close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О подходе к оптимизации упругих конструкций по частотным характеристикам.

код для вставкиСкачать
МОДЕЛИРОВАНИЕ В ТЕХНИКЕ
УДК 517.9
А. Ю. Б у ш у е в, Д. О. Я к о в л е в
О ПОДХОДЕ К ОПТИМИЗАЦИИ УПРУГИХ
КОНСТРУКЦИЙ ПО ЧАСТОТНЫМ
ХАРАКТЕРИСТИКАМ
Предлагается методика оптимизации упругих конструкций с учетом возможных ограничений на функционалы, использующая функции чувствительности и метод линеаризации. Методика может
быть использована как для оптимизации конструкций, так и для
отстройки частот от опасных зон, а также для идентификации
математических моделей конструкций.
E-mail: aleks-bus@yandex.ru; yadmtr@gmail.com
Ключевые слова: функции чувствительности; методика оптимизации; идентификация конструкций.
Постановка задачи. Конечно-элементная аппроксимация позволяет свести задачу определения частот и форм собственных колебаний
упругих распределенных систем к матричной обобщенной задаче на
собственные значения
K ( B) X k = ?k M( B) X k
k = 1,..., n,
(1)
где K(B), M(B) ? глобальные матрицы жесткости и масс; B = (b1, b2,
?, bm)Т ? вектор параметров конструкции; Xk, ?k ? собственные
векторы и собственные значения.
Задача оптимизации упругой конструкции в целях определения параметров ее математической модели таким образом, чтобы обеспечить наименьшее расхождение частотных характеристик модели и конструкции при одинаковых входных воздействиях, сводится к задаче
нахождения вектора параметров конструкции B, доставляющего минимум функционалу:
(2)
^
при ограничениях (1) и ограничениях на другие функционалы ?i = ?i,
^
i = 1,?, m, где ?k ? экспериментальные собственные значения.
Построение итерационного алгоритма решения. Для решения
поставленной задачи рассмотрим подход, основанный на применении функций параметрической чувствительности первого порядка
динамических характеристик (частот и форм собственных колебаний)
конструкции к вариациям параметров.
66
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2011
Функциями чувствительности первого порядка называются производные динамических характеристик Xk, ?k по параметрам
ui( k ) =
??k
,
?bi
Qi( k ) =
?X k
,
?bi
k = 1,?, n.
(3)
Для нахождения функций чувствительности воспользуемся методикой, предложенной в [1]. В этом случае выражения для вычисления
функций чувствительности примут вид
ui( k ) = ((
?K
?M
? ?k
) X k , X k ),
?bi
?bi
n
Qi( k ) = ? ? ip( k ) X p ,
p =1
? is( k ) = ((
?K
?M
? ?k
) X k , X s ) / (?k ? ?s ), s = 1,..., n; s ? k ,
?bi
?bi
1
?M
? ik( k ) = ? ( X k ,
X k ), s = k .
2
?bi
Для решения задачи (2) предлагается итерационный алгоритм. В начале итерационного цикла из решения уравнения (1) находятся собственные частоты и формы конструкции для начального вектора параметров B0.
Далее проводится расчет функции чувствительности ?? функциоi
налов ?i по отношению к управлению B. Для функционала ?0 функция чувствительности имеет вид
Итерационный процесс решения задачи поиска оптимального вектора параметров B разбивается на два этапа.
На первом этапе принимаем
?B1 = ?? ?
(? = const)
0
и получаем некоторое приращение функционала ?0, равное ? ?0. При
этом другие функционалы также испытывают изменения. Если эти
изменения приводят к выходу значений функционалов за допустимые
пределы, то на втором этапе итерационного цикла находят такое значение вариации управления
m
?B2 = ? ?i ? ? ,
i =0
i
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2011
67
при котором добавка к функционалу ?0, полученная на первом этапе
итерационного цикла, сохраняется, а значения других функционалов
возвращаются в свои пределы, т. е.
?? ? ?0 ?B 2 = 0,
?
?? ? ?i ?B 2 = ??? i ,
i = 1,..., m.
Коэффициенты ?i определяются из последней системы уравнений.
В итоге в каждом цикле итерации получается какое-то новое управление B = ? B1 + ? B2, которое обеспечивает некоторое улучшение
значения оптимизируемого функционала ?0 при сохранении допустимых значений других функционалов ?i.
Реальные значения всех функционалов вычисляются в начале следующего цикла итерации после повторного решения систем (1).
По мере приближения к экстремуму значение коэффициента ?
последовательно снижается. Критерием окончания служат условия
|?? | # ?2 и ||B i ? B i +1|| # ?1.
0
Результаты численных расчетов. Рассмотрим предложенный
итерационный алгоритм на примере оптимизации консольно-закрепленной балки.
В качестве конечного элемента (КЭ) выберем трехмерный балочный элемент, описываемый теорией Бернулли ? Эйлера. Разобьем балку на пять КЭ (рисунок).
Каждый КЭ имеет три параметра: S ? площадь поперечного сечения элемента, E ? модуль Юнга, ? ? плотность материала КЭ. Таким
образом, получаем 9 изменяемых параметров системы B = (S1, E1, ?1,
S2, E2, ?2, ?, S5, E5, ?5)T. В качестве начальной конфигурации выберем
следующий набор параметров E = 2.1e+11 Па, ? = 7800 кг и вектор
площадей сечений S = (1.9635e-3,1.25664e-3,3.14159e-4,7.06858e4,7.85398e-5) м2. В табл. 1 представлены низшие шесть собственных
частот для начальной конфигурации.
Для апробации предложенного итерационного процесса рассмотрена задача восстановления распределения площадей КЭ от измененного набора значений путем минимизации функционала рассогласования первых шести собственных частот при постоянном объеме
стержня.
В качестве возмущенного вектора параметров выбран следующий
набор площадей B = (2.0635e-3,1.15664e-3,5.14159e-4,5.16858e4,6.85398e-5)T, при этом максимальное отклонение от начальной кон68
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2011
фигурации составило 63% для третьего элемента, а минимальное 5%
для первого. Соответствующие ему значения шести низших частот
приведены в табл. 2.
Таблица 1
Таблица 2
Таблица 3
В результате итерационного процесса достигнут следующий набор
площадей B = (1.99162e-3,1.29862e-3,2.98521e-4,6.53209e-4,7.77273e005)T, соответствующие низшие частоты представлены в табл. 3.
Выводы. Анализ выполненных численных экспериментов показывает работоспособность алгоритма, а также возможности его использования для оптимизации различных конструкций, моделируемых с помощью метода конечных элементов.
Максимальная ошибка восстановления «возмущенных» собственных частот в рассмотренном модельном примере не превышает 0,1%.
Максимальная ошибка восстановления «возмущенных» площадей
в рассмотренном модельном примере не превышает 1%.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Т у ш е в О. Н., Б е р е з о в с к и й А. В. Чувствительность собственных значений
и векторов к вариациям параметров конечно-элементных моделей конструкций //
Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Машиностроение». 2007, № 1. С. 35?44.
Статья поступила в редакцию 27.10.2011.
Бушуев Александр Юрьевич родился в 1951 г. Окончил МВТУ им. Н.Э. Баумана
в 1974 г. Кандидат технических наук, доцент кафедры «Вычислительная математика
и математическая физика». Автор 15 научных работ. Область научных интересов:
оптимизация проектных решений.
Яковлев Дмитрий Олегович родился в 1987 г. Окончил МГТУ им. Н.Э. Баумана в 2011 г.,
инженер 3 категории ОАО «ВПК «НПО машиностроения».Область научных интересов: численные методы; методы оптимизации; моделирование композиционных
материалов.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2011
69
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
273 Кб
Теги
оптимизация, конструкции, частотных, подход, характеристика, упругие
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа