close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О почти периодических по Вейлю мерозначных функциях.

код для вставкиСкачать
Известия Института математики и информатики. Иевск. 2005. Є1(31)
УДК 517.9
Л.И. Данилов
danilovotf.pti.udm.ru
О ?ОЧТИ ?ЕРИОДИЧЕСКИХ ?О ВЕЙЛЮ
МЕРОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЯХ
Ключевые слова:
почти периодические по Вейлю функции, мерознач-
ные функции, вероятностные борелевские меры
Abstrat.
We onsider measure-valued funtions R ? t ? ╡[.; t? taking
values in the metri spae (M0 (U ), ?w ) of probability Borel measures
dened on the ? -algebra of Borel subsets of a omplete seperable metri
spae U . The metri spae (M0 (U ), ?w ) is endowed with the metri ?w
equivalent to the Levy-Prokhorov metri. It is proved that the measurevalued funtion R ? t ? ╡ [R. ; t? ? (M0 (U ), ?w ) is Weyl almost periodi
if and only if the funtions F (x) ╡ [ dx; . ? are Weyl almost periodi (of
U
order 1) for all bounded ontinuous funtions F : U ? R .
Введение
?усть (U, ?) { полное сепарабельное метрическое пространство,
Cb (U ) { мноество всех ограниченных непрерывных функций
F : U ? R , L(U ) { мноество функций U ? x ? F (x) ? R таких, что 0 6 F (x) 6 1 и |F (x)?F (y)| 6 ?(x, y) для всех x, y ? U .
Обозначим через M(U ) линейное пространство борелевских знакопеременных мер (зарядов), определенных на ? -алгебре B(U )
борелевских мноеств O ? U , наделенное нормой
R
k╡kw = sup F (x) ╡[dx? , ╡[.? ? M(U ) ;
(1)
F?L(U )
M+(U )
M0 (U )
U
{ мноество неотрицательныхборелевских мер из M(U ) ,
{ мноество вероятностных борелевских мер, при этом
79
M0 (U ) ? M+ (U ) ? M(U ) . На мноестве M0 (U ) норма k.kw
определяет метрику ?w , эквивалентную метрике Леви{?рохорова ?0 [1, . 377?.
?усть CAP (R, M(U )) , Sp(R, M(U )) и Wp (R, M(U )) { соответственно мноества почти периодических (п.п.) по Бору,
п.п. по Степанову и п.п. по Вейлю порядка p > 1 мерозначных функций R ? t ? ╡[.; t? со значениями в линейном нормированном пространстве (M(U ), k.kw ) . Мерозначная функция
R ? t ? ╡[.; t? ? M(U ) называется слабо почти периодической по
Бору (слабо п.п. по Степанову или слабо п.п. по Вейлю порядка
p > 1 ), если для любой функции F ? Cb (U ) функция
R
R ? t ? F (x) ╡[dx; t? ? R
U
п.п. по Бору (п.п. по Степанову или п.п. по Вейлю порядка p ).
Соответствующие мноества слабо п.п. функций обозначим через CAP w (R, M(U )) , Spw (R, M(U )) и Wpw (R, M(U )) .
Мерозначные функции R ? t ? ╡[.; t? ? (M (U ), ? ) находят
применение в задачах теории управления [2; 3?. В ряде задач рассматриваются функции R ? t ? ╡[.; t? со знакопеременной мерой B(U ) ? O ? ╡[O; t? ? R , t ? R (см., например, [4; 5?). Слабо
п.п. по Степанову мерозначные функции при исследовании оптимального п.п. управления использовались в [6? (см. таке [7; 8?).
В [9; 10? функции ╡[.; .? ? S w (R, M (U )) применялись при исследовании п.п. по Степанову сечений многозначных п.п. по Степанову отобраений. В частности, в [10? доказано, что многозначные отобраения R ? t ? supp ╡[.; t? , где ╡[.; .? ? S w (R, M (U )) ,
и только они представимы в виде S fj (t) , t ? R , где функj?N
ции fj : R ? U , j ? N , принадлеат пространству п.п. по
Степанову порядка 1 функций S (R, U ) = S (R, (U, ?? )) со значениями в метрическом пространстве (U, ?? ) с метрикой ??(x, y) =
= min{1, ?(x, y)} , x, y ? U ( supp ╡ { носитель меры ╡ ? M (U ) ,
A { замыкание мноества A ? U ).
0
0
0
1
1
0
1
0
80
В [11? (для полного сепарабельного метрического пространства (U, ?) ) доказано, что CAP w (R, M (U )) = CAP (R, M (U ))
и S w (R, M (U )) = S (R, M (U )) . Разные классы мерозначных
п.п. (по Бору и по Степанову) функций R ? t ? ╡[.; t? ? M(U )
изучались в [12?, где доказано, что ╡[.; .? ? CAP w (R, M(U )) тогда и только тогда, когда ╡[.; .? ? CAP (R, M(U )) и существует
компакт K ? (M(U ), k.kw ) такой, что |╡| [.; t? ? K при всех
t ? R ( |╡| ? M (U ) { полная вариация меры ╡ ? M(U ) ). Условия ╡[.; .? ? Spw (R, M(U )) и ╡[.; .? ? Sp(R, M(U )) (для кадого
p > 1 ) в общем случае независимы [12?. Если ╡[.; t? ? M (U )
при почти всех (п.в.) t ? R , то ╡[.; .? ? Spw (R, M(U )) тогда и
только тогда, когда ╡[.; .? ? Sp (R, M(U )) , p > 1 [12?.
В работе доказано равенство W w (R, M (U ))= W (R, M (U )) .
В з 1 приведены определения и некоторые утвердения о п.п.
функциях, а таке о вероятностных борелевских мерах, которые используются в дальнейшем. Большинство утвердений о
п.п. функциях моно найти в [13; 14?. Многие свойства п.п. по
Вейлю функций приведены в [15?. Относительно утвердений о
вероятностных борелевских мерах см., например, [16?. Основные
результаты работы содератся в з 2. В з 3 доказывается теорема 2.2, сформулированная в з 2.
0
1
0
1
0
0
+
+
1
1.
0
1
0
Определения и некоторые свойства почти
периодических функций
?усть (U, ?) { полное метрическое пространство. Через A обозначим замыкание мноества A ? U , Kr (x)= {y ? U : ?(x, y) 6 r} ,
x ? U , r > 0 . Мноество K ? U предкомпактно, если K { компактное мноество. Функция f : R ? U называется простой,
если существуют точки xj ? U и непересекающиеся измеримые
по Лебегу мноества
Tj ? R , j = 1, . . . , n (где n ? N ), такие,
S
что mes R\ j Tj = 0 и f (t) = xj при t ? Tj ( mes { мера Лебега
81
на R ). Функция f : R ? U измерима, если она при почти всех
(п.в.) t ? R совпадает с пределом почти всюду (п.в.) сходящейся последовательности простых функций. Совокупность измеримых функций f : R ? U обозначим через M (R, U ) (функции,
совпадающие при п.в. t ? R , отодествляются); (L? (R, U ), D?? )
{ метрическое пространство в существенном ограниченных функций из M (R, U ) с метрикой
D?? (f, g) = ess sup ?(f (t), g(t)) , f, g ? L? (R, U ) .
( )
( )
t?R
Фиксируем точку
x0 ? U .
?усть при
. Mp (R, U ) = f ? M (R, U ) :
На мноестве
Dp, l (f, g) =
(?)
Если
Mp (R, U )
sup
??R
1
l
??R
для всех
?R+l
?
sup
p>1
?R+1
?
? p (f (t), x0 ) dt < +? .
l>0
? p (f (t), g(t)) dt
l1 > l , то справедливы оценки
(?)
l 1/p (?)
Dp, l (f, g) 6 Dp, l1 (f, g) 6
l1
определяются метрики
1/p
,
1 + ll1
f, g ? Mp (R, U ) .
1/p
Dp, l (f, g) ,
(?)
поэтому все метрики Dp,?l , l > 0 , эквивалентны и существует
предел
~ p? (f, g) = lim Dp,?l (f, g) = inf Dp,?l (f, g) , f, g ? Mp (R, U ) ,
D
l? ?
l>
( )
( )
( )
+
( )
0
который является полуметрикой на Mp (R, U ) (для функций
f, g ? Mp (R, U ) , отличающихся друг от друга на некотором ограниченном в R мноестве, имеем D~ p? (f, g) = 0 ). Обозначим через Mp? (R, U ) , p > 1 , мноество тех функций f ? Mp (R, U ) ,
для которых
/p
R p
lim
lim
sup
?
)
sup
sup
(
f
(
t
)
,
x
dt
=0.
l
??
l0 ? ?
( )
1
+0
+
l>l0 ??R
E ?[?,? +l?: mesE6 ?l E
82
0
1
Мноество Mp?(R, U ) (как и мноество Mp (R, U ) ) не зависит от
выбора точки x .
Если U = (H, k.k) { банахово пространство ( ?(x, y) = kx?yk ,
x, y ? H ; в случае H = C полагаем kzk = |z| , z ? C ), то для
функций f ? L?(R, H) определена норма
kf k? = ess sup kf (t)k ,
0
t?R
а для функций
f ? Mp (R, H) , p > 1 ,
(S )
kf kp, l
= sup
и полунорма
??R
1
l
?R+l
?
определены нормы
kf (t)kp dt
1/p
l > 0,
,
= l?lim? kf kp,Sl .
В дальнейшем удобно предполагать, что (H, k.k) { комплексное банахово пространство. Если банахово пространство (H, k.k)
вещественное, то моно рассматривать его комплексификацию
H + iH , отодествляя пространство H с вещественным подпространством (норма k.kH iH на вещественном подпространстве H
совпадает с исходной нормой k.k ).
Мноество T ? R называется относительно плотным, если
существует число a > 0 такое, что [?, ? + a? ? T 6= ? для всех
? ? R . Непрерывная функция f ? C (R, U ) принадлеит пространству CAP (R, U ) п.п. по Бору функций, если для любого
? > 0 мноество чисел ? ? R , для которых
sup ?(f (t), f (t + ? )) < ? ,
kf k(pW )
( )
+
+
t?R
относительно плотно. Имеем CAP (R, U ) ? L? (R, U ) , и кадая
функция из CAP (R, U ) равномерно непрерывна. Число ? ? R
называется (?, D?? ) -почти периодом (или просто ? -почти пери?
одом) функции f ? L? (R, U ) , ? > 0 , если D? (f (.), f (. + ? )) < ? .
( )
( )
83
Число
называется (?, Dp,?l ) -почти периодом функции
?
f ? Mp (R, U ) , если Dp, l (f (.), f (. + ? )) < ? . Число ? ? R называется (?, D~ p? ) -почти периодом функции f ? Mp (R, U ) , если
~ p? (f (.), f (. + ? )) < ? . Функция f ? Mp (R, U ) , p > 1 , принадлеD
ит пространству Sp (R, U ) п.п. по Степанову порядка p функций, если для любого ? > 0 относительно плотно мноество
(?, Dp,? ) -почти периодов функции f . Функция f ? Mp(R, U ) ,
p > 1 , принадлеит пространству Wp (R, U ) п.п. по Вейлю порядка p функций, если для любого ? > 0 существует число
?
l = l(?, f ) > 0 такое, что мноество (?, Dp, l ) -почти периодов функции f относительно плотно [13?. (В последнее время
ряд авторов для функций f ? Wp (R, U ) использует название
єequi-Weyl almost periodi funtions (см., например, [17; 18?),
определяя п.п. по Вейлю (порядка p ) функции как функции
f ? Mp (R, U ) , p > 1 , для которых для любого ? > 0 относительно плотно мноество (?, D~ p? ) -почти периодов.)
Справедливы влоения
CAP (R, U ) ? Sp (R, U ) ? Wp (R, U ) ? Mp? (R, U ) ,
Sp1 (R, U ) ? Sp (R, U ) , Wp1 (R, U ) ? Wp (R, U ) , p > p > 1 .
?оследовательность {?j }j?N ? R называется f -возвращаю?
щей для функции f ? CAP (R, U ) , если D? (f (.), f (. + ?j )) ? 0
при j ? +? . Аналогично последовательность {?j }j?N ? R
называется f -возвращающей для f ? Sp(R, U ) , p > 1 , если
?
Dp, (f (.), f (. + ?j )) ? 0 при j ? +? (последнее выполняется тогда и только тогда, когда Dp,?l (f (.), f (. + ?j )) ? 0 при
j ? +? для какого-либо (и, следовательно, для всех) l > 0 ).
?оследовательность {?j }j?N ? R называется f -возвращающей
для функции f ? Wp (R, U ) , p > 1 , если для любого ? > 0 найдутся числа l = l(?, f ) > 0 и j ? N такие, что все числа ?j ,
( )
? ? R
( )
( )
( )
( )
1
( )
( )
1
( )
( )
1
( )
0
84
для которых j > j , являются (?, Dp,?l ) -почти периодами функции f . Если п.п. функция f : R ? U принадлеит нескольким из рассматриваемых пространств п.п. функций ( CAP (R, U ) ,
Sp (R, U ) или Wp (R, U ) для разных p > 1 ), то f -возвращающие
последовательности не зависят от того, какому именно из рассматриваемых пространств п.п. функций функция f считается
принадлеащей [15?.
Для функций f ? W (R, U ) через Mod f обозначается мноество (модуль, группа по слоению) чисел ? ? R таких, что
e i?? ? 1 при j ? +? (где i = ?1 ) для любой f -возвращающей
последовательности {?j }j?N ? R . Если D~ ? (f (.), y (.)) 6= 0 для
всех постоянных функций y (t) ? y ? U , t ? R , то Mod f {
счетный модуль (в противном случае Mod f = {0} ).
Л е м м а 1.1 ([13?). ?усть (H, k.k) { комплексное банахово пространство, f ? W (R, H) и g ? CAP (R, C) . Тогда для
? ? R и a ? R существует предел (не зависящий от a ? R )
( )
0
1
2
j
( )
1
0
0
0
1
lim
l? ?
+
1
l
aR+l
a
g(t)f (? ? t) dt = (f ? g)(? )
(интеграл здесь понимается в смысле Бохнера [19?), при этом
f ? g ? CAP (R, H) и сходимость равномерна по ? ? R и a ? R .
?усть f ? W (R, H) (где (H, k.k) { комплексное банахово
пространство). Из леммы 1.1 следует, что для любого ? ? R
существует среднее значение
1
lim
l? ?
+
1
l
Rl
0
e?i?t f (t) dt = M {e?i?t f } .
Обозначим через {f } мноество показателей Фурье функции
f ? W (R, H) , т.е. тех чисел ? ? R , для которых M {e?i?t f } 6= 0 ,
и пусть Mod ({f }) { это модуль показателей Фурье функции
f ? W (R, H) (наименьшая группа по слоению в R , содеращая мноество {f } ).
1
1
85
Л е м м а 1.2 ([15?). Для всех f ? W (R, H) справедливо
равенство Mod f = Mod ({f })
Л е м м а 1.3. ([15; 20?). ?усть f ? Wp(R, U ) ? W (R, U ) ,
p > 1 . Тогда для любой последовательности {?j }j?N ? R следу1
1
ющие условия эквивалентны:
1)
{?j }j?N { f -возвращающая последовательность,
~p
D
(f (.), f (. + ?j )) ? 0 при j ? +? ,
? 1 при j ? +? для всех ? ? Mod f .
Если j ? R { произвольные модули (где индекс j принадлеит любому непустому мноеству), то через P j (или
j
+ ╖ ╖ ╖ + n для конечного числа модулей j , j = 1, . . . , n )
обозначается наименьший модуль (группа по слоению) в R ,
содеращий все мноества j .
Если f ? W (R, U ) и fj ? W (R, Uj ) , j ? N , где U, Uj {
произвольные
(полные) метрические пространства, то влоение
Mod f ? P Mod fj имеет место тогда и только тогда, когда
j
любая последовательность {?k }k?N ? R , являющаяся fj -возвращающей для всех j ? N , является таке f -возвращающей.
Если f, fj ? Wp(R,PU ) , p > 1 , j ? N , и D~ p? (f, fj ) ? 0 при
j ? +? , то Mod f ? Mod fj .
j
?усть (U, ?) и (V, ?V ) { метрические пространства, C (U, V )
{ метрическое пространство непрерывных функций F : U ? V
(которые могут не быть ограниченными) с метрикой
dC U,V (F , F ) = sup min {1, ?V (F (x), F (x))} , F , F ? C (U, V ) .
2)
(?)
3) e i??j
1
1
1
( )
(
)
1
2
1
x?U
2
1
2
Через F (.|Y ) будем обозначать ограничение (суение) функции
F (.) ? C (U, V ) на непустое мноество Y ? U .
86
Т е о р е м а 1.1 ([15?).
(U, ?) и (V, ?V ) { полные
метрические пространства, r > 0 , p > 1 . ?редполоим, что
функция R ? t ? F (.; t) ? C (U, V ) удовлетворяет следующим
?усть
двум условиям:
Kr (x) , x ? U , (фиксиро-
1) для кадого замкнутого шара
)
ванного радиуса
r функция
R ? t ? F (.|Kr (x) ; t) ? C (Kr (x), V )
принадлеит пространству
W1 (R, (C (Kr (x), V ), dC (Kr (x),V ) )) ,
2) при п.в. t ? R для всех x ? U справедливо неравенство
?V (F (x; t), y0 ) 6 B?(x, x0 ) + B (t) , где x0 ? U , y0 ? V { некоторые фиксированные точки и
B > 0 , B (.) ? Mp? (R, R) .
f ? Wp (R, U ) имеем F (f (.); .) ? Wp (R, V ) и
Тогда для любой
Mod F (f (.); .) ? Mod f (.) +
С л е д с т в и е 1.1.
P
x?U
?усть
Mod F (.|K x ; .) .
r( )
(U, ?)
и
(V, ?V )
{ полные
F : U ? V { ограниченная непрерывная функция и f ? W1 (R, U ) . Тогда F (f (.)) ? W1 (R, V ) и
Mod F (f (.)) ? Mod f (.) .
метрические пространства,
?усть (U, ?) { полное сепарабельное метрическое пространство, B(U ) { ? -алгебра борелевских подмноеств метрического пространства (U, ?) , (M (U ), ?w ) { полное сепарабельное метрическое пространство вероятностных борелевских мер, определенных на ? -алгебре B(U ) , с метрикой ?w , породенной нормой k.kw (см. (1)). Метрика ?w эквивалентна метрике Леви{
?рохорова ? (╡ , ╡ ) =. inf ? > 0 : ╡ [A? 6 ╡ [A ? ? + ? для
всех непустых мноеств A ? B(U ) , ╡ , ╡ ? M (U ) , где
.
A ? = {x ? U : ?(x, A) = inf ?(x, y ) < ?} . В настоящей рабоy?A
те будет использоваться (как более удобная) метрика ?w . (Все
результаты работы, доказанные для метрического пространства
0
0
1
2
2
1
1
87
2
0
(M (U ), ?w ) , таке справедливы при замене метрики ?w на метрику Леви{?рохорова ? .)
Кадая мера ╡[.? ? M (U ) (так как пространство (U, ?)
предполагается сепарабельным) является радоновской, т.е. для
любого ? > 0 существует компакт K? ? U , для которого
╡ [K? ? > 1 ? ? . Мноество K предкомпактно в метрическом пространстве (M (U ), ?w ) тогда и только тогда, когда для любого
? > 0 существует компакт K? ? U такой, что ╡ [K? ? > 1 ? ? для
всех мер ╡[.? ? K .
?усть (Cb (U ), k.kC U ) { банахово пространство ограниченных непрерывных функций F : U ? R с нормой
kFkC U = sup |F (x)| , F ? Cb (U ) .
0
0
0
0
b(
b(
)
)
x?U
Кадой мере ╡[.? ? M (U ) ставится в соответствие линейный
(вероятностный) функционал ╡(.) на банаховом пространстве
Cb (U ) :
R
╡(F ) = F (x) ╡[dx? , F ? Cb (U ) ,
0
U
при этом |╡(F )| 6 kFkC U .
Если ╡, ╡j ? M (U ) , j ? N , и ?w (╡, ╡j ) ? 0 при j ? +? ,
то ╡j (F ) ? ╡(F ) при j ? +? для любой функции F ? Cb(U ) .
Наоборот, если ?(.) { линейный вероятностный функционал на
Cb (U ) , ╡j ? M (U ) , j ? N , и ╡j (F ) ? ?(F ) при j ? +? для
любой функции F ? Cb (U ) , то найдется мера ╡ ? M (U ) такая,
что ?(.) = ╡(.) и ?w (╡, ╡j ) ? 0 при j ? +? .
b(
)
0
0
0
2.
Основные результаты
Мерозначная функция t ? ╡[.; t? ? M (U ) , t ? R , измерима,
если ╡[.; .? ? M (R, (M (U ), ?w )) . Для произвольной мерозначной
функции R ? t ? ╡[.; t? ? M (U ) следующие условия эквивалентны:
1) ╡[.; .? ? M (R, (M (U ), ?w )) ,
0
0
0
0
88
2) R ? t ? ╡[O; t? ? R { измеримая функция для любого
мноества O ? B(U ) , . R
3) R ? t ? ╡(F ; t) = F (x) ╡[dx; t? ? R { измеримая функция
U
для любой функции F ? Cb(U ) .
Мерозначные п.п. по Вейлю функции R ? t ? ╡[.; t? ? M (U )
определяются как (п.п. по Вейлю порядка 1) функции со значениями в метрическом пространстве (M (U ), ?w ) , т.е. это функции из пространства W (R, M (U )) =. W (R, (M (U ), ?w )) . Через
W w (R, M (U )) обозначим мноество
{ ╡[.; .? ? M (R, (M (U ), ?w )) : ╡(F ; .) ? W (R, R) ?F ? Cb (U ) }.
Функции из W w (R, M (U )) называются слабо п.п. по Вейлю мерозначными функциями. Аналогичным образом определяются
(слабо) п.п. по Бору и п.п. по Степанову мерозначные функции
R ? t ? ╡[.; t? ? M (U ) .
Л е м м а 2.1. ?усть (U, ?) { полное сепарабельное метрическое пространство и ╡[.; .? ? W (R, M (U )) . Тогда для любой функции F ? Cb (U ) имеем ╡(F ; .) ? W (R, R) ? L? (R, R) и
Mod ╡(F ; .) ? Mod ╡[.; .? .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Кадой функции F ? Cb(U )
соответствует функция lF (.) ? Cb(M (U )) , определяемая равенством lF (╡) = ╡(F ) , ╡ ? M (U ) , причем klF kC M0 U =
= kFkC U . Так как метрическое пространство (M (U ), ?w )
полное и ╡[.; .? ? W (R, M (U )) , то в силу следствия 1.1 для
всех функций F ? Cb(U ) получаем
lF (╡[.; .?) = ╡(F ; .) ? W (R, R) ? L? (R, R),
Mod lF (╡[.; .?) = Mod ╡(F ; .) ? Mod ╡[.; .? .
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
b(
)
(
b(
0
1
0
1
89
))
Т е о р е м а 2.1.
(U, ?) { полное сепарабельное
метрическое пространство и ╡[.; .? ? W w (R, M (U )) . Тогда
P
╡[.; .? ? W (R, M (U )) и Mod ╡[.; .? ?
Mod ╡(F ; .) .
?усть
0
1
1
0
F?Cb (U )
С л е д с т в и е 2.1.
?усть
(U, ?)
{ полное сепарабель-
ное метрическое пространство. Тогда справедливо равенство
Mod ╡(F ; .)
W1w (R, M0 (U ))= W1 (R, M0 (U )) и
Mod ╡[.; .? =
для любой мерозначной функции
╡[.; .? ? W1 (R, M0 (U )) .
P
F?Cb (U )
Следствие 2.1 непосредственно вытекает из теоремы 2.1 и
леммы 2.1. Теорема 2.1 доказывается в конце этого параграфа,
при этом ключевую роль в доказательстве играет теорема 2.3,
которая в свою очередь является следствием теоремы 2.2, доказываемой в з 3.
Т е о р е м а 2.2. ?усть fj ?PW (R, R) , j ? N , fj (t) > 0
fj (.) ? W (R, R) для люпри п.в. t ? R . ?редполоим, что
j?J
бого непустого мноества J ? N (в частности, это означает,
P
P
fj (t) < +? при п.в. t ? R ). Обозначим gj (.) =
fn (.) ,
что
n>j
j?N
W
j ? N . Тогда kgj (.)k
? 0 при j ? +? .
1
1
(
1
)
Т е о р е м а 2.3.
метрическое пространство и
им, что
(U, ?) { полное сепарабельное
╡[.; .? ? W w (R, M (U )) . ?редполо-
?усть
1
Fj ? Cb (U ) , j ? N ,
0
0 6 ╖ ╖ ╖ 6 Fj (x) 6 Fj (x) 6 ╖ ╖ ╖ 6 F (x)
+1
1
Fj (x) ? 0 при j ? +? для всех x ? U . Тогда k╡(Fj ; .)k1
при j ? +? .
(W )
и
?0
Д о к а з а т е л ь с т в о. ?усть Gj (.)= Fj (.) ? Fj (.) ,
j ? N . Тогда ╡(Gj ; .) ? W (R, R) и ╡(Gj ; t) > 0 при п.в. t ? R .
+1
1
90
Для произвольного непустого мноества J ? N полоим
P
G (J ; x) =
Gj (x) , x ? U .
j?J
Так как G (J ; .) ? Cb(U ) , то ╡(G (J ; .); .) ?PW (R, R) . С другой
стороны, для всех x ? U справедливо
Gj (x) ? G (J ; x)
j?J, j6n
, поэтому приPп.в. t ? R выполняется равенство
при n ? +?P
╡(Gj ; t) и
╡(Gj ; .) ? W (R, R) . Осталось вос╡(G (J ; .); t) =
j?J
j?J
пользоваться теоремой 2.2.
Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы 2.1. ?усть точки xj ? U ,
j ? N , образуют счетное плотное мноество в сепарабельном метрическом пространстве (U, ?) . Для всех ? ? > 0 и n ? N определим функции
S
U ? x ? G? ,n (x) = min {1, (? ? )? ?(x,
K? (xj ))},
1
1
1
?
?
j6n
где ?(x, A) = y?A
inf ?(x, y) { расстояние от точки x ? U до непустого мноества A ? U ; G? ,n(.) ? Cb(U ) (поэтому справедливо
включение ╡(G? ,n ; .) ? W (R, R) ). Из теоремы 2.3 вытекает, что
(для любого ? ? > 0 ) k╡(G? ,n ; .)k W ? 0 при n ? +? . Фиксируем число ? > 0 . ?олоим далее ? ? = ? . Найдется
число
. S
K ? (xj )
n ? N такое, что для замкнутого мноества F =
j6n
справедлива оценка
?
?
1
(
1
?
)
24
2 ?
k╡[U \F ; .?k1
(W )
6 k╡(G? ? ,n ; .)k1
(W )
<
?
16
.
Выберем функции ? ,j (.) ? Cb(U ) , j = 1, . . . , n , для которых выполнено: ? ,j (x) > P0 при всех x ? U , ? ,j (x) = 0
при всех x ? U \K ? (xj ) , ? ,j (x) = 1 при всех x ? F и
j6n
P
? ,j (x) 6 1 при всех x ? U . Кадой функции F ? L(U )
?
?
?
3 ?
?
?
j6n
91
поставим в соответствие функцию
. P
U ? x ? F ? (x) =
F (xj )? ,j (x)
?
j6n
из
Cb (U ) .
Если x ? F , то
P
|F (x) ? F ? (x)| = (F (x) ? F (xj )) ? ,j (x) 6
?
j6n
6
P
j6n
| F (x) ? F (xj ) | ╖ ? ? ,j (x) 6 3? ? ,
при этом для всех x ? U
0 6 F ? (x) = P F (xj ) ? ,j (x) 6 P ? ,j (x) 6 1 .
?
?ри п.в.
?
j6n
j6n
для любой функции F ? L(U ) имеем
| ╡(F ; t) ? ╡(F ? ; t) | 6 sup |F (x) ? F ? (x)| ╖ ╡[F ; t?+
t?R
x?F
+ sup F (x) + sup
x?U \F
x?U \F
F ? (x) ╖ ╡[U \F ; t? 6 3? ? + 2╡[U \F ; t? ,
поэтому при всех ? ? R и п.в. t ? R
|╡(F ; t) ? ╡(F ; t + ? )| 6 |╡(F ? ; t) ? ╡(F ? ; t + ? )|+
+6? ? + 2╡[U \F ; t? + 2╡[U \F ; t + ? ? 6
P
6
F (xj ) ╖ |╡(? ,j ; t) ? ╡(? ,j ; t + ? )|+
?
?
j6n
+6? ? + 2╡[U \F ; t? + 2╡[U \F ; t + ? ? ,
следовательно,
.
k╡[.; t? ? ╡[.; t + ? ?kw = sup
F?L(U )
92
|╡(F ; t) ? ╡(F ; t + ? )| 6
6
P
j6n
|╡(? ? ,j ; t) ?╡(? ? ,j ; t + ? )| +6? ? +2╡[U \F ; t?+2╡[U \F ; t + ? ? .
Так как ╡(? ,j ; .) ? W (R, R) , j = 1, . . . , n , то найдутся число l > 0 и относительно плотное мноество общих ( ?n , D ?, l ) почти периодов ? ? R функций ╡(? ,j ; .) , j = 1, . . . , n (где
?? (? , ? ) = |? ? ? | , ? , ? ? R ), для которых таке
1
?
( ?)
1
2
?
1
2
2
1
1
2
k╡[U \F ; .?k1, l <
(S )
?
16
(см., например, [15?). Для таких (общих ( ?n , D ?, l ) -почти периодов) ? ? R (и числа l > 0 ) имеем
2
k╡[.; .? ? ╡[.; . + ? ?k1, l
(S )
6
sup
P
j6n ??R
=. sup
?R+l
1
l
?
??R
?R+l
1
l
?
( ?)
1
k╡[.; t? ? ╡[.; t + ? ?kw dt 6
(2)
|╡(? ? ,j ; t) ? ╡(? ? ,j ; t + ? )| dt+
+6? ? + 4k╡[U \F ; .?k S, l < n ╖ 2?n + 4? + 4? = ? .
Так как число ? > 0 моно выбирать сколь угодно малым,
то ╡[.; .? ? W (R, M (U )) . Из (2) таке следует, что всякая
последовательность {?k }k?N ? R , которая является ╡(? ,j ; .) возвращающей для всех j ? N и всех чисел ?m? > 0 , m ? N ,
из какой-либо последовательности {?m? }m?N ? R , для которой
? ? 0 при m ? +? , является таке и ╡[.; .? -возвращающей,
?m
поэтому
Mod ╡[.; .? ? P Mod ╡(? ,j ; .) ? P Mod ╡(F ; .) .
( )
1
1
0
?
m
j, m?N
?
m
Теорема 2.1 доказана.
93
F?Cb (U )
3.
Доказательство теоремы 2.2
?редполоим, что теорема 2.2 неверна. Тогда kgj (.)k W > ? > 0
для некоторого числа ? > 0 и для всех j ? N . Из леммы 1.1
следует, что существуют пределы
(
1
fj
= l?lim?
?R+l
1
l
+
?
fj (t) dt > 0 ,
при этом сходимость равномерна по
n ? N (и любого ? ? R ) имеем
n
P
j =1
6
= l?lim?
fj
lim
l? ?
+
1
+
l
?R+l
?
1
l
?R+l
j =1
?
j ? N,
? ? R.
n
P
)
Так как для любого
fj (t) dt 6
g1 (t) dt = kg1 (.)k1
(W )
< +? ,
+?
то ряд P f j сходится. ?оэтому моно выбрать такие числа
j
~js ? N , s ? N , что ~js > ~js для всех s ? N (тогда ~js ? +?
при s ? +? ) и для всех n , n ? N : n > n > ~js
=1
+1
1
kgn1 (.) ? gn2 (.)k1
(W )
2 ?1
nP
=
j =n 1
?олоим j = ~j . Так как
l > 1 такое, что
1
1
l1
Rl1
0
1
gj1 (t) dt >
Rl1
0
1
(W )
fj (.) 1 < 2?3?s ? ,
(W )
j1? ? N : j1? > j1
l1
2
kgj1 (.)k1
1
1
Выберем число
2
3
4
> ?,
?.
s ? N.
(3)
то существует число
(4)
так, что
gj1? (t) dt 6
94
?
4
(5)
(это моно сделать, так как gj (t) ? 0 при j ? +? при п.в.
t ? R ). Обозначим G (.) = gj1 (.) ? gj1 (.) ? W (R, R) . Из (4), (5)
следует оценка
Rl1
(6)
G (t) dt > ? .
l1
1
?
1
1
1
2
0
Из (3) (при s = 1 ) вытекает, что существует число l ? > l такое,
что для всех l > l ?
S
kG (.)k , l 6 ? .
(7)
Будем далее последовательно при s = 2, 3, . . . находить числа js , js? ? N и ls , ls? > 0 (для которых ls > s , ls? > ls и
js? > js > ~js ). ?редполоим, что они уе определены при некотором s ? N , при этом Gs (.) = gj (.) ? gj (.) ? W (R, R) . Выберем число js ? N так, что js > js? , js > ~js и для всех
n = 1, . . . , s
Rl
n? .
(8)
gj +1 (t) dt 6 2? ? s
l
1
1
( )
1
1
16
+1
?
n
1
?
n
+1
3
+1
( +1)+
s
0
Так как kgj +1 (.)k
которого ls > ls? и
s
1
?
s
s
+1
1
(W )
1
> ?,
то существует число
ls+1 > s + 1 ,
для
+1
1
ls+1
Выберем число
lsR+1
0
gjs+1 (t) dt >
ls+1
lsR+1
0
(9)
?.
так, что
js?+1 ? N : js?+1 > js+1
1
3
4
gjs?+1 (t) dt 6
(10)
?
4
(это моно сделать в силу того, что gj (t) ? 0 при j ? +? при
п.в. t ? R ). Обозначим Gs (.) = gj +1 (.) ? gj +1 (.) ? W (R, R) .
Из (9), (10) получаем
+1
1
ls+1
lsR+1
0
?
s
s
Gs+1 (t) dt >
95
?
2
.
1
(11)
Так как kGs (.)k W < 2? ? s
такое, что для всех
ls? > ls
(
1
+1
)
3
? (см. (3)), то существует число
l > ls?+1
( +1)
+1
+1
kGs+1 (.)k1, l 6 2?3?(s+1) ? .
(12)
(S )
?родолим неограниченно находение чисел js , js? , ls и ls? , s ?
N , при этом Gs (.) = gj (.) ? gj (.) , s ? N . ?олоим
?
s
s
G(.) =
Для всех
P
s?N
Gs (.) =
s?N n=js
Rls
ls
0
G(t) dt >
1
ls
?усть теперь N ? s > 2 . Если
поэтому из (7), (12) следует
?
Rls
1
ls?
0
N ? n > s,
ls?
Rls
0
Gs (t) dt >
?
2
(13)
.
n ? {1, . . . , s ? 1} ,
то
ls? > ls > ln?
,
(14)
Gn (t) dt 6 kGn (.)k1, l ? 6 2?3?n ? .
(S )
s
то из (8) вытекает оценка
?
1
fn (.) ? W1 (R, R) .
из (6), (11) получаем
s?N
1
Если
?
jP
s ?1
P
Rls
0
Gn (t) dt 6
?
1
ls?
Rls
0
(15)
gjn (t) dt 6 2?3?n+s ? .
?оэтому из (12), (14) и (15) получаем
?
1
ls?
+l
1
?
s
6
s?
P1
n=1
Rls
0
?
Rls
0
G(t) dt =
Gs (t) dt +
( )
1 s?
1
ls?
n=1
+?
P
n=s+1
2? ?n? + kGs (.)k S, l +
3
?
s?
P1
Rls
0
?
1
ls?
+?
P
n=s+1
96
(16)
Gn (t) dt+
Rls
0
Gn (t) dt 6
2? ?n
3
+s
?<
?
8
+? = ?.
8
4
Так как ls? > ls > s ,
существует предела
s ? N,
lim
l? ?
+
то из (13) и (16) следует, что не
1
l
Rl
0
(17)
G(t) dt .
?оследнее противоречит тому, что G(.) ? W (R, R) (следовательно, в силу леммы 1.1 предел (17) долен существовать). ?олученноепротиворечиезавершает доказательство теоремы 2.2.
1
Список литературы
1. Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука, 1989.
2. Красовский Н.Н. Управление динамической системой. М.: Наука,
1985.
3. Варга Д. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука, 1977.
4. ?инни Э. Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения.
М.: Изд-во иностр. лит., 1961.
5. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1972.
6. Иванов А.Г. Об оптимальном управлении почти периодическими
двиениями при наличии ограничений на средние типа равенств
и неравенств. I, II, III // Дифференц. уравнения. 1997. Т. 33. Є 2.
С. 167-176; Є 3. С. 316-323; Є 4. С. 478-485.
7. Иванов А.Г. Мерозначные почти периодические функции. ?репринт. Свердловск, 1990.
8. Иванов А.Г.Мерозначныепочтипериодическиефункции.II.Иевск:
УдГУ, 1991. Деп. в ВИНИТИ 24.04.91, Є 1721-B91.
9. Данилов Л.И. О мерозначных почти периодических функциях //
Вестн. Удм. ун-та. Иевск, 1993. Є 1. С. 51-58.
10. Данилов Л.И. Мерозначные почти периодические функции и почти периодические сечения многозначных отобраений // Матем.
сборник. 1997. Т. 188, Є 10. С. 3-24.
11. Данилов Л.И. Мерозначные почти периодические функции // Матем. заметки. 1997. Т. 61, Є 1. С. 57-68.
12. Данилов Л.И. О почти периодических мерозначных функциях //
Матем. сборник. 2000. Т. 191, Є 12. С. 27-50.
97
13. Левитан Б.М. ?очти-периодические функции. М.: ГИТТЛ, 1953.
14. Левитан Б.М., Жиков В.В. ?очти периодические функции и дифференциальные уравнения. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1978.
15. Данилов Л.И. О почти периодических по Вейлю сечениях многозначных отобраений. Иевск: ФТИ УрО РАН, 2004. 104 с. Деп. в
ВИНИТИ 09.06.2004, Є 981-B2004.
16. Вахания Н.Н., Тариеладзе В.И., Чобанян С.А. Вероятностные распределения в банаховых пространствах. М.: Наука, 1985.
17. Andres J. Bounded, almost-periodi and periodi solutions of quasilinear dierential inlusions // Dierential Inlusions and Optimal
Control (ed. by J. Andres, L. Gorniewiz and P. Nistri), LN in Nonlin.
Anal. 1998. V. 2. P. 35-50.
18. Andres J., Bersani A.M., Lesniak K. On some almost-periodiity
problems in various metris // Ata Appl. Math. 2001. V. 65, Є 1-3.
P. 35-57.
19. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967.
20. Danilov L.I. On equi-Weyl almost periodi seletions of multivalued
maps. Preprint arXiv: math.CA/0310010, 2003.
98
Рассматриваются мерозначные функции R ? t ? ╡[.; t? со
значениями в метрическом пространстве (M (U ), ?w ) вероятностных борелевских мер, определенных на ? -алгебре борелевских подмноеств полного сепарабельного метрического пространства U , с метрикой ?w , эквивалентной метрике Леви?рохорова. Доказано, что мерозначная функция R ? t ? ╡[.; t? ?
(M (U ), ?w ) является почти периодической по Вейлю тогда и
только тогда, когда для любой
R ограниченной непрерывной функции F : U ? R функция F (x) ╡[dx; .? является почти периоU
дической по Вейлю (порядка 1).
0
0
Weyl almost periodi funtions, measure-valued funtion, probability Borel measure.
99
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
273 Кб
Теги
почта, вейля, функция, мерозначных, периодических
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа