close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О некоторых точных решениях трехмерных уравнений идеальной жидкости.

код для вставкиСкачать
Вычислительные технологии
Том 15, ќ 5, 2010
О некоторых точных решениях
трехмерных уравнений идеальной жидкости?
Ю.В. Шанько
Институт вычислительного моделирования СО АН, Красноярск, оссия
e-mail: shy70mail.ru
Построены несколько новых классов точных решений для уравнений однородной и неоднородной идеальной жидкости. Полученные решения имеют произвол в
две ункции двух переменных.
Ключевые слова: частично-инвариантные решения, уравнения идеальной жид-
кости, решения с ункциональным произволом.
Исследуются трехмерные уравнения Эйлера движения идеальной несжимаемой жидкости
Du + ?p = 0, div u = 0,
(1)
?
?
?
?
+u +v +w
опера?t
?x
?y
?z
тор диеренцирования вдоль траекторий, плотность считается постоянной. азличные решения уравнений Эйлера представлены в [1?. Допускаемая алгебра Ли точечных
симметрий системы (1) является бесконечномерной [2?, классиикация одномерных и
двумерных подалгебр выполнена в [3?.
Цель данной работы нахождение частично-инвариантных решений, зависящих от
произвольных ункций двух переменных.
ассмотрим пятимерную подалгебру допускаемой алгебры, которая порождается
операторами ?x , ?y , t?x + ?u , t?y + ?v , ?p . Поскольку данная подалгебра имеет инварианты t, z , w , то можно построить частично-инвариантное решение ранга два, деекта три. Подставляя представление частично-инвариантного решения u = u(t, x, y, z),
v = v(t, x, y, z), w = w(t, z), p = p(t, x, y, z) в систему (1), получаем
где u = (u, v, w) вектор скорости, p давление, D =
Du + px = 0,
(2)
Dv + py = 0,
(3)
wt + wwz + pz = 0,
(4)
ux + vy + wz = 0.
(5)
Так как ункция w зависит только от t и z , то, согласно (4), производные pxz , pyz
равны нулю. Последовательно действуя оператором D на уравнение (5) и используя
(2)(4), имеем
2(ux vy ? uy vx ) + D(wz ) ? wz2 ? pxx ? pyy = 0,
(6)
?
абота выполнена при инансовой поддержке ФФИ (грант ќ 07-01-00489) и в рамках Интегра-
ционного проекта СО АН ќ 103.
123
124
Ю.В. Шанько
D(D(wz ) ? wz2 ? pxx ? pyy ) ? wz (D(wz ) ? wz2 ? pxx ? pyy )?
?2pxx vy + 2pxy (vx + uy ) ? 2pyy ux = 0.
(7)
Потребуем теперь, чтобы соотношение (7) (как уравнение относительно u и v ) выполнялось в силу (5) и (6). Из этого с необходимостью вытекает, что pxy = 0, pxx = pyy .
Следовательно, давление представляется в виде
p = ?(t, z) + k1 (t)x + k2 (t)y ? k(t)
x2 + y 2
.
2
Коэициенты k1 (t), k2 (t) не существенны и могут быть убраны с помощью групповых
преобразований (отвечающих за инвариантность исходных уравнений при переходе в
произвольную движущуюся систему координат). Итак, считаем что давление имеет вид
p = ?(t, z) ? k(t)
x2 + y 2
.
2
(8)
Отметим, что в работах [4, 5? исследованы решения системы (1) с квадратичным давлением
p = k(t)(x2 + y 2 + z 2 )/2.
Подставляя представление (8) в (2)(7), получаем систему
Du ? kx = 0,
(9)
Dv ? ky = 0,
(10)
wt + wwz + ?z = 0,
(11)
ux + vy + wz = 0.
(12)
2(ux vy ? uy vx ) + D(wz ) ? wz2 + 2k = 0,
(13)
D(D(wz ) ? wz2 + 2k) ? wz (D(wz ) ? wz2 + 4k) = 0.
(14)
Уравнение (14) является единственным уравнением инвариантной подсистемы [6?. Оно
представляет собой нелинейное уравнение третьего порядка, и прямое его интегрирование является чрезвычайно сложной задачей.
Интегрируя (11) по z , найдем ункцию ?(t, z):
Z
?(t, z) = ? (wt + wwz ) dz.
(15)
Прямым вычислением нетрудно убедиться, что система из оставшихся пяти уравнений
(9), (10), (12)(14) допускает бесконечномерную группу, порождаемую оператором
1
1
1
1
X = µ?t + µt x?x + µt y?y ? µt z?z + (µtt x ? µt u)?u + (µtt y ? µt v)?v ?
2
2
2
2
1
?(2µt w + µtt z)?w +
µttt ? 2µt k ?k ,
2
здесь µ = µ(t) произвольная, достаточно гладкая ункция.
125
О точных решениях уравнений идеальной жидкости
Интегрируя соответствующие уравнения Ли, найдем закон преобразования переменных под действием группы (штрихом помечены новые переменные):
t? = ?, x? = ??1/2 x, y ? = ??1/2 y, z ? = ???1 z,
1
1
u? = ???1/2 u + ???3/2 ??x, v ? = ???1/2 v + ???3/2 ??y, w ? = ???2 w ? ???3 ??z,
2
2
1 ?1 ... 3 ?2 2
?
?2
k = ?? (k + ?? ? ? ?? ?? ),
2
4
где ? = ?(t) произвольная ункция. Таким образом, справедливо следующее утверждение.
Утверждение. Пусть u = U(t, x, y, z), v = V (t, x, y, z), w = W (t, z), k = K(t) решение системы уравнений (9), (10), (12)(14), тогда для произвольной, достаточно
гладкой ункции ? = ?(t)
1
u = ??1/2 U(?, ??1/2 x, ??1/2 y, ???1z) ? ???1 ??x,
2
1
v = ??1/2 V (?, ??1/2 x, ??1/2 y, ???1z) ? ???1 ??y,
2
w = ??2 W (?, ???1z) + ???1 ??z,
1 ... 3
k = ??2 K(?) ? ???1 ? + ???2 ??2
2
4
(16)
также являются решением той же системы.
Следовательно, зная решение системы с некоторой заданной ункцией k = k(t),
можно построить решения для произвольной k .
Система, аналогичная (9), (10), (12), рассматривалась в работе [7?.
Опишем теперь схему решения системы при k(t) ? 0. Перейдем к (произвольным)
лагранжевым координатам, выбрав в качестве независимых переменных t, ?, ? , ? =
z|t=0 , а в качестве неизвестных ункций x = x(t, ?, ?, ?), y = y(t, ?, ?, ?), z = z(t, ?).
В результате получается система
xtt = 0,
(17)
ytt = 0,
?
((x? y? ? x? y? )z? ) = 0.
(18)
?t
Из уравнений (17) следует, что ункции x и y линейны по t. Тогда из (18) и условия
? = z|t=0 вытекает соотношение
z? (t, ?) =
z2
(?)t2
1
,
+ z1 (?)t + 1
интегрируя которое, находим
z(t, ?) =
Z?
z2
(?)t2
d?
+ ?(t),
+ z1 (?)t + 1
?(0) = 0.
(19)
0
Выберем лагранжевы координаты ? и ? так, чтобы
x = ?t + ?.
(20)
126
Ю.В. Шанько
Поскольку ункция y линейна по t, то она представляется в виде
y = ?t + ?,
(21)
где ?, ? ункции от ?, ? , ? . Тогда из (18), (20) и (21) следует, что ? и ? удовлетворяют
системе линейных уравнений
??
?? ? ??
???
=
=
.
z2
z1
1
(22)
Дальнейший анализ системы (22) зависит от того, положителен, отрицателен или равен
нулю дискриминант ? = z12 ? 4z2 . Во всех трех случаях (22) интегрируется явно либо
заменами переменных сводится к системе уравнений Кошиимана.
Так как справедливы равенства ? = u, ? = x ? tu, ? = v , ? = y ? tv , то, задавая
произвольные ункции ?, ? , получаем представление решений исходной системы в
неявном виде:
v = ?(u, x ? tu, ?),
y ? tv = ?(u, x ? tu, ?),
w = zt ,
причем ? выражается через z и t из уравнения (19).
Чтобы упростить систему (22), выполним замену переменных
? = m?? + l?,
? = m?? + l?,
ормулы для m = m(?) и l = l(?) будут выписаны отдельно для каждого из трех
случаев. Вначале рассмотрим случай положительного дискриминанта. Пусть
m2 = ?/4 > 0.
Положим l = z1 /2, тогда после замены переменных система (22) примет вид
??? ? ??? = 0,
?? ? ???? = 0.
Ее решением являются ункции
?? = f (?? + ?, ?) + g(?? ? ?, ?),
? = f (?? + ?, ?) ? g(?? ? ?, ?).
В случае нулевого дискриминанта ? = 0, возьмем m = 1, l = z1 /2. После замены
получим систему
??? = 0,
?? ? ???? = 0,
которая имеет решение
?? = f (??, ?),
? = f?? (??, ?)? + g(??, ?).
Наконец, рассмотрим случай отрицательного дискриминанта. Полагая
?m2 = ?/4 < 0,
l = z1 /2,
127
О точных решениях уравнений идеальной жидкости
в результате замены переменных приходим к системе Кошиимана
??? + ??? = 0,
?? ? ???? = 0.
Перейдем к обсуждению конкретных примеров решений.
2
Пример 1. Положим k(t) ? 0, z2 = ? , z1 = 0, ?(t) ? 0. Из ормулы (19) найдем z :
z=
Z?
d?
= t?1 arctg(t?).
? 2 t2 + 1
0
Определим вертикальную компоненту скорости:
w = zt = ?t?2 arctg(t?) +
?
1 ?2
?1
=
?t
z
+
t sin(2tz).
t + t3 ? 2
2
С помощью соотношения (15) определим давление:
Z
1 4
?4
2
p = ?(t, z) = ? (wt + wwz ) dz = t
sin (tz) + sin (tz) ? t?2 z 2 .
2
Подставив выражения для z2 и z1 в (22), получим систему
?? ? ?? = 0,
?? + ? 2 ?? = 0.
Замена переменных ? = ? ??, ? = ? ?? приводит ее к системе Кошиимана
?? ? ???? = 0,
??? + ??? = 0.
(23)
Функции u и v определяются неявно посредством соотношений
u = ? ??,
v = ? ??,
x = ? ??t + ?,
y = ? ??t + ?,
где ?? = ??(??, ?, ?), ? = ?(??, ?, ?) связаны уравнениями (23).
Пример 2. В работе [8? найдено следующее решение системы (1) (? и ? произвольные ункции):
?(x + u(th z + 1)) = y + v(th z + 1),
?(x + u(th z ? 1)) = y + v(th z ? 1),
w = ? ch2 z.
Исходя из доказанного выше утверждения, следующие соотношения также задают решение (1):
1 ?3/2
z
1 ?3/2
z
1/2
?1/2
1/2
?1/2
? ?? x + ??
u + ??
??x
th + 1
= ?? y + ??
v + ??
??y
th + 1 ,
2
??
2
??
1
z
1
z
? ??1/2 x + ???1/2 u + ???3/2 ??x
th ? 1
= ??1/2 y + ???1/2 v + ???3/2 ??y
th ? 1 ,
2
??
2
??
z
w = ???2 ch2 + ???1 ??z,
??
здесь ? = ?(t) произвольная достаточно гладкая ункция.
128
Ю.В. Шанько
Пример 3.
Положим k(t) ? 0, z1 (?) = 2e? , z2 (?) = e? , ?(t) ? 0. Из (19) определим z :
z=
Z?
(1 + t)2
d?
=
ln
.
e? t2 + 2e? t + 1
t2 + 2t + exp(??)
(24)
0
В качестве решения системы (22)
?? ? ??
???
??
=
=
?
?
e
2e
1
выберем ? = e? (? ? ?)(e? ? e2? )?1/2 , ? = (e? ? ? ?)(e? ? e2? )?1/2 . Считаем, что ? < 0. В
этом случае скорости и давление задаются элементарными ункциями:
u = (1 + t)?1 (ez x ? (ez ? e2z )1/2 y), v = (1 + t)?1 ((ez ? e2z )1/2 x + ez y),
w = 2(1 + t)?1 (1 ? ez ), p = p0 (t) + 2(1 + t)?2 (z + ez ? e2z ).
При t ? +? скорость жидкости стремится к нулю.
Данное решение описывает нестационарное вращательно-симметричное течение в
полупространстве, которому можно дать следующую интерпретацию. Ограничим объем
жидкости сбоку твердой стенкой поверхностью (рис. 1)
(x2 + y 2)(1 ? ez ) = const,
а сверху и снизу двумя свободными границами горизонтальными плоскостями, которые определяются исходя из (24):
z = zi (t) = ln
(1 + t)2
,
t2 + 2t + exp(??i )
где i = 1, 2, ?i < 0. По меньшей мере на одной из свободных границ давление должно
зависеть от времени.
Несмотря на нестационарный характер течения, линии тока остаются неподвижными. При росте t скорость в каждой заданной точке полупространства z < 0 стремится к нулю. Незамкнутые линии на рис. 1 являются траекториями движения частиц
жидкости вдоль стенок. Остальные траектории имеют ту же орму и получаются из
представленных путем сжатия в направлении
? оси симметрии.
?
Пример 4. Выберем k(t) ? 0, z1 (?) = 2 3 cos ? , z2 (?) = 7 ? 4 3 sin ? . В качестве
решения системы (22) примем
?
?
?
? 3? cos ? + (7 ? 4 3 sin ?)?
?? + 3? cos ?
?
?
?=
, ?=
.
2 ? 3 sin ?
2 ? 3 sin ?
К полученному решению применим преобразование (16) с ? = tg t, которое даст решение
с k(t) ? ?1. В результате получим решение, описывающее стационарное вращательносимметричное течение:
?
?
?
?
u = ( 3 cos z)x ? (2 ? 3 sin z)y, v = (2 ? 3 sin z)x + ( 3 cos z)y,
?
?
x2 + y 2
w = 4 ? 2 3 sin z, p = p0 ? 2(2 ? 3 sin z)2 +
.
2
О точных решениях уравнений идеальной жидкости
ис. 1. Картина течения для примера 3
129
ис. 2. Картина течения для примера 4
Частицы жидкости движутся по спирали, проекции траекторий на ?горизонтальную
плоскость являются эллипсами. Поверхности (рис. 2) (x2 + y 2 )(2 ? 3 sin z) = const
можно рассматривать в качестве твердых стенок. Аналогично предыдущему примеру
незамкнутые линии на рис. 2 являются траекториями движения частиц жидкости вдоль
стенок. Другие траектории имеют ту же орму и получаются из представленных путем
сжатия в направлении оси симметрии.
В заключение приведем один результат, относящийся к системе уравнений идеальной неоднородной жидкости, которая записана в цилиндрических координатах:
Du ? r ?1 v 2 + ??1 pr = 0, Dv + r ?1 vu + r ?1 ??1 p? = 0,
Dw + ??1 pz = 0, D? = 0, ur + r ?1 u + r ?1 v? + wz = 0,
(25)
где t время; r , ?, z пространственные переменные; u, v , w компоненты скорости;
p давление; ? плотность, оператор
?
?
?
?
D=
+ u + r ?1 v
+w .
?t
?r
??
?z
Положим u = p? = pz = 0. Подстановка этих соотношений в (25) дает уравнения
Dv = Dw = D? = ??1 pr ? r ?1 v 2 = r ?1 v? + wz = 0.
Анализ полученной системы в общих чертах повторяет анализ системы для однородной
жидкости, поэтому сразу приведем окончательный результат.
Система (25) при сделанных предположениях имеет следующее точное решение в
неявной орме:
u = 0, w = ?, z ? tw = (? ? tvr ?1 )?? + ?,
где ? = ?(r, vr ?1 ), ? = ?(r, vr ?1 ) произвольные ункции, ?? производная ункции
? по второму аргументу,
p = p(r), ? = rpr v ?2 .
Найденное решение обобщает решение А.А. одионова [9?, которое можно получить,
положив ?? = 0.
Автор выражает благодарность О.В. Капцову за ценные советы при выполнении
данной работы.
130
Ю.В. Шанько
Список литературы
[1? Андреев В.К., Капцов О.В., Пухначев В.В., одионов А.А. Применение теоретикогрупповых методов в гидродинамике. Новосибирск: Наука, 1994.
[2? Бучнев А.А. руппа Ли, допускаемая уравнениями идеальной несжимаемой жидкости //
Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН ССС,
1971. Вып. 7. С. 212214.
[3? Шанько Ю.В., Капцов О.В. Оптимальные системы подалгебр и инвариантные решения ранга два для трехмерных уравнений Эйлера // Ди. уравнения. 1994. Т. 30, ќ 10.
С. 18141819.
[4? Чупахин А.П. идродинамика с квадратичным давлением. 1. Общие результаты //
ПМТФ. 2002. Т. 43, ќ 1. С. 2735.
[5? Чупахин А.П. идродинамика с квадратичным давлением. 2. Примеры // Там же. 2002.
Т. 43, ќ 2. С. 2228.
[6? Овсянников Л.В. рупповой анализ диеренциальных уравнений. М.: Наука, 1978.
[7? Игнатьева М.А., Чупахин А.П. Интегрирование уравнений газовой динамики для
2.5-мерных решений // Сиб. мат. журн. 2007. Т. 48, ќ 1. С. 103115.
[8? Шанько Ю.В. О некоторых точных решениях трехмерных уравнений идеальной несжимаемой жидкости // Материалы кон. Вычислительные и инормационные технологии
в науке, технике и образовании. Ч. 4. Алматы, 2004. C. 290296.
[9? одионов А.А. Об одном точном решении уравнений вращательно-симметричного движения жидкости // Тез. докл. Всероссийской кон. Новые математические модели в
механике сплошных сред: Построение и изучение. Новосибирск: ИиЛ СО АН, 2004.
С. 119120.
Поступила в редакцию 10 декабря 2009 г.,
с доработки 10 марта 2010 г.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
259 Кб
Теги
уравнения, трехмерная, некоторые, идеального, точных, решения, жидкости
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа