close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О неединственности наипростейшей дроби наилучшего равномерного приближения.

код для вставкиСкачать
Известия вузов. Математика
2013, № 9, c. 28–37
http://old.kpfu.ru/journals/izv_vuz/
e-mail: izvuz.matem@kpfu.ru
М.А. КОМАРОВ
О НЕЕДИНСТВЕННОСТИ НАИПРОСТЕЙШЕЙ ДРОБИ НАИЛУЧШЕГО
РАВНОМЕРНОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ
Аннотация. При любом натуральном n ≥ 2 построен пример вещественной непрерывной
функции, для которой наипростейшая дробь порядка ≤ n наилучшего равномерного приближения на отрезке действительной оси неединственна. Показано, что единственность дроби
наилучшего приближения не гарантируется, вообще говоря, даже чебышёвским альтернансом из n + 1 точек. Эти результаты обобщают на случай дробей произвольного порядка n
известные примеры неединственности, построенные в случаях n = 2, 3.
Ключевые слова: наипростейшая дробь, аппроксимация, единственность, альтернанс.
УДК: 517.538
1. Введение. В последнее время аппроксимативные свойства наипростейших дробей
(н. д.), т. е. логарифмических производных алгебраических многочленов:
Qn /Qn ,
Qn (z) := z n + q1 z n−1 + · · · + qn−1 z + qn ,
z, qk ∈ C,
n∈N
(n — порядок дроби), являются предметом активных исследований. Первый результат о равномерном приближении функций посредством наипростейших дробей был получен в работе
[1], где было показано, что класс функций, приближаемых н. д. в равномерной метрике на
ограниченном множестве, включает многочлены, а значит, и аппроксимируемые ими функции (откуда следует аналог теоремы Мергеляна о полиномиальных аппроксимациях). При
этом оказалось, что скорость приближения н. д. для широкого класса функций и ограниченных множеств имеет тот же порядок, что и скорость приближения многочленами. Это
позволило получить для н. д. аналоги классических теорем Д. Джексона, С.Н. Бернштейна,
А. Зигмунда, В.К. Дзядыка, Дж.Л. Уолша [2], [3]. Были выявлены частичные аналогии и с
классической теоремой П.Л. Чебышева об альтернансе, например, в терминах альтернанса1 был получен достаточный признак наилучшего приближения вещественных функций
на отрезках действительной оси [4], являющийся также достаточным признаком его единственности [5].
Важным отличием н. д. от многочленов является возможность приближения на неограниченных множествах. Этому вопросу посвящены недавние работы П.А. Бородина и О.Н. Косухина [6], В.Ю. Протасова [7], В.И. Данченко [8] и И.Р. Каюмова [9]. Было установлено,
Поступила 19.06.2012
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант 12-01-31471 мол_а) и Министерства образования и науки (грант № 14.B37.21.0369 и
проект ДПННиТ № 1.1348.2011).
1Напомним определение альтернанса. Пусть R — вещественная н. д. без полюсов на отрезке I ⊂ R.
n
Говорят, что точки z1 < z2 < · · · < zs отрезка I образуют (чебышевский) альтернанс разности Rn − f , если
Rn (zk ) − f (zk ) = ±(−1)k Rn − f C(I) , k = 1, s.
28
НЕЕДИНСТВЕННОСТЬ НАИПРОСТЕЙШЕЙ ДРОБИ НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ
29
например, что в равномерной метрике каждая непрерывная на R функция с нулевым значением на бесконечности может быть приближена н. д. сколь угодно точно [6]. В то же время,
в пространствах Lp (R) с конечными p > 1 класс хорошо аппроксимируемых функций резко
сужается [7] и состоит
из тех и только тех функций, которые представляются сходящимися
в Lp (R) рядами k (x − zk )−1 . Критерии сходимости таких рядов были получены в [8], [9].
Другое важное отличие — явление неединственности н. д. наилучшего приближения. Первый пример неединственности при n = 2 опубликовали В.И. Данченко и Е.Н. Кондакова
[10]; именно, для функции f (x) = x + 1 существует бесконечно много н. д. порядка ≤ 2
наилучшего приближения на отрезке [−1, 1]. Возник вопрос о построении примера неединственности при любом n > 2. При n = 3 такой пример был построен автором в [11]. В
настоящей работе при любом n ≥ 2 будет построен пример вещественной непрерывной на
отрезке действительной оси функции, для которой н. д. порядка ≤ n наилучшего равномерного приближения неединственна. Публикуемый результат был анонсирован в [12].
Идея построения примера заключается в следующем. Мы указываем вещественную таблицу T := {(xk , yk )}nk=1 с попарно различными узлами xk из отрезка I ⊂ R, интерполируемую бесконечным числом вещественных н. д.
Rn := Qn /Qn ,
Qn (x) := xn + q1 xn−1 + · · · + qn−1 x + qn ,
x, qk ∈ R,
n ∈ N,
порядка n, не имеющих полюсов на I, причем эти дроби доставляют наилучшее в классе н. д. порядка ≤ n без полюсов на I равномерное приближение варьированной таблицы
T1 = {(xk , yk + µk ρ) : µk = ±1, ρ > 0}nk=1 (при некотором выборе знаков µk и достаточно
малом ρ). Получаем пример неединственности наилучшего приближения таблицы, который ввиду непрерывности дробей Rn легко перенести на случай аппроксимации функций.
Именно, дроби Rn наилучшим образом приближают некоторую непрерывную функцию f ,
интерполирующую таблицу T1 и такую, что на отрезке I множество экстремумов разности
f − Rn для любой из дробей Rn совпадает с набором узлов xk . По построению величина
наилучшего приближения равна ρ.
Представляется, что пример неединственности н. д. наилучшего приближения можно аналогичным образом построить по любой таблице, интерполируемой множеством н. д., не имеющих полюсов на отрезке, объемлющем все узлы. Справедливость этой гипотезы при n = 2
легко устанавливается.
Далее для краткости наилучшее равномерное приближение иногда будем называть оптимальным.
2. Формулировка и доказательство результатов. Рассмотрим таблицу интерполяции T = {(xk , yk )}nk=1 с вещественными узлами
X = {x1 , x2 , . . . , xn },
и значениями
yk =
n
xk
x1 = 0 < x2 < x3 < · · · < xn ,
(k = 2, n),
y1 = −
(1)
y2 + . . . + yn
.
n−1
(2)
Интерполяционная задача
Rn (xk ) = yk ,
имеет бесконечно много решений вида
(3)
k = 1, n,
Rn (x) = Rn (x; s) := (Qn (x; s))x /Qn (x; s),
где
Qn (x; s) := x + s · Ln−1 (x),
n
n−1
Ln−1 (x) := x
+
n
j=2
s = 0,
(−1)j−1 ·
(4)
σj−1 n−j
x ,
j
30
М.А. КОМАРОВ
а величины σk = σk (x2 , . . . , xn ), k = 1, n − 1, суть элементарные симметрические многочлены. По определению
zj1 zj2 . . . zjm , m = 1, q.
σm (z1 , . . . , zq ) :=
1≤j1 <j2 <···<jm ≤q
Действительно, равенства Rn (xk ; s) = n/xk , k = 2, n, при любом s = 0 легко преобразуются
к виду
n
+
(−1)j−1 σj−1 xn−j
= 0, k = 2, n,
xn−1
k
k
j=2
и потому верны в силу теоремы Виета, а равенство Rn (x1 ; s) = Rn (0; s) = y1 выполняется
n
· σσn−2
. Покажем, что при любом выборе узавтоматически ввиду тождества y1 ≡ − n−1
n−1
лов (1) существует отрезок [s1 , s2 ] значений параметра s, для которых дроби Rn (x; s) не
имеют полюсов на отрезке [0, xn ] (в частности, в узлах интерполяции, так что эти дроби
действительно интерполяционные). Пусть x0 – минимальный нуль многочлена Ln−1 на отрезке [0, x2 ], если таковой нуль существует, а в противном случае x0 := x2 . В силу того,
что Ln−1 (0) = 0, имеем x0 > 0. Таким образом, Ln−1 сохраняет знак на промежутке [0, x0 ).
Но тогда искомый отрезок [s1 , s2 ] можно выбрать из следующих двух легко выполнимых
условий:
1) s · Ln−1 (x) > 0 на промежутке [0, x0 );
2) xn > |s · Ln−1 (x)| на промежутке [x0 , xn ].
При таком выборе на отрезке [0, xn ] имеем Qn (x; s) > 0. Заметим, что отрезок [s1 , s2 ] не
содержит нуль, так как дробь Rn (x; 0) заведомо имеет полюс x = 0.
Сформулируем основные результаты работы.
Теорема 1. Существуют набор узлов X (см. (1)) таблицы T и число ρ∗ > 0 такие, что
варьированная таблица T1 = {(xk , Yk )}nk=1 со значениями
Y1 := y1 + ρ∗ ,
Yk := yk + (−1)k ρ∗ ,
k = 2, n,
где yk определены в (2), имеет бесконечно много дробей наилучшего приближения Rn (x; s)
вида (4), s ∈ [s1 , s2 ], в классе н. д. порядка ≤ n без полюсов на [0, xn ].
Теорема 2. Выберем набор узлов X и число ρ∗ так, чтобы выполнялось утверждение
теоремы 1. Тогда найдется отрезок [s3 , s4 ] значений параметра s и непрерывная функция f
такие, что
s1 ≤ s3 < s4 ≤ s2 ,
∗
|f (x) − Rn (x; s)| < ρ
f (xk ) = Yk ,
k = 1, n,
(x ∈ [0, xn ] \ X, s ∈ [s3 , s4 ]),
(5)
и f на отрезке [0, xn ] имеет бесконечно много н. д. порядка ≤ n наилучшего приближения
Rn (x; s) вида (4), s ∈ [s3 , s4 ].
Замечание 1. В обеих теоремах величина наилучшего приближения равна ρ∗ и достигается
для всех x ∈ X.
Доказательство теорем. Для проверки оптимальности приближения таблицы T1 дробями Rn (x; s) достаточно показать оптимальность ее приближения дробью Rn (x; s1 ); для
функции f из теоремы 2 и значений параметра s = s1 доказательство вполне идентично. В
п. 3 будет установлена необходимая нам
Лемма. Существуют набор узлов X (см. (1)) таблицы T и число ρ∗ > 0 такие, что н. д.
порядка ≤ n, интерполирующая варьированную таблицу T = {(xk , yk )}nk=1 с произвольными значениями вида
y1 := y1 + ε1 ,
0 < ε1 < 2ρ∗ ,
yk := yk + (−1)k εk ,
0 < εk < 2ρ∗ ,
k = 2, n,
(6)
НЕЕДИНСТВЕННОСТЬ НАИПРОСТЕЙШЕЙ ДРОБИ НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ
31
где yk определены в (2) либо не существует, либо имеет полюс на отрезке [0, xn ].
Выберем узлы X и число ρ∗ так, как указано в лемме, и допустим, что найдется н. д. R(x)
порядка ≤ n без полюсов на отрезке [0, xn ], приближающая таблицу T1 лучше, чем дробь
Rn (x; s1 ), т. е. max{|R(xk ) − Yk | : 1 ≤ k ≤ n} < ρ∗ . Но тогда R(x) интерполирует таблицу
T = {(xk , yk )}nk=1 со значениями yk := R(xk ) вида (6):
0 < y1 − y1 < 2ρ∗ ,
0 < (
yk − yk )(−1)k < 2ρ∗ ,
k = 2, n.
Следовательно, существование такой дроби R(x) противоречит утверждению леммы. Это
и доказывает теорему 1, а также утверждение об оптимальности в теореме 2.
Докажем существование указанной в теореме 2 функции f . Возьмем малое δ > 0 и рассмотрим (непересекающиеся) δ-окрестности узлов xk (для узлов x1 и xn — соответственно
правую и левую δ-окрестности). Обозначим w := (s1 + s2 )/2 и положим f (x) = Rn (x; w) вне
объединения U этих окрестностей. На окрестности каждого узла xk , k = 2, n − 1, определим график f как двузвенную ломаную, соединяющую точки (xk − δ, f (xk − δ)), (xk , f (xk )),
(xk +δ, f (xk +δ)); на окрестности узла x1 (соответственно xn ) определим график f как отрезок, соединяющий точки (x1 , f (x1 )) и (x1 + δ, f (x1 + δ)) (соответственно (xn − δ, f (xn − δ)) и
(xn , f (xn ))). Ввиду равномерной непрерывности функции Rn (x; s) на множестве x ∈ [0, xn ],
s ∈ [s1 , s2 ] найдется подотрезок [s3 , s4 ] s1 ≤ s3 < w < s4 ≤ s2 , на котором выполняется
неравенство (5). Теорема 2 доказана.
Замечание 2. По построению при каждом s ∈ [s3 , s4 ] разность f (x) − Rn (x; s) имеет на
отрезке [0, xn ] альтернанс ровно из n − 1 точек. В качестве набора этих точек можно взять
один и только один из двух: {0, x3 , x4 , . . . , xn } или {x2 , x3 , . . . , xn }. Отметим свойство монотонности функций Rn (x; s) по параметру s на отрезке [0, x2 ]. Положим r(x) := Rn (x; v),
где v := s4 , если n четно, и v := s3 , если n нечетно. Утверждается, что на интервале (0, x2 )
дробь r(x) максимальна в семействе Rn (x; s), т. е. для всех x ∈ (0, x2 ) имеем Rn (x; s) < r(x)
при s ∈ [s3 , s4 ] \ {v}. Это вытекает из непосредственно проверяемого тождества
Rn (x; α) − Rn (x; β) =
n
(β − α)xn−1 [nLn−1 (x) − xLn−1 (x)]
(β − α)xn−1
=
·
(x − xk ).
Qn (x; α)Qn (x; β)
Qn (x; α)Qn (x; β)
k=2
Таким образом, легко подобрать функцию f так, чтобы, как выше, для всех s ∈ [s3 , s4 ], кроме s = v, разность f (x) − Rn (x; s) на отрезке [0, xn ] альтернировала в точках одного из двух
подмножеств набора X, а для разности f (x) − r(x) помимо точек X наблюдалась бы еще
только одна точка экстремума, скажем t ∈ (0, x2 ), причем f (t)−r(t) = −f −rC[0,xn ] . Оптимальность дробей Rn (x; s) доказывается как в теореме 2. Тем самым, мы получаем пример
неединственности, в котором для одной из оптимальных дробей наблюдается альтернанс
из n + 1 точек, а для остальных альтернанс состоит из n − 1 точек.
3. Доказательство леммы проведем в два этапа, а именно, в пп. 3.1 и 3.2 докажем
отсутствие для таблицы T с некоторым набором узлов X и любыми достаточно малыми
вариациями εk > 0 интерполяционной н. д. (не имеющей полюсов на отрезке [0, xn ]) порядков n и ≤ n − 1 соответственно. В дальнейших выкладках будет удобно использовать
обозначения ε := ε1 , tk := (−1)k εk xk (k = 2, n), τ := {ε, t2 , . . . , tn }, а величины ε, tk тоже
будем называть вариациями. По определению ε > 0, sgn tk = (−1)k , k = 2, n.
3.1. Рассмотрим решение
Sn (x; τ ) := (Pn (x; τ ))x /Pn (x; τ ),
Pn (x; τ ) := xn + b1 xn−1 + · · · + bn−1 x + bn ,
bj = bj (τ ),
32
М.А. КОМАРОВ
варьированной интерполяционной задачи
n + tk
, k = 2, n.
xk
Первое уравнение эквивалентно уравнению bn−1 = (y1 + ε)bn . Преобразовывая остальные
уравнения задачи и заменяя bn−1 на (y1 + ε)bn , получим систему
Sn (0; τ ) = y1 + ε,
Sn (xk ; τ ) = yk + (−1)k εk =
bn · [(y1 + ε)(n − 1 + tk )xk + n + tk ] +
1
bj · (j + tk )xn−j
= −tk xnk ,
k
k = 2, n,
(7)
j=n−2
относительно неизвестных bn , bn−2 , bn−3 , . . . , b1 с определителем
(y1 + ε)(n − 1 + t2 )x2 + n + t2 (n − 2 + t2 )x2 . . .
2
(y1 + ε)(n − 1 + t3 )x3 + n + t3 (n − 2 + t3 )x2 . . .
3
W = W (τ ) := .
.
.
.
.
.
(y1 + ε)(n − 1 + tn )xn + n + tn (n − 2 + tn )x2n . . .
(1 + t2 )xn−1
2
(1 + t3 )xn−1
3
.
..
.
n−1
(1 + tn )xn Заметим, что
y1 (n − 1)x2 + n (n − 2)x2 . . . xn−1 2
2
y1 (n − 1)x3 + n (n − 2)x2 . . . xn−1 3
3
W (0) = = 0,
.
.
.
.
.
.
.
.
. y1 (n − 1)xn + n (n − 2)x2n . . . xn−1
n
так как при τ = 0 система (7) превращается в систему задачи (3), имеющей бесконечно
много решений. Обозначим через Wj = Wj (τ ) определитель, получающийся из W заменой
столбца коэффициентов при bj столбцом правых частей системы (7), j = n, n−2, n−3, . . . , 1.
Из равенства W (0) = 0 и легко проверяемого соотношения
где V [c1 , . . . , cq ] :=
Wε (0) = (n − 1)! · (x2 . . . xn ) · V [x2 , . . . , xn ] = 0,
(ci −cj ) — определитель Вандермонда, следует, что вблизи τ = 0 (в
q≥i>j≥1
пространстве вариаций любых знаков) уравнение W (τ ) = 0 локально определяет гладкую
поверхность вида ε = w(t2 , . . . , tn ), проходящую через точку τ = 0.
Выберем произвольно набор τ (достаточно малых) вариаций указанного выше знака и
рассмотрим два возможных случая: W (τ ) = 0, W (τ ) = 0.
Докажем, что в случае W (τ ) = 0 система (7) неразрешима. Действительно, в этом случае для совместности системы (7) необходимо выполнение равенств Wj (τ ) = 0. Обоснуем
противоречащее совместности неравенство Wn (τ ) < 0, где
−t2 xn (n − 2 + t2 )x2 . . . (1 + t2 )xn−1 2
2
2
−t3 xn (n − 2 + t3 )x2 . . . (1 + t3 )xn−1 3
3
3
Wn (τ ) = .
.
..
..
..
.
.
−tn xnn (n − 2 + tn )x2n . . . (1 + tn )xn−1
n
Обозначим (i, j)-минор в определителе W (0) через Mi,j , i, j = 1, n − 1. Непосредственно
вычисляем
(Wn )ε (τ ) ≡ 0, (Wn )tk (0) = (−1)k−2 (−xnk )Mk−1,1 , k = 2, n.
Легко видеть, что при всех k = 2, n имеем
Mk−1,1 = (n − 2)! · (x2 . . . xk−1 xk+1 . . . xn )2 · V [x2 , . . . , xk−1 , xk+1 , . . . , xn ] > 0,
sgn[(Wn )tk (0) · tk ] = sgn[(−1)k−2 (−xnk )Mk−1,1 · (−1)k ] = sgn[−xnk Mk−1,1 ] < 0,
НЕЕДИНСТВЕННОСТЬ НАИПРОСТЕЙШЕЙ ДРОБИ НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ
33
поэтому для указанных τ линейная часть функции Wn (τ ) отрицательна. Но поскольку
Wn (τ ) не зависит от ε, то из отрицательности линеаризации следует и Wn (τ ) < 0, если
вариации tk достаточно малы по модулю. Итак, неразрешимость системы (7) в первом из
двух случаев доказана.
Изучим второй случай, W (τ ) = 0. Из формул Крамера и уравнения bn−1 = (y1 + ε)bn
имеем bj = bj (τ ) = Wj (τ )/W (τ ), j = 1, n, где Wn−1 (τ ) := (y1 + ε)Wn (τ ). В частности,
Pn (0; τ ) =
Wn (τ )
,
W (τ )
Pn (x2 ; τ ) =
∆(τ )
,
W (τ )
∆ := xn2 W + xn−1
W1 + · · · + x2 Wn−1 + Wn .
2
Докажем, что найдутся узлы x2 , . . . , xn такие, что числитель ∆(τ ) положителен при любом
наборе τ достаточно малых вариаций указанных знаков. В силу доказанного выше неравенства Wn (τ ) < 0 этим будет установлено неравенство Pn (0; τ )Pn (x2 ; τ ) < 0, означающее
наличие полюса дроби Sn (x; τ ) на интервале x ∈ (0, x2 ).
Сначала установим, что линеаризация функции ∆(τ ) в нуле положительна. Вычислим
недостающие первые производные определителей W (τ ), Wj (τ ) по вариациям при τ = 0. При
каждом k = 2, n имеют место равенства
n−1
k−2
j−1 j
· (y1 xk + 1)Mk−1,1 +
(−1) xk Mk−1,j ,
Wtk (0) = (−1)
j=2
(Ws )tk (0)
k−2
= (−1)
n−s−1
(−1)
(−xnk )Mk−1,n−s ,
s = 1, n − 2.
Действительно, разложения для Wt2 (0) и (W1 )t2 (0) легко усмотреть из представлений
n−1 2
3
y
x
+
1
x
x
.
.
.
x
1
2
2
2
2
y1 (n − 1)x3 + n (n − 2)x2 (n − 3)x3 . . . xn−1 3
3
3
Wt2 (0) = ..
..
..
.. ,
.
.
.
. y1 (n − 1)xn + n (n − 2)x2n (n − 3)x3n . . . xn−1
n
n−2
2
3
n
y
x
+
1
x
x
.
.
.
x
−x
1
2
2
2
2
2
y1 (n − 1)x3 + n (n − 2)x2 (n − 3)x3 . . . 2xn−2
0 3
3
3
(W1 )t2 (0) = ,
..
..
..
..
.
.
.
.
0 y1 (n − 1)xn + n (n − 2)x2n (n − 3)x3n . . . 2xn−2
0 n
остальные производные Wtk (0) (соответственно (Ws )tk (0)) получаются из Wt2 (0) (соответственно (W1 )t2 (0)) подходящими перестановками строк (соответственно строк и столбцов)
и заменами индексов.
Далее, ввиду тождества Wn−1 (τ ) = (y1 + ε)Wn (τ ) и полученного ранее выражения для
(Wn )tk (0) справедливы соотношения (Wn−1 )tk (0) = (−1)k−2 y1 (−xnk )Mk−1,1 , k = 2, n. Наконец, очевидно, (Ws )ε (0) = 0, s = 1, n. С помощью найденных выражений вычислим производные функции ∆(τ ) при τ = 0. Имеем
J1 := ∆ε (0) = xn2 · (n − 1)! · (x2 . . . xn ) · V [x2 , . . . , xn ],
Jk :=
∆tk (0)
=
xn2 Wtk (0)
+
n−1
xj2 (Wn−j )tk (0) + x2 (Wn−1 )tk (0) + (Wn )tk (0) =
j=2
=
xn2 (−1)k−2
(y1 xk + 1)Mk−1,1 +
n−1
(−1)j−1 xjk Mk−1,j
j=2
+
34
М.А. КОМАРОВ
+
k−2
= (−1)
n−1
xj2 (−1)k−2 (−1)j xnk Mk−1,j + (−1)k−2 (−xnk )[y1 x2 + 1]Mk−1,1 =
j=2
x2 xk y1 (xn−1
2
−
xn−1
)
k
+
xn2
−
xnk
Mk−1,1 +
n−1
(−1)j−1 xj2 xjk [xn−j
−xn−j
2
k ]Mk−1,j
.
j=2
Видим, что выражение для Jk , k > 1, совпадает с разложением (по (k − 1)-й строке) определителя, получающегося из W (0) заменой (k − 1)-й строки на
− xn−1
) + xn2 − xnk ,
{x2 xk y1 (xn−1
2
k
x22 x2k [xn−2
− xn−2
],
2
k
...,
xn−1
xn−1
[x2 − xk ]},
2
k
в частности, J2 = 0. Представляется, что величины Jk , k = 3, n, всегда ненулевые в наших
предположениях и имеют знаки, противоположные знакам (Wn )tk (0). Здесь ограничимся
некоторой асимптотической оценкой этих величин, рассматриваемых в зависимости от узлов x2 , . . . , xn , достаточной для доказательства леммы.
Рассмотрим разложение определителя Jn по последней строке:
y1 (n − 1)x2 + n
(n − 2)x22
...
xn−1
2
..
..
..
.
.
.
Jn = =
n−1
2
(n − 2)xn−1
...
xn−1
y1 (n − 1)xn−1 + n
x2 xn y1 (xn−1 − xn−1 ) + xn − xn x2 x2 (xn−2 − xn−2 ) . . . xn−1 xn−1 (x2 − xn )
n
n
n
n
2
2 n 2
2
2
n−1
= (−1)
n−1
(−1)j wj Mn−1,j
j=1
(через wj обозначен j-й элемент последней строки). Очевидно, каждый из миноров Mn−1,j
как функция от x2 , . . . , xn−1 обращается в нуль при xq = xm для любых 2 ≤ q < m ≤ n − 1.
Введем частные
Nj := Mn−1,j /V0 ,
j = 1, n − 1,
V0 := V [x2 , . . . , xn−1 ] > 0.
Зафиксируем n и возьмем x2 = 1, остальные узлы xj > x2 (с сохранением неравенств x3 <
· · · < xn ) выберем так, чтобы xj = xj (p) ∼ p при p → +∞; здесь и далее запись A(p) ∼ B(p)
при p → +∞ подразумевает обычную эквивалентность, т. е. lim A(p)/B(p) = 1. Легко
p→+∞
проверить, что при p → +∞
N1 = (n − 2)! · (x2 x3 . . . xn−1 )2 ∼ (n − 2)!p2n−6 .
С другой стороны, преобразовав элементы первого столбца определителя Jn при помощи
формулы
1
n
1
1
+
+ ··· +
y1 = −
n − 1 x2 x3
xn
получим следующие их эквивалентные значения при p → +∞:
y1 (n − 1)x2 + n ∼ −n(n − 2)/p,
y1 (n − 1)xj + n ∼ −np,
x2 xn y1 (xn−1
2
j = 3, n − 1,
n
n
n
− xn−1
n ) + x2 − xn ∼ p /(n − 1),
используя которые нетрудно заметить, что остальные частные Nj имеют по крайней мере на
единицу меньший порядок по p, нежели N1 . Поскольку, очевидно, все величины wj имеют
n-й порядок по переменной p, мы делаем вывод о том, что при p → +∞ в разложении
НЕЕДИНСТВЕННОСТЬ НАИПРОСТЕЙШЕЙ ДРОБИ НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ
35
определителя по последней строке основной вклад в величину Jn вносит первое слагаемое
(−1)n w1 Mn−1,1 = (−1)n w1 N1 V0 , так что
(n − 2)! 3(n−2)
·p
· V0 , p → +∞.
n−1
Следовательно, sgn Jn = (−1)n при больших p.
Далее, любой другой определитель Jk , k > 2, получается из Jk+1 перестановкой строк
((k − 1)-й и k-й) и узлов (xk и xk+1 ). Таким образом, sgn Jk = (−1)k , k > 2. Отсюда ввиду
sgn tk = (−1)k следует неравенство Jk · tk > 0 для всех k > 2. Поскольку J1 · ε > 0 и J2 = 0,
то доказана положительность линеаризации в нуле функции ∆(τ ). Замечая отсутствие в
разложении ∆(τ ) по степеням ε, t2 , . . . , tn мономов вида tm
2 (таких мономов нет ни в одном из
определителей W, Wj ), приходим к выводу о справедливости неравенства ∆(τ ) > 0 при всех
достаточно малых вариациях указанных знаков. Лемма доказана в классе н. д. порядка n.
3.2. Для таблицы T с набором узлов X вида, предложенного в предыдущем пункте, и
любыми достаточно малыми вариациями ε, tk указанных знаков докажем отсутствие интерполяционной н. д. порядка ≤ n − 1 без полюсов на отрезке [0, xn ]. Рассмотрим относительно
н. д.
Jn ∼ (−1)n
H(x; τ ) := (h(x; τ ))x /h(x; τ ),
h(x; τ ) := c1 xn−1 + · · · + cn−1 x + cn ,
cj = cj (τ ),
порядка ≤ n − 1 ту же возмущенную интерполяционную задачу, что и в п. 3.1:
n + tk
, k = 2, n.
H(0; τ ) = y1 + ε, H(xk ; τ ) =
xk
Получаем однородную интерполяционную систему cn−1 = (y1 + ε)cn ,
1
cn · [(y1 + ε)(n − 1 + tk )xk + n + tk ] +
cj · (j + tk )xn−j
= 0,
k
k = 2, n.
(8)
j=n−2
Рассмотрим случай, когда порядок дроби H строго меньше n − 1, т. е. c1 = 0. Покажем,
что определитель D подсистемы
cn (0) · [y1 (n − 1)xk + n] +
2
cj (0) · j · xn−j
= 0,
k
k = 3, n,
(9)
j=n−2
получаемой из последних n − 2 уравнений системы (8) при τ = 0, отличен от нуля, и, следовательно, при всех малых τ интерполяционная система имеет лишь тривиальное решение
c2 = · · · = cn = 0, а поставленная интерполяционная задача неразрешима в классе н. д. порядка < n − 1. Действительно, если D = 0, то найдется некоторое нетривиальное решение
{ck (0)} подсистемы (9). Тогда многочлен
cn (0) · [y1 (n − 1)x + n] +
2
cj (0) · j · xn−j
j=n−2
отличен от тождественного нуля и имеет положительные корни x3 , . . . , xn . В частности, его
степень равна в точности n − 2 и (c2 cn )(0) = 0. По теореме Виета имеем
cn (0)n = (−1)n−2 σn−2 (x3 , . . . , xn ) · 2c2 (0),
cn (0)y1 (n − 1) = (−1)n−3 σn−3 (x3 , . . . , xn ) · 2c2 (0),
следовательно, должно быть верно тождество
σn−3 (x3 , . . . , xn )
n
n
·
=−
y1 = −
n − 1 σn−2 (x3 , . . . , xn )
n−1
1
1
+ ··· +
x3
xn
.
36
М.А. КОМАРОВ
Но это невозможно, так как в определении y1 есть еще слагаемое −n/((n − 1)x2 ) = 0.
Полученное противоречие доказывает лемму в классе н. д. порядка < n − 1.
Осталось рассмотреть случай, в котором порядок дроби H в точности равен n−1, т. е.
c1 =1. Нетрудно проверить, что в этом случае при τ = 0 решение исследуемой интерполяционной системы единственно и доставляет коэффициенты многочлена Ln−1 (x) (см. (4)),
так что h(x; 0) ≡ Ln−1 (x). Покажем, что при x2 = 1 и xj ∼ p (p → +∞), j = 3, n, много√
член Ln−1 имеет нуль на интервале (0, p). Ввиду непрерывной зависимости от τ решения
подсистемы
cn · [(y1 + ε)(n − 1 + tk )xk + n + tk ] +
2
cj · (j + tk )xn−j
= −(1 + tk )xn−1
,
k
k
k = 3, n,
j=n−2
получающейся из (8) при c1 = 1, это будет означать существование нуля многочлена h(x; τ )
√
на (0, p) при всех достаточно малых τ (непрерывная зависимость имеет место, так как
определитель подсистемы при τ = 0 равен D = 0).
Имеем Ln−1 (0) = (−1)n−1 (x2 x3 . . . xn )/n. С другой стороны, легко заметить, что при
p → +∞ в силу соотношений xj ∼ p, j = 3, n, имеют место эквивалентности
k
pk ,
σk := σk (x2 , x3 , . . . , xn ) ∼ σk (x3 , . . . , xn ) ∼ Cn−2
k = 1, n − 2,
σn−1 := σn−1 (x2 , x3 , . . . , xn ) = x3 . . . xn ∼ pn−2 .
Следовательно, в выражении
σj−1 √ n−j
√
√
( p)
(−1)j−1 ·
Ln−1 ( p) = ( p)n−1 +
j
n
j=2
наибольший порядок по p имеет слагаемое, отвечающее j = n − 1, так что
√
(−1)n−2 n−2+ 1
2,
·p
p → +∞.
Ln−1 ( p) ∼
n−1
√
√
Таким образом, Ln−1 (0) · Ln−1 ( p) < 0, поэтому Ln−1 имеет нуль на интервале (0, p) при
достаточно большом p.
Литература
[1] Данченко В.И., Данченко Д.Я. О равномерном приближении логарифмическими производными многочленов, в сб. “Теория функций, ее приложения и смежные вопросы: материалы шк.-конференции,
посвященной 130-летию со дня рождения Д.Ф. Егорова” (Казань, 1999), с. 74–77.
[2] Данченко В.И., Данченко Д.Я. О приближении наипростейшими дробями, Матем. заметки 70 (4),
553–559 (2001).
[3] Косухин О.Н. О некоторых нетрадиционных методах приближения, связанных с комплексными полиномами, Дисс. . . . канд. физ.-матем. наук (МГУ, 2005).
[4] Новак Я.В. Апроксимацiйнi та iнтерполяцiйнi властивостi найпростiших дробiв, Дисс. . . . канд.
физ.-матем. наук (ИМ НАН Украины, Киев, 2009).
[5] Комаров М.А. К задаче о единственности наипростейшей дроби наилучшего приближения, Пробл.
матем. анализа, № 56, 63–82 (2011).
[6] Бородин П.А., Косухин О.Н. О приближении наипростейшими дробями на действительной оси,
Вестн. МГУ. Сер. 1: Математика, механика, № 1, 3–8 (2005).
[7] Протасов В.Ю. Приближения наипростейшими дробями и преобразование Гильберта, Изв. РАН. Сер.
матем. 73 (2), 123–140 (2009).
[8] Данченко В.И. О сходимости наипростейших дробей в Lp (R), Матем. сб. 201 (7), 53–66 (2010).
[9] Каюмов И.Р. Сходимость рядов наипростейших дробей в Lp (R), Матем. сб. 202 (10), 87–98 (2011).
[10] Данченко В.И., Кондакова Е.Н. Чебышевский альтернанс при аппроксимации констант наипростейшими дробями, Тр. МИАН 270, 86–96 (2010).
НЕЕДИНСТВЕННОСТЬ НАИПРОСТЕЙШЕЙ ДРОБИ НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ
37
[11] Комаров М.А. Примеры, связанные с наилучшим приближением наипростейшими дробями, Пробл.
матем. анализа, № 65, 119–131 (2012).
[12] Комаров М.А. Пример неединственности наипростейшей дроби наилучшего приближения, Тезисы
докл. междунар. конф. по дифференц. уравнениям и динамическим системам, Суздаль, 29 июня – 4
июля 2012 (Изд-во МИАН, М., 2012), с. 88–89.
М.А. Комаров
доцент, кафедра функционального анализа и его приложений,
Владимирский государственный университет,
ул. Горького, д. 87, г. Владимир, 600000, Россия,
e-mail: kami9@yandex.ru
M.A. Komarov
An example of nonuniqueness of a simple partial fraction of the best uniform
approximation
Abstract. For arbitrary natural n ≥ 2 we construct an example of a real continuous function,
for which there exist more than one simple partial fraction of order ≤ n of the best uniform
approximation on a segment of the real axis. We prove that even the Chebyshev alternance
consisting of n + 1 points does not guarantee the uniqueness of the best approximation fraction.
The obtained results are generalizations of known nonuniqueness examples constructed for n = 2, 3
in the case of simple partial fractions of an arbitrary order n.
Keywords: simple partial fraction, approximation, uniqueness, alternance.
M.A. Komarov
Associate Professor, Chair of Functional Analysis and Applications,
Vladimir State University,
87 Gor’kii str., Vladimir, 600000 Russia,
e-mail: kami9@yandex.ru
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
209 Кб
Теги
приближение, дроби, наилучшее, равномерного, неединственности, наипростейших
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа