close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О некоторых функциях гипергеометрического типа встречаюшихся в механике.

код для вставкиСкачать
УЧЕНЫЕ
Том
удк
О
ЗАПИСКИ
1
ЦАГИ
Мб
1970
629.735.45.015.016.86
НЕКОТОРЫХ
ФУНКЦИЯХ
ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОГО
ТИПА,
ВСТРЕЧАЮШИХСЯ В МЕХАНИКЕ
Е. С. Вождаев
Рассматриваются свойства следующих функций:
,,/2
Ет(х)
=
f
(YI-x$!n 2 'f')md'f';
о
,,/2
Кт(х)=
5(,;-r I
о
d'f'
)
-ХSiп2'f' т
.
На основе выражения этих функций через гипергеометрическую
функцию установлено свойство обратимости интеграла К т + 2 (х) в ин­
теграл Е m (х), приводятся рекуррентные соотношения для рассматри­
ваемых функций, даются их выражения через полиномы и элементар­
ные трансцендентные функции, а также через полные эллиптические
интегралы 1 и II родов. Даны также формулы дифференцирования
и интегрирования, дающие результаты этих операций в виде комби­
наций функций Е т (х) и Кт (х).
В статье изучаются свойства функций
,,/2
Еm(х)=
5
(Yl-xsin 2 'f')md'f'
1
о
d
,,/2
Кm(Х) =
.
~\ (Уl
_
'f'
(О
x:>in 2'f')m
<: х < 1),
о
(т
=
1, 2, 3, ... ),
(1)
I
встречающихся в различных приложениях механики. В частности, они исполь­
зуются при рассмотрении следующей задачи дисковой теории несущего винта
вертолета.
нат
Предположим, что вокруг оси 1J неподвижной декартовой системы коорди­
O;1jC вращается k-лопастный винт с угловой скоростью (J) (фиг. 1). Плоскость
вращения винта E~ образует
V
произвольный
угол
атаки
отрезком несущей линии Ро
с
направлением скорости невозмущенного потока
сх. Лопасть винта
схематизируется радиальным
-< Р <: R с переменной
по длине циркуляцией
r=r
(о).
Требуется определить проекцию на ось 1j вектора скорости, индуцируемой ви'х­
ревой
Е
=-
134
системой
r cos 0/,
,=
винта
'tj = О,
в
произвольной
r sin <jJ.
точке М плоскости
Е' с координатами
Искомую проекцию обозначим через
v
= v(r, <\1).
Введем
безразмерные па­
раметры
Р
р
-
Т'
=
г
г-
= R '
г
Г
шR2
=
-
,v =
v= vе;, 0/) в виде ряда
и представим функцию
V
_
v
шR ,v = шR
Фурье
00
v=v, +.Е (VсnСОSnф+VsnSIПnф)
(2)
(n= 1,2,3, ... ).
n=1
Фиг.
Коэффициенты ряда Фурье
имеют
(2)
в
рамках линейной
вихревой
теории винта
вид
1
Vr
= - - -kr
=,
-
vs
41tV
n
f -::::дГ K
kk", n
= --_-
др
41tT _
-
s n dp,
Р.
где
2
К С n=--;-
5
1t
YI- р2 L-2Un (р)dб;
(3)
U
krт. n = ( - 1)
Тn (р) и иn (р)
-
11-1
(1
со<;;lI а
+ slп I а 1)11 ,
полиномы Чебышева
Соотношения
(3)
V 1 + Р.2 -
L =
1
и
Il
2 Р* cos 8,
родов по параметру
с точностью до постоянного
множителя
определяют
гар­
моники индуцированной скорости от так называемого элементарного винта и
являются функциями только Р* и n, что удобно при их табулировании или гра­
фическом представлении. Эти функции для любого целочисленного n могут быть
представлены через функции (1) в замкнутом виде. В этом нетрудно убедиться,
если положить ох
4 Р*!( 1 р*)2, б = 1t 2 'f'. Такое преобразование приводит
интегралы К С n при нечетных n и интегралы Ks 11 при четных n к функциям (1)
=
+
+
снечетными т. В остальных случаях интегралы
с
четными
(3)
приводятся
к
функциям
(1)
т.
135
Анализ свойств функций (1) дан ниже на основе единого подхода, связан­
ного с представлением этих функций через гипергеометрическую функцию. Уста­
навливается свойство обратимости интеграла Кm + 2 (х) в интеграл Е т (х), приво­
дятся
рекуррентные
соотношения
для
-- .~"
Ef.z}
~
15"
г-
........
........
"~ :-...., r--...
рассматриваемых
I
r- r-.
r-
,
11,5
m=7 /
8
§
[7"-j R
/: V/ '/
1u 'i
11
/2
IJ
11,25
I
Фиг.
I
11
I
I
11 1
1/ 1
I
1
1
IJ
1 11!j[8/ / I I1
'1 11/ 1/ 1/ kL /
1 '/V
11 '1
//
11I / 1/ / J 1/
У,О
.,.
.....
r// j
!J V/ /
/ /
J
/ /
/
~ V. / V V ./ . / , /
..........
~ ~ "/ / . . . . V . . . . V
~
~ ~ :::::. f~
1 /
1 1
1 11
I
I
m=/2; iпШ
1
J
1
1
I
J
I1
'!
J
2V
j
/
V
-
~
V
!
/
V
f-
Фиг.
tJ
11,25
11,5
2
!,О
I
I
1 11 1 1
I 1 11 1 1
7,5"
.z
/
I I I /
/ /1/
1 1
--
1/,75
11I
/
/ /
/ / / /
I
-
~~
r/
11,5
':)
ltJ
'/
........,
-
r-.
-
их
r-..... 2
~ ~ ~ ....... 1"-r--...
........
........ ........
'\~ ~ ~
r-...
r--...
........ .......
'\: ~ ::-.: =--- ........ ........ ~ ........
.........
'\: ~ ~ t' ::-.... ........ r--.. К ..... ..... r--...
r-......
.........
,~ ~
~ '-.. t-.... Ji ........
r--... ..... г-. ......
-..... r-. r-. r-. ,....
~ ~ ::::::: ~ t--..::::: ~ ~ ::;< ~ ~ ~ :- t-- r-
'-
2,5
даются
m=!
r-:.:..
г--- ........
функций,
11,75"
3
.z ~O
выражения через полиномы и элементарные трансцендентные функции (при чет­
ных т), а также через полные эллиптические интегралы 1 и II родов (при нечет­
ных т).
В связи с необходимостью в приложениях дифференцировать и интегриро­
вать функции (1), приводятся формулы, дающие результаты этих операций
136
виде комбинаций функций (1). Поведение функций (1) при т = 1, 2, ... , 12
иллюстрируется фиг. 2 и 3. Для интегралов (1), не выражаемых в элементарных
функциях, составлены таблицы (табл. 1 и 2).
111
Представление ФУНlщий Е т (х) и Кт (х) '1ерез гunерzеометри'lескую функцию.
Функции (1) удовлетворяют гипергеометрическому дифференциальному уравне-
I1ИЮ Гаусса
х(l-х)у"(х)
+ [i-(a+~ +
l)xly'(x)-a~y(x) = О,
-если
"~[ - ~
2
при
у (х) =
при
у (х)
1
~=2
Е т (х),
= Кт (~),
"( = 1,
)
I
I
}
(4)
J
Таблица
Ев(х); Кз(х)
х
0,00
02
04
06
08
() ,10
12
14
16
18
(),20
22
24
26
28
(),30
32
34
36
38
(),40
42
44
46
48
0,50
Е:!
1,
57079
54732
52403
50091
47798
45523
43266
41028
38809
36608
34427
32266
30124
28001
25899
23817
21755
19714
17694
15695
13718
11762
09829
07917
06029
04163
1,
Кз
1,57079
1,59481
1,61976
1,64570
1,67271
1,70084
1,73018
1,76079
1,79279
1,82625
1,86129
1,89803
1,93660
1,97714
2,О1982
2.06480
2,11230
2,16254
2,21575
2,27224
2,33232
2,39635
2,46475
2,53800
2,61662
2.70129
х
0,50
52
54
56
58
0,60
62
64
66
68
0,70
72
74
76
78
0,80
82
84
86
88
0,90
92
94
96
98
1,00
Ез
1,04163
1,02321
1,00502
0,98707
0,96937
0,95192
0,93473
0,91778
0,90111
0,88471
0,86857
0,85273
0,83717
0,82191
0.80695
0,79231
0,71799
0,76401
0,75038
0,73711
0,72423
0,71175
0,69971
0,68813
0,67708
0,66666
Кз
2,7о129
2,79272
2,89179
2,99952
3,11712
3,24607
3,38812
3,54542
3,72062
3,91705
4,13890
4,39154
4,68200
5,01964
5,41719
5,89245
6,47110
7,19160
8,11427
9.33951
11,04775
13,59922
17,83310
26,26255
51.42972
=
137
Таблица
2
Е. (х); К5 (х)
К5
Х
-1
x-I
--~----------~---------~~------~------~--------~
О,
0,00
02
04
06
08
] ,57079
] ,53197
1,49401
] ,45693
],4207]
О,
1,38534
] ,35081
] ,3]713
1,28427
] ,25224
] ,22102
1, ]9061
],]6]00
1,']32]7
]0
12
]4
]6
]8
0,20
22
24
26
28
0,30
32
34
36
38
0,40
42
44
46
48
0,50
] ,57079
1,6]112
] ,65367
1,69863
] ,74619
1,79658
] ,85003
] .90681
1,96724
2,03]66
2, ]0043
2,17399
2,25284
2,33750
2,42861
2,52688
2,633]2
2,74826
2,87340
3,00977
] ,10413
] ,07686
1,05035
] ,02461
0,9996]
0,97534
0,9518]
0,92899
0,90689
0,88550
0,86479
0,84476
0,50
52
54
56
58
0,60
62
64
66
68
0,70
72
74
76
78
0,80
82
84
86
88
0,90
92
94
96
98
],00
З,15884
3,32231
3,50219
3,70087
3,92]]8
4, ]6652
84476
8254]
80672
78869
77129
75453
73839
72286
70793
69358
67982
66662
65397
64186
63027
61920
60863
59854
58892
57976
57104
56273
55483
54731
540]6
4, ]6652
4,44101
4,74963
5,09853
5,49532
5,94952
6,47317
7,08169
7,79509
8,63972
9,65086
] ,08767. 101
] ,23842. ]01
1,42693·101
] ,66726. ]01
1 ,98078· 101
2,40122. ]01
2,98442. ]01
3,82847·101
5,]1885·101
7,24232. 101
1,1121].102
] ,94363·102
4,30083. 102
] ,69271 • ] 03
53333
00
О,
и в· силу этого являются гипергеометрическими функциями частного типа:
1t
Еm(х)=т
].3
Р
+ 24 (2!)2 т (т
1t
(
т]
,-Т'2' 1, х
.]
] ,3·5
]
+, " ;
(5)
(т]
) 1t[
]
-2' т'], х =т 1+22(1!)2mx+
+ 24 ]·3
(2!)2 т (т + 2) х
2
) .3·5
]
+ 26 (3!)2 т (т + 2) (т + 4) х 3 -+, , , .
Свойство обратимости. При условии
тождество [2] преобразуется к виду
138
1t [
=2 1-22(I!pmx+
- 2) x~ - 26 (3!)2 т (т - 2) (т - 4) Х3
Кm (Х)=2 Р
p(т~2,
)
+,], х)=
(4)
(VI +I )m+l
x
известное
Р( -;,
(6)
гипергеометрическое
+,1, Х),
откуда и следует свойство обратимости
1
Формула
(7)
щего при х --7
с
1,
(7)
позволяет вместо интеграла Кт + 2 (х), неограниченно возрастаю­
рассматривать более простой интеграл Е т (х) без
одновременным понижением
степени
т
на
особенностей
две единицы.
Рекуррентные формулы. Исходим из гипергеометрического тождества с по­
стоянными параметрами ~ и '1 [3] и условий (4):
F(_mt
2
,+.
I.X)=::;(2-X)F(-
~
,-}, I.X)-
т~2, ~,
1.
х).
-т~2
(I-X)F( -
откуда следует рекуррентная формула
т+1
т
Е т + 2 (Х)=т+2 (2-х)Е т (х)- т+2 (l-х)Е m _ 2 (х).
вид
Для функции Кт - 2 (х) рекуррентная формула на
[т-I
1
Кт+2(Х) = <Уl-х)т+l
основании
т-2
(7)
(8)
и
(8)
~(2-х)Е т _ 2 (х)---;п-(1 -х)Ет_!(х)
Функции Е т (х) и Кт (х) при четных индексах
при т
2 n превращается в полином
=
Е2n (х)=
т
= 2 n (n
(1 -+- ~a,nx')'
;
]
имеет
.
(9)
= 1, 2, ... ). Ряд (5)
(10)
где
_
, (2 v - О!! ( n \) .
,
'
2 '<!
'1
(2 v - 1)!!
= 1·3·5 ... , (2 v - 1);
а,n
( : ) для низших индексов
n
- (- 1)
биномиальный коэффициент.
согласно
(10)
имеем
Для определения полиномов (10) при больших n удобно пользоваться также
рекуррентной формулой (8).
Функция (6) при т = 2 n представляется бесконечным степенным рядом
К2 n (х) =
+(1 + ~ Ь.n х,),
(2v-I)!!
где
2' '<!
139
или на основании
и
(7)
(10)
соотношением
К2n + 2 (х) = 2(у! ~ х)2n+l (1 + ~ avn х" ).
При больших индексах
мулой
(11)
n удобно :гакже пользоваться рекуррентной фор­
(9).
Функции Ет (х) и Кт (х) при неч.етных индексах т = 2 n -
=
1 (n
1, 2, •.. ).
в этом случае интегралы (1) не выражаются в элементарных функциях. При
х
1 эти интегралы целесообразно приближенно заменять отрезками рядов (5)
и (6). При значениях х, близких к единице, пользоваться этими' рядами затруд­
«
нительно вследствие их медленной сходимости. Представим интегралы
(1)
через
полные эллиптические интегралы Е и К с модулем ух.
Пользуясь обозначениями
а2n-l
и формулой
(8),
=
Ь
2n-2
2 n _ J (2 - х),
2n-l
=
2n-3
2 n _ 1 (1 - х)
получаем
Е 2n - 1 (х) = е2n_l Е
- k 2n _ 1
К,
(12)
где
2n __ 1 = а 2n _ 1 е 2n _ з - Ь2n _ 1 е2n - 5 ,
k 2n _ 1 = а 2n _ 1 k 2n _ з -- Ь 2n _ 1 k 2n _ ,
5
(n = 3, 4, 5, ... )
е
причем еl
При
= 1, k 1 = О, ев = аз, k з = Ь з .
n = J, 2, 3
Е 1 (х) =
справедливы соотношения
Е,
1
Ез(х)
=""3 [2 (2
Е 5 (х)
= 15 {[8 (2 -x)t-9(I -
- x)E-(1 -х)К],
1
Функции К2n + 1 (х) на основанИИ
(7)
х)] Е -4(2 -х)(1 -х) К}.
будут иметь вид
К2 n+\ (х) = (1 - хг
n
E Zn - 1 (х).
(13)
Формулы дифференцирования. Исходим из следующего легко доказываемого
соотношения:
n
d
dxn
P(a,~, 1, х)
=
(а)n
хn
Ln [ (__ I)k ( kn ) Р(а + n k=O
где
(а)n
140
=
а(а+
1)... (a+n-I).
k,
~, 1, х)] ,
Задавая параметры а, ~ И "'i в соответствии с (4), выражаем n-е производные
функций (1) в виде комбинаций этих же функций:
n
d
dx n Ет (х)
=
( - ; )n
хn
'т\
~
[
( n )
~~ (- J)k k
Em-2n+2k (х)
]
1
•
!
n
d~: Кт(х) = :n!nt;J(-I)k(:)Кffl+2n_zk(Х)].
n= 1
В частности, при
имеем
(14)
d
т
dx Ет (х) = 2 х [Е т (х) - Ет - 2 (х)] ,
d
dx Km(r)
Раскрывая при х
=
Кт (х)].
О
О неопределенность типа О в формулах (14), получаем
d~: Ет (О)=2:!(В частном случае
т
= 2 х [Кт +2 (х) -
;))+)n'
n= 1
d~: Kт(O)=2~!
(;)n(+)n·
имеем
..!!.... Е т (О) = -~т,
8
dx
d
dx
О
7t
-Кт ( )=-т,
8
Формулы интеzрироваhия. Пользуясь формулами дифференцирования, можно
получить ряд формул интегрирования выражений,
ПривеДLМ некоторые из них (т, n = 1, 2, 3, ... ):
содержащих
функции
(1).
SЕт (х) dx = 2тХ Е,т (х) + т ~ 2 SЕт - 2 (х) dx,
2х
m-- 2 S
.Jr Kffl+z(x)dx=mKm(x)
+-т- Кт (x)dx,
r ,
2 х'+l
т'
J х Ет (х) dx = т + 2 .. + 2 Ет (х) + т + 2 .. + 2
f х·кт+2 (х)
г де 'i -
f
2 х'+ 1
dx = ---;п- Кт (х) -
2 'i + 2 - т
т
jх
,
Е т _2 (х) dx,
Jх' Кт (х)
dx,
произвольное действительное число,
2х
E 2n + 1 (X)dx=2n+3 L
~
E Zk + 1 (х) +
2
2n+3
[(l+x)E-(I-х)I<],
k=1
f
2х
K 2n + l (x)dx=2n_1
n
LK2k - 1 (Х)-
2
2n-I
[E-(I···х)I<].
k=l
ЛИТЕРАТУРА
гиз,
ции,
1. М а д е л у н г Э. Математический аппарат физики. М., Физмат­
1961.
2. Б е й т м е н Г., Эр д е й и А. Высшие трансцендентные функ­
т, 1 - Ш. М" Физматгиз, 1967.
Рукопись поступила
11- Ученые запнскн Н. 6
16/1V 1970
г.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
246 Кб
Теги
типа, механика, функция, некоторые, гипергеометрической, встречаюшихся
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа