close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О неопределенности интерполяционных задач для неванлинновских функций.

код для вставкиСкачать
2004
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 8 (507)
УДК 517.547
Ю.М. ДЮКАРЕВ
О НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ ЗАДАЧ
ДЛЯ НЕВАНЛИННОВСКИХ ФУНКЦИЙ
1. Введение
В работах [1]{[4] были предложены некоторые обобщения метода В.П. Потапова [5]{[8] решения интерполяционных задач для неванлинновских функций. Основная идея этих обобщений
состоит в том, что различным интерполяционным задачам по определенным правилам ставят в
соответствие наборы операторов. Эти операторы удовлетворяют некоторому операторному тождеству (ОТ). Разным задачам ставятся в соответствие разные наборы операторов, однако вид
ОТ не меняется. Поэтому все результаты, вытекающие из вида ОТ, относятся сразу ко всем
интерполяционным задачам.
В [1]{[4] для произвольного набора операторов, для которых выполнено ОТ, ставится и решается обобщенная интерполяционная задача, которая при специальных выборах операторов
эквивалентна задаче Неванлинны{Пика, проблеме моментов Гамбургера и другим интерполяционным задачам. При этом используются многие идеи и методы подхода В.П. Потапова [5]{[8]
к решению интерполяционных задач для неванлинновских функций. В этом смысле можно говорить, что в [1]{[4] предложена общая схема метода В.П. Потапова решения интерполяционных
задач.
Следует заметить, что одной и той же конкретной интерполяционной задаче можно поразному поставить в соответствие операторы, удовлетворяющие ОТ. Поэтому соответствие между конкретной и обобщенной интерполяционными задачами не является однозначным. В этой
связи возникает вопрос об эквивалентности обобщенных интерполяционных задач. Далее, в
основных примерах интерполяционных задач можно говорить о том, что одна задача получается
из другой добавлением новых интерполяционных условий. Поэтому возникает вопрос об определении понятия упорядоченности для обобщенных интерполяционных задач. В [1]{[4] вопросы
эквивалентности и упорядоченности обобщенных интерполяционных задач не рассматривались.
В [1]{[4] интерполяционные задачи решались так, чтобы сразу оказались выполненными все
интерполяционные условия. Однако многие интерполяционные задачи нельзя решить непосредственно по такой схеме. Примерами являются проблема моментов Гамбургера с бесконечным
числом заданных моментов, задача Неванлинны{Пика с бесконечным числом узлов интерполяции и им подобные проблемы. Именно по этой причине в [1]{[4] для дискретного случая
рассматривались только интерполяционные задачи с конечным числом узлов интерполяции.
В классической теории дискретные интерполяционные задачи с бесконечным числом узлов
интерполяции решались по следующей схеме. Сначала решается усеченная интерполяционная
задача, в которой должны выполняться лишь первые n интерполяционных условий. После этого при стремлении n к бесконечности рассматривается предельная интерполяционная задача.
При этом удается выяснить условия неопределенности задачи с бесконечным числом узлов интерполяции и дать описание множества всех решений для неопределенного случая. Однако к
настоящему времени не были предложены достаточно общие подходы, являющиеся обобщением
изложенной идеи решения предельных интерполяционных задач для неванлинновских функций.
26
В этой статье введены понятия эквивалентности и упорядоченности для обобщенных интерполяционных задач. На основе этих понятий предложен общий подход к исследованию предельных интерполяционных задач для неванлинновских оператор-функций (о.-ф.), который содержит в себе все основные идеи метода перехода от усеченных интерполяционных задач к предельной интерполяционной задаче. При этом усеченные задачи могут иметь весьма сложную
структуру и две соседние задачи могут отличаться друг от друга произвольным множеством
дополнительных интерполяционных условий. В статье используются многие идеи и методы подхода В.П. Потапова к решению интерполяционных задач [5]{[8].
Перечислим основные новые понятия и результаты статьи.
В x 2 приведена несколько модифицированная по сравнению с [1]{[4] обобщенная интерполяционная задача неванлинновского типа. В таком виде интерполяционная задача лучше приспособлена для наших целей.
В x 3 вводится понятие унитарной эквивалентности двух обобщенных интерполяционных задач (определение 4) и доказано совпадение множеств решений унитарно эквивалентных задач
(теорема 1). Далее вводится понятие упорядоченности двух интерполяционных задач (определение 6) и доказывается естественная упорядоченность по включению соответствующих множеств
решений (теорема 2).
В x 5 вводятся понятия упорядоченного семейства обобщенных интерполяционных задач,
предельной интерполяционной задачи и множества ее решений (определения 8, 9).
В x 6 получен критерий полной неопределенности предельной интерполяционной задачи (теорема 4). Этот критерий является обобщением классического критерия Данжуа (напр., [5], [8]).
В x 7 дается описание множества всех решений вполне неопределенной предельной интерполяционной задачи и рассмотрены два примера: операторная задача Неванлинны{Пика и операторная проблема моментов Гамбургера. С помощью теоремы 4 для них получены критерии
полной неопределенности и с помощью теоремы 7 дано описание всех решений соответствующих
предельных интерполяционных задач во вполне неопределенном случае.
2. Обобщенные интерполяционные задачи
Пусть C = fz 2 C : Im z > 0g, C ; = fz 2 C : Im z < 0g и C = fz 2 C : Im z =
6 0g;
G | сепарабельное и H | конечномерное гильбертовы пространства. Символом fH; Gg обозначим множество всех ограниченных линейных операторов, действующих из H в G , символом
fGg обозначим множество ограниченных операторов в G , а символом fGg | множество ограниченных эрмитовых операторов в G . Оператор A 2 fGg называется неотрицательным, если
(f; Af ) 0 8f 2 G . Множество неотрицательных операторов в G обозначим символом fGg .
Неотрицательный оператор A 2 fGg называется строго положительным, если он обратим и
A; 2 fGg. Множество строго положительных операторов в G обозначим символом fGg . Пусть
операторы A, B принадлежат fGg . Неравенство A B (A > B ) означает, что A ; B 2 fGg
(A ; B 2 fGg ).
+
H
H
1
>
H
>
Тождественный и нулевой операторы, действующие в некотором гильбертовом пространстве G , обозначим символами IG и 0G . Нулевой оператор, действующий из гильбертова пространства G1 в гильбертово пространство G2 , обозначим символом 0G1 G2 .
Пусть заданы операторы K 2 fGg , T 2 fGg, u; v 2 fH; Gg. И пусть эти операторы удовлетворяют ОТ
TK ; KT = vu ; uv :
(1)
Определение 1. Упорядоченный набор операторов
P = fK; T; u; vg;
(2)
удовлетворяющий ОТ (1), называется обобщенной интерполяционной задачей неванлинновского
типа, а пространства G ; H называются масштабными пространствами.
27
Пусть оператор T таков, что о.-ф. R (z ) = (IG ; zT );1 мероморфна в C . Множество особых точек о.-ф. R обозначим символом Z . Из мероморфности R следует, что множество Z
дискретно в C , т. е. не имеет предельных точек в C . Пусть Z = fz 2 C : z 2 Zg.
Определение 2. О.-ф. w : C + ! fHg называется неванлинновской, если она голоморфна в
C + и fw(z ) ; w (z )g=2i 0H 8z 2 C + .
Класс всех таких о.-ф. обозначим R.
Определение 3. О.-ф. w 2 R называется решением обобщенной интерполяционной задачи (2), если она удовлетворяет следующему основному матричному неравенству (ОМН)
В.П. Потапова
K
R (z)fvw(z) ; ug 0 ; z 2 C n Z :
(3)
GH
+
fw(z) ; w(z)g=fz ; zg
T
T
T
T
Множество всех решений обобщенной интерполяционной задачи (2) обозначим символом F .
Можно доказать [1]{[4], что при достаточно общих условиях множество F не пусто. Всюду в
этой статье будем предполагать, что соответствующие условия выполнены и множество решений
задачи (2) не пусто.
3. Упорядоченность интерполяционных задач
Определение 4. Пусть даны две обобщенные интерполяционные задачи P1 = fK1 ; T1 ; u1 ; v1 g
и P2 = fK2 ; T2 ; u2 ; v2 g с масштабными пространствами G1 , H и G2 , H соответственно. Задачи
P1 и P2 называются унитарно эквивалентными, если существует такой унитарный оператор
U : G1 ! G2 , что
K = U K U ; T = U T U ; u = U u ; v = U v :
1
2
1
2
1
2
1
2
(4)
Теорема 1. Пусть даны обобщенные интерполяционные задачи P1 и P2 и пусть F1 и F2
обозначают соответствующие множества решений. Если интерполяционные задачи P1 и P2
унитарно эквивалентны, то F1 = F2 .
Пусть о.-ф. w 2 F2 . Тогда для w можем записать ОМН (3)
K2
R 2 (z )f v2 w(z) ; u2 g 0 ; z 2 C n Z :
G2 H
+
fw(z) ; w (z)g=fz ; zg
Умножим это неравенство слева и справа на операторы
U 0HG2 2 fG2 H; G1 Hg; U
0HG1 2 fG H; G Hg:
1
2
0G2 H
IH
0G1 H
IH
С учетом равенства UU = IG2 получим
U K2 U U R 2 (z)UfU v2w(z) ; U u2 g 0 ; z 2 C n Z :
G2 H
+
fw(z) ; w(z)g=fz ; zg
Отсюда и из (4) имеем
K1
R 1 (z )fv1 w(z) ; u1 g 0 ; z 2 C n Z :
G1 H
+
fw(z) ; w (z)g=fz ; zg
Поэтому w 2 F1 . Таким образом, F2 F1 . Аналогичные рассуждения показывают, что F1 F2 .
Следовательно, F1 = F2 .
Доказательство.
T
T
T
28
Пусть дана интерполяционная задача
P = fK; T; u; vg
(5)
и пусть ее масштабное пространство G представлено в виде ортогональной суммы своих нетривиальных подпространств
G = Ge Gb:
(6)
Это равенство понимается в смысле естественного изоморфизма G и Ge Gb. А именно, пусть Pe
(соответственно Pb ) обозначает ортопроектор на подпространство Ge (соответственно Gb). Тогда
изоморфизм имеет вид
e Pf
b ] 2 Ge Gb:
8f 2 G $ col[Pf;
(7)
Пусть представление (6) таково, что выполнено условие
e P:
e
T Pe = PT
(8)
В соответствии с (6), (7) и учитывая (8), введем матричные обозначения для операторов
2
"
3
#
Te 0GbGe 5
f B
ve ;
K
4
K = B C ; T =
;
v
=
v
E Tb
"
#
"
#
I
0
0
0
e
u
e
b
e
e
b
e
G
G
G
G
G
G
e
b
u = u ; P = 0 0 ; P = 0 I :
GeGb Gb
GeGb Gb
Отсюда и из ОТ (1) следует индуцированное ОТ
f; K
fTe = veu
e ; u
eve :
TeK
Следовательно, операторы
f T;
e u
e; veg
Pe = fK;
(9)
(10)
и масштабные пространства fGe; Hg задают обобщенную интерполяционную задачу неванлинновского типа.
Определение 5. Интерполяционная задача (10) называется сужением интерполяционной
задачи (5) на подпространство Ge.
Определение 6. Пусть P1 и P2 из определения 4. Говорят, что задача P2 является продолжением задачи P1 , если в масштабном пространстве G2 существует подпространство Ge2 , удовлетворяющeе условию (8) и такое, что сужение интерполяционной задачи P2 на подпространство
Ge2, обозначаемое символом Pe2 , унитарно эквивалентно интерполяционной задаче P1 .
Теорема 2. Пусть даны две обобщенные интерполяционные задачи P1 и P2 и пусть F1 и
F2 обозначают соответствующие множества решений.
Если задача P2 является продолжением задачи P1 , то F2 F1 .
e2 | подпространство из определения 6, Pe2 | сужение интерпоДоказательство. Пусть G
ляционной задачи P2 на подпространство Ge2 и Fe2 | множество решений интерполяционной
задачи Pe2 . По теореме 1 F1 = Fe2 . Поэтому для доказательства теоремы 2 достаточно доказать
включение F2 Fe2 .
Пусть о.-ф. w 2 F2 . Тогда для w можем записать ОМН (3)
K2
R 2 (z)fv2 w(z) ; u2 g 0 ; z 2 C n Z :
G2 H
+
2
fw(z) ; w (z)g=fz ; zg
T
29
Пусть Pe2 обозначает оператор ортогонального проектирования на подпространство Ge2 . Умножим
последнее неравенство слева и справа на операторы
"
#
"
#
e2
Pe2
0HG2 2 fG Hg;
P
0HG2 2 fG Hg:
2
2
0G2 H
IH
0G2 H
IH
С учетом вытекающего из (8) равенства Pe2 R 2 (z ) = Pe2 R 2 (z )Pe2 и равенства Pe22 = Pe2 получим
#
"
Pe2 K2 Pe2 Pe2 R 2 (z )Pe2 fPe2 v2 w(z ) ; Pe2 u2 g 0G H ; z 2 C + n Z2 :
2
fw(z) ; w (z)g=fz ; zg
Отсюда и из представлений (9) имеем
"
#
f2
R e2 (z)fve2 w(z) ; ue2 g 0 ; z 2 C n Z :
K
+
2
Ge2 H
fw(z) ; w (z)g=fz ; zg
Поэтому w 2 Fe2 . Таким образом, F2 Fe2 .
T
T
T
T
4. Вполне неопределенная интерполяционная задача
Определение 7. Интерполяционная задача P = fK; T; u; v g с масштабными пространствами G и H называется вполне неопределенной, если
K 2 fGg ; vh = 0 , h = 0; uh = 0 , h = 0:
(11)
С каждой вполне неопределенной обобщенной интерполяционной задачей свяжем ее резольвентную матрицу
R (z )K ;1 u
R (z )K ;1 v I
+
zv
;
zv
H
U (z) = =
(12)
u R (z)K ;1u
IH ; zu R (z)K ;1 v :
Здесь R (z ) = (IG ; zT );1 . Ясно, что U голоморфна в C n Z и U : C n Z ! H H.
Введем в пространстве H H оператор
J = iI0HH ;0iIHH 2 fH Hg:
Непосредственные вычисления с использованием (1) позволяют убедиться в том, что J -форма
о.-ф. U имеет вид
>
T
T
T
T
T
(13)
J ; U (z )JU () = i(z ; ) uv R (z )K ; R ()[v; u]; z; 2 C n Z :
Умножим последнее равенство справа на J и подставим в него z вместо . Учитывая равенство
J = IHH, приходим к принципу симметрии
U ; (z) = JU (z )J; z 2 C n fZ [ Zg:
Подставим в (13) z вместо z и и затем умножим (13) слева и справа на J . Из принципа
симметрии и очевидного равенства R (z ) = R (z ) следует
J ; U ; (z)JU ; (z ) = i(z ; z )J uv R (z )K ; R (z)[v; u]J:
(14)
Определение 8. Пусть о.-ф. p(z ), q (z ) мероморфны в C
и принимают значения в fHg. Пара
col[p(z ); q(z )] называется неванлинновской, если для нее существует дискретное в C множество
T
1
T
2
1
T
T
1
1
1
T
T
+
точек D такое, что
1. p (z )p(z ) + q (z )qh(z ) >i 0H 8z 2 C + n D ;
2. [p (z )q (z )] ( ; ) (( )) 0H 8z 2 C + n D .
pq
pq
p z
J
i z
z
q z
pq
30
+
Легко видеть, что всякая неванлинновская о.-ф. w 2 R порождает неванлинновскую пару
col[IH ; w]. Однако не всякая неванлинновская пара представима в таком виде. Например, пара
col [0H ; IH ] является неванлинновской, но она не порождается неванлинновской о.-ф.
На множестве неванлинновских пар введем отношение эквивалентности: пары col[p1 (z ); q1(z )]
и col[p2 (z ); q2 (z )] называются эквивалентными, если существует о.-ф. Q(z ), принимающая значения в fHg и такая, что в C + мероморфны обе о.-ф.: Q(z ), (Q(z ));1 и p1 (z ) = p2 (z )Q(z ),
q1 (z ) = q2 (z)Q(z). Множество классов эквивалентности неванлинновских пар обозначим через
R1 .
В [2] доказано, что ОМН (3) во вполне неопределенном случае эквивалентно факторизованному ОМН В.П. Потапова
;1 JU ;1 (z ) I H
[IH w (z )] U i((zz);
(15)
w(z) 0H ; z 2 C + n Z :
z)
Множество F всех решений обобщенной интерполяционной задачи (2) можно описать и в
терминах дробно-линейных преобразований [2]. Именно, формула
w(z) = f (z)p(z ) + (z)q(z)gf(z)p(z) + (z)q(z )g;1
устанавливает биективное соответствие между F и R1 . Коэффициенты , , , определены
в (12).
Пусть некоторая точка z0 2 C + n fZ [ Zg. Рассмотрим множество матриц fw(z0 ) : w 2 Fg.
Используя факторизованное ОМН (15) и хорошо известные рассуждения ([9], c. 44{52), приходим
к следующему результату. Для любого оператора w(z0 ) существует такой оператор V 2 fHg,
что
w(z0 ) = c(z0 ) + r(z0 )V (z0 ); V V IH :
(16)
Здесь
c(z0 ) = [i(z 0 ; z0 )v R (z0 )K ;1R (z0 )v];1 [i(z 0 ; z0 )u R (z0 )K ;1 R (z0)v ; iI ] ;
r(z0) = [i(z 0 ; z0 )v R (z0 )K ;1R (z0 )v]; 12 ;
(17)
1
(z0 ) = [i(z 0 ; z0 )v R (z0 )K ;1R (z 0 )v]; 2 :
С геометрической точки зрения соотношение (16) означает, что оператор w(z0 ) принадлежит
операторному кругу с центром в точке c(z0 ), левым радиусом r(z0 ) и правым радиусом (z0 ).
Такой круг обозначим символом K(z0 ) и будем называть кругом Вейля в точке z0 .
В дальнейшем будем пользоваться известным свойством строго положительных операторов
в гильбертовом пространстве. Именно, пусть даны два гильбертовых пространства Ge и Gb. Тогда
"
T
T
T
T
T
T
#
T
T
"
f B
f
K
e Gg
b =) K B
2
f
G
B C
B C
>
#;1
"
#
f;
K0 00GbGe :
1
GeGb
(18)
Gb
Теорема 3. Пусть даны две обобщенные интерполяционные задачи P и P , причем задача
P является продолжением задачи P . Пусть U обозначает резольвентную матрицу интерполяционной задачи P , k = 1; 2.
1
2
1
2
k
k
Тогда имеет место неравенство
J ; U2(z )JU2 (z ) J ; U1 (z)JU1 (z) ; z 2 C :
(19)
i(z ; z )
i(z ; z)
Доказательство. Из условия теоремы следует, что масштабное пространство G2 интерполяционной задачи P2 представимо в виде G2 = Ge2 Gb2 , причем выполнено условие (8) и сужение интерполяционной задачи P2 на подпространствo Ge2 , обозначаемое символом Pe2 , унитарно
эквивалентно интерполяционной задаче P1 . Пусть Ue2 обозначает резольвентную матрицу интерполяционной задачи Pe2 .
31
Далее имеем (для упрощения нижеследующих выражений отождествляем запись операторов
в пространстве G2 с их матричными представлениями как операторов в пространстве Ge2 Gb2 )
J ; U2 (z)JU2 (z) = v2 R (z)K ;1 R (z )[v ; u ] 2
2
2
2
u2 2
i(z ; z )
"
#
f;1
uv2 R 2 (z) 0K2 00Gb2 Ge2 R2 (z)[v2 ; u2] =
2
Ge2 Gb2 " Gb2
#
#"
#
"
f;1 0
I
0
I
0
K
v
2
e
b
e
e
b
e
2
G
G
G
G
G
G
b
e
2
2
2
2
2
2
G
G
2 2
= u 0
R 2 (z) 0
0Ge2 Gb2 0Gb2 2
Ge2 Gb2 0Gb2
Ge2 Gb2 0Gb2
"
#
"
#
I
0
I
0
0 Ge2 0Gb2 Ge2 R2 (z) 0 Ge2 0Gb2 Ge2 [v2; u2] =
Ge2 Gb2
Gb2
Ge2 Gb2
Gb2
J ; Ue2 (z)J Ue2 (z ) = J ; U1(z)JU1 (z ) :
f;1 R (z )[ve2 ; u
e
= uvee2 R e2 (z )K
]
=
2
2
e2
i(z ; z )
i(z ; z )
2
В этой цепочке первое равенствo следует из (13), неравенство | из (18), второе и третье равенства | из (9), четвертое равенство | из определения интерполяционной задачи Pe (2) , пятое | из
того очевидного факта, что резольвентные матрицы унитарно эквивалентных задач совпадают,
Ue2 (z) = U1 (z ).
T
T
T
T
T
T
T
T
5. Предельная интерполяционная задача
Говорят, что задана упорядоченная последовательность интерполяционных задач неванлинновского типа, если каждому натуральному l 2 N поставлена в соответствие
обобщенная интерполяциoнная задача неванлинновского типа P так, что для любых натуральных чисел l1 l2 интерполяционная задача P 2 является продолжением интерполяционной
задачи P 1 .
Упорядоченную последовательность интерполяционных задач обозначим символом fP g 2N.
Oбобщенные интерполяционные задачи P называются усеченными интерполяционными задачами. Для исследования их свойств при изменяющихся l введем нижний индекс l, который
будет указывать, что соответствующие круги Вейля, резольвентные матрицы и т. д. связаны с
l-й интерполяционной задачей.
Определение 10. Пусть дано упорядоченное семейство интерполяционных задач fP g 2N и
пусть F обозначает множество всех решений интерполяционной задачи P . О.-ф. w 2 R называется решением предельной интерполяционной задачи, если w 2 F 8l 2 N .
Множество решений предельной интерполяционной задачи обозначим символом F1 , а саму
предельную интерполяционную задачу | символом P1 .
Напомним, что Z обозначает множество особых точек о.-ф. R . Пусть Z1 = 2[N Z , а
Z 1 = 2[N Z . Будем считать, отбрасывая вырожденные случаи, что множества Z1 и Z 1 не
имеют предельных точек в C .
Зафиксируем некоторую точку z0 2 C + n fZ1 [ Z 1 g и рассмотрим круги Вейля K (z0 ) ([9],
c. 44{52). С ростом l круги Вейля вкладываются друг в друга и их пересечение является снова
операторным кругом Вейля K1 (z0 ), который называется предельным кругом Вейля в точке z0 .
Центр и радиусы предельного круга Вейля задаются формулами
c1 (z0 ) := lim
c (z0 ); r1 (z0 ) := lim
r (z0 ); 1 (z0 ) := lim
(z0 ):
!1
!1
!1
Определение 9.
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
Tl
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
Отметим, что последовательности в двух последних предельных переходах являются монотонно
убывающими и r1 (z0 ) 0H , 1 (z0 ) 0H .
32
Зафиксируем две произвольные точки z1 ; z2 2 C + n fZ1 [ Z 1 g. По теореме С.А. Орлова [7]
m = rank r1 (z1 ) = rank r1(z2 ); n = rank 1(z1 ) = rank 1 (z2 ):
Числа m и n служат мерой вырожденности предельной интерполяционной задачи.
Определение 11. Если m = n = dim H, то предельная интерполяционная задача P1 называется вполне неопределенной.
Можно доказать, что если хотя бы в одной точке z0 2 C + n fZ1 [ Z 1 g ранг хотя бы одного из радиусов предельного круга Вейля равен размерности пространства H, то предельная
интерполяционная задача P1 является вполне неопределенной.
6. Обобщенный критерий Данжуа
Пусть предельная интерполяционная задача P1 порождается упорядоченной последовательностью обобщенных интерполяционных задач fP g 2N и является вполне неопределенной.
Рассмотрим последовательность резольвентных матриц усеченных интерполяционных задач
fU g 2N.
Символом W обозначим класс всех мероморфных о.-ф. U : C ! fH Hg таких, что
8
>
< 0; z 2 C + ;
J ; U (z)JU (z ) >= 0; z 2 R;
:
0; z 2 C ; :
Из (11) и (13) следует, что резольвентные матрицы усеченных интерполяционных задач U принадлежат W. Из неравенств (19) непосредственно следует [5], что U (z ) = U ;1 (z )b (z ), b 2 W.
Продолжая таким образом, получим
U (z) = b1(z ) b ;1 (z )b (z); b 2 W; j = 1; : : : ; l:
(20)
Оператор U 2 fH Hg называется J -растягивающим (соответственно J -унитарным), если
J ; UJU 0HH ; J ; UJU = 0HH :
Всякий невырожденный J -растягивающий оператор U допускает представление ([9], c. 26{44;
[10])
U = exp(H )U ; HJ 0HH ; J ; U J U = 0HH :
(21)
Легко видеть, что если резольвентную матрицу U умножить справа на произвольный J унитарный оператор, то получившаяся в результате о.-ф. снова будет резольвентной матрицей. Таким образом, резольвентная матрица определена с точностью до умножения справа на
произвольный J -унитарный оператор. Будем специальным образом нормировать резольвентные
матрицы усеченных интерполяционных задач.
Зафиксируем точку z0 2 C + n fZ1 [ Z 1 g. Оператор b (z0 ) из (20) является невырожденным
J -растягивающим оператором и, следовательно, допускает представление вида (21)
b (z0 ) = exp(H (z0 ))U (z0 ); H (z0 )J 0HH :
Здесь U (z0 ) | J -унитарный оператор. Рассмотрим следующую о.-ф. Ue (z ) = U (z )J U (z0 )J .
Оператор J U (z0 )J является J -унитарным и обратным к оператору U (z0 ). Поэтому о.-ф. Ue
снова будет резольвентной матрицей для интерполяционной задачи P и правый сомножитель
в ее представлении вида (20) будет иметь нормировку
eb (z0 ) = exp(H (z0 )); H (z0 )J 0HH ;
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
j
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
33
l
l
l
которая называется нормировкой на J -модуль в точке z0 . Продолжая таким образом, получим
резольвентную матрицу для интерполяционной задачи P , в которой все сомножители в представлении вида (20) будут нормированы на J -модуль в точке z0 . В дальнейшем будем рассматривать только такие резольвентные матрицы для интерполяционных задач P , сохраняя для них
прежние обозначения U . Значит, рассматриваемые нами резольвентные матрицы U усеченных
интерполяционных задач P в точке z0 являются произведениями J -модулей (H (z0 )J 0HH )
l
l
l
l
l
j
U (z ) = exp(H (z )) exp(H (z )) exp(H (z )):
0
l
1
0
2
0
l
(22)
0
Теорема 4 (oбобщенный критерий Данжуа). Для того чтобы предельная интерполяционная задача P1 была вполне неопределенной, необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд
1
X
H (z )J:
Доказательство. Необходимость.
и (17) приводят к формулам
(23)
0
j
j =1
Непосредственные вычисления с использованием (14)
U ; (z )JU ; (z ) = 0IHH ;cIH(z ) r 0(Hz ) ;;0H(z ) ;cIH(z ) 0IHH :
1
1
0
l
2
0
l
0
l
0
l
2
0
l
0
l
Аналогичные вычисления с использованием (13) и (17) приводят к формулам
U (z0 )JU (z0 ) =
l
IH 0H r; (z ) 0H IH c (z ) :
c (z ) IH 0H ; (z ) 0H IH
2
0
l
l
l
l
2
0
(24)
0
0
l
Из этих представлений следует, что во вполне неопределенном случае при l ! 1 J -формы
J ; U ;1 (z0 )JU ;1 (z0 ) и J ; U (z0 )JU (z0 ) стремятся к конечным пределам. Но тогда существуют
такие константы C1 и C2 , что
l
l
l
l
kJ ; U ; (z )JU ; (z )k C ; kJ ; U (z )JU (z )k C 8l 2 N :
1
l
1
0
l
0
1
0
l
Отсюда и из (22) следует [10], что сходится ряд
(23).
1
P
j =1
0
l
2
H (z ). Но тогда, очевидно, сходится и ряд
0
j
1
P
Из сходимости ряда (23) следует сходимость ряда kH (z0 )k. Отсюда
=1
следует [10] сходимость к неособенному оператору произведения в правой части (22). Таким
образом, существует неособенный предел
Достаточность.
j
j
U1 (z ) = lim
U (z ):
!1
0
0
l
l
Теперь, переходя к пределу при l ! 1 в обеих частях (24), получим
;
U1 (z )JU1 (z ) = с1I(Hz ) 0IHH r10(Hz ) 0(Hz ) 0IHH с1I(Hz ) :
1
2
0
0
0
0
2
0
0
Левая часть этого равенства невырождена. Но тогда невырожден и правый радиус предельного
круга Вейля 1 (z0 ). Отсюда следует полная неопределенность предельной интерполяционной
задачи P1 .
34
7. Решение неопределенной предельной задачи
Теорема 5. Пусть предельная интерполяционная задача P1 является вполне неопределенной и резольвентные матрицы U усеченных интерполяционных задач P нормированы к модулю в некоторой точке z0 2 C + n fZ1 [ Z 1 g.
Тогда на компактах K C + n fZ1 [ Z 1 g существуют равномерные пределы
U1 (z ) := lim
U (z); z 2 C + n fZ1 [ Z 1g;
(25)
!1
l
l
l
l
и о.-ф. U1 мероморфна и мероморфно обратима в C + n fZ1 [ Z 1 g.
Доказательство. Из неравенств (19) следует
U 2 (z )JU 2 (z ) ; J U 1 (z)JU 1 (z) ; J; l1 l2 ; z 2 C + n fZ1 [ Z 1 g:
Из этой монотонности и из сходимости последовательности операторов U (z0 ) вытекает утверждение леммы [11].
Теорема 6. Пусть предельная интерполяционная задача P1 является вполне неопределенной, символ F1 обозначает множество решений P1 и U1 определена в (25).
О.-ф. w 2 F1 тогда и только тогда, когда она удовлетворяет ОМН В.П. Потапова
;1 (z )JU ;1 (z ) I U
H
1
[IH w (z )] i(z ; z1)
(26)
w(z) 0H ; z 2 C + n fZ1 [ Z 1 g:
Доказательство. Пусть w 2 F1 . Тогда w 2 F 8l 2 N . Следовательно, выполняются неравенства
;1 (z )JU ;1 (z ) I U
H
[IH w (z )] i(z ; z )
(27)
w(z) 0H ; z 2 C + n fZ1 [ Z 1 g:
Переходя к пределу при l ! 1, получим (26).
Наоборот, пусть w 2 R и удовлетворяет ОМН (26). Из (19) следует
J ; U 2 (z )JU 2 (z) J ; U 1 (z)JU 1 (z) ; z 2 C n fZ [ Z g; l > l :
1
1
2
1
i(z ; z )
i(z ; z)
Подставим в это неравенство z вместо z и умножим его слева и справа на J . Получим (т. к.
i(z ; z) > 0, z 2 C + )
J ; JU 2 (z )JJJU 2 (z )J J ; JU 1 (z )JJJU 1 (z )J; z 2 C + n fZ1 [ Z 1 g:
Воспользовавшись принципом симметрии, получим
U ;2 1 (z)JU ;2 1 (z ) U ;1 1 (z)JU ;1 1 (z); z 2 C + n fZ1 [ Z 1 g; l2 > l1 :
Переходя в этом неравенстве к пределу при l2 ! 1, получим
U1;1 (z )JU1;1 (z ) U ;1 1 (z )JU ;1 1 (z); z 2 C + n fZ1 [ Z 1 g 8l1 2 N :
Отсюда следует, что всякое решение w 2 R неравенства (26) является решением неравенства
(27) при всех l 2 N . Таким образом, w 2 F 8l 2 N . А это и означает, что w 2 F1 .
О.-ф. U1 принимает значения в fH Hg. В соответствии с этим введем матричные обозначения для ее элементов
(
z
)
(
z
)
1
1
U1 (z) = (z) (z ) :
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
1
1
Из ОМН (26) вытекает следующая теорема, которая дает описание решений предельной
интерполяционной задачи.
35
Формула
w(z) = f1 (z)p(z) + 1 (z)q(z)gf1 (z)p(z ) + 1 (z)q(z)g;1
(28)
устанавливает биективное соответствие между F1 и R1 .
Доказательство этой теоремы проводится по аналогии с доказательством соответствующего
утверждения в [2].
Пример 1 (задача Неванлинны{Пика). Задана бесконечная последовательность попарно
различных комплексных чисел из верхней полуплоскости z1 ; z2 ; : : : ; z ; : : : и бесконечная последовательность операторов w1 ; w2 ; : : : ; w ; : : : , действующих в пространстве H. Требуется описать
множество таких о.-ф. w : C + ! fHg, что
w(z ) = w 8l 2 N ; w 2 R:
(29)
Нас будет интересовать неопределенный случай, когда задача (29) имеет бесконечно много
решений. Поэтому считаем, что выполнено необходимое условие неопределенности | предельные точки последовательности fz g 2N принадлежат R [ f1g.
Вместе с задачей (29) с бесконечным числом узлов интерполяции будем рассматривать и
усеченные задачи Неванлинны{Пика. В таких задачах фиксируется число l 2 N и требуется
описать множество таких о.-ф. w : C + ! fHg, что
w(z ) = w ; 1 j l; w 2 R:
(30)
Покажем, что усеченную задачу (30) можно рассматривать как обобщенную интерполяционную задачу неванлинновского типа. В качестве масштабных пространств выберем пространства
G =H
| H
{z H}; H:
Теорема 7.
k
k
l
l
l
l
j
j
l
l
слагаемых
Операторы K , T , v , u , участвующие в задаче (2), зададим естественными матричными представлениями
T = diagfz1;1 IH ; : : : ; z;1 IH g 2 fG g;
l
l
l
l
l
l
l
; s s
T ; 2 fG g;
K = T; z ; z
v = colfIH ; : : : ; IH g 2 fH; G g;
u = colfw ; : : : ; w g 2 fH; G g:
i
1
l
1
j
l
l
l
i
j
i;j =1;:::;l
l
l
1
l
l
l
Очевидно, что выполнено ОТ (1). В [5] показано, что необходимым и достаточным условием
разрешимости задачи (30) являются неравенства K 0G . Более того [5], о.-ф. w 2 R является
решением усеченной задачи (30) тогда и только тогда, когда она удовлетворяет ОМН (3). Таким
образом, множество решений интерполяционной задачи (30) совпадает с множеством решений
интерполяционной задачи неванлинновского типа
P = fK ; T ; u ; v g:
Условием полной неопределенности задачи (30) является условие K > 0G . Легко видеть, что
при этом все остальные условия в (11) автоматически выполнены, т. е. задача (30) является
вполне неопределенной в смысле определения 7.
Пусть при всех l 2 N интерполяционные задачи (30) являются вполне неопределенными.
Покажем, что интерполяционные задачи (30) являются упорядоченным семейством. Действительно, пусть k и l | произвольные натуральные числа и пусть для определенности k > l. Тогда
пространства G можно представить в виде ортогональной суммы G = Ge Gb , где
Ge = H
H} 0| {z 0}; Gb = 0| {z 0} H
{z )H} :
| {z
|
l
l
l
l
l
l
l
l
k
l
k
k
l
(k
k
k
;)
l
l
36
(k
;)
l
k
Легко видеть, что в естественных матричных представлениях оператор Pe имеет вид
Pe = diagfI|H ; :{z: : ; IH} 0| H ; :{z: : ; 0H}g 2 fG1( ) g:
k
k
k
l
k
;
l
Отсюда сдедует, что выполнены условия (8). Рассмотрим интерполяционную задачу Pe , которая является сужением интерполяционной задачи P на подпространства Ge . Легко видеть, что
интерполяционная задача P унитарно эквивалентна интерполяционной задаче Pe . Таким образом, семейство интерполяционных задач (30) упорядочено. Поэтому теорема 4 задает критерий
неопределенности предельной интерполяционной задачи (29), а формула (28) дает описание всех
решений интерполяционной задачи (29) во вполне неопределенном случае.
Пример 2 (проблема моментов Гамбургера). По заданной последовательности операторов
s0 ; : : : ; s ; : : : 2 fHg требуется описать множество таких монотонно возрастающих о.-ф. : R !
fHg , что
k
k
k
l
k
k
H
H
s =
Z
1
+
;1
j
t d(t) 8j 2 N [ f0g:
(31)
j
Можем считать, не изменяя значений интегралов, что о.-ф. удовлетворяет следующим условиям нормировки: (t) непрерывна слева при всех t и (t) ! 0H при t ! ;1. Множество нормированных решений проблемы моментов (31) обозначим символом M1 . С каждой 2 M1
свяжем о.-ф.
Z +1
d(t) :
(32)
w (z ) =
;1
t;z
O.-ф. w определена и голоморфна в C + и называется ассоциированной с проблемой моментов
(31). Множество о.-ф. w, ассоциированных c проблемой (31), обозначим символом F1 . Из формулы обращения Стилтьеса следует, что соответствие, устанавливаемое между F1 и M1 формулой (32), является взаимно однозначным. Поэтому вместо описания множества M1 можем
ограничиться описанием множества F1 .
Вместе с бесконечной проблемой моментов (31) будем рассматривать и усеченные проблемы
моментов. В таких проблемах фиксируется число n 2 N и требуется описать все нормированные
монотонно возрастающие о.-ф. : R ! fHg и операторы M 2 fHg такие, что
H
s =
Z +1
;1
j
t d(t); 0 j 2n ; 1; s =
j
2n
Z
1
+
;1
t d(t) + M:
(33)
2n
Проблема моментов (33) называется n-ой усеченной проблемой моментов, а множество ее
решений обозначается символом M . Как и в случае проблемы моментов (31), с каждой
2 M свяжем ассоциированную о.-ф. w вида (32). Множество всех о.-ф. w, ассоциированных
c проблемой (33), обозначим символом F .
Покажем, что задачу описания ассоциированных о.-ф. можно рассматривать как обобщенную интерполяционную задачу неванлинновского типа. В качестве масштабных пространств
выберем пространства G = H
| H
{z H}; H. Операторы K , T , v , u , участвующие в заn
n
n
n
n
n
n
n
n+1
даче (2), зададим естественными матричными представлениями
2
s ::: s ;
6s : : :
s
6
0
1
n
K = 64 .. . .
. ...
.
s ::: s ;
1
n
n
n
2n 1
2
2 3
0H 3
0H : : : 0H 0H 3
IH
6 s0 7
7
6 IH : : : 0H 0H 7
60H 7
6
7
+1 7
6
7
6 7
.. 75 ; T = 64 .. . . . .. .. 75 ; v = 64 .. 75 ; u = ; 666 s.1 777 :
.
.
. .
.
4 .. 5
s2
0H : : : IH 0H
0H
s
3
s
s
2
n
n
n
n
n
;1
n
n
37
Непосредственно проверяем, что определенные выше операторы удовлетворяют ОТ (1). В [8]
показано, что необходимым и достаточным условием разрешимости задачи (33) является неравенство K 0H . Более того [8], о.-ф. w 2 F тогда и только тогда, когда она удовлетворяет
ОМН (3). Таким образом, множество F совпадает с множеством решений обобщенной интерполяционной задачи
P = fK ; T ; u ; v g:
(34)
Условием полной неопределенности является условие K > 0H . Легко видеть, что при этом все
остальные условия в (11) автоматически выполнены, т. е. задача (34) является вполне неопределенной в смысле определения 7. Будем считать, что задачи (34) являются вполне неопределенными при всех n.
Как и в случае задачи Неванлинны{Пика, убеждаемся в том, что интерполяционные задачи
(34) являются упорядоченным семейством. Поэтому теорема 4 задает критерий неопределенности предельной интерполяционной задачи (31), а формула (28) дает описание всех решений
предельной интерполяционной задачи (31) во вполне неопределенном случае.
n
n
n
n
n
n
n
n
n
Литература
1. Нудельман А.А. Об одном обобщении классических интерполяционных задач // ДАН СССР.
{ 1981. { Т. 256. { Є 4. { С. 790{793.
2. Иванченко Т.С., Сахнович Л.А. Операторный подход к схеме В.П. Потапова исследования
интерполяционных задач // Укр. матем. журн. { 1987. { Т. 39. { Є 5. { С. 573{578.
3. Ivanchenko T.S., Sakhnovich L.A. An operator approach to the Potapov scheme for the solution
of interpolation problems // Oper. Theory: Advances and Appl. { 1994. { V. 72. { P. 48{86.
4. Sakhnovich L.A. Interpolation theory and its applications. { Dordrecht{Boston{London: Kluwer
Acad. Publ. { 1997. { 197 p.
5. Ковалишина И.В., Потапов В.П. Индефинитная метрика в проблеме Неванлинны{Пика //
ДАН АрмССР. { 1974. { Т. 59. { Є 1. { С. 17{22.
6. Потапов В.П. Дробно-линейные преобразования матриц // Исследов. по теории операторов
и их прилож. { Киев: Наук. думка, 1979. { C. 75{97.
7. Потапов В.П. К теории матричных кругов Вейля // Функц. анализ и прикл. матем. { Киев:
Наук. думка, 1982. { C. 113{121.
8. Ковалишина И.В. Аналитическая теория одного класса интерполяционных задач // Изв.
АН СССР. Сер. матем. { 1983. { Т. 47. { Є 3. { C. 455{497.
9. Dubovoj V.K., Fritzsche B., Kirstein B. Matricial version of the classical Schur problem. {
Stuttgart{Leipzig: B.G. Teubner Verlagsgesellschaft, Bd. 129. { 1992. { 355 p.
10. Потапов В.П. Теорема о модуле. II // Теория функций, функц. анализ и их прилож. { 1983.
{ Є 39. { С. 95{106.
11. Орлов С.А. Гнездящиеся матричные круги, аналитически зависящие от параметра, и теоремы об инвариантности рангов радиусов предельных матричных кругов // Изв. АН СССР.
Сер. матем. { 1976. { Т. 40. { Є 3. { С. 593{644.
Харьковский национальный
университет
Поступила
08.10.2003
38
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
234 Кб
Теги
неванлинновских, неопределенность, функции, интерполяционное, задачи
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа