close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О модели нагруженного гиперболо-параболического уравнения в частных производных второго порядка.

код для вставкиСкачать
Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2015. № 2(11). C. 27-38. ISSN 2079-6641
DOI: 10.18454/2079-6641-2015-11-2-27-38
УДК 517.95 + 519.8
О МОДЕЛИ НАГРУЖЕННОГО
ГИПЕРБОЛО-ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ В
ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА
К.У. Хубиев
Институт прикладной математики и автоматизации, 360000, Республика КабардиноБалкария, г. Нальчик, ул. Шортанова, 89а
E-mail: khubiev math@mail.ru
Рассмотрены модели нагруженного уравнения смешанного гиперболо-параболического
типа как с характеристическим, так и с нехарактеристическим изменением типа, для
предложенных в качестве моделей уравнений исследованы краевые задачи, выписаны
решения задач в явном виде.
Ключевые слова: модель уравнения, нагруженное уравнение, уравнение гиперболопараболического типа, краевая задача
©
Хубиев К.У., 2015
MSC 35M10
ABOUT MODEL OF LOADED PARTIAL
HYPERBOLIC-PARABOLIC DIFFERENTIAL
EQUATION OF SECOND ORDER
K.U. Khubiev
Institute of Applied Mathematics and Automation, 360000, Republic of KabardinoBalkariya, Nalchik, st. Shortanova, 89a
E-mail: khubiev math@mail.ru
We studied a models of loaded equation of mixed hyperbolic-parabolic type with characteristicly
and not characteristicly modifying line. For the proposed equation models boundary value
problem is considered and solutions is written out.
Key words: equation model, loaded equation, hyperbolic-parabolic equation, boundary
value problem
© Khubiev K.U., 2015
27
ISSN 2079-6641
Хубиев К.У.
Введение
В работе рассмотрены модели нагруженного уравнения смешанного гиперболопараболического типа как с характеристическим, так и с нехарактеристическим
изменением типа. В первом пунтке исследована модель нагруженного уравнения
гиперболо-параболического типа, меняющего свой типа на характеристической линии. Во втором пункте исследуется модель нагруженного гиперболо-параболического
типа с нехарактеристическим изменением типа. В третьем пункте рассмотренна смешанная краевая задача для уравнения плоской волны в прямоугольной плоскости.
Для предложенных в качестве моделей уравнений смешанного типа исследованы
краевые задачи, выписаны решения задач в явном виде.
В работе [1] А.М. Нахушев предожил метод приближенного решения краевых
задач для дифференциальных уравнений, основанный на редукции к нагруженным
уравнениям (см. [2]). Локальные и нелокальные краевые задачи для уравнений такого вида при y > 0 были рассмотрены в работах [3] - [5].
Модель нагруженного гиперболо-параболического уравнения с
характеристическим изменением типа
В качестве модели нагруженного гиперболо-параболического уравнения в частных производных второго порядка с характеристическим изменением типа может
выступить следующее уравнение:

r

∂ R
∂ 2u

 ∂ x2 = α ∂ y u(x, y)dx, 0 < x < r, 0 ≤ y ≤ β2 ,
0
(1)
r
2

∂ R
∂ u

 ∂ x∂ y = β ∂ y u(x, y)dx, 0 < x < r, β1 ≤ y ≤ 0,
0
где α = const, r = const < ∞, β2 = const > 0, β = const, β1 = const < 0, u = u(x, y) – неизвестная функция.
Rr
Обозначим через δ (y) = u(x, y)dx; Ω = {(x, y) : 0 < x < r, β1 < y < β2 }, Ω̄ – замы0
кание области Ω, Ω+ = Ω ∩ {y > 0}, Ω− = Ω ∩ {y < 0}.
Определение. Регулярным решением уравнения (1) будем называть функцию
2,1
u = u(x, y) из класса C(Ω̄) ∩C2 (Ω− ) ∩Cx,y
(Ω+ ), δ (y) ∈ C[β1 , β2 ] ∩C1 ]β1 , β2 [, удовлетворяющую уравнению (1) в Ω+ ∪ Ω− .
Уравнение (1) при y > 0 совпадает с уравнением Тарга [6, с. 75]. В [7] выписано
решение уравнения (1) в классе C(Ω̄) ∩C1 (Ω) при довольно существенных ограничениях на решение на границе области.
Когда β1 < y < 0, оно принимает следующий вид
∂ 2u
= β δ 0 (y),
∂ x∂ y
(2)
u(x, y) = u(x, 0) + u(0, y) − u(0, 0) + β x[δ (y) − δ (0)],
(3)
Rr
где δ 0 (y) = uy (x, y)dx.
0
Из (2) следует, что
28
О модели нагруженного гиперболо-параболического уравнения . . . ISSN 2079-6641
т.е. (3) – решение задачи Гурса для волнового уравнения с правой частью β δ 0 (y).
Пусть
u(0, y) = ϕ0 (y), β1 ≤ y ≤ β2 ,
(4)
где ϕ0 (y) – заданная функция из класса C[β1 , β2 ] ∩C1 ]β1 , β2 [.
Обозначим через τ(x) = u(x, 0). Тогда τ(0) = ϕ0 (0), а (3) примет вид
u(x, y) = τ(x) + ϕ0 (y) − ϕ0 (0) + β x[δ (y) − δ (0)], β1 ≤ y ≤ 0.
(5)
Из (1) при y > 0 заключаем:
u(x, y) =
αx2 0
δ (y) + B(y)x +C(y),
2
(6)
где B(y),C(y) – произвольные функции из класса C[0, β2 ].
Из (6) и (4) непосредственно получаем, что C(y) = ϕ0 (y). Пусть
u(r, y) = ϕr (y), 0 ≤ y ≤ β2 ,
(7)
где ϕr (y) – заданная функция из класса C[0, β2 ] ∩C1 [0, β2 [, τ(r) = ϕr (0).
Тогда из (6) и (7) непосредственно получаем, что
B(y) =
ϕr (y) − ϕ0 (y) αr 0
− δ (y).
r
2
Тогда (6) примет следующий вид:
u(x, y) =
αx(x − r) 0
x
r−x
δ (y) + ϕr (y) +
ϕ0 (y),
2
r
r
0 ≤ y ≤ β2 .
(8)
Из (8) при y → +0 получим, что
τ(x) =
αx(x − r) 0
x
r−x
δ (0) + ϕr (0) +
ϕ0 (0).
2
r
r
(9)
Учитывая, что решение ищется в классе C(Ω̄), и подставив τ(x) из (9) в (5), при
β1 ≤ y ≤ 0 получаем
u(x, y) =
αx(x − r) 0
x
r−x
δ (0) + ϕr (0) +
ϕ0 (0) + ϕ0 (y) − ϕ0 (0) + β x[δ (y) − δ (0)].
2
r
r
(10)
Из (10) следует, что
δ (y) =
−αr3 0
r
β r2
δ (0) + [ϕr (0) − ϕ0 (0)] + rϕ0 (y) +
[δ (y) − δ (0)],
12
2
2
откуда при 2 − β r2 6= 0 непосредственно получаем
δ (y) =
2rϕ0 (y) r[ϕr (0) − ϕ0 (0)]
αr3 δ 0 (0)
β r2 δ (0)
+
−
−
.
2 − β r2
2 − β r2
6(2 − β r2 ) 2 − β r2
Из (11) при y → −0 имеем
δ (0) =
2rϕ0 (0) r[ϕr (0) − ϕ0 (0)]
αr3 δ 0 (0)
β r2 δ (0)
+
−
−
,
2 − β r2
2 − β r2
6(2 − β r2 ) 2 − β r2
29
(11)
ISSN 2079-6641
Хубиев К.У.
или
δ (0) = −
αr3 0
r
δ (0) + [ϕr (0) + ϕ0 (0)].
12
2
Из (11) же следует, что
δ 0 (y) =
2r
ϕ 0 (y), β1 ≤ y ≤ 0,
2 − β r2 0
и, соответственно,
2r
ϕ 0 (0).
2 − β r2 0
(12)
αr4
r
ϕ00 (0) + [ϕr (0) + ϕ0 (0)],
2
6(2 − β r )
2
(13)
δ 0 (0) =
С учетом (12) получаем
δ (0) = −
2rϕ0 (y) r
r(2 + β r2 )
αr4
+
ϕ
(0)
−
ϕ
(0)
−
ϕ 0 (0), β1 ≤ y ≤ 0.
r
0
2 − β r2 2
2(2 − β r2 )
6(2 − β r2 ) 0
δ (y) =
(14)
2r
Подставляя (12) - (14) в (10), с учетом того, что δ (y) − δ (0) = 2−β
[ϕ (y) − ϕ0 (0)],
r2 0
получим, что решение уравнения (1) при β1 ≤ y ≤ 0, удовлетворяющее условию (4),
задается формулой
u(x, y) =
2 − β r2 + 2β rx
x(2 + β r2 )
αrx(x − r) 0
x
ϕ
(0)
−
ϕ0 (0) +
ϕ
(y)
+
ϕ (0),
r
0
2
2
2−βr
r
r(2 − β r )
2 − β r2 0
(15)
а (9) примет вид
τ(x) =
r−x
x
αrx(x − r) 0
ϕ0 (0).
ϕ0 (0) + ϕr (0) +
2
2−βr
r
r
(16)
Непосредственной проверкой убеждаемся в том что (15) удовлетворяет уравнению
(1) и условию (4).
На основании (8) имеем
δ (y) = −
αr3 0
r
r
δ (y) + ϕr (y) + ϕ0 (y),
12
2
2
или, при α 6= 0,
0 ≤ y ≤ β2 ,
δ 0 (y) + λ δ (y) = f (y),
(17)
12
λr
6
, f (y) =
[ϕr (y) + ϕ0 (y)] = 2 [ϕr (y) + ϕ0 (y)].
3
αr
2
αr
Решая задачу Коши (13) для уравнения (17), получаем
где λ =
−λ y
δ (y) = e
Zy
δ (0) +
e−λ (y−η) f (η)dη,
0 ≤ y ≤ β2 ,
0
откуда следует
0
−λ y
δ (y) = −λ e
δ (0) + f (y) − λ
Zy
0
30
e−λ (y−η) f (η)dη,
0 ≤ y ≤ β2 .
(18)
О модели нагруженного гиперболо-параболического уравнения . . . ISSN 2079-6641
Подставляя (18) в (8), получаем, что решение уравнения (1) при 0 ≤ y ≤ β2 , удовлетворяющее условиям (4), (7), задается формулой
12y
αrϕ00 (0) 3
3
− 3
u(x, y) = x(x − r)
− [ϕr (0) + ϕ0 (0)] e αr + 2 [ϕr (y) + ϕ0 (y)] −
2 − β r2 r2
r
36x(x − r)
−
αr5
Zy
−
e
12(y−η)
αr3
r−x
x
ϕ0 (y),
[ϕr (η) + ϕ0 (η)]dη + ϕr (y) +
r
r
0 ≤ y ≤ β2 .
(19)
0
Легко убедиться, что (19) удовлетворяет уравнению (1), и что из (19) при y → +0
получается (16).
Таким образом, доказана следующая
Теорема 1. Если β r2 6= 2, то единственное регулярное решение u(x, y) уравнения
(1), удовлетворяющее краевым условиям
u(0, y) = ϕ0 (y),
ϕ0 (y) ∈ C[β1 , β2 ] ∩C1 [0, β2 [ ∩ C2 ]β1 , 0],
u(r, y) = ϕr (y),
ϕr (y) ∈ C[0, β2 ] ∩C1 [0, β2 [,
β1 ≤ y ≤ β2 ,
0 ≤ y ≤ β2 ,
где ϕ0 (y), ϕr (y) – заданные функции, задается формулами
x(2 + β r2 )
αrx(x − r) 0
2 − β r2 + 2β rx
x
ϕ
(0)
−
ϕ0 (0) +
ϕ
(y)
+
ϕ (0), β1 ≤ y ≤ 0,
r
0
2
2
2−βr
r
r(2 − β r )
2 − β r2 0
12y
αrϕ00 (0) 3
3
− 3
− [ϕr (0) + ϕ0 (0)] e αr + 2 [ϕr (y) + ϕ0 (y)] −
u(x, y) = x(x − r)
2 − β r2 r2
r
u(x, y) =
36x(x − r)
−
αr5
Zy
−
e
12(y−η)
αr3
x
r−x
[ϕr (η) + ϕ0 (η)]dη + ϕr (y) +
ϕ0 (y),
r
r
0 ≤ y ≤ β2 .
0
Модель нагруженного гиперболо-параболического уравнения с
нехарактеристической линией изменения типа
В качестве модели нагруженного уравнения, меняющего свой тип на нехарактеристической линии, рассмотрим уравнение

 u + a ∂ Rr u(x, y)dx = 0, y > 0,
xx
1 ∂y
(20)
0

uxx − uyy = 0, y < 0
в области Ω, ограниченной отрезками AA0 , BB0 , A0 B0 прямых x = 0, x = r, y = β2
соответственно при y > 0, и характеристиками волнового уравнения AC : x + y = 0,
BC : x − y = r при y < 0.
Обозначим через Ω+ , Ω− параболическую и гиперболическую части области Ω
Rr
соответственно, а через J – интервал 0 < x < r прямой y = 0, через δ (y) = u(x, y)dx,
0
0 ≤ y ≤ β2 .
31
ISSN 2079-6641
Хубиев К.У.
Определение. Под регулярным решением уравнения (20) будем понимать функ2,1
цию u = u(x, y) из класса C(Ω̄) ∩C2 (Ω− ) ∩Cx,y
(Ω+ ), δ (y) ∈ C[0, β2 ] ∩C1 [0, β2 [, удовле+
−
творяющую уравнению (20) в Ω ∪ Ω .
Аналогом задачи Трикоми для уравнения (20) в области Ω будет
Задача Т. Найти регулярное в области Ω решение u(x, y) уравнения (20), удовлетворяющее краевым условиям:
u(0, y) = ϕ0 (y),
u(r, y) = ϕr (y),
0 ≤ y ≤ β2 ,
u(x/2, −x/2) = ψ(x),
0 ≤ x ≤ r,
(21)
(22)
где ϕ0 (y), ϕr (y), ψ(x) — заданные функции, причем ϕ0 (0) = ψ(0).
Действительно, пусть существует решение u(x, y) задачи Т. Обозначим через
τ(x) = u(x, 0),
ν(x) = uy (x, 0),
(23)
τ(0) = ϕ0 (0),
τ(r) = ϕr (0).
(24)
тогда
Переходя в уравнении (20) к пределу при y → +0, и учитывая, что uy (x, 0) ∈ L(J),
получим функциональное соотношение, принесенное из параболической части Ω+
смешанной области Ω
Zr
00
τ (x) + a1
(25)
ν(ξ )dξ = 0.
0
Решение задачи Коши (23) для уравнения (20) в Ω− представимо в виде [8]:
τ(x + y) + τ(x − y) 1
−
u(x, y) =
2
2
x−y
Z
ν(ξ )dξ .
(26)
x+y
Записав условие (22) с помощью формулы (26), в Ω− получим:
τ(x) + τ(0) −
Zx
ν(ξ )dξ = 2ψ(x),
0 ≤ x ≤ r.
(27)
0
Дифференцируя (27), с учетом того, что τ(0) = ϕ0 (0) = ψ(0), из Ω− получим
ν(x) = τ 0 (x) − 2ψ 0 (x).
(28)
Из (25) и (28) получим уравнение
00
Zr
τ (x) + a1
Zr
0
τ (ξ )dξ = 2a1
0
ψ 0 (ξ )dξ ,
0
или, с учетом (24),
τ 00 (x) = g,
(29)
где g = 2a1 [ψ(r) − ψ(0)] − a1 [ϕr (0) − ϕ0 (0)] = 2a1 ψ(r) − a1 [ϕr (0) + ϕ0 (0)].
Задача Дирихле (24) для уравнения (29) имеет единственное решение
τ(x) = gx2 /2 + q1 x + q2 ,
32
(30)
О модели нагруженного гиперболо-параболического уравнения . . . ISSN 2079-6641
где
q1 =
ϕr (0) − ϕ0 (0) gr 2 + a1 r2 − =
ϕr (0) − ϕ0 (0) − a1 r ψ(r) − ψ(0) =
r
2
2r
2
2 − a1 r 2
2 + a1 r
ϕr (0) −
ϕ0 (0) − a1 rψ(r),
q2 = ϕ0 (0).
=
2r
2r
Т.е.
ϕr (0) − ϕ0 (0) x
x−r
τ(x) = a1 x(x − r) ψ(r) − ψ(0) −
+ ϕr (0) −
ϕ0 (0) =
2
r
r
ϕr (0) ϕ0 (0) x
x−r
= a1 x(x − r) ψ(r) −
−
ϕ0 (0).
+ ϕr (0) −
2
2
r
r
Из (28) получаем, что
ν(x) = gx − 2ψ 0 (x) + q1 =
(31)
2 + a1 r2
2 − a1 r 2
= 2a1 ψ(r) − a1 [ϕr (0) + ϕ0 (0)] x − 2ψ 0 (x) +
ϕr (0) −
ϕ0 (0) − a1 rψ(r).
2r
2r
(32)
Из (30) и (32) очевидно, что однородная задача Т будет иметь в Ω− только
тривиальное решение u(x, y) ≡ 0 как решение задачи Коши τ(x) ≡ 0, ν(x) ≡ 0 для
уравнения (20).
После нахождения τ(x) и ν(x) решение задачи Т в Ω− задается формулой (26).
Исследуем решение задачи Т в Ω+ . Требуется найти решение уравнения
uxx = −a1 δ 0 (y),
(33)
удовлетворяющее краевым условиям (21) и начальному условию
u(x, 0) = τ(x),
0 ≤ x ≤ r,
(34)
где ϕ0 (y), ϕr (y), τ(x) — известные функции, причем ϕ0 (0) = τ(0), ϕr (0) = τ(r).
Общее решение уравнения (33) как решение обыкновенного дифференциального
уравнения с параметром y имеет вид
x2
u(x, y) = −a1 δ (y) + q1 (y)x + q2 (y),
2
0
(35)
где q1 (y), q2 (y) - произвольные функции из класса C[0, h].
Удовлетворяя (35) условиям (21), получим
q1 (y) =
ϕr (y) − ϕ0 (y) a1 δ 0 (y)r
+
,
r
2
q2 (y) = ϕ0 (y),
и формула (35) примет вид:
u(x, y) =
a1 x(r − x) 0
x
x−r
δ (y) + ϕr (y) −
ϕ0 (y).
2
r
r
Rr
(36)
Из (36) с учетом обозначения δ (y) = u(x, y)dx после несложных преобразований
0
получим
δ (y) =
a1 r3 0
r
r
δ (y) + ϕr (y) + ϕ0 (y),
12
2
2
33
ISSN 2079-6641
Хубиев К.У.
или, при a1 6= 0,
где λ =
12
,
a1 r 3
δ 0 (y) − λ δ (y) = f (y),
f (y) = −
λr
[ϕr (y) + ϕ0 (y)], причем, с учетом (12), имеем
2
Zr
δ (0) =
Zr
u(ξ , 0)dξ =
0
(37)
τ(ξ )dξ =
0
Zr r2
r3
gξ /2 + q1 ξ + q2 dξ = g + q1 + rq2 =
6
2
2
0
a1 r 3
a1 r 3
r
[ψ(r) − ψ(0)] +
[ϕr (0) − ϕ0 (0)] + [ϕr (0) + ϕ0 (0)].
6
12
2
Решая задачу Коши для уравнения (37), получаем
=−
Zy
λy
δ (y) = e δ (0) +
eλ (y−η) f (η)dη,
0
откуда следует
0
Zy
λy
δ (y) = λ e δ (0) + f (y) +
λ eλ (y−η) f (η)dη.
0
Отсюда видно, что при однородной задаче Т δ 0 (y) = 0.
Из (36) при y → 0 имеем
τ(x) = u(x, 0) = −a1 x(x − r)
δ 0 (0) x
x−r
+ ϕr (0) −
ϕ0 (0),
2
r
r
(38)
где
δ 0 (0) = λ δ (0) + f (0) = −2[ψ(r) − ψ(0)] + [ϕr (0) − ϕ0 (0)].
Из (32) и (38) видно, что lim u(x, y) = lim u(x, y) = τ(x).
y→+0
y→−0
+
в Ω задается формулой
Далее решение задачи Т
(36). Очевидно, что однородная
задача, соответствующая задаче Т, будет иметь в Ω+ только тривиальное решение
u(x, y) ≡ 0.
Таким образом, доказана
Теорема 2. Если ϕ0 (y), ϕr (y) ∈ C[0, β2 ]∩C1 ]0, β2 [, ψ(x) ∈ C1 [0, r]∩C2 ]0, r[, то задача Т имеет, и притом единственное решение, которое в Ω− задается формулой
u(x, y) = ψ(x − y) − ψ(x + y) + a1 (x + y)(x + y − r)ψ(r)−
h
i
x + y
x + y
2
2
a1 r(x + y) − a1 r − 2 ϕr (0) + 1 −
a1 r(x + y) − a1 r + 2 ϕ0 (0),
−
2r
2r
а в Ω+ – формулой
u(x, y) =
i
x(r − x) a12yr3 h
2
2
1
e
(a
r
+
6)[ϕ
(0)
+
ϕ
(0)]
−
2a
r
ψ(r)
+
r
1
0
1
2r2
xh
3(r − x) i
r − xh
3x i
36x(r − x)
ϕr (y) +
1−
ϕ0 (y) −
+ 1−
r
r
r
r
a1 r 5
34
Zy
e
0
12(y−η)
a1 r 3
[ϕr (η) − ϕ0 (η)]dη.
О модели нагруженного гиперболо-параболического уравнения . . . ISSN 2079-6641
Смешанная краевая задача для уравнения плоской волны в
прямоугольной области
Рассмотрим в области D = Ω+ ∪ J нагруженное волновое уравнение
∂ 2u
∂2
=
α
∂ x2
∂ y2
Zr
u(x, y)dx,
(39)
0
где α = const > 0.
Определение. Под регулярным решением уравнения (39) будем понимать функцию u = u(x, y) из класса C(D̄) ∩C2 (D), удовлетворяющую уравнению (39) в D.
Задача S. Найти регулярное решение u(x, y) уравнения (39), удовлетворяющее
условиям (21) и условиям
Zr
Zr
u(x, 0)dx = τ̄,
uy (x, 0)dx = ν̄,
0
(40)
0
где ϕ0 (y), ϕr (y)− заданные непрерывные функции, τ̄, ν̄− заданные постоянные.
Пусть, как и в предыдущих пунктах, δ (y) =
Zr
u(x, y)dx. Тогда уравнение (39)
0
можно переписать в виде
uxx = αδ 00 (y),
откуда непосредственно следует, что
u(x, y) = αδ 00 (y)
x2
+ A1 (y)x + B1 (y),
2
(41)
где A1 (y) и B1 (y) – произвольные функции независимой переменной y.
Из (41) получим
Zr
δ (y) =
αδ 00 (y)
x2
r3
r2
+ A1 (y)x + B1 (y)dx = αδ 00 (y) + A1 (y) + B1 (y)r.
2
6
2
(42)
0
Перепишем (42) в виде
δ 00 (y) −
6
6 r2
δ
(y)
=
−
A
(y)
+ B1 (y)r = A12 (y),
1
3
3
αr
αr
2
или же
δ 00 (y) − c2 δ (y) = A12 (y),
(43)
2
где c2 = αr6 3 , A12 (y) = − αr6 3 A1 (y) r2 + B1 (y)r .
Решение уравнения (43) с учетом условий (40) представимо в виде [9, с. 99]
Zy
m
2
δ (y) = ∑ αiUi (y; c ) +
i=1
0
35
A12 (t)U1 (y − t; c2 )dt,
(44)
ISSN 2079-6641
Хубиев К.У.
где m = 2, α1 = δ 0 (0) = ν̄, α2 = δ (0) = τ̄, Ui совпадает с функцией Барретта:
U1 (y, c2 ) =
c2(k−1) y2k−1 1 ∞ c2k−1 y2k−1 1 ∞ c2k+1 y2k+1 1
∑ Γ(2k) = c ∑ (2k − 1)! = c ∑ (2k + 1)! = c sh(cy),
k=1
k=1
k=0
∞
U2 (y, c2 ) =
∞ 2k−2 2k−2
∞ 2k 2k
c
y
c y
c2k−2 y2k−2
=∑
=∑
= ch(cy),
k=1 (2k − 2)!
k=0 (2k)!
k=1 Γ(2k − 1)
∞
∑
т.е. (44) принимает вид
1
1
δ (y) = τ̄ ch(cy) + ν̄ sh(cy) +
c
c
Zy
sh[c(y − t)]A12 (t)dt.
(45)
0
Из (45) получаем
Zy
0
δ (y) = τ̄c sh(cy) + ν̄ ch(cy) +
ch[c(y − t)]A12 (t)dt,
0
δ 00 (y) = τ̄c2 ch(cy) + ν̄c sh(cy) + A12 (y) + c
Zy
sh[c(y − t)]A12 (t)dt.
(46)
0
Подставляя (46) в (41), получим
y
Z
x2
2
u(x, y) = α τ̄c ch(cy) + ν̄c sh(cy) + A12 (y) + c sh[c(y − t)]A12 (t)dt
+ A1 (y)x + B1 (y).
2
0
(47)
Удовлетворяя (47) условию (21), непосредственно получим
B1 (y) = ϕ0 (y).
Относительно A1 (y) получим
αr2 h 2
τ̄c ch(cy) + ν̄c sh(cy) + A12 (y) + c
2
Zy
i
sh[c(y − t)]A12 (t)dt + A1 (y)r + B1 (y) = ϕr (y),
0
αr2
αr2
A12 (y)+
c
2
2
Zy
sh[c(y−t)]A12 (t)dt +A1 (y)r = ϕr (y)−ϕ0 (y)−
αr2 2
τ̄c ch(cy)+ ν̄c sh(cy) .
2
0
3
Учитывая, что A12 (y) = − αr
A1 (y) − αr6 2 B1 (y), получаем:
3r
3cr
− A1 (y) + rA1 (y) −
2
2
Zy
sh[c(y − t)]A1 (t)dt =
0
Zy
= ϕr (y) + 2ϕ0 (y) + 3c
sh[c(y − t)]ϕ0 (t)dt −
0
36
αr2 2
τ̄c ch(cy) + ν̄c sh(cy) .
2
О модели нагруженного гиперболо-параболического уравнения . . . ISSN 2079-6641
Zy
A1 (y) + 3c
sh[c(y − t)]A1 (t)dt = f (y),
(48)
0
где
y
Z
2
6c
f (y) = αr τ̄c2 ch(cy) + ν̄c sh(cy) − [ϕr (y) + 2ϕ0 (y)] −
sh[c(y − t)]ϕ0 (t)dt.
r
r
0
Уравнение (48) есть интегральное уравнение Вольтерра второго рода относительно неизвестной функции A1 (y). Несложно проверить, что единственное решение уравнения (48) задается формулой
3c
A1 (y) = f (y) − √
2
Zy
sin
√
2c(y − t) f (t)dt.
0
Таким образом, доказана
Теорема 3. Пусть ϕ0 (y), ϕr (y) ∈ C[0, β2 ] ∩C2 ]0, β2 [. Тогда задача S имеет, и притом единственное решение, которое задается формулой
y
Z
x2
u(x, y) = α τ̄c2 ch(cy) + ν̄c sh(cy) + A12 (y) + c sh[c(y − t)]A12 (t)dt
+ A1 (y)x + B1 (y),
2
0
2
где A12 (y) = − αr6 3 A1 (y) r2 + B1 (y)r ,
3c
A1 (y) = f (y) − √
2
Zy
sin
√
2c(y − t) f (t)dt,
B1 (y) = ϕ0 (y),
0
y
Z
2
2
6c
f (y) = αr τ̄c ch(cy) + ν̄c sh(cy) − [ϕr (y) + 2ϕ0 (y)] −
sh[c(y − t)]ϕ0 (t)dt.
r
r
0
Замечание. Решение u(x, y) задачи S по переменной y будет принадлежать тому
же классу, что и функции ϕ0 (y), ϕr (y).
Автор выражает благодарность А.М. Нахушеву, который обратил внимание на
важность исследования уравнений вида (1), (20), (39).
Библиографический список
1. Нахушев А.М. Об одном приближенном методе решения краевых задач для дифференциальных
уравнений и его приложения к динамике почвенной влаги и грунтовых вод // Дифференц. уравнения. – 1982. – Т. 18, – № 1. – С. 72–81.
2. Нахушев А.М. О задаче Дарбу для одного вырождающегося нагруженного интегро-дифференциального
уравнения второго порядка // Дифференц. уравнения. – 1976. – Т. 12, – № 1. – С. 103–108.
3. Ozturk I. Boundary value problem for the loaded differential equation of fractional order // Доклады
Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. – 1995. – Т. 1, – № 2. – С. 12–17.
37
ISSN 2079-6641
Хубиев К.У.
4. Токова А.А. О первой краевой задаче для одного нагруженного дифференциального уравнения
второго порядка // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. – 2005. –
Т. 8, – № 1. С. 87–91.
5. Токова А.А. Об одной нелокальной краевой задаче для нагруженного дифференциального уравнения со знакопеременной характеристической формой // Вестник Самарского государственного
технического университета. Серия: Физико-математические науки. – 2011. – № 2. – С. 40–45.
6. Нахушев А.М. Нагруженные уравнения и их применения. М.: Наука, 2012. – 232 с.
7. Хубиев К.У. Об одной модели нагруженного гиперболо-параболического уравнения в частных производных второго порядка с характеристическим изменением типа // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. – 2015. – Т. 17, – № 2. –С. 48–51.
8. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977. – 735 с.
9. Нахушев А.М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. – 272 с.
Поступила в редакцию / Original article submitted: 12.09.2015
38
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
283 Кб
Теги
уравнения, нагруженной, гиперболы, частных, производной, модель, порядке, параболические, второго
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа