close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О нормах обобщенных сумм Абеля- Пуассона.

код для вставкиСкачать
УДК 517.5
Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2007, вып. 1
В. В. Жук, С. Ю. Пименов
О НОРМАХ ОБОБЩЕННЫХ СУММ АБЕЛЯ—ПУАССОНА∗
Введение. В дальнейшем C, R, R+ , Z, Z+ , N суть соответственно множества комплексных, вещественных, неотрицательных вещественных, целых, неотрицательных целых, натуральных чисел. Функции, имеющие в некоторой точке устранимый разрыв,
доопределяются в этой точке по непрерывности; в других случаях символ 00 понима+∞
∞
P
P
P
ется как 0. По определению
dk =
dk = d0 +
(dk + d−k ). Через L1 обоk=−∞
k∈Z
k=1
значаем множество 2π-периодических функций f : R → C, суммируемых на отрезке
[−π, π]; C — пространство непрерывных 2π-периодических функций f : R → C с нормой kf k = max |f (x)|;
x∈R
1
ck (f ) =
2π
Zπ
f (t)e−ikt dt
(k ∈ Z)
−π
— комплексные коэффициенты Фурье функции f .
Пусть r ∈ Z+ , α > 0, f ∈ L1 . Тогда полагаем
X
Pα,r (f, x) =
ϕr (|k|α)ck (f )eikx ,
k∈Z
где
ϕr (t) = e−t
r
X
tk
k=0
k!
.
Суммы Pα,0 (f ) — это классические суммы Абеля—Пуассона. Аппроксимативные
свойства метода приближения Pα,r (f ) изучались в работе [1] (см. также с. 286–295 [2]).
Через kPα,r k обозначаем нормы операторов Pα,r в пространстве C, т.е. полагаем
kPα,r k = sup
f ∈C
kPα,r (f )k
.
kf k
В настоящей работе доказывается, что
2
2
1
ln(r + 1) − 6 lim kPα,r k 6 sup kPα,r k 6 2 ln(r + 1) + 2.
π2
2 α→0+
π
α>0
§ 1. Вспомогательные предложения
1. Нам понадобятся следующие известные результаты.
Теорема А (см., например, [2, с. 129]). Пусть функция ϕ : R → R удовлетворяет
следующим условиям: 1) ϕ — суммируема и непрерывна на R; 2) ϕ — четная функция;
∗ Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 05-01-00742).
c В. В. Жук, С. Ю. Пименов, 2007
82
3)
P
k∈Z
R R
ϕ (k) < ∞; 4) ϕ(t) cos xt dt dx < ∞. Тогда для любой функции f ∈ C при
2
R R
x ∈ R имеет место равенство
Z
X
ϕ(k)ck (f )eikx = f (x + t)ψ(t) dt,
k∈Z
где ψ(t) =
1
π
R
R
ϕ(u) cos ut du.
R+
Теорема B (см., например, [3, с. 72]). Пусть последовательность αn ∈ R (n ∈ N)
такова, что αn > 0, lim αn = 0; функционалы Φn : C → C определены равенствами
Z
Φn (f ) = f (αn t)ϕ(t) dt,
R
где функция ϕ : R → R суммируема на R. Тогда
sup kΦn k = lim kΦn k =
n→∞
n∈N
Z
|ϕ(t)|dt,
R
где
kΦn k = sup
f ∈C
|Φn (f )|
.
kf k
Лемма A (см. [4, с. 59]). Пусть m, l − 2 ∈ N, h = π/m, функция g дважды дифференцируема на отрезке [h, lh/2] и на нем g ′ (x) 6 0, g ′′ (x) > 0. Тогда
lh/2
Z
2
| sin mx|g(x) dx 6
π
h
lh/2
Z
g(x) dx.
h
2. При r ∈ Z+ , α > 0 полагаем
Z
1
Eα,r (y) =
ϕr (αx) cos xy dx,
π
Er (y) = E1,r (y).
R+
Лемма 1. Пусть r ∈ Z+ , α > 0, y ∈ R. Тогда
Eα,r (y) =
αr+1 sin((r + 1) arctg (y/α))
πy (α2 + y 2 )
r+1
2
.
Доказательство. Ясно, что
y
1
Er
.
α
α
Пусть y 6= 0. Интегрируя по частям, находим
+∞ Z
Z
sin xy
sin xy
πEr (y) =
ϕr (x) cos xy dx =
ϕr (x)
−
y
y
0
(1)
Eα,r (y) =
R+
=
Z
R+
sin xy −x xr
1
e
dx =
y
r!
r! y
Z
R+
−e−x
r
X
xk
k=0
k!
+ e−x
r−1 k
X
x
k=0
k!
!
=
(sin xy)e−x xr dx.
R+
83
Таким образом,
πEr (y) =
1
r!
Z
xr e−x
sin xy
dx.
y
(2)
R+
Соотношение (2) верно и при y = 0. Так как (см., например, [5], с. 72, 127)
Z
xr e−x
R+
sin xy
r! sin((r + 1) arctg y)
dx =
,
r+1
y
(1 + y 2 ) 2 y
из (2) следует, что
πEr (y) =
sin((r + 1) arctg y)
(1 + y 2 )
r+1
2
y
(3)
.
Осталось сопоставить равенства (3) и (1).
Лемма 2. Пусть функция h : [a, b] → R имеет непрерывную вторую производную
на [a, b], причем производные h′ и h′′ возрастают на [a, b], c ∈ [a, b]. Тогда
h(b) − h′ (b)(b − c) 6 h(c) 6 h(b) − h′ (b)(b − c) +
h′′ (b)
(b − c)2 .
2
Доказательство очевидно в силу формулы Тейлора с остаточным членом в форме
Лагранжа.
π
Лемма 3. Пусть n ∈ N, α = n+1
,
α (n − 1)2 4 α α2
−
sin −
,
2
2
2
8
2 α
1
α2
δ2 (n) = n sin +
+
.
2
n+1
5
2
δ1 (n) = (n − 1) sin
Тогда
δ1 (n) 6
Zπ/2
α
cosn ϕ
1
1
dϕ − ln(n + 1) + ln π − (ln 2 − C) 6 δ2 (n),
sin ϕ
2
2
(4)
где C = 0.577215 . . . — постоянная Эйлера.
Доказательство. Пусть сначала n−1
2 ∈ N. Имеем (см., например, [6], с. 177)
Zπ/2
α
n−1
2
X
cosn ϕ
cos2k α
dϕ = − ln sin α −
.
sin ϕ
2k
k=1
Так как при 0 < x 6 π/2 справедливо неравенство
ln x −
x2
6 ln sin x 6 ln x,
5
получаем
ln
84
1
1
α2
6 − ln sin α 6 ln +
.
α
α
5
(5)
Оценим второе слагаемое в правой части (5). Рассмотрим функцию
n−1
2
X
x2k
h(x) =
.
2k
k=1
Имеем (см., например, [6], с. 599, 793)
2
X
1
1
n+1
h(1) =
=
C+ψ
,
2k
2
2
n−1
k=1
где ψ(x) = (ln Γ(x))′ — пси-функция. Далее,
n−3
n−1
′
h (x) =
2
X
k=1
2k−1
x
,
n−1
,
h (1) =
2
′
′′
h (x) =
2
X
(2k + 1)x2k ,
h′′ (1) =
k=0
(n − 1)2
.
4
Применяя лемму 2 к функции h, рассматриваемой на отрезке [0, 1], находим
1
n+1
d2
1
n+1
−
C+ψ
+ dn − n 6 −h(cos α) 6 −
C+ψ
+ dn ,
2
2
2
2
2
α
где dn = n−1
2 (1 − cos α) = (n − 1) sin 2 .
Таким образом, если (n − 3)/2 ∈ N, то
1
1
ln −
α 2
Zπ/2 n
n+1
d2n
cos ϕ
C+ψ
+ dn −
6
dϕ 6
2
2
sin ϕ
α
1
1
n+1
α2
. (6)
6 ln −
C+ψ
+ dn +
α 2
2
5
Пусть теперь n/2 ∈ N. Имеем (см., например, [6], с. 177)
Zπ/2
α
n/2
cosn ϕ
α X cos2k−1 α
dϕ = − ln tg −
.
sin ϕ
2
2k − 1
(7)
k=1
Так как при 0 < x 6 π/6
ln x 6 ln tg x 6 ln x +
x2
,
2
получаем
ln
1
α2
α
1
+ ln 2 −
6 − ln tg 6 ln + ln 2.
α
8
2
α
Оценим второе слагаемое в правой части (7). Рассмотрим функцию
n/2
X
x2k−1
g(x) =
.
2k − 1
k=1
85
Имеем (см., например, [6], с. 600)
g(1) =
n/2
X
k=1
1
1
=
2k − 1
2
n+1
C+ψ
+ ln 2.
2
Далее,
n/2−1
g ′ (x) =
X
x2k ,
n
,
2
g ′ (1) =
k=0
n/2−1
g ′′ (x) =
X
(2k)x2k−1 ,
g ′′ (1) =
k=1
n(n − 2)
.
4
Применяя лемму 2 к функции g, рассматриваемой на отрезке [0, 1], находим
1
−
2
2 α
n+1
n(n − 2) 4 α
C+ψ
− ln 2 + n sin −
sin 6 −g(cos α) 6
2
2
2
2
2 α
1
n+1
C+ψ
− ln 2 + n sin .
6−
2
2
2
Таким образом, если n/2 ∈ N, то
1
1
ln −
α 2
Zπ/2 n
2 α
n+1
α2
n(n − 2) 4 α
cos ϕ
C+ψ
−
+ n sin −
sin 6
dϕ 6
2
8
2
2
2
sin ϕ
α
2 α
1
1
n+1
6 ln −
C+ψ
+ n sin . (8)
α 2
2
2
Сопостовляя (6) и (8) и учитывая, что при x > 0
ln x −
1
6 ψ(x) 6 ln x
x
(см., например, [7], с. 23), приходим к (4) при n > 1. Непосредственные вычисления
показывают, что (4) справедливо и при n = 1.
§ 2. Основные результаты
Теорема 1. Пусть r ∈ Z+ , α > 0, x ∈ R, f ∈ C. Тогда
Z
1
αr+1 sin((r + 1) arctg (t/α))
Pα,r (f, x) =
f (x + t)
dt =
r+1
π
2 + t2 ) 2
t
(α
R
Z
1
sin((r + 1) arctg t)
f (x + αt)
=
dt.
r+1
π
t(1 + t2 ) 2
R
Доказательство. Опираясь на теорему A, приходим к равенству
Z
Pα,r (f, x) = f (x + t)Eα,r (t) dt.
R
86
(9)
Отсюда, принимая во внимание лемму 1, получаем первое из равенств (9). Для установления второго равенства достаточно в интеграле сделать замену переменной по формуле t = αu.
Замечание 1. Нетрудно установить (например, с помощью теоремы Харди—Юнга
(см. [8], с. 141)), что соотношение (9) справедливо и для любой f ∈ L1 .
Положим
Z
Z 1
sin((r + 1) arctg t) J(r) = |Er (t)|dt =
dt.
r+1
π t(1 + t2 ) 2
R
R
Следствие 1. Пусть r ∈ Z+ . Тогда
lim kPα,r k = sup kPα,r k = J(r).
α>0
α→0+
Доказательство. Из второго из соотношений (9) следует, что для f ∈ C
Z
kPα,r (f )k 6 kf k |Er (t)|dt = kf kJ(r),
R
и потому
sup kPα,r k 6 J(r).
α>0
С другой стороны, сопоставление (9) и теоремы B приводит к неравенству
J(r) 6 lim kPα,r k.
α→0+
2. Установим оценки сверху и снизу для величины J(r). Прежде всего заметим (этот
факт был хорошо известен и ранее (см., например, [2], гл. 4 § 7)), что J(0) = J(1) = 1,
поэтому приводимые ниже результаты содержательны только при r > 2.
Теорема 2. Пусть r ∈ Z+ . Тогда
J(r) 6
2
1.5
ln(r + 1) + 0.833 +
.
2
π
r+1
Доказательство. Будем считать r > 2. Положим α = π/(r + 1). Заменяя в интеграле переменную t = tg ϕ, получаем
π
J(r) =
2
Z
π
| sin((r + 1) arctg t)|
R+
t(1 + t2 )
r+1
2
Последний интеграл разбиваем на два:
(r + 1) sin
| sin(r + 1)ϕ| cosr ϕ
dϕ.
sin ϕ
0
Rα
0
(0, π/2],
dt =
Z2
и
π/2
R
. Так как функция
α
sin x
x
убывает на
z
z
> 2 sin
r+1
2
при z ∈ [0, π]. Значит,
Zα
0
| sin(r + 1)ϕ| cosr ϕ
dϕ 6
sin ϕ
Zα
0
sin(r + 1)ϕ
dϕ =
sin ϕ
Zπ
0
sin z
z dz 6
(r + 1) sin r+1
Zπ
0
sin z
dz = 2.
2 sin z2
87
Перейдем к оценке второго интеграла. Положим
g(ϕ) =
cosr ϕ
.
sin ϕ
Легко видеть, что при ϕ ∈ (0, π/2]
r−1
g ′ (ϕ) = −r cos ϕ −
cosr+1 ϕ
6 0,
sin2 ϕ
r−2
g ′′ (ϕ) = r(r − 1) cos ϕ sin ϕ + (r + 1)
cosr ϕ
cosr+2 ϕ
+2
> 0.
sin ϕ
sin3 ϕ
Принимая во внимание приведенные неравенства и применяя лемму A, находим, что
Zπ/2
| sin(r + 1)ϕ| cosr ϕ
2
dϕ 6
sin ϕ
π
α
Zπ/2
cosr ϕ
dϕ.
sin ϕ
α
Таким образом,
4
J(r) 6 2
π
Zπ/2
cosr ϕ
4
dϕ + .
sin ϕ
π
(10)
π/(r+1)
Осталось воспользоваться леммой 3 и выполнить элементарные вычисления.
Теорема 3. Пусть r ∈ Z+ . Тогда
J(r) >
2
ln(r + 1) − 0.441.
π2
Доказательство. Будем считать, что r > 2. Положим α = π/(r + 1). Имеем
π
J(r) =
2
Zπ/2
0
r+1
α(k+1)
[X
Z
2 ]
| sin(r + 1)ϕ| cosr ϕ
| sin(r + 1)ϕ| cosr ϕ
dϕ >
dϕ.
sin ϕ
sin ϕ
k=0
αk
Так как cos ϕ убывает на [0, π/2], а sin ϕ возрастает, то
α(k+1)
Z
| sin(r + 1)ϕ| cosr ϕ
2 cosr α(k + 1)
dϕ >
.
sin ϕ
r + 1 sin α(k + 1)
αk
Таким образом,
Zπ/2
0
88
[ r+1
Zπ/2 r
2 ]
| sin(r + 1)ϕ| cosr ϕ
2 X cosr α(k + 1)
2
cos ϕ
dϕ >
>
d ϕ.
sin ϕ
r+1
sin α(k + 1)
π
sin ϕ
k=0
α
Значит,
4
J(r) > 2
π
Zπ/2
α
cosr ϕ
dϕ.
sin ϕ
(11)
Осталось воспользоваться леммой 3 и выполнить элементарные вычисления.
Замечание 2. Пусть r ∈ N. Из сопоставления неравенств (10) и (11) следует, что
4
0 6 J(r) − 2
π
Zπ/2
cosr ϕ
4
dϕ 6 2 .
sin ϕ
π
π/(r+1)
3. Приведем небольшую таблицу величин J(r) и их первых и вторых разностей,
полученную с помощью вычислительной техники.
Таблица 1. Значения величин J(r) и их разностей
r
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
J(r)
1.000000
1.000000
1.022494
1.061033
1.095815
1.125869
1.152319
1.175882
1.197081
1.216328
1.233941
1.250169
1.265212
1.279227
1.292344
1.304671
1.316297
1.327295
1.337731
1.347658
1.357124
1.366169
1.374829
1.383135
1.391116
1.398794
1.406193
1.413333
1.420229
1.426899
1.433357
J(r + 1) − J(r)
0.000000
0.022494
0.038539
0.034782
0.030054
0.026451
0.023563
0.021199
0.019247
0.017613
0.016229
0.015042
0.014015
0.013118
0.012327
0.011625
0.010999
0.010436
0.009927
0.009466
0.009045
0.008660
0.008306
0.007980
0.007679
0.007399
0.007139
0.006897
0.006670
0.006458
J(r + 1) − 2J(r) + J(r − 1)
0.022494
0.016044
−0.003756
−0.004729
−0.003603
−0.002888
−0.002364
−0.001953
−0.001634
−0.001384
−0.001186
−0.001027
−0.000898
−0.000791
−0.000702
−0.000627
−0.000563
−0.000509
−0.000461
−0.000421
−0.000385
−0.000354
−0.000326
−0.000301
−0.000280
−0.000260
−0.000242
−0.000227
−0.000212
Summary
V. V. Zhuk, S. Yu. Pimenov. On norms of generalized Abel—Poisson sums.
We establish two-sided bounds for supremum of norms of generalized Abel—Poisson sums.
89
Литература
1. Жук В. В. Об одном методе приближения // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1. Вып. 3 (№ 13).
С. 15–22.
2. Жук В. В. Аппроксимация периодических функций. Л., 1982. 366 с.
3. Жук В. В. Сильная аппроксимация периодических функций. Л., 1989. 296 с.
4. Жук В. В., Натансон Г. И. Тригонометрические ряды Фурье и элементы теории аппроксимации. Л., 1983. 188 с.
5. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Т. 1. М., 1969. 344 с.
(Bateman H., Erdélyi A. Tables of integral transforms. 1954. Vol. 1).
6. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. М., 1981. 798 c.
7. Chaudry M. A., Zubair S. M. On a Class of Incomplete Gamma Functions with Applications.
Chapman & Hall/CRC, 2001. 512 p.
8. Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимации. М., 1965. 408 c.
Статья поступила в редакцию 12 октября 2006 г.
90
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
264 Кб
Теги
суммы, пуассона, обобщенные, норма, абеляр
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа