close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О поперечниках классов периодических функций в пространстве.

код для вставкиСкачать
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН
2006, том 49, №2
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
Член-корреспондент АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозов, О.Ш.Шабозов
О ПОПЕРЕЧНИКАХ КЛАССОВ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
В ПРОСТРАНСТВЕ L2 [0 2 ]
Всюду в дальнейшем через L2  L2 [0 2 ] обозначим пространство суммируемых с
квадратом по Лебегу 2 -периодических действительных функций f ( x) с конечной
нормой
1
|| f || 

2

0
1 2

 f ( x)  dx 

2
.
Пусть
 n1


 n1  Tn1 ( x)  Tn1 ( x)  0   ( k cos kx  k sin kx) 
2 k 1


– подпространство всевозможных тригонометрических полиномов порядка  n  1 Общеизвестно, что для произвольной функции f ( x)  L2  имеющей формальное разложение в ряд Фурье
a0 
  (ak cos kx  bk sin kx)
2 k 1
величина ее наилучшего приближения в метрике L2 подпространством  n1 равна
f ( x) 
df
En ( f ) inf{ f  Tn 1  Tn 1 ( x)   n 1}  f  Sn 1 ( f ) 
 



 k n

1 2
2
k 



(1)
где S n 1 ( f  x) – частная сумма порядка n  1 ряда Фурье функции f ( x) аk2  ak2  bk2  Через
df
Lr2 (r  01 2 L02  L2 ) обозначим множество функций f ( x)  L2  у которых производные
(r  1) -го порядка абсолютно непрерывны, а производные r - го порядка принадлежат
пространству L2 
Символом  m ( f  h) обозначим норму разности m - го порядка функции f ( x)  L2
с шагом h

 m
1
 m ( f  h)   (1)   f (  kh)  

k 0
k


df
m
k
2

0
1 2
2

 m

(

1)
f
(
x

kh
)
dx
 

 
k 0
k


m
k
Равенством
df
m ( f  t ) sup{ m ( f  h)  h  t}
определим модуль непрерывности m - го порядка функции f ( x)  L2 
111
(2)
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2006, том 49, №2
Структурные свойства функции f ( x)  Lr2 характеризуем скоростью стремления к
нулю модуля непрерывности r - ой производной f ( r ) ( x ) задавая эту скорость посредством мажоранты некоторой усредненной величины m ( f ( r )  t )
При решении задач теории аппроксимации в пространстве L2  связанных с нахождением точных констант в неравенствах типа Джексона


En ( f )   n  rm  f ( r )      0
n

для функций f ( x)  Lr2  рассматривались различные экстремальные характеристики,
приводящие к уточнению оценок сверху констант  
В данном сообщении рассматривается экстремальная аппроксимационная характеристика вида
2m nr En ( f )
df
 nr m p (h) sup{
1p


p
(r )

  m ( f  t )sin ntdt 
0

где n r m    01r  p  2 и 0  nh   
h
 f  Lr2  f (t )  const} ,
(3)
Отметим, что величины вида (3) при различных значениях указанных параметров
ранее изучались в работах [1- 14].
Теорема 1. Для произвольных n r m  1r  p  2 и 0  nh   справедливо равенство
1p
mp
 h 

nt 
 nr m p  (h)     sin  sin ntdt 
(4)
2
 0 

Существует функция f0 ( x)  Lr2 , для которой достигается верхняя грань в (3), реализую-
щая равенство (4).
Доказательство. Воспользуемся следующим упрощенным вариантом неравенства
Минковского ([15], стр.32)
1 2
1p
2 p
p 2
 h

 h 

 
2
p
(5)
     f k (t )   dt        f k (t )  dt    0  p  2

 0  k n



k

n

0






и, имея ввиду, что согласно равенству Парсеваля для произвольной f ( x)  Lr2 имеет ме-
сто соотношение
1 2
2m
  2 2 r 

ku 
m ( f  t )  2 sup   k k  sin   u  t  ,
2 

 k 1

из неравенства (5) и равенства (6) имеем:
(r )
m
1p
 h p (r )


  m ( f  t )sin nt  
0

112
(6)
Математика
М.Ш.Шабозов, О.Ш.Шабозов
h
 
0

h
 2m  
0

2m
 2m  2r 2 

kt  

2  k k  sin  
2 


 k n

p 2

sin ntdt  


2m

kt 
2
  2r 2 
k

sin

k 
  sin nt 
2

 k n

h
  
kt

 2m   k rp kp  sin
 k n 
2
0
 
mp
p






sin ntdt 


p 2
1 p

dt 



2 p 1 2





1 2
2 p
mp
 

 h

kt
 
m
2  rp

.
(7)
 2  k k  sin
sin ntdt 
 k n 

2


0



Далее докажем, что при выполнении условий теоремы функция натурального аргумента
mp
h
kt
y (k )  k  sin
sin ntdt
2
0
в области Q  {k  n  k  } наименьшее значение принимает при k  n и
rp
h
min{ y (k )  k  Q}  y (n)  n
rp

0
mp
nt 


 sin  sin ntdt 
2


(8)
Но так как sin nt  0 при   0 0  t  h   n  то для доказательства (8) достаточно,
чтобы выполнялось неравенство
mp
mp
kt
nt 

 nrp  sin   rp  1 k  n
2
2

Последнее неравенство вытекает из следующих соотношений
k rp sin
h

0
kt
sin
2
mp
mp
n
dt 
k
k
h
n

0
mp
nt 

 sin  dt 
2

rp h
mp
n 
nt 
nt 
n 
   sin  dt      sin  dt  k  n rp  1 .
k0 
2
2
k 0 
Из неравенства (7) с учетом равенств (8) и (1) получаем
h
1p
 h p (r )


  m ( f  t )sin ntdt  
0



m




h

 2  (n rp 

0

h
 2 n 

0
m
r
2 p
1 2



nt 


2
sin
sin
ntdt


  k 



2

 k n 
mp
1 p
mp

nt 


 sin  sin ntdt   En ( f )
2


Отсюда
113

Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2006, том 49, №2
1p
 h p (r )


  m ( f  t )sin ntdt 

.
En ( f )   0
1p
mp
h


nt 

2m n r    sin  sin ntdt 
 

2
0

(9)
Из (9) следует, что
mp
h 

nt 
 nr m p  (h)     sin  sin ntdt 
 

2
0

Чтобы
установить
равенство
(4),
1p
достаточно
(10)
рассмотреть
функцию
f 0 ( x)  cos nt  L2  воспользоваться определением (3) величины nr m p (h) а также легко
проверяемыми соотношениями
m
nt 

En ( f 0 )  1 m ( f 0( r )  t )  2m nr  sin   0  nt   
2

Теорема 1 полностью доказана.
2. Обозначим через bn (W L2 ) dn (W L2 )  n (W L2 ) d n (W L2 ) n (W L2 ) соответственно бернштейновский, колмогоровский, линейный, гельфандовский и проекционный
n – поперечники некоторого выпуклого центрально-симметричного компакта W в
пространстве L2 (см. например [6-8]).
Между указанными поперечниками в L2 выполняются соотношения
bn (W L2 )  d n (W L2 )  dn (W L2 )  n (W L2 )  n (W L2 )
(11)
Для произвольных m n r  1r  p  2  0 и 0  nh   определим класс функh


r
ций    (n r m p  h)   f ( x)  L2   mp ( f ( r )  t ) sin ntdt  1
0


Теорема 2.Справедливы равенства
 2n (  L2 )   2n1 (  L2 )  En ( )  2 m n r nr m p (h) ,
где
En ( )  sup{En ( f )  f ( x)   }
 n () – любой из перечисленных выше n -поперечников, величина nr m p (h) определена в
(4).
Доказательство. Для произвольной f ( x)   из неравенства (9) имеем
En ( )  sup{En ( f )  f ( x)   }  2 m n r nr m p (h)
Из (11) и (12) получаем оценку сверху
 2n (  L2 )   2n1 (  L2 )  2n1 (  L2 )  En ( )  2 m n r nr m p (h) .
114
(12)
(13)
Математика
С
М.Ш.Шабозов, О.Ш.Шабозов
целью
получения
оценок
снизу
в
подпространстве
n
рассмотрим
(2n  1) -мерную сферу тригонометрических полиномов
B2n1  {Tn (t )  n  Tn  2 m n r nr m p (h)}
и покажем его принадлежность классу   Для произвольного полинома Tn (t )  B2 n 1
имеем
m
nt 

(14)
 Tn  nt   .
2

Возведя в степени p неравенство (14), затем, умножая на sin nt и интегрируя в
m (Tn( r )  t )  2m nr  sin
пределах от 0 до h , получим
1p
1p
mp
h 

 h p (r )

nt 

m r


(
T

t
)
sin
ntdt

2
n
sin
  
 m n

 sin ntdt  Tn  1
2
0

0 

а это означает, что B2 n 1  F  Из доказанного включения, соотношения (11) и определе-
ния бернштейновского поперечника следует оценка снизу
 2n (  L2 )  b2n (  L2 )  b2n ( B2n1 L2 )  2m nr nr m p (h) .
(15)
Сопоставляя неравенства (13) и (15), получаем утверждение теоремы 2.
Следствие 2. При выполнении условий теоремы 2 и h   n справедливы равенства
   mp 2 1     21  
 ( m  / p )
 2 n 1 (  L2 )   2 n (  L2 )  En ( )  2
n

 ,
mp
   2   1 
где  n () – любой из перечисленных выше поперечников, () – гамма-функция Эйлера.
1p
 r  1p
Государственный комитет статистики
Республики Таджикистан,
Таджикский технологический университет
Поступило 05.04.2006 г.
ЛИТЕРАТУРА
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
Черных Н.И. – Мат.заметки. – 1967, т.2, №5, c. 513-522.
Тайков Л.В. – Мат.заметки. – 1976, т.20, №3, с.433-438.
Тайков Л.В. – Мат.заметки. – 1979, т.25, №2, с.217-223.
Лигун А.А. – Мат.заметки. – 1978, т.24, №6, с.785-792.
Шалаев В.В. – Укр. мат.журн. – 1991, т.43, №1, с.125-129.
Есмаганбетов М.Г. – Мат.заметки. – 1999, т.65, №6, с.816-820.
Вакарчук С.Б. – Мат.заметки. – 2001. т.70, №3, с.334-345.
Вакарчук С.Б. – Укр.мат.журн. – 2004, т.56, №11, с.1458-1466.
Васильев С.Н. – Докл.РАН – 2002, т.385, 1, с.11-14.
Айнуллоев Н. – Докл. АН Тадж.ССР – 1984, т.27, №8, с.415-418.
Юссеф Х. – Применение функционального анализа в теории приближении: Сб.научн.тр. –
Калинин: 1988, с.100-114.
115
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2006, том 49, №2
12. Юссеф Х. – Применение функц. анализа в теории приближений: Сб.научн.тр. – Тверь: Твер.
ун-т., 1990, с.167-175.
13. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1976,
304 с.
14. Pinkus A. n-widths in Approximation Theory. Berlin: Springer Verlag, 1985, 290 p.
15. Hardy G.G., Littlewood G., Polya G. Inequality. – 1952, p.32
М.Ш.Шабозов, О.Ш.Шабозов
ОИД БА КУТРЊОИ СИНФИ ФУНКСИЯЊОИ ДАВРЇ ДАР ФАЗОИ L2 [0 2 ]
Барои синфи функсияњои даврї, ки ба воситаи модулњои бефосилагии тартиби
m -ўм дар фазои L2 [0 2 ] муайян шудаанд, ќимати даќиќ ќутрњо њисоб карда шудааст.
M.Sh.Shabozov, O.Sh.Shabozov
ON WIDTHS OF SOME CLASSES PERIODICAL FUNCTIONS IN L2 [0 2 ]
We obtain the exact values of the n-widths of 2 -periodic functions, set by modulus of
continuity mth order in L2 [0 2 ] space.
116
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
212 Кб
Теги
классов, пространство, поперечников, функции, периодических
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа