close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О построении точных решений задачи Маскета.

код для вставкиСкачать
Том 153, кн. 1
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОО УНИВЕСИТЕТА
Физико-математические науки
2011
УДК 532.546
О ПОСТОЕНИИ ТОЧНЫХ ЕШЕНИЙ
ЗАДАЧИ МАСКЕТА
М.М. Алимов
Аннотация
Предложена модиикация методики C. Ховисона построения точных нестационарных
решений задачи Хеле-Шоу в двухазной идеализированной постановке (задачи Маскета). Эективность модиицированной методики продемонстрирована путем воспроизведения точного решения Д. Кроуди об эволюции эллиптического пузыря одной вязкой
жидкости в окружении другой в безграничном щелевом лотке. При этом вскрыта связь
с аналогичной задачей Хеле-Шоу в одноазной постановке. Сравнение решений в двух
постановках показало, что учет второй азы оказывает ѕслабыйї регуляризирующий эект: в одинаковых условиях решение одноазной задачи имеет конечное, а двухазной бесконечное время существования.
Ключевые слова: задача Хеле-Шоу в двухазной нестационарной постановке, задача Маскета, эллиптический пузырь.
Введение
Идеализированная задача Хеле-Шоу является математической моделью процесса эволюции границы раздела двух вязких жидкостей в щелевом лотке в случае
пренебрежимо малых капиллярных сил [1?. азличают две постановки: одноазную, когда давление в одной из аз можно считать однородным, и двухазную,
когда необходимо учитывать неоднородность давления в обеих азах. Практически с построением первых точных стационарных решений одноазной задачи
Хеле-Шоу было замечено, что любое такое решение легко распространяется на
случай двухазной постановки [1?. В то же время нестационарная задача ХелеШоу в двухазной постановке, называемая также задачей Маскета, существенно
сложнее аналогичной задачи в одноазной постановке [2?. Так, из множества известных точных нестационарных и нетривиальных решений одноазной идеализированной задачи Хеле-Шоу [35? только решение Сэмена о пальцеобразовании в щелевом лотке типа канала [6? удалось обобщить на двухазный случай [7?.
Объясняется это уникальной симметрией решения Сэмена в частном случае,
когда относительная ширина пальца равна половине ширины канала [8?. В этой
же работе была предложена новая методика построения точных решений задачи
Хеле-Шоу в двухазной постановке, не требующая такого рода симметрии, но сводящаяся к некорректной задаче. Эективно применить свою методику автору [8?
удалось только в одном случае для двухазного течения вокруг точки стагнации,
когда эволюционирующая межазная граница все время остается прямой линией,
а упомянутая некорректная задача допускает тривиальное решение. Автор [9? с использованием методики [8? показал, что для течения, определяемого квадруполем
на бесконечности, удается построить точное решение, когда эллиптический пузырь
одной жидкости в окружении другой эволюционирует, оставаясь эллипсом.
Ниже предлагается существенная модиикация методики [8?, которая исключает некорректную задачу. Эективность модиицированной методики продемонстрирована путем воспроизведения решения [9?.
М.М. АЛИМОВ
156
1.
Особенности двухазной постановки задачи Хеле-Шоу
Течение двух несмешивающихся вязких жидкостей в горизонтальном лотке
Хеле-Шоу характеризуется законом Дарси для каждой азы [1?
v± = ?
который
±
связывает
p (x, y, t)
h2
?p ± ,
12µ ±
v ± (x, y, t) и распределение давления
? (t) изической плоскости, занимаемой
скорость
жидкости
±
в соответствующей области
µ± ; h величина зазора лотка. Условие несжимаемости жид-
жидкостью вязкости
костей приводит к уравнениям
?± (t) :
На межазной границе
?(t)
?p± = 0.
выполняются условия сопряжения: непрерывности
давлений и нормальных составляющих скорости жидкости
+
?(t) :
?
p =p ;
?
h2
12µ+
?p+
= ?
?n
h2
12µ?
?p?
= un .
?n
Первое условие носит динамический характер, а второе кинематический. В частности, второе условие подчеркивает, что межазная граница материальна и нормальные составляющие скорости частиц жидкости, лежащих на границе, определяют и нормальную скорость продвижения самой границы
un .
Поскольку математическая модель процесса включает уравнения Лапласа, целесообразно использовать комплексную изическую плоскость z = x + iy и ком±
±
плексные потенциалы течения для каждой жидкости W (z, t) = ? (x, y, t) +
+ i ? ± (x, y, t) , где ? ± (x, y, t) ункции тока, гармонически сопряженные с по±
тенциалами ? (x, y, t) [10?. Последние определяются через соответствующие давления
? ± (x, y, t) = ?
где
µ?
h2 ±
p (x, y, t),
12µ ?
некоторая характерная вязкость, которую определим позже.
±
Вводя относительные подвижности жидкостей
k± =
k
µ?
,
µ±
(1)
придем к следующим ормулам для скоростей течения жидкостей
? ± (t) :
Здесь
V
±
(z?, t)
v ± (x, y, t) = k ± ?? ±
?
V
±
(z?, t) = k ±
комплекснозначный аналог вектора скорости
?W ±
.
?z
(2)
v ± (x, y, t) .
Условия сопряжения на межазной границе можно записать в виде
?(t) :
? ? = ? +;
k?
?? ?
?? +
= k+
= un .
?n
?n
(3)
В терминах комплексных потенциалов они примут вид
?(t) :
Re W ? = Re W + ;
k ? Im W ? = k + Im W + ,
который, однако, не полностью эквивалентен (3), поскольку не содержит инормации о скорости
un ,
которая собственно и определяет всю эволюцию.
О ПОСТОЕНИИ ТОЧНЫХ ЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ МАСКЕТА
Если какая-либо из областей
? ± (t)
157
неограниченна, например область
? ? (t) ,
для замыкания задачи к граничным условиям (3) необходимо добавить условие для
?
соответствующего комплексного потенциала течения W (z, t) в бесконечности. В
общем случае его можно сормулировать в виде линейной комбинации полиполей
и источника [11?
K
z ? ? ? (t),
|z| ? ? :
W ? (z, t) ?
X
Q(t)
ln z +
m(k) (t) z k .
2?
(4)
k=1
Здесь
Q(t)
вещественная ункция времени, обозначающая суммарный расход
> 0) или нагнетаемой ( Q < 0) на бесконечности; m(k) (t) ,
жидкости, отбираемой ( Q
k = 1, . . . , K
комплекснозначные ункции времени, обозначающие моменты по-
липолей на бесконечности.
Обращение в бесконечность скорости течения жидкости
?W ? /?z
при
|z| ? ? ,
очевидно, является следствием идеализации о безграничности лотка. При переходе к реальному лотку конечного размера создать определенное течение ХелеШоу с потенциалом, отвечающим поведению (4), можно вполне определенными
скоростями отбора или нагнетания жидкости по периерии лотка.
Независимо от выбора характерной вязкости
µ?
задача Хеле-Шоу в двухаз-
ной постановке (3), (4) будет задачей сопряжения для двух аналитических ункций
W ± комплексного переменного z , причем задачей эволюционного типа, поскольку
условия сопряжения на свободной границе одновременно определяют ее эволюцию.
В качестве
µ?
выберем величину
2
µ? =
2
(µ + ) + (µ ? )
,
µ+ + µ?
которая обладает свойством среднего, то есть если
(5)
µ? < µ+ ,
то
µ? < µ? < µ+ .
В отличие от ариметического или геометрического среднего, выбор (5) дает то
ормальное преимущество, что из общей постановки задачи (3), (4) естественным
образом вытекают постановки в двух предельных случаях: когда вязкость одной
жидкости становится пренебрежимо малой по сравнению с другой и когда вязкости
жидкостей становятся равными.
+
?
Действительно, в первом случае пусть для определенности µ /µ
? 0 . Тогда
?
+
?
+
µ ? ? µ , k ? ? , k ? 1 , и давление в области ? (t) , которую занимает жид+
кость пренебрежимо малой вязкости µ , можно считать практически однородным
[1?. Опуская индекс у потенциала, из соотношений (3) непосредственно найдем
вид условий на свободной границей
?(t) :
сти
?(t)
? = 0,
??
= un
?n
(6)
Совокупность граничных условий (6), к которым при неограниченности обла? ? (t) необходимо добавить условие в бесконечности типа (4), представляет
собой одноазную постановку задачи Хеле-Шоу [1?. Отметим, что течение при
этом остается двухазным, одноазность постановки лишь подчеркивает, что нет
необходимости решать задачу в области, которую занимает одна из аз.
?
Во втором случае имеем: µ ? = µ
= µ + , k + = k ? = 1 . Тогда азы становятся
изически неразличимыми, течение по сути будет одноазным и индексы у потенциалов течения также можно опустить. Контур ?(t) будет разделять весь лоток на
?
+
две области ? (t) и ? (t) , жидкость в которых, скажем, окрашена по-разному.
В теории ильтрации такая задача называется задачей вытеснения по схеме разноцветных жидкостей [12?.
М.М. АЛИМОВ
158
? ? (t )
? ? (t )
? (t )
+
? (t )
?(t )
p=0
+
? (t )
z*
G
G
V2 = un
V1
un
)
)
ис. 1. Вид изической плоскости z для задачи вытеснения по схеме разноцветных жидкостей (а) и для задачи Хеле-Шоу в одноазной постановке (б)
2.
Методика построения решений двухазной задачи Хеле-Шоу
ассмотрим две вспомогательные задачи. Первая задача вытеснения в лотке
Хеле-Шоу по схеме разноцветных жидкостей (см. рис. 1,
Шоу в одноазной постановке (см. рис. 1,
а ). Вторая задача Хеле-
б ).
В первой задаче лоток заполнен одной жидкостью и поле скоростей ее движения
V1 (z?, t) = ?W1 /?z
определяется только системой гидродинамических особенностей
[13?. Пусть для определенности это будут источник расхода
Q(t)
z?
в точке
и сток
того же расхода в бесконечности
z ? z? :
2?(z ? z? )
?W1
? Q(t);
?z
В начальный момент времени
t = 0
z??:
2?z
?W1
? Q(t).
?z
(7)
?(0) .
? (0) , по-
выбран некоторый замкнутый контур
+
Частицы жидкости, попадающие внутрь контура и образующие область
мечены более темной краской, в отличие от частиц жидкости, лежащих вне контура
? ? (0) . Пусть в результате решения задачи была определе-
и образующих область
на эволюция этого контура, то есть получено семейство контуров
t?0
?(t) ,
где время
выступает параметром семейства.
Вторая задача описывает вытеснение вязкой жидкости воздухом. Пусть в на-
t = 0 воздушный пузырь занимает внутренность того же
?(0) , что и в первой задаче, то есть область ? + (0) ,
?
а жидкость занимает внешность контура, то есть область ? (0) , и отбирается на
бесконечности с тем же самым расходом Q(t)
чальный момент времени
самого замкнутого контура
z??:
2?z
?W2
? Q(t).
?z
(8)
Сток на бесконечности и условие эквипотенциальности межазной границы будут
определять поле скоростей
V2 (z?, t) = ?W2 /?z
течения жидкости и, соответственно,
эволюцию этой границы. Пусть в результате решения задачи эволюция межазной
границы была определена.
Предположим, что найденная эволюция полностью совпадает с эволюцией, найденной при решении первой задачи. Это означает, что для обеих задач будут оди-
?(t) ,
un нормальных скоростей продвиt.
Каждый из потенциалов ? 1,2 (x, y, t) = Re W1,2 (z, t) будет удовлетворять на границе ?(t) своим условиям. Для потенциала ? 1 (x, y, t) это будут, очевидно, условия
наковы семейство контуров
жения контура
?(t)
а также поля
в каждый момент времени
О ПОСТОЕНИИ ТОЧНЫХ ЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ МАСКЕТА
159
аналитического продолжения
z ? ?(t) :
где через
z±0
? 1 |z+0 = ? 1 |z?0 ,
?? 1 ?? 1 =
= un ,
?n z+0
?n z?0
(9)
обозначено приближение к граничной точке z со стороны соответ? ± (t) . раничные условия для потенциала ? 2 (x, y, t) можно
ствующей области
записать в следующем виде
z ? ?(t) :
?2 |z?0 = 0,
??2 = un .
?n z?0
(10)
Покажем, что простая суперпозиция решений этих двух задач
1
? 1 (x, y, t),
k+
1
1
1
?
? (x, y, t) = + ? 1 (x, y, t) +
? + ? 2 (x, y, t)
k
k?
k
z ? ?+ (t) :
?+ (x, y, t) =
z ? ?? (t) :
(11)
дает решение двухазной задачи Хеле-Шоу вытеснения одной вязкой жидкости
±
вычисляемые по ормуле (1) подвижности жидкостей вязкости
другой. Здесь k
±
µ , занимающих соответствующие области ? ± (t) .
±
армоничность ункций ? (x, y, t) и их непрерывность на межазной границе
?
+
при переходе из области ? (t) в область ? (t) очевидны по построению. Остается
только проверить второе граничное условие в (3)
k?
?(t) :
где
un
?? ?
?? +
= k+
= un ,
?n
?n
именно то поле нормальных скоростей продвижения контура
(12)
?(t) , которое
игурирует в соотношениях (9), (10).
С учетом первой ормулы (11) и условия (9) найдем
z ? ?(t) :
k
+
?? 1 =
= un .
?n
?n z+0
+ ??
(13)
С учетом второй ормулы (11) и условий (9), (10) получим
z ? ?(t) :
k
? ??
?
?n
=k
?
"
#
1 ?? 1 1
1
?? 2 +
? +
= un .
k + ?n z?0
k?
k
?n z?0
(14)
Сравнивая соотношения (13), (14) между собой, убедимся в выполнении условия
(12). Следовательно, суперпозиция (11) решений
? 1,2 (x, y, t) двух представленных
?(t) дает решение двухаз-
задач с одинаковой эволюцией межазной границы
ной задачи Хеле-Шоу вытеснения одной вязкой жидкости другой с той же самой
эволюцией межазной границы
?(t) .
В терминах комплексных потенциалов решение (11) принимает вид
z ? ?+ (t) :
z ? ?? (t) :
1
W 1 (z, t),
k+
1
1
1
W ? (z, t) = + W 1 (z, t) +
?
W 2 (z, t).
k
k?
k+
W + (z, t) =
(15)
В соответствии с этим система гидродинамических особенностей, инициирующих
вытеснение одной вязкой жидкости другой, будет представлять собой суперпозицию особенностей обеих вспомогательных задач. Вычисляя скорости течений
М.М. АЛИМОВ
160
V ± (z?, t)
по ормуле (2) и учитывая соотношения (7), (8), (15), убедимся, что
это будет источник расхода
Q(t)
в точке
z?
и сток того же расхода в бесконеч-
ности
z ? z? :
z??:
+
+ ?W
? Q(t);
2?(z ? z? ) k
?z
?W ?
1
1
1
2?z k ?
? Q(t) k ? + +
?
= Q(t).
?z
k
k?
k+
?(0) окружность радиуса
z? , то можно построить решение двухазной задачи Хеле-
Если выбрать за начальную конигурацию контура
R>0
с центром в точке
Шоу для конкретной схемы течения, представленной на рис. 1. Очевидно, это будет
тривиальное решение с радиальной симметрией, которое можно получить и более
простым путем. Вместе с тем предложенная методика носит общий характер и
применима для любой системы гидродинамических особенностей, а также в случае
наличия у лотка непроницаемых границ. Единственным условием эективности
этой методики является одинаковая эволюция межазной границы
?(t)
для обеих
задач.
Отметим, что в части, касающейся первой задачи, предложенная методика совпадает с методикой [8?. Существенное отличие проявляется в части, касающейся
второй задачи. Здесь С. Ховисон предлагает решать задачу Хеле-Шоу в одноазной постановке с заданной эволюцией межазной границы, а именно с эволюцией,
найденной в результате решения первой задачи. При этом особенности потенци?
+
ала течения в области ? (t) известны, а особенности в области ? (t) должны
определяться заданной эволюцией межазной границы. Однако определение особенностей ункции в области по локальному условию на ее границе, очевидно,
является некорректной задачей с существенными проблемами даже в вопросах ее
разрешимости.
Течение около точки стагнации
3.
В качестве примера в работе [8? было приведено течение, вызванное квадруполем на бесконечности, также называемое течением около точки стагнации. Его
комплексный потенциал
W1 (z, t)
имеет вид
W1 (z, t) = m1 (t)z 2 .
(16)
Для определенности будем считать момент квадруполя
V1 (z?, t) = ?W1 /?z
координатами (x0 , y0 )
Вычисляя поле скоростей
частица жидкости
G
с
m1 (t)
вещественным.
течения (16), убедимся, что любая
в момент времени
t=0
передвига-
ется по траекториям (они же линии тока), которые являются гиперболами (см.
рис. 2):
x = x0 eM1 (t) ,
y = y0 e?M1 (t) ;
M1 (t) = 2
Zt
m1 (t) dt.
(17)
0
Течение (16) обладает тем свойством, что любая прямая линия, составленная
из частиц жидкости, остается прямой во все последующие моменты времени [8?.
При этом нормальная скорость продвижения такой прямой и угол ее наклона к
горизонту, вообще говоря, изменяются, что позволило автору [8? построить решение
двухазной задачи Хеле-Шоу об эволюции прямолинейной межазной границы в
течении, вызванном квадруполем на бесконечности. Покажем, что течение (16)
обладает еще одним свойством, которое сормулируем в виде утверждения.
О ПОСТОЕНИИ ТОЧНЫХ ЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ МАСКЕТА
161
?(0)
G
z
? (t )
G
ис. 2. Линии тока течения возле точки стагнации
Утверждение. Если из любых частиц жидкости, двигающейся с потенциалом (16), в момент времени t = 0 составить эллиптический контур ?(0) ненулевого эксцентриситета, то со временем он будет эволюционировать, оставаясь
эллипсом. За конечное время t? его эксцентриситет может обратиться в нуль
тогда и только тогда, когда M1 (t? ) обратится в бесконечность.
G ? ?(0) произвольную частицу жидкости,
(x0 , y0 ) ее декартовы координаты. Ввикоординаты (x0 , y0 ) частицы G ? ?(0) удовлетворяют
Действительно, обозначим через
принадлежащую контуру
?(0) ,
ду эллиптичности контура
а через
общему уравнению конических сечений [14?
a11 (0)x20 + 2a12 (0)x0 y0 + a22 (0)y02 + 2a13 (0)x0 + 2a23 (0)y0 + a33 (0) = 0,
где коэициенты уравнения
ai j (0)
(18)
должны удовлетворять дополнительным усло-
виям, которые выделяют действительный эллипс из всего множества кривых второго порядка.
G контур ?(0) за время t примет в про?(t) . Декартовы координаты соответствующей
частицы G ? ?(t) обозначим через (x, y) . Используя уравнения движения (17),
выразим в уравнении (18) начальные координаты (x0 , y0 ) частицы через текущие
(x, y) . Получим уравнение контура ?(t)
Образованный частицами жидкости
странстве новую конигурацию
a11 x2 + 2a12 xy + a22 y 2 + 2a13 x + 2a23 y + a33 = 0,
(19)
которое, очевидно, остается уравнением кривой второго порядка. Его коэициенты
ai j
связаны с коэициентами
a11 = a11 (0)e?2M1 (t) ;
a22 = a22 (0)e2M1 (t) ;
ai j (0)
линейными соотношениями
a12 = a12 (0);
a23 = a23 (0)eM1 (t) ;
Проанализировав свойства коэициентов
?(t)
a13 = a13 (0)e?M1 (t) ;
также будет эллипсом для любого
t > 0.
ai j ,
a33 = a33 (0).
можно установить, что контур
Однако это связано с громоздкими
выкладками. Их можно избежать, ограничившись простыми качественными рассуждениями. Потенциальное течение (16) характеризуется несжимаемостью: если
контур
?(0)
ограничивал область конечной площади
ограничивать область той же площади
S0 .
S0 ,
то контур
?(t)
должен
Из всех конических сечений, отвеча-
ющих уравнению (19), только эллипс ограничивает область конечной площади.
Следовательно,
?(t)
эллипс.
М.М. АЛИМОВ
162
z
? ? (t )
?
i
?
? (t )
ib
a
0
1
0
)
)
ис. 3. Вид изической плоскости z (а) и вспомогательной плоскости ? (б) для задачи
Хеле-Шоу об эволюции эллиптического пузыря воздуха
За конечное время
t?
эллипс конечной площади может достичь нулевого эксцен-
триситета, только если одна из главных полуосей обратится в бесконечность. Для
этого по крайней мере одна частица
(x0 , y0 )
контура
?(0)
должна уйти на беско-
нечность. Согласно уравнениям движения (17) это возможно тогда и только тогда,
когда
M1 (t? )
обратится в бесконечность. Необходимым условием этого, очевидно,
является обращение в бесконечность и самого момента квадруполя
m1 (t? ) .
Более подробно рассмотрим простейший частный случай, когда контур
окружность радиуса
R
?(0)
с центром в начале координат:
?(0) :
Соответствующий контур
?(t)
x20 + y02 = R2 .
(20)
будет, очевидно, эллипсом с центром в начале ко-
ординат и главными осями, совпадающими с осями координат. Величины его полуосей
a(t) , b(t)
?(t) :
находятся непосредственно из соотношений (17)
y2
x2
+
= 1;
a2 (t) b2 (t)
Поскольку площадь эллипса
?(t)
a(t) = ReM1 (t) ,
b(t) = Re?M1 (t) .
(21)
?R2 ,
будет оставаться неизменной и равной
сам
эллипс однозначно определяется заданием отношения полуосей
a(t)
= e2M1 (t) .
b(t)
4.
(22)
Эволюция эллиптического пузыря одной жидкости
в окружении другой в безграничном лотке Хеле-Шоу
В работе [15? было построено точное решение идеализированной задачи ХелеШоу в одноазной постановке, согласно которому эллиптический пузырь воздуха
в безграничном щелевом лотке, заполненном вязкой жидкостью, эволюционирует,
оставаясь эллипсом, если поле течения жидкости определяется только квадруполем на бесконечности (см. рис. 3,
а ). Показано, что неизменными остаются площадь
эллипса и его центр. В результате, выбирая за
?(0)
ту же самую окружность (20) и
подбирая определенным образом величину момента квадруполя
можно добиться той же самой эволюции (21) контура
m2 (t) ,
очевидно,
?(t) .
Согласно [15? решение задачи параметризуется введением вспомогательной
? , в которой области течения ? ? (t) отве-
плоскости комплексного переменного
чает, например, внешность единичного круга (см. рис. 3,
z(?, t) = A(t)? +
B(t)
,
?
б ):
(23)
О ПОСТОЕНИИ ТОЧНЫХ ЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ МАСКЕТА
163
1
W2 (?, t) = m2 (t)A (t) ? ? 2 .
?
2
2
(24)
С учетом определенного выбора (20) начальной конигурации
A(t) , B(t)
?(0)
параметры
представления (23) удовлетворяют начальным условиям
A(0) = R,
B(0) = 0
(25)
и меняются со временем согласно ормулам
R
A(t) = p
,
1 ? M22 (t)
B(t) = A(t)M2 (t);
M2 (t) = 4
Zt
m2 (t) dt.
(26)
?(t) области ? ? (t)
через A(t) , B(t)
отвечает
0
Само представление (23) подразумевает, что границе
эллипс, полуоси которого
a(t) , b(t)
выражаются
a(t) = A(t) + B(t),
(t) = A(t) ? B(t).
(27)
Легко убедиться, что площадь эллипса остается неизменной и равной
довательно, сам эллипс
?(t)
?R2 ,
и, сле-
полностью определяется заданием отношения своих
полуосей
a(t)
1 + M2 (t)
=
.
b(t)
1 ? M2 (t)
(28)
Таким образом, единственным условием совпадения эволюции эллипса (20), (21)
и эллипса (23)(27) является равенство отношения полуосей
a(t)/b(t) ,
то есть пра-
вых частей выражений (22) и (28). После элементарных преобразований это условие приобретает вид
M2 (t) = th M1 (t).
(29)
В соответствии с разд. 2, если моменты квадруполей
m1,2 (t)
удовлетворяют
условию (29), то решением двухазной задачи Хеле-Шоу будет течение с комплексным потенциалом, полученным простой суперпозицией (15):
m1 (t) 2
z ,
k+ 2
B(t)
1
1
1
m1 (t)
2
2
?
?
? (t) : W (?, t) =
A(t)? +
+ m2 (t)
? + A (t) ? ? 2 .
k+
?
k?
k
?
?+ (t) : W + (z, t) =
(30)
При этом эволюция межазной границы
?(t)
полностью определяется как соот-
ношениями (20), (21), так и соотношениями (23), (25), (26).
Учитывая представление (23), легко оценить момент квадруполя на бесконечности для результирующего течения (30)
m(t) =
m1 (t)
+
k+
1
1
? +
?
k
k
m2 (t).
(31)
В результате построено точное решение об эволюции эллиптического пузыря
одной вязкой жидкости в окружении другой в безграничном щелевом лотке, аналогичное решению [9?. В отличие от [9?, где был использован достаточно абстрактный аппарат ункции Шварца, здесь вся процедура построения решения проведена непосредственно в терминах скоростей и потенциалов течений. Кроме того,
естественным образом проявляется связь с аналогичной задачей в одноазной
постановке, и, соответственно, появляется возможность сравнить решения задач
М.М. АЛИМОВ
164
в обеих постановках и оценить регуляризирующее влияние учета второй азы в
постановке задачи на эволюцию межазной границы. Известно, что с переходом от
одноазной постановки к двухазной основное проявление этой некорректности неустойчивость Сэмена Тейлора сохраняется [1?. Однако такой переход может оказать ѕслабыйї регуляризирующий эект, когда в одинаковых условиях
решение одноазной задачи будет характеризоваться конечным временем существования, а двухазной бесконечным.
5.
Анализ решения
m2 (t) решение (23)(26) одноазной
t? [15?. Действительно, без ограничения общности можно положить m2 (t) = 1 . Тогда M2 (t) = 4t и в момент времени
t? = 0.25 ункция M2 (t? ) достигает 1, величины A(t? ) , B(t? ) обращаются в бесДля иксированного момента квадруполя
задачи Хеле-Шоу существует конечное время
конечность, и, следовательно, решение (23), (24) перестает существовать.
Потребуем выполнения условия (29). В результате найдем вид ункции
а также вид момента квадруполя
люции межазной границы
?(t)
m1 (t) ,
M1 (t) ,
обеспечивающий полное совпадение эво-
в первой и второй задачах:
M1 (t) = arth (4t) ,
m1 (t) =
2
M1? (t)
=
.
2
1 ? 16t2
(32)
ешение двухазной задачи Хеле-Шоу (29), (30) по построению будет иметь
?(t) ,
ту же самую эволюцию межазной границы
ное время существования решения
m2 (t) ,
величина
m(t)
t? .
а значит, и то же самое конеч-
Однако, в отличие от постоянной величины
будет переменной, и в момент времени
t?
она обратится
в бесконечность (см. ормулы (31), (32)).
Чтобы оценить регуляризирующее влияние перехода от одноазной постановки
задачи к двухазной, необходимо сравнить решения задач в обеих постановках при
одинаковой начальной конигурации
?(0)
и одинаковых гидродинамических осо-
бенностях. Первое условие выполнено по построению решения двухазной задачи.
Для выполнения второго условия надо найти такой вид величин
рые обеспечивают постоянство момента квадруполя
m(t)
m1,2 (t) ,
кото-
двухазного течения,
отвечающего решению (29), (30).
Потребуем постоянства
m(t) .
Подставим
m(t) ? mo ,
где
mo
константа, в со-
отношение (31) и проинтегрируем его по времени. После элементарных преобразований и учета определений
M1,2 (t)
получим соотношение
1
2k + mo t = M1 (t) +
2
k+
?
1
M2 (t).
k?
(33)
mo можно выбрать так, чтобы множитель
±1 . Множитель при M2 (t) обозначим через ?
1 µ?
?=
?1 .
2 µ+
Без ограничения общности константу
при
t
был равен
?
Величина ? зависит только от отношения вязкостей: если µ
> µ + , то ?
?
+
если µ
< µ , то ? ? (?0.5, 0) . Возможны три предельных случая: µ + /µ ?
?
+
µ = µ , µ ? /µ + ? 0 , которым соответствуют ? ? ? , ? = 0 , ? ? ?0.5 .
> 0;
? 0,
M2 (t) через величину
? ? M1 (t) . Тогда соотзависимости ? от t
Далее, пользуясь условием (29), выразим величину
M1 (t) ,
а последнюю обозначим как новую переменную
ношение (33) дает уравнение для отыскания
? th ? = ± t ? ?.
(34)
О ПОСТОЕНИИ ТОЧНЫХ ЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ МАСКЕТА
165
t
|? |
? th ?
? <0
? th ?
? >0
?
?t ? ?
0
t ??
? |? |
ис. 4. Вспомогательные граики для решения уравнения (34)
Трансцендентное уравнение (34) может быть разрешено численно, например,
методом простых итераций. Вместе с тем для проведения полного качественного
анализа достаточно граиков, приведенных на рис. 4. ешение уравнения (34)
F = ± t ? ? (сплошные
? > 0 и штрих-пунктирная представляет собой пересечение двух граиков: прямой
линии) и кривой
F = ? th ?
(пунктирная линия для
? < 0) .
mo положительно (отрицательно), то есть справа в уравнении (34) перед t нужно брать знак ѕплюсї (ѕминусї), то вне зависимости от знака ? решение
уравнения ? = M1 (t) положительно (отрицательно) так же, как и th ? = M2 (t) .
o
Следовательно, знаки моментов квадруполей m(t) ? m и m1,2 (t) совпадают, что
для
Если
представляется естественным, но не вполне очевидным, ввиду наличия разности
у множителя перед
Если
?
m2 (t)
в ормуле (31).
ограничено, то решение уравнения (34), очевидно, существует и един-
ственно для любого
t > 0.
Отсюда следует, что решение двухазной задачи
Хеле-Шоу (29), (30) бесконечно продолжимо по времени. Единственно возможный случай решения с конечным временем существования t? это предельный
+
?
случай µ /µ
? 0 , когда k + ? ? , ? ? ? , и, следовательно, решение двухазной задачи (20), (29), (30) вырождается в решение одноазной задачи Хеле-Шоу
(23)(27).
?
+
Отметим также еще один предельный случай: µ /µ
? 0 , когда k ? ? ?
+
?
и ? ? ?0.5 . В отличие от случая µ /µ
? 0 , решение двухазной задачи не
вырождается в решение одноазной задачи Хеле-Шоу. Объясняется это тем, что
?
+
самого по себе условия µ /µ
? 0 недостаточно, чтобы поле давления в соот?
ветствующей области ? (t) стало однородным. Необходимо также, чтобы хотя бы
один из акторов, вызывающих течение, то есть какая-либо гидродинамическая
особенность или перепад давлений на разных участках границы, действовал бы в
? + (t) . Только тогда появляется характерный перепад давления, по срав?
+
нению с которым в пределе µ /µ
? 0 можно пренебречь перепадами давления
?
в области ? (t) . В нашем случае это невозможно, поскольку течение вызывается
?
единственной особенностью квадруполем, лежащим в замыкании области ? (t) .
?
+
Поэтому постановка задачи в предельном случае µ /µ
? 0 остается двухазной.
области
Заключение
Предложена эективная модиикация методики С. Ховисона построения точных решения задачи Маскета, основанная на использовании аппарата полей скорости и потенциалов течений. Эективность методики продемонстрирована путем воспроизведения точного решения об эволюции эллиптического пузыря одной
М.М. АЛИМОВ
166
вязкой жидкости в окружении другой в безграничном щелевом лотке, построенного
в [9? с помощью абстрактного аппарата ункций Шварца. Проведен сравнительный анализ решения этой задачи в двух постановках: одноазной и двухазной
(в работе [9? его нет). Показано, что переход от одноазной идеализированной
постановки задачи Хеле-Шоу к двухазной (постановке Маскета) оказывает ѕслабыйї регуляризирующий эект: для одной и той же начальной конигурации
межазной границы (окружности), а также одной и той же гидродинамической
особенности, определяющей поле течения, (квадруполя на бесконечности с иксированным моментом) решение одноазной задачи существует конечное время, а
решение двухазной бесконечное время.
абота выполнена при поддержке оссийского онда ундаментальных исследований (проекты ќ 08-01-00548, 10-01-00629).
Summary
M.M. Alimov. On the Constrution of Exat Solutions to the Muskat Problem.
To onstrut exat solutions of the unsteady two-phase Hele-Shaw problem (Muskat
problem), a new modiation of the S. Howison's method has been proposed. The eieny
of this modiation has been demonstrated through the reonstrution of the D. Crowdy's
expliit solution for nonstationary ellipti bubble of one visous uid surrounded by another
visous uid. This solution has been found to be in diret relation with the expliit solution
for similar one-phase Hele-Shaw problem. Comparison of these solutions has shown that there
is a weak regularization when we take into aount the seond phase: the one-phase solution
exists for a nite time while the two-phase solution exists for an innite time under the same
initial onditions.
Key words:
unsteady two-phase Hele-Shaw problem, Muskat problem, ellipti bubble.
Литература
1.
Saman P.G., Taylor G.I. The penetration of a uid into a porous medium or Hele-Shaw
ell ontaining a more visous liquid // Pro. Roy. So. London. Ser. A. 1958. V. 245,
No 1242. P. 312329.
2.
Окендон Дж.., Ховисон С.Д. П.Я. Кочина и Хеле-Шоу в современной математике,
естественных науках и технике // Прикл. матем. и мех. 2002. Т. 66, Вып. 3. С. 515524.
3.
Howison S.D. Complex variable methods in Hele-Shaw moving boundary problems //
Eur. J. Appl. Math. 1992. V. 3, No 3. P. 209224.
4.
Howison S.D. Fingering in Hele-Shaw ells // J. Fluid Meh. 1986. V. 167. P. 439
453.
5.
Алимов М.М. Общее решение задачи Хеле-Шоу для течений в канале // Прикл.
матем. и мех. 2006. Т. 70, вып. 3. С. 384399.
6.
Saman P.G. Exat solutions for the growth of ngers from a at interfae between two
uids in a porous medium or Hele-Shaw ell // Quart. J. Meh. Appl. Math. 1959. V. 12, Pt. 2. P. 146150.
7.
Jaquard P., Seguier P. Mouvement de deux uides en ontat dans un milieu poreux //
J. de Meanique. 1962. T. 1, F. 4. P. 367394.
8.
Howison S.D. A note on the two-phase Hele-Shaw problem // J. Fluid Meh. 2000. V. 409. P. 243249.
О ПОСТОЕНИИ ТОЧНЫХ ЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ МАСКЕТА
9.
167
Crowdy D.G. Exat solutions to the unsteady two-phase Hele-Shaw problem // Quart. J.
Meh. Appl. Math. 2006. V. 59, No 4. P. 475485.
10.
Lamb H. Hydrodynamis. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1932. = Ламб . идродинамика. М.; Л.: остехиздат, 1947. 928 с.
11.
Bathelor G.K. An Introdution to Fluid Dynamis. Cambridge: Cambridge Univ. Press,
1970. = Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. М.: Мир, 1973. 760 с.
12. азвитие исследований по теории ильтрации в ССС (19171967 гг.) / Под ред.
П.Я. Полубариновой-Кочиной. М.: Наука, 1969. 456 .
Birkho G., Zarantonello E. Jets, wakes and avities. N. Y.: Aadem. Press, 1957. =
Биркго ., Сарантонелло Э. Струи, следы и каверны. М.: Мир, 1964. 466 с.
14. Korn G.A., Korn T.M. Mathematial handbook for sientists and engineers. N. Y.:
MGraw-Hill Book Comp., 1968. = Корн ., Корн Т. Справочник по математике (для
13.
научных работников и инженеров). М.: Наука, 1977. 832 с.
15.
Entov V.M., Etingof P.I., Kleinbok D.Ya. Hele-Shaw ows with a free boundary produed
by multipoles // Eur. J. Appl. Math. 1993. V. 4, No 2. P. 97120.
Поступила в редакцию
23.08.10
Алимов Марс Мясумович кандидат изико-математических наук, ведущий
научный сотрудник НИИММ им. Н.. Чеботарева Казанского (Приволжского) едерального университета.
E-mail: Mars.Alimovksu.ru
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
246 Кб
Теги
построение, решение, маскет, точных, задачи
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа