∑g
l
n
ϕ j , n + A=
l 1, 2 ,  , N − 1 .
k ( x ),
Тогда получаем:
=
a1, k
f , ϕ j −1, k )
(=
n


f , ∑ hn ϕ j , n + Ak 
=
p
n∈Z


f ,ψ
(=
)
l
j −1, k
∑
∑
l =1 m∈Z p
g nl − m d1,l m .
(18)
и {g n*l } , l =1,2,…, N-1 по формулам (16) и найдем
другие фильтры {h=
}, g l , l 1, 2,  , N − 1 , которые
n∈Z p
=
d1,l k
m∈Z p
N −1
hn − m a1, m + ∑
6. Разложение и восстановление. Формулы
вейвлет-разложения и восстановления (16) – (17) установлены только для ортогонального случая. Предположим, что разложение сигнала {ak} производится некоторыми (неортогональными) фильтрами {hn* }
ϕ j , n ( x) пространства Vj по формулам (5):
ϕ j −1, k ( x) =
∑
=
an
ϕ j −1, k ( x) и
hn a n + Ak ,
n∈Z p


l
 f , ∑ g=
nϕ j ,n + A k 
d
n∈Z


n
обеспечивают точное восстановление сигнала по
формулам типа (18). Задачу удобно решить на уровне формальных степенных рядов. Определим передаточные функции заданных фильтров:
*l n
H 0 ( z ) ∑ hn* z n ,=
H l ( z ) ∑ g=
l 1, 2,  , N − 1 .
=
n z ,
n∈Z p
n∈Z p
Как известно [5], действие фильтров {hn* } и
{g n*l } на сигнал {ak} заключается в умножении соответствующего сигналу ряда X(z) на H0(z) и Hl(z):
n∈Z p
Таким образом, для сигнала, заданного=
массиX 0 ( z ) H=
X l ( z ) H l ( z ) X ( z ),
0 ( z ) X ( z ),
по
вом A = {an}, вейвлет-разложение производится=
l 1, 2,  , N − 1.
формулам:
При вейвлет-разложении (16) необходимо еще
a1, k = ∑ hn a n + Ak ,
провести A-децимацию, т. е. выборку элементов с
∑
=
g nl =
a n + Ak , l 1, 2,  , N − 1.
n∈Z d
=
d
l
1, k
∑
g nl =
a n + Ak , l 1, 2,  , N − 1 .
номерами из решетки AZp. На уровне формальных
степенных рядов для этого достаточно удалить все
слагаемые со степенями, отличными от zAk: X(z) →
XA(zA) =XA(w).
Пусть e1, e2, …, e p – стандартный базис пространства Rp. Если A – матрица с целыми элементами и Aes = As1 e1 +  + Asp e p – образы базисных
(15)
n∈Z p
Индекс Ak в сумме справа говорит о проведенной A-децимации, т. е. выборке элементов с номерами из решетки AZp. Последние формулы можно
записать в виде свертки. Для этого введем следующие коэффициенты:
=
hn* h=
g n*l g −l n . Тогда:
−n ,
a1, k =
∑
n∈Z
=
d1,l k
∑
векторов, то определим следующие мономы:
hn* a Ak − n ,
=
w1
d
g n*l =
a Ak − n , l 1, 2,  , N − 1 .
Ae1
z=
1
2
A1
A2
p
z1A1 z 2A1  z pA1 , … ,
Ap
p
=
wp
z=
z1 p z2 p  z p p .
Такой набор переменных w = (w1, …, wp) будем
обозначать символом w = z A . Отметим, что для любого целочисленного набора k имеет место равенство z Ak = wk . После A-децимации должен остаться
многочлен XA(w) только от этих переменных w. Коэффициенты полученного ряда XA(w) дают требуемую A-децимацию.
Ae
(16)
n∈Z p
Из данных формул следует, что вейвлетразложение производится сопряженными фильтрами {hn* } , {g n*l } с последующей A-адической децимацией (выбором только элементов с номерами из решетки AZp).
Легко видеть [5], что восстановление массива A
= {an} по коэффициентам вейвлет-разложения
27
Вестник КемГУ
№4
Для транспонированной матрицы At рассмотрим
решетку AtZp, порожденную векторами Ates, s =
= 1,2, …, p, и конечную коммутативную группу
Zp/AtZp порядка N = |detA|. Пусть ds ∈ Zp, s =
0,1,…,N-1 – все элементы, представляющие классы
группы Zp/AtZp, считаем, что d0 = 0. Тогда целочисленная решетка Zp является объединением следующих классов: AtZp, d1 + AtZp, …, dN-1 + AtZp.
Для каждого для s = 0,1,…,N-1 рассмотрим вектор-столбцы координат векторов:
( At ) −1 d s ∈ R p :
 a An z An + ad1 + An z d1 + An +  
,
∑ 
d N −1 + An

n∈Z p ... + ad N −1 + An z


−1
 a An z An + ad + An e − i 2π ( d1 , A d1 ) z d1 + An +  
1
,
X ( ρ1 z ) = ∑ 
− i 2π ( d1 , A−1d N −1 ) d N −1 + An

p 
n∈Z
z
 ... + ad N −1 + An e

X ( z) =
 a An z An + ad + An e − i 2π ( d2 , A d1 ) z d1 + An +  
1
,
X ( ρ2 z) = ∑ 
− i 2π ( d 2 , A−1d N −1 ) d N −1 + An

p 
n∈Z
...
a
e
z
+
b
+
An
N −1


−1

( At ) −1 d s = (ad1s ,  , ad ps ) .
 a An z An + ad + An e − i 2π ( d N −1 , A d1 ) z d1 + An +  
1
.
X ( ρ N −1 z ) = ∑ 
− i 2π ( d N −1 , A−1d N −1 ) d N −1 + An

p 
n∈Z
z
 ... + ad N −1 + An e

−1
Определим числа ρ rs = e − i 2π adrs и для
s = 0,1,…,N-1 зададим вектор:
− i 2π ad
t −1
− i 2π ( A ) d s
ps
=
ρ s e=
(e − i 2π ad1s ,  , e
).
Определим умножение векторов ρs и
z = (z1, …, zp) покоординатно:
=
ρs z
(19)
= ( e − i 2π
ad1 s
Рассмотрим числа на единичной окружности:
−1
− i 2π ( A )
ds
e=
z
t
−1
z1 ,  , e
.
− i 2π ad ps
zp )
Тогда, если с = (c1, …, cp)∈ Zp, то для монома
z имеем следующую формулу умножения:
e − i 2π
−1
− i 2πс(( At ) −1 d s , ) i c
d
с
A− с2π (
−1
,
)
( d 2 , A−1 d1 )
=
− i 2π ( d1 + d 2 , A d1 )
e=
t
−1
1 + e − i 2π ( d1 , A
= e=
z
e
z .
Отсюда, в частности, следует, что для Aс ∈AZp
выполняется ( ρ s z) Aс = z Ac .
Проведем удаление степеней. Для этого рассмотрим следующие степенные ряды:
s
e − i 2π
e − i 2π ( d1 + d 2 + A k , A d1 ) , k ∈ Z p .
Получается гомоморфизм группы Zp/AtZp в
группу S1 чисел единичной окружности. Поэтому:
ps p
1s 1
e=
( z1с1  z pp )
)
( d1 , A−1 d1 )
−1
( ρ s z) с = e − i 2πс( ds , A ) z c .
=
Действительно,
=
− i 2πс ad ps
e − i 2π ad1 s z 1 ) с1  (e
z p) p
( ρ s z) с (=
+с+
ad
−1
−1
1, e − i 2π ( d1 , A d1 ) , e − i 2π ( d2 , A d1 ) ,  , e − i 2π ( d N −1 , A d1 ) .
Легко видеть, что они образуют группу порядка
N. Это следует из того, что классы AtZp, d1 + AtZp,
…, dN-1 + AtZp образуют группу Zp/AtZp. Действительно, например:
c
− i 2πс ( ad
Математика
2008
c
+e
− i 2π ( d N − 1 , A
−1
d1 )
−1
−1
+ e − i 2π ( d 2 , A
d1 )
+
=
0.
Это верно для любой нетривиальной конечной
группы в S1. Совершенно аналогично, для любого s
= 1,2, …,N-1 выполняется равенство:
d1 )
−1
1 + e − i 2π ( d1 , A
+e
ds )
− i 2π ( d N −1 , A−1 d s )
−1
+ e − i 2π ( d 2 , A
ds )
+
(20)
0.
=
Произведем усреднение рядов, учитывая полученные равенства (20):
1 N −1
X (ρs z)
=
∑
∑p a An z An +
N s =0
n∈Z
+
1
N
∑
n∈Z p
ab1 + An z b1 + An (1 + e − i 2π ( d1 , A
−1
d1 )
−1
+ e − i 2π ( d 2 , A
d1 )
−1
+  + e − i 2π ( d N − 1 , A
d1 )
)+

+
=
1
N
∑
n∈Z p
abN −1 + An z bN −1 + An (1 + e − i 2π ( d1 , A
a z
=
=
a w
∑
∑
n
An
An
An
n∈Z p
−1
bN −1 )
+ e − i 2π ( d 2 , A
−1
bN −1 )
−1
+  + e − i 2π ( d N − 1 , A
bN −1 )
)=
X A ( w)
n∈Z p
– многочлен, содержащий только степени wn =zAn. Таким образом, мы получили формулу децимации.
Теорема 4. Если X(z) – формальный степенной
ряд, соответствующий сигналу {ak}, то коэффициенты следующего ряда:
1
( X ( z ) + X ( ρ1 z ) + X ( ρ2 z ) +  + X ( ρ N −1 z ) ) =
N
(21)
a An z An X A ( w)
= ∑
=
относительно переменных w =zA, дают Aдецимацию сигнала {ak}.
Следовательно, на уровне степенных рядов
вейвлет-разложение производится по формулам:
1 N −1
X 0 ( w) = ∑ H 0 ( ρ s z ) X ( ρ s z ) ,
N s =0
n∈Z p
28
Вестник КемГУ
№4
Математика
2008
Здесь матрица
 1
 d
1  z1
R( z ) =
N  
 d N −1
z
1 N −1
ρ s z ), l 1, 2,  , N − 1 . (22)
∑ H l ( ρs z ) X (=
N s =0
Образуем матрицу:
H 0 ( ρ1 z )  H 0 ( ρ N −1 z ) 
 H 0 ( z)


H
(
z
)
H1 ( ρ1 z )  H1 ( ρ N −1 z ) 
1  1
.(23)
H ( z) =




N 


 H N −1 ( z ) H N −1 ( ρ1 z )  H N −1 ( ρ N −1 z ) 
=
X l ( w)


( ρ N −1 z ) d1 



d N −1
d N −1 
 ( ρ N −1 z )
( ρ1 z )

является унитарной на торе Tp = S1×…× S1. Действительно, для z = (z1, …, zp) ∈ Tp, используя равенство
−1
=
z z=
( z1−1 ,  , z −p1 ) , получаем элементы произве1
( ρ1 z ) d1



1
Тогда разложение производится по формуле:
дения NR(z)R*(z):
d
d
 X 0 ( w) 
( ρ 0 z ) di ( ρ 0 z ) j + ( ρ1 z ) di ( ρ1 z ) j + 


d
X ( w) 
+ ( ρ N −1 z ) di ( ρ N −1 z ) j =
X ( z) →  1
=
  
d −d
d −d
d −d j
= z i j + ( ρ1 z ) i j +  + ( ρ N −1 z ) i =


 X N −1 ( w) 
d −d
d −d
d −d
(24)
z i j (1 + ρ1 i j +  + ρ N −1 i j ) =
N δ ij .
 H 0 ( z ) H 0 ( ρ1 z )  H 0 ( ρ N −1 z )   X ( z ) 



H1 ( ρ1 z )  H1 ( ρ N −1 z )   X ( ρ1 z ) 
1 H ( z)
то
Действительно,
если
c
=
di-dj.,
.
=  1
  
di − d j



N 
− i 2πс( d s , A−1 )
и числа
ρs
=e



−1
 H N −1 ( z ) H N −1 ( ρ1 z )  H N −1 ( ρ N −1 z )   X ( ρ N −1 z ) 
− i 2π ( d1 , A−1c )
− i 2π ( d 2 , A−1c )
1, e
,e
,  , e − i 2π ( d N −1 , A c ) образуют
при i ≠j конечную нетривиальную группу чисел на
Из равенства:
единичной окружности. Поэтому
d N −1 + An
=
X ( z ) ∑ a An z An + ad1 + An z d1 + An +  + ad N −1 + An z=
−1
−1
−1
1 + e − i 2π ( d1 , A c ) + e − i 2π ( d2 , A c ) +  + e − i 2π ( d N −1 , A c ) =
0.
n∈Z p
d N −1
d1
An
An
An
В
выражении
(26)
матрица
B(w)
является
уже
= ∑ a An z + z ad1 + An z +  + z ad N −1 +=
An z
произвольной
невырожденной
матрицей
с
полиноn
миальными элементами. Специфика матрицы H(z)
An
= ∑ a An z An + z d1 ad1 + An z An +  + z d N −1 ad N −1 +=
An z
отражена теперь в матрице R(z). Задавая B(w), мы
n
можем построить матрицу H(z) и вместе с ней часd N −1
d1
An
An
An
= ∑ a An z + z ∑ ad1 + An z +  + z ∑ ad N −1 +=
An z
тотные функции H1( ω), … , HN-1(ω) вейвлетов, слеn
n
n
довательно, и сами вейвлеты ψ1(x), … , ψN-1(x).
d N −1
d1
= B0 ( w) + z B1 ( w) +  + z BN −1 ( w),
Восстановление производим другими фильтрагде w = z A , мы видим, что полифазные слагаемые ми: G ( z ) =
∑ n g nl z n , l = 0, 1, 2, …, N-1 по формуле
l
Bj(w) можно выделить по формуле (21), применен(18). На уровне степенных рядов обратная децима−d
ной к z j X ( z ) . Для матрицы фильтров H(z) опре- ция эквивалентна замене степенного ряда X(w) по
делим полифазную матрицу B(w) по формуле:
степеням переменной w на ряд X(zA), по степеням
N −1
1
−d
переменной z, X(w) → X(zA). Поэтому восстановлеBi , j ( w) = ∑ ( ρ s z ) j H i ( ρ s z ) , z∈ Tp = Rp/2πZp.
ние на уровне степенных рядов делается по формуN s =0
Легко видеть, что сумма справа зависит от ле:
(
)
(
)
(
)
w = z A . Обратное преобразование определяется
N −1
формулой:
=
∑ Gl ( z ) X l ( z A )
N −1
H i ( z ) = ∑ Bi , j ( z A ) z j ,
=l 0
N −1
1 N −1
Gl ( z )∑ H l ( ρ s z ) X ( ρ s z )
=
∑
N l 0=s 0
=
z∈ Tp = Rp/2πZp.
(25)
1 N −1  N −1

j =0
Gl ( z ) H l ( ρ s z )  X ( ρ s z ) X ( z ) .
= =
∑
∑

N=s 0=
Тогда последнее соотношение (25) может быть
l 0

представлено как:
Поэтому для точного восстановления достаточ H 0 ( z ) H 0 ( ρ1 z )  H 0 ( ρ N −1 z ) 


но,
чтобы
выполнялись равенства:
H1 ( ρ1 z )  H1 ( ρ N −1 z ) 
1  H1 ( z )
N −1
H ( z) =

Gl ( z ) H l ( z ) = N (при s = 0),



N 
∑


l =0
 H N −1 ( z ) H N −1 ( ρ1 z )  H N −1 ( ρ N −1 z ) 
N −1
(26)
Gl ( z ) H l ( ρ s z ) = 0 для s = 1, 2, …, N–1.
∑
1
1

 1

l =0
 d1

( ρ1 z ) d1  ( ρ N −1 z ) d1 
z
.
= B( z A ) 
 

Данные условия точного восстановления удобно



 d N −1
d N −1
d N −1 
выразить
через матрицы фильтров разложения и
( ρ1 z )
 ( ρ N −1 z ) 
z
восстановления в виде:
d
29
Вестник КемГУ
№4
2008
Математика
становления необходимо найти матрицу, обратную
к H(z).
G1 ( z )
GN −1 ( z ) 

 G0 ( z )


G
(
ρ
z
)
G
(
ρ
z
)
G

0
1
N −1 ( ρ z ) 

.








N −1
z ) G1 ( ρ N −1 z )  GN −1 ( ρ N −1 z ) 
 G0 ( ρ
 H 0 ( z)
H 0 (ρ z) 
H 0 ( ρ N −1 z ) 


H1 ( ρ z ) 
H1 ( ρ N −1 z ) 
 H1 ( z )
= N.
 






N −1
z ) 
 H N −1 ( z ) H N −1 ( ρ z )  H N −1 ( ρ
Мы получили следующий факт.
Теорема 5. Если матрица H(z) фильтров разложения невырождена при z∈ Tp, то возможно
точное восстановление сигнала фильтрами Gl(z), l
= 0, 1, 2, …, N–1, матрица которых:
 G0 ( z )
G0 ( ρ z )  G0 ( ρ N −1 z ) 


G1 ( ρ z )  G1 ( ρ N −1 z ) 
1  G1 ( z )
G( z) =
(27)




N 


N −1
 GN −1 ( z ) GN −1 ( ρ z )  GN −1 ( ρ z ) 
является транспонированной к обратной матрице
H(z) исходных фильтров.
Замечание. В ортогональном случае H(z) – унитарная матрица, а G(z) – комплексно сопряженная к
H(z). В общем случае для нахождения фильтров вос-
Литература
1. Bratteli, O. Iterated function systems and permutation representations of the Cuntz algebra / O. Bratteli,
P. E. T. Jorgensen // arXiv.org: funct-an/9612002v1. –
1996. – 84 p.
2. Bratteli, O. Wavelet filters and infinitedimensional unitary groups / O. Bratteli, P. E. T. Jorgensen // arXiv.org: math.FA/0001171v3. – 2000. – 31
р.
3. Добеши, И. Десять лекций по вейвлетам /
И. Добеши. – М.; Ижевск: РХД, 2001. – 494 с.
4. Jorgensen, P. E. T. Matrix Factorizations, Algorithms, Wavelets / P. E. T. Jorgensen // Notices Amer.
Math. Soc. – 2003. – Vol. 50, no. 8. – Р. 880 – 894.
(Электронный вариант статьи: www.math.uiowa.edu/
~jorgen/fea-jorgensen.pdf).
5. Podkur, P. N. Construction of some types wavelets with coefficient of scaling N / P. N. Podkur,
N. K. Smolentsev // arXiv.org: math.FA/0612573v1. –
2006. – 19 р.
6. Смоленцев, Н. К. Основы теории вейвлетов.
Вейвлеты в MATLAB / Н. К. Смоленцев. – М.,
ДМК-Пресс, 2008. – 448 с.
30
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
8
Размер файла
225 Кб
Теги
вейвлетах, масштабирования, матричный, коэффициента, многомерная
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа