close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О нелокальной разрешимости одного вырожденного нестационарного полулинейного дифференциально-алгебраического уравнения.

код для вставкиСкачать
сти к протекающему через канал воздуху, и необхо­
димы специальные разработки, обеспечивающие тре­
буемый режим системы охлаждения. Возможно, что
в новых разработках будут использованы более со­
временные технологии, не исключено даже нанотех­
нологии, поскольку, как показано в работе [8], нане­
сение на поверхность наночастиц оксида цинка увели­
чивает в четыре раза скорость отвода тепла во вне­
шнюю среду.
Литература: 1. Крейт Ф., БлэкУ. Основы теплопередачи.
М.: Мир, 1983. 512с. 2. Уот Ж Основные формулы и
данные по теплообмену для инженеров. Справочник. М .:
Атомиздат, 1979. 216с. 3. ТеплоеА.В. Основы гидравлики.
М.-Л.:Энергия, 1965. 447с. 4.Matthew A Keyser, Pesaran
A. et. all. Thermal Characterization o f Advanced Lithium-ion
Polymer Cells // Third Advanced Automotive Battery
Conference, June 2003. 5. Pesaran A . Battery Thermal
Management inEVs and HEVs: Issues and Solutions. National
Renewable Energy Laboratory. 1617 Cole Blvd. Golden,
Colorado 80401 // Advanced Automotive Battery Conference,
Las Vegas, Nevada, February 6-8, 2001. (s. Kim Gi-Heon,
Pesaran A. Battery Thermal Management System. Design
Modeling //EVS 22. October 23-28, 2006. Yokohama Japan.
7. Pesaran A. Battery Thermal Management in EVs and
HEVs: Issues and Solutions // First Annual Advanced
УДК517.9
О НЕЛОКАЛЬНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ
ОДНОГО ВЫРОЖДЕННОГО
Automotive Battery Conference Las Vegas, NV February 58, 2001. 8. Hendricks T.J., Krishnan S. et all. Enhancement
of pool-boiling heat transfer using nanostructured surfaces
on aluminum and cooper // International Journal of Heat and
Mass.Transfer. 2010. Vol.5.'. issues 15-16. P. 3357-3365.
Поступила в редколлегию 20.07.2011
Рецензент: д-р техн. наук, проф. Левыкин В.М.
Слабоспицкий Ростислав Павлович, д-р физ.-мат. наук,
заместитель директора Института физики высоких энер­
гий и ядерной физики (ИФВЭЯФ) Национального Науч­
ного Центра Харьковский Физико-технический институт
(ННЦ ХФТИ). Адрес: Украина, 61108, Харьков, ул. Акаде­
мическая,
1,
тел.
(057)335-68-85,
e-mail:
slabospitskiy@kipt.kharkov.ua.
Хажмурадов Маиап Ахмадович, д-р техн. наук, профес­
сор, начальник отдела Национального Научного Центра
Харьковский Физико-технический институт (ННЦ ХФТИ).
Адрес: Украина, 61108, Харьков, ул. Академическая, 1,
тел. (057)33 5-68-46, e-mail: khazl mi (a kipt. к harkov.ua.
Лукьянова Валентина Петровна, ведущий инженер-программист Национального Научного Центра Харьковс­
кий Физико-технический институт (ННЦ ХФТИ). Адрес:
Украина, 61108, Харьков, ул. Академическая, 1, тел.
(057)335-61-48. e-mail: khazhm@kipt.kharkov.ua.
ослабление ограничения единичности индекса харак­
теристического пучка.
2. Постановка задачи
Рассмотрим уравнение
НЕСТАЦИОНАРНОГО
А( ^
ПОЛУЛИНЕЙНОГО
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО­
АЛГЕБРАИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
Рассматривается начальная задача для нестационарного
полулинейного дифференциально-алгебраического урав­
нения, не разрешенного относительно вектора производ­
ных. Предполагается, что нестационарный характеристи­
ческий пучок линейной части уравнения имеет постоян­
ный индекс 2. Доказывается нелокальная теорема суще­
ствования и единственности решения начальной задачи.
Результаты применяются для моделирования переходных
процессов в нелинейной электрической цепи.
(1)
где А(1:), В(Т)— квадратные комплексные, вообще
говоря, вырожденные матрицы размера п х п ,
^ ,х )
ХУ Д О Ш И Н И.Г._____________________________________
х( 0 + в о м о = т , х (о х
Т ] х С п —> С П- известная вектор-функ­
ция. Предполагается, что матричный пучок
ХА(1) + В(1)
(2)
регулярен при |Г1 < 1: < Т и для его резольвенты вы­
полняется следующая оценка:
(аА (1) + В(1)) , ||£ с , |х и Ц > С 2, \0 < ц с Т, (3)
здесь С ! . С — положительные константы. В настоя­
щей работе исследуется разрешимость уравнения (1).
1. Введение
3. Предварительные сведения
При математическом моделировании нелинейных
электрических цепей возникает система дифференци­
ально-алгебраических уравнений [1, 4, 5, 7, 15, 18].
Наиболее изученным является случай нелинейных
цепей со стационарными параметрами, а глобальные
теоремы существования и единственности решений в
переходных режимах обычно предполагают, что ин­
декс характеристического пучка линейнойчастиуравнений равен 1.
Известно [1], что если пучок (2) регулярен и выпол­
няется ограничение (3), то можно построить две пары
спектральных проекторов типа Рисса:
Целью данной работы является получение нелокаль­
(4)
т
= ^ ~ | (л А (1 )+ В (1 )) М лАЦ ),
2га |А|
р 2(1) = е
о о )
-
р1(1),
—
I А ( 1 ) ( Щ 1 ) + в а ) ) 'с1л.
2га е А ,
ных теорем существования и единственности для не­
линейных цепей с нестационарными элементами и
8
РИ, 2011, № 3
задающих разложение исходного пространства С 11 в
прямые суммы подпространств, инвариантных отно­
сительно пучка (2):
Р20(1)О 1т Ш
Р21 © С 1(1 )В © = О 1(1)В(1)Р21(1) = Р21(1),
Р21 (1 )0 1(1)А(1) - 0, О 1(1)А(1)Р20 (1) - 0, (12)
С п = Х 1(1) + Х 2( 0 = ¥ 1( 0 + ¥ 2(0 ,
Р20(1)О -1(1)А(1) = О - 1(1)А(1)Р21(1).
х 1(0 = р1а)сп,¥1(1) = д ,а )сп,
А (1)Х , (1) с У, (I), В(1)Х, ( 0 с У ; (1),
(5)
1 = 1 ,2 ,10 < 1 < Т.
Здесь Е - единичная матрица размера п х п .Сужения
операторов
А 1(1) = А(1:): X ; ({) —» У) (1)
и
В 2(I) = В(С): Х 2(1) —> У 2(1) обратимы, оператор
А 2т
= С 1(1)В(1)Р20(1) = Р20(1),
2\1) нильпотентный с индексом нильпотент-
Первые два тождества следуют из (8) и (11), третье
тождество вытекает из (10), а четвёртое следует из (8),
(11) и третьего тождества. Проекторы (11) обладают
той же степенью гладкости по I. что и пучок (2).
Будем говорить, что матричный пучок (2) и векторфункция Ш, х ) : |1;п, Т] х С" —> С 11 частично спект­
рально согласованы, если сущ ествует матрица
N(1) € С " 11 ■ такая что для лю бых
1п < 1 < Т ,
ности не выше 2, а подпространство Х 2(1) состоит из
собственных и присоединенных векторов пучка (2),
отвечающих бесконечно удаленной точке.
х е С 1 выполняется тождество (сравн. [17])
Используем нормализую щую матрицу О из[1,с.48]
и обратную к ней:
Замечание. Любая функция Щ ), не зависящая от
о (1 )= а (о д ©
+
( у = ( ) ](о д а ) +
о - 1а ) = А 1-10 1( 0 + в - 21д 2(0 ,
А (1 )о 1
(о =
х , частично спектрально согласована с пучком (2).
В
случае,
к огда
выполняет ся
оценка
|$ХА(1+В(1)Г 11 < С Д П< 1 < Т , то условие час­
(7)
тичной спектральной согласованности также фор­
мально выполнено, так как Р, (1) - о . Если функ­
О - 1( « ) Р 20 ) = Р2
о ) , в д о 1ш
1| )# ,Э Д Р 21(1)х). (13)
(6)
обладающую следующими свойствами:
О - 1(1)А (О Д 0 ) = Р:
Р21( 1 ) 0 - 1Щ 1 , X) = Р2|0
2 ( о = о 2 (о .
(8 )
Проекторы (4) и матрицы (6), (7) обладают той же
степенью гладкости по I. что и пучок (2). Если матри­
цы А р ) . В|1) вещественны, то проекторы (4) и мат­
рицы (6), (7) также вещественны и все перечисленные
свойства сохраняются.
ция Г( I, х ) достаточно гладкая, то вместо условия
(13) достаточно проверить выполнение равенства
ж
р ^ ф о - 4® —
ох
4. Теорема существования и единственности
решения
Предполагается, что матричный пучок (2), отвечаю­
щий уравнению (1), регулярен и длянего выполняется
оценка (3).
Для уравнения (1) рассматривается начальная задача
Подпространство X , (1:) состоит только из собствен­
ных векторов пучка (2) и присоединенных векторов
р1(1о)х(1о) = р1(1о)хо,
(14)
высоты 1, отвечающих точке ^ = х . В этом случае
где х п — известный вектор
подпространство Х 2 (1:) можно представить в виде
прямой суммы подпространств
Решением начальной задачи (1), (14) на отрезке
[10, Т] будем называть вектор-функцию х(1) со зна­
х 20) = х ^ + Х21(1),
(9)
чениями в
^
где X . (I)
СОСТОИТ ТОЛЬКО ИЗ
собственных, а X ! (1)
- только из присоединенных векторов пучка (2),т.е.
Ух(1) е Х2П(1): А(1:)х(1:) = 0,
Разложение (9) порождает проекторы Р20 (Ч), Р01( I ) ,
такие что
Р200 ) Р210 ) = 0,
" = х * , (0 , Р „ ( г ) с * = х , , ® .
с а, непрсрывно-ди(|)(|)ерснцируемую при
1 < т , удовлетворяющую уравнению (1) при
всех 1 е |1 Л 1 и начальному условию (14).
Теорема. Пусть А (1 ),В (1 ) — комплексные матри­
цируемые по X на отрезке [10Д ] . для которых
выполняется оценка (3), а 1(1. х ) — вектор-функ­
У х(1 ) е Х 21(1): В(1)х(1) й 1тА(1:).
р» с
С П•
цы размера п х п , дважды непрерывно дифферен-
У хО ) е Х 21(1) ЗуО) е Х 20 : А (§ х (1 ) = В(1)у(1)г(Н))
Р20(*) + Р21( 0 = Р2
ИЗ
,ш
ция со значениями в С ” , трижды непрерывно диф­
ференцируемая по совокупности переменных в обла­
сти [10, Т ] х С п, для которой выполняется условие
частичной спектральной согласованности (13), где
матрица N(1) дважды непрерывно дифференциру­
ема на отрезке [10Д ] - Пусть также для любых
Для указанных проекторов выполняются тождества
РИ, 2011, № 3
10 < 1 < Т и х е С 11 выполнены условия
< Ь 21< 1 ,
(1-\. :
21
дх
д
тор, а также оператор - ( р ^ ш о - ч а д ш о х )
д?
ох
л
0 ) - г - 0 . х ) \ ( 1 ) ) \ Этот операих
(о ^ т с Ф я # ))
о
т
дважды непрерывно дифференцируем по t на отрезке
3°
Р, (1 )0 1(ОПЧ, х ) ттишцевапо х с некоторой
константой Ь 1 равномерно по \ .
Тогда существует единственное глобальное на & о Д ]
решение начальной задачи (1), (14).
Д о к а з а т е л ь с т в о . Умножим уравнение (1) на
матрицу О (Д), подействуем на полученное уравне­
ние проекторами РДО, Р20( 0 и РтДО и воспользу­
емся тождествами (8) и (12). Получим следущую
систему уравнений:
|і, . I | для любого х є х 21(1) . Следовательно, по
теореме о производных высших порядков неявной
функции (теорема 31 [2, с. 314]), найденная векторфункция \¥(1:) также дважды непрерывно дифферен­
цируема на отрезке [1:П,Т ].
Проинтегрируем уравнение (18) от £п до 1, сложим
с уравнением (19) и обозначим у(1) = х , (1:) + х 2П(1)
(заметим, что х 1(1) = Р1(1:)\(1:)). Получим уравнение
і
V # = Рі Оо К
+ 1 [Рі (г )О -1
у(г) + ш (г)) +
Р1( 1 ) - х ( 1 ) + 0 1а)В (О Д (1)х(1) =
от
(15)
+ — Р1( т )( у ( т ) + \у ( т ) ) йт
= р 1( О а ч ( Ш х ( і ) ) ,
о
- О -1 (г)В(г)Р, (г)у(г)|с1г •
' ( О А ( і ) % 0 ) ^ - х ( 0 + Р2П(1)х(1) =
от
(16)
+ Р2П( 1 ) 0 ’ (г)Ш, у(!) + w(t)) +
= Р20( 1 ) О 1(1)ґ(1,х(1)),
+ 4 ( 0 - , (і )А( і )Р!1(і ))(у (і ) + » ( і ) ) (17)
Р21(1)х(1) = Р210 ) 0 1(1)Г(1.х(1)).
О бозначим
X; (1) = Р, ( 1 : ) х ( 1 : ) х 20(1) = Р20(1),
лу(1:) = Р ,, (1:)х(1:). воспользуемся условием частич­
ной спектральной согласованности (13) и правилом
дифференцирования произведения. Получим систему
уравнений, эквивалентную исходномууравнению (1):
О
Т
от
(21 )
Подставив полученную ранее вектор-функцию \у (1:) в
(21),получимуравнениеотносительно у(1:) .Выберем
8 > 0 такое, что
7 -* 1 ( 0 - ~ Р1
о
т
о
т
® + Х 2П( 0 + ^ ) ) +
+ 0 1а ) в а ) х , ( 1 ) =
8 < ( 1 - Ь 20) /( Ь 1 + эир
= Р|( О С 1( ^ х , (1) + х 200 ) + w(t)),
Х 20 ( 0 • -7 -( 0
О
Т
' (1)А(1)Р21
И % ,Т ]
(18)
+ вир о ' і т щ щ ).
(22 )
Тогдапри 1 е [1:,, 1п + 5 ] праваячастьуравнения(21)
© А © ^ )) -
будет равномерно по 1 сжимающим отображением
(1) + х 20 0 ) + * © ) = (19)
относительно у(1:). Следовательно, существует един­
ственное решение у(1:) уравнения (21), непрерывное
(20)
на отрезке
+ 5 ] . За конечное число шагов
можно продлить найденное решение на весь отрезок
[1щ, Т ] . Легко убедиться, что найденное решение
Из условия 1° теоремы следует, что отображение
у(1:) удовлетворяетусловию Р, (1:0)у(1:0) = Р (1:п) х п.
Рт: (1:)0
Так как выполняется условие 2° теоремы, то при
= Р20 (1 )0 1( 1 )ф ,х д (1) + х 2:)( 0 + w (t)),
w (t) = P21(t ) G - 1(t)f(t,N (t)w (t)).
является сж им аю щ им в
Х ^ (1 ) равномерно по 1 и, следовательно, имеет
единственную неподвижную точку \у (1:) , удовлетворяющую уравнению (20).
ш
"х21М - Р 21( 1 ) О Ч 0 ^ а , х ) Щ ) > 0
ох
{е [1 :п, Т ] , ; х Є С 11. значит, в пространстве
Кроме того,
при
Х ,,^ )
10
определен
обратны й
оператор
1 е [1Й» Т ] , х е С ” выполняется неравенство
дх
>0,
Л
и мы снова можем воспользоваться теоремой о про­
изводных высших порядков неявной функции. При­
нимая во внимание, что подынтегральная часть пра­
вой части уравнения (21) непрерывна, а остальные
РИ, 2011, № 3
слагаемые непрерывно дифференцируемы по 1, де­
лаем вывод о том, что найденное решение у(1:) непре­
рывно дифференцируемо по 1 на отрезке & „ Д ] .
Искомое решение начальной задачи (1), (14) получа­
— ( ц а п , о ) ) + и3
= и (і)- щ ( і ,і ,с т
о
т
~ ( и 0 )І 2 0 ) ) - и :Д ) = -<р2 (1,12 (1)),
о
т
ем как сумму х(1:) = у(1:) + \у(1:) .
^ ( С 3(1)и3(1)) +
от
5. Приложение в радиотехнике
= і № - (ръ (1, и 3(1)) - 4о4 (І, и 4 (1)),
На рисунке изображен передающий электрический
четырехполюснике нелинейными и нестационарными
элементами.
І.
і]
Ьі
ф іі
,Са
II
І4
ф4
и1
І2І
2
Ь £
и2
и.
Дз
І (І)
(28)
і (І)-
Входной ток і (1) и входное напряжение и (1:) счи­
таются известными функциями. Применим к первому,
второму итретьемууравнениям системы (28) правило
дифференцирования произведения и запишем систе­
му в векторной форме ( Г), где
-о
и4
1
Ф3 =
от
(С 4Щ и 4(1)) + і 2 0 ) =
Теорема доказана.
Рз и 3
Фо
% (1 )
0
0
0
0
Ь 2(1)
0
0
0
0
С 30 )
С 4(1)
V 0
0
0
0
)
% (1 )
0
1
0
л
0
Ц (1 )
-1
0
0
1
С #)
С 4«
1
0
0
0
АЮ =
-О
'
Предполагается, что индуктивности Ь 1?Ь 2 и ёмкости
С 2, С 2 меняются во времени. Колебания элементов
четырехполюсника описываются следующими урав­
нениями относительно токов 1к и напряжений и к :
и , 0 ) = ^ ( Ь , (1)1, (1)) + (Рх
О )).
(23)
и 2Ю = ^ (Ь 2 СО*2 0 ) ) + (Рг & 12 (I)),
(24)
В(1) =
,
хМ =
І 2 (*)
5
( С 3 (*)и 3 $ ) ) + <Рз
из 0 ) ) ,
(25)
и 0 ) = ^ - ( С : ( 1 ) и Л ) ) + (р4
и 4 (1)).
(26)
)
(30)
Ч3(0
1з 0 ) = ^
(29)
и _0)-^(и ,)
Здесь функции щ , (/)-, — омические потери в индук­
тивностях, а функции (ръ, (рАхарактеризуют нелиней­
ную утечку тока в ёмкостях. Для данной схемы запи­
сываются следующие уравнения Кирхгофа:
и, +тд.3 = и_, и 2 —Щ = 0 , \ 2 + 13 + 14 =
1, = 1 .
(27)
Ф ,х ) =
-Ф ^ ч )
1ЛХ) - <РЪ(1, и 3) - </?4 (1, и 4 )
Матрица А(1) является вырожденной и несиммет­
ричной, поэтому непосредственное применение гло­
бальной теоремы существования решений явных
дифференциальныхуравненийвида ~
Подставив значения переменных и , , и *, Ц , Ц из урав­
нений элементов (23), (24), (25), (26) в уравнения
Кирхгофа (27), получим следующую систему урав­
нений. описывающую распределение токов и напря­
жений в четырехполюснике:
РИ, 2011, № 3
(31)
= 1(и V) здесь
невозможно.
Спектральные проекторы (4), (11) строим по методике,
приведенной в работе [16] для стационарного пучка. В
данном случае проекторы задаются матрицами:
11
f
0
0
C 4(t)L j(t)
(t)
0
0
0
0
(Л
0
1
о
о
c 4(t)
L, (t)C 3(t)C 4(t)
CM
0
V
о
C 4(t)
C '( t )
Проверим условия теоремы для заданных матриц
A (t) , B (t) и правой части f(t, х ) . Если при достаточ­
но больших X неравенство
(A L s (t )+ L 2(t))(A C 4 + C 4(t)) ^ О
выполняется при любых t G [t0,T ] , то оценка резоль­
венты (3) также выполняется. Необходимо, чтобы
функции L-, ( t ) . С , (t) были отличны от нуля при
любых t .
f
l
L ,(t)
0 0 0Л
Условие частичной спектральной согласованности
(13) матричного пучка (2) и правой части уравнения
0 0 0
(1) выполнено, причем N (t) = 0 :
L 2(t)
f
C4(t)L1(t)
c 4(t)
P2i(t) =
{
Ш
0 0 0’
'
1, ( D;
' (t)
L 2(t)
CAJLA)
0 0 0
C4(t)
L 1(t)C 4(t).
i (t)
C 4(0
P21( t ) G 4 t ) f ( t ,x ) =
J
1. (t)C ,(t)
f
1
_ M t)
0
0
0Л
о
0
0
0
1
0
L l(t ) d ^
0
-
dt C4(t)
V
проверки условия 2 теоремы необходимо, чтобы
нормы следующих матриц были ограничены малыми
константами:
0
C|(t)
c 4(t)
у
Следовательно, условие 1° теоремы выполнено. Для
1.(1)
p 2( t ) =
i (t>
С4(0
0
J
(
О
о
о
О]
О О О
f
Pl(t)=
0
0
L,(t)
J
1-2 (t)
0
0
о
сл
0Л
0
0
0
0
c 3(t)
C4(t)
1
J
г)f
Р20(t)G 4 0 )
и
н4
V
0
dt C4(t)
Матрицы G (t) , G 1(t) имеют следующий вид:
ах
О О О
(t, х ) =
а,
о о о
vc 4( t ) c V
^ ( G 1(t)A(t)P21(t)) =
dt
О
0
0
0^
О
0
0
0
0
0
0
0
0
0
_ ё ц С 0 С з (0
dt
C 4(t)
0
Li(t)
L[ (t)L2 (t)
0
Lg(t)
L it
L2(t)
G(t) =
d C 3(t)
L 1(t)(C4( t ) - C 4 (t)) _________ M
dt C 4 (t) L 2 (t)
1
0
d C3(t)
C 3(t) + C4 (t)
c 4(t)
dt C4 (t)
0
0
0
1
G “ 1(t) =
12
L2(t)
1
C 3 (t)
d C 3 (t)
C 4 (t)
dt C 4 (t)
L 2(t)
0
1 I (t)
d L|(t)
L 2 (t)
dt L 2 (t)
-L l(t)
kC t)
0
C 4 (t)
L 2 (t)C4 (t)
, Li (t)C3(t)
C4
1—
c 4(t) d l-HtK 3(0
C 4 (t) Jdt
C 4 (t)
РИ, 2011, № 3
Если матричный пучок (2) и правая часть уравнения
(1) достаточно гладкие, то для выполнения условия
3 теоремы достаточно потребовать равномерной по
t липшицевости ПО х от функций (р. , i = 1 4 •
Ниже приведен пример параметров рассматриваемой
схемы, для которых условия теоремы выполняются.
Пусть
L j(t ) = L 2(t) = 10 9 + I O 1"sin (t) Гн,
C 3(t) = C 4(t) = 10~9 + 10~10sin(t) Ф,
cpx(t , i )
= </>2 ( t , i ) = c o s ( O . O Ü ) O m ,
<^3 ( t , u ) = <^4 ( t , u ) = c o s ( 0 .0 1 u ) O m ,
входные ток i_ (t) и напряжение u _ (t) — любые
достаточно гладкие функции.
Начальное условие (14) в данном случае будет иметь
следующий вид:
i (t ) • i~ (t ) —ijQ +|20f u3(t0) + u4(t0) — u30 + u40.
6. Выводы
Научная новизна данного исследования заключается
в разработке метода математического моделирования
переходных режимов нелинейных электрических це­
пей с нестационарными параметрами. Для достаточно
общего вида полученных систем нелинейных уравне­
ний указаны условия существования и единственностирешения в заданном интервале времени. Результа­
ты применяются к расчету переходных режимов пере­
дающего четырехполюсника с нелинейными и неста­
ционарными элементами.
Практическая значимость. Результаты, полученные
в работе, можно использовать при анализе и синтезе
различных радиотехнических систем, что интересно
как само по себе, так и применительно к теории
управления.
Литература: 1. Власенко Л.А. Эволюционные модели с
неявными и вырожденными дифференциальными урав­
нениями // Системные технологии. 2006. 273 с. 2. Шварц
Д. Анализ., Т.1. М.:Мир, 1972. 824 с. 3. Гантмахер Ф.Р.
Теория матриц. М.: Наука, 1966. 576 с. 4. Campbell S.L.
Singular Systems of Differential Equations. Pitman. 1980. 176
p. 5. Marz R. On linear differential-algebraic equations and
РИ, 2011, № 3
linearizations //AppliedNumerical Mathematics. 1994. P.279292. 6.Салюйленко АМ ., ШкільМ.І., Яковецъ В.П. Лінійні
системи диференціальних рівнянь з виродженнями: Навч.
посіб.К.: Вищашк.,2000.294с. 7.РуткасА^Г. ЗадачаКоши
для уравнения
+ Bx(t) = f(t) ІІ Дифференциальные
уравнения. 1975. №11. С .1996-2010. 8. Favini A., Plazzi P.
Some results concerning the abstract nonlinear equation
D tMu(t) + Lu(t) = f(t,Ku(t)) // Circuits, Systems, Signal
Proceccing. 1986. P. 261-274. 9. Rutkas A.Ths solvability of
a nonlinear differenitial equation in a Banach space // Spectral
and evolutional problems. Proceedings of Sixth Crimean Fall
Mathematical School-Symposium (Simferopol). 1996. P.317320. 10. Favini A,., Rutkas .!.Existence and uniqueness of
solution of some abstract degenerate nonlinear equation//
Differential Integral Equations. 1999. No. 12. P.373-394. 11.
Rutkas A.G., Vlasenko L.A., Existence o f solutions of
degenerate nonlinear differential operator equations //
Nonlinear Oscilations. 2001. Nol2. P.252-263. 12. Радбель
Н.ГІ. О начальном многообразии и диссипативности зада­
чи Коши для уравнения Ax'(t) + Bx(t) = 0 // Дифференци­
альные уравнения. 1979. № 6. 13. Канторович А.В., Акилов
Г.П., Функциональный анализ в нормированных про­
странствах. М . : Физматгиз,1959.14 .
ДалецтшЮ.Л, Крейн
М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравне­
ний в банаховом пространстве. М.: Наука, 1979. 534 с. 15.
Руткас А.Г.. Худошин И.Г. Глобальная разрешимость
одного вырожденного полулинейного дифференциаль­
но-операторного уравнения//Нелінійні коливання. 2004.
Т.7. №3. С.414-429.16.ХудоишнП.Г. Начальная задача для
некоторых квазилинейных дифференциально- алгебраи­
ческих уравнений // Вісник Харківського універстету.
Математика, прикладна математика і механіка. 1999. №
458. С. 159-164. 17. Худошин И.Г., Численное решение
задачи Коши для одной полулинейной системы дифференциально-алгебраических уравнений // Вісник
Харківського університету. Серія “Математичне моде­
лювання. Інформаційні технології. Автоматизовані систе­
ми управління” . 2008. № 833. Вип. 10. С. 258-271. 18.
Худошин И.Г., Решение одной системы дифференциально-алгебраических уравнений и применение к математи­
ческому моделированию нелинейных цепей // Радио­
электроника и информатика. 2008. № 3. С. 15-22.
Поступила в редколлегию 22.07.2011
Рецешент: д-р физ.-мат. наук, проф. Руткас А.Г.
Худошин Илья Григорьевич, ст. преподаватель кафедры
ММ иПО ХНУ им. В.НКаразина. Адрес: Украина, 61045,
Харьков, пер. Шекспира, 7, кв. 69, тел. (050)4043498.
13
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа