close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О предельном поведении приращений сумм независимых случайных величин из областей притяжения асимметричных устойчивых распределений.

код для вставкиСкачать
УДК 519.214.4
Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2011. Вып. 2
О ПРЕДЕЛЬНОМ ПОВЕДЕНИИ ПРИРАЩЕНИЙ
СУММ НЕЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
ИЗ ОБЛАСТЕЙ ПРИТЯЖЕНИЯ АСИММЕТРИЧНЫХ
УСТОЙЧИВЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ∗
М. Н. Тертеров
С.-Петербургский государственный университет,
аспирант, mterterov@gmail.com
1. Введение. Пусть X, X1 , X2 , . . . последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, Sn = X1 + . . . + Xn . Пусть {an } — неубывающая последовательность натуральных чисел, 1 ≤ an ≤ n. Изучается асимптотическое поведение
приращений сумм Sn+can − Sn , где c > 0. Цель нашей работы — описать нормирующую
последовательность bn , для которой
lim sup
n→∞
Sn+can − Sn
= 1 п.н.
bn
Исследованию поведения приращений сумм случайных величин посвящены работы
П. Эрдёша, А. Реньи, Л. Шеппа, М. Чёргё, П. Ревеса, Ш. Чёргё, П. Девельса, Л. Девроя,
Й. Штайнебаха, А. Н. Фролова и др., см., например, [1], [2], [3], [4] и [7].
Асимптотические свойства приращений и вид нормирующей последовательности
зависят от скорости роста an . В случае больших приращений (an / log n → ∞) нормирующая последовательность определяется
только моментными условиями на X. Так,
если EX = 0, EX 2 = 1, то bn = 2an (log(n/an ) + log log n). Такие соотношения называются законами Чёргё—Ревеса. Например, если an = n, EX = 0, EX 2 = 1, то имеет
место закон повторного логарифма Хартмана—Винтнера, где bn = (2n log log n)1/2 .
В случае малых приращений (an = O(log n)) нормировка зависит от всего распределения X. Это законы Эрдеша—Реньи и Шеппа (cм., например, [3]).
При an = (log n)p предельное поведение приращений Sn+can − Sn рассматривалось
в работах Ланзингера [5], Ланзингера и Штадтмюллера [6] для величин с конечной
дисперсией, а также в работе Фролова [4] для величин из областей притяжения нормального закона и асимметричных устойчивых законов. Нам удалось получить новый
результат при условии принадлежности распределения области нормального притяжения асимметричного устойчивого закона с показателем α ∈ (1, 2).
2. Основной результат. Пусть X, X1 , X2 , . . . — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, EX = 0, F (x) = P (X < x). Обозначим
Sn = X1 + . . . + Xn , S0 = 0.
Пусть F (x) принадлежит области нормального притяжения устойчивого закона
с параметром α ∈ (1, 2), т. е. распределение случайной величины Sn /n1/α сходится к распределению некоторой устойчивой случайной величины. Мы будем рассматривать асимметричный устойчивый закон с характеристической функцией ψ(t) =
exp{−a|t|α (1 + it/|t| tg π2 α)}, где a = cos(π(2 − α)/2). Пусть an = (log n)p , p > 1. Под Sy и
#[y]
#y
i=1 , когда y — не целое, будет подразумеваться S[y] и
i=1 соответственно. Здесь [y]
∗ Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры
инновационной России» (грант № 2010-1.1-111-128-033).
c М. Н. Тертеров, 2011
95
обозначает целую часть числа y. Определим, кроме того, cn = (log n)(p+α−1)/α ,
+ α/(p+α−1)
< ∞},
sup{t ≥ 0 : Eet(X )
(α − 1)xα/(α−1)
α/(p+α−1)
ϕ(c) = max x + y :
+
t
y
≤
1,
x
≥
0,
y
≥
0
.
0
αc1/(α−1)
t0 =
Теорема 1. Пусть t0 ∈ (0, ∞). Тогда
lim sup
n→∞
Sn+can − Sn
=1
cn ϕ(c)
п.н.
Замечание. Несложно показать, что для всех достаточно больших c ϕ(c) =
β 1/β c1/α . Результат теоремы 1 в этом случае получен в [4], с. 343. При α = 2
результат теоремы 1 получен в [5] а также в [6] для максимума приращений
max0≤k≤n (Sk+can − Sk ).
3. Вспомогательные леммы и утверждения. Введём следующие обозначения: kn =
(log log n)2 (log n)2−αp/(p+α−1) , δn = an /cn , τn = (log log n)−1 , ρn = τn δn + EX + , β =
α/(α − 1), p̃ = (p + α − 1)/α, α1 = 1/(α − 1).
Заметим, что при α ∈ (1, 2) и p > 1 имеет место неравенство p > p̃.
Здесь и далее lim, lim sup, o, O, → берутся при n → ∞, если не оговорено противное.
Утверждение 1. Для каждого θ ∈ (0, 1) и каждого x > 0 существует n0 такое,
что для всех n ≥ n0
max P(Scan −k ≥ cn x, Xi ≤ ρn , 1 ≤ i ≤ [can ] − k) ≤ n−θx
0≤k≤kn
β
/(βcα1 )
.
Доказательство. Выберем θ ∈ (0, 1) и s ∈ (0, 1). Пусть Xj (ρn ) — случайные величины с функцией распределения Fρn (x) = P(X < x|X < ρn ), μn = EXj (ρn ), Yjn =
Xj (ρn ) − μn .
P(Scan −k ≥ cn x, Xi ≤ ρn , 1 ≤ i ≤ [can ] − k) = P
≤P
ca −k
n
i=1
ca −k
n
Xi (ρn ) ≥ cn x
i=1
=P
Xi (ρn ) ≥ cn x P(X ≤ ρn )
ca −k
n
[can ]−k
≤
Yjn
≥ cn x − (can − k)μn
.
i=1
Поскольку an μn → 0, для любого s ∈ (0, 1)существует n1 такое, что для любого n > n1
и для любого k ∈ [0, . . . kn ] будет выполнено cn x − (can − k)μn > sxcn .
Таким образом, для достаточно больших n
ca −k
n
n
Yj ≥ sxcn .
P(Scan −k ≥ cn x, Xi ≤ ρn , 1 ≤ i ≤ [can ] − k) ≤ P
i=1
n
Для оценки последней вероятности рассмотрим функции ϕn (h) = EehYj , mn (h) =
ϕn (h)/ϕn (h), fn (h) = hmn (h) − log ϕn (h), ζn (z) = fn (m−1
n (z)).
Проводя рассуждения, аналогичные тем, что использованы при доказательстве
лемм 10 и 11 в [4], получим, что при h = hn = (log n)(1−p)/α mn (h) = hα−1 (1 + o(1)),
fn (h) = (α − 1)/αhα (1 + o(1)), ζn (h) = (α − 1)/αhα/(α−1) (1 + o(1)).
96
Таким образом, из неравенства Чебышёва и определения функции ζn (z) следует,
что для любого θ ∈ (0, 1) выполнены неравенства
⎛
P⎝
ca
n −k
⎞
Yjn > sxcn ⎠ ≤ exp −(can − k)ζn (
j=1
cn
sx) ≤
can − k
≤ exp{−can θxα/(α−1) (log n)1−p c−α/(α−1) (α − 1)/α} = n−θx
β
/(βcα1 )
.
Утверждение 2. Пусть t0 ∈ (0, ∞). Тогда для каждого η > 1 найдется такое n0 ,
что для всех n > n0 выполнено
min P(Scan −k ≥ cn x, Xi ≤ ρn , 1 ≤ i ≤ [can ] − k) ≥ n−ηx
β
/(βcα1 )
0≤k≤kn
.
Доказательство. (Все обозначения взяты из утверждения 1.)
P(Scan −k ≥ cn x, Xi ≤ ρn , 1 ≤ i ≤ can − k) = P
≥P
ca −k
n
ca −k
n
Xi (ρn ) ≥ cn x P(X ≤ ρn )[can ]−k ≤
i=1
Yin
P(X ≤ ρn )[can ] .
≥ cn x − (can − k)μn
i=1
Поскольку can P(X > ρn ) = can P(et0 X
1/p̃
1/p̃
> et0 ρn ) ≤
can
1/p̃
et0 ρn
Eet0 (X
+ 1/p̃
)
→ 0, то
P(X ≤ ρn )[can ] = exp(log(1 − P(X > ρn ))[can ] ) ∼ exp([can ]P(X > ρn )) → 1. Значит, для
достаточно больших n и для всякого s > 1
P(Scan −k
1
≥ cn x, Xi ≤ ρn , 1 ≤ i ≤ can − k) ≥ P
2
ca −k
n
Yin
> cn x − ([can ] − k)μn
i=1
1
≥ P
2
ca −k
n
≥
Yin
> cn sx .
i=1
Применив лемму 4 из [4] и технику из доказательства утверждения 1, мы получим, что
для любого μ > 1 для всех достаточно больших n верно неравенство
P
ca −k
n
Yin
> cn sx
≥ exp −can μζn
i=1
β β
α1
cn
sx
≥ nμs x /(βc ) .
can
Поскольку μ — произвольное, получим
min P(Scan −k ≥ cn x, Xi ≤ ρn , 1 ≤ i ≤ [can ] − k) ≥ nηx
0≤k≤kn
β
/(βcα1 )
.
97
(n,1)
Введем следующие величины: Xk
(n,2)
= Xk 1{Xk ≤ρn } , Xk
+ 1/p̃
= Xk 1{Xk >ρn } .
t(X )
< ∞ для всех t ∈ (0, t0 ).
Лемма 1. Пусть t0 > 0. Предположим, что Ee
Тогда
cn
∞
(n,2)
P
Xk
> cn x nz−1 < ∞
n=1
k=1
для всех x, z > 0, таких, что z p̃ /x < tp̃0 .
Доказательство. Введём случайные величины Yk = Xk 1{Xk ≥c1 } − c2 1{Xk <c1 } , k =
1, 2, . . .
Константы c1 , c2 > 0 выберем так, чтобы EYk = 0. Ясно, что EYk2 < ∞. Обозначим
(n,1)
(n,2)
Yk
= Yk 1{Xk ≤ρn } , Yk
= Yk 1{Yk >ρn } .
Докажем, что в условиях леммы
c
∞
n
(n,2)
P
Yk
> cn x nz−1 < ∞.
n=1
Заметим, что Eet(Y
что
+ 1/p̃
)
k=1
≤ Eet(X
P
+ 1/p̃
)
cn
< ∞ для всех t ∈ (0, t0 ). Тогда из [5], с. 74, следует,
1/p̃
≤ An−tu
Yk ≥ cn u
(1)
.
k=1
(n,1) 2
P
−
cn
(n,1)
Yk
≥ cn
(n,1)
) ≤ E(Yk )2 < ∞ и |Yk
Далее, поскольку E(Yk
2 из [5] и получим, что
cn
(n,1)
(Yk
−
k=1
≤P
k=1
−
| ≤ ρn , мы можем применить лемму
(n,1)
EYk
)
≥ cn
2
≤
!
!
cn
≤ exp −
≤ exp − (log n)2p̃−p log log n = exp − (log n)σ log log n → 0,
8ρn
8
8
т. к. σ = 2p̃ − p > 1 при p > 1 и α < 2.
Далее, выберем > 0 и t ∈ (0, t0 ), такие что x − > z p̃ /tp̃ ,
c
c
c
n
n
n
(n,2)
(n,1)
Yk
> cn x ≤ P
Yk > cn (x − ) + P −
Yk
> cn .
P
k=1
k=1
k=1
Тогда из (1) следует, что
∞
n=1
P
cn
(n,2)
Yk
> cn x nz−1 < ∞.
k=1
(n,2)
(n,2)
= Xk
Поскольку, начиная с некоторого n, ρn > c, можно считать, что Yk
#∞
#cn
(n,2)
z−1
всех k, а значит n=1 P( k=1 Xk
> cn x)n
< ∞ в условиях леммы.
98
для
Лемма 2. Пусть γ ≥ 1. Пусть x, z > 0, такие, что
c γ
∞
n
(nγ ,2)
P
Xk
> cnγ x nγz−1 < ∞.
n=1
Тогда Eet(X
+ 1/p̃
)
k=1
< ∞ для всех t ∈ (0, z/x1/p̃ ).
Доказательство. Пусть x∗ > x и выполнены условия леммы 2. Тогда, применяя
рассуждения, аналогичные использованным в доказательстве леммы 1, мы получим
c γ
∞
n
∗
P
Xk > cnγ x nγz−1 < ∞.
n=1
k=1
Далее, выберем z̃ < z и достаточно большое n1 , такое, что для любого n > n1
выполнены неравенства [(log(n + 1)γ )p̃ ] ≤ [cnγ ] + 1 и (n + 1)γ z̃−1 ≤ 2nγ z̃−1 . Тогда
∞
P(Slogp̃ (vγ ) > x log (v ))v
p̃
γ
γ z̃−1
dv ≤ 2
n1
∞ ≤2
P(Slogp̃ (vγ ) > xcnγ )nγ z̃−1 dv ≤
n
n=n1
∞
n+1
P(Scnγ > x̃cnγ )nγ z̃−1 + 2
n=n1
∞
P(Scnγ +1 > x̃cnγ )nγ z̃−1 < ∞.
n=n1
Таким образом,
∞
P(Slogp̃ (vγ ) > x logp̃ (v γ ))dv γ z̃ =
1
∞
0
1/p̃
P(Su > xu)d(ez̃u
) < ∞.
(Здесь мы сделали замену u = logp̃ (v γ ).) Далее, из утверждения 2 в [5] следует, что
1/p̃
Eetx < ∞ для всех t ∈ (0, z/x1/p̃ ).
#n+ca
#n+ca
(n,1)
(n,2)
Обозначим Σn1 = 1/cn i=n+1n Xi
и Σn2 = 1/cn i=n+1n Xi
.
Лемма 3. Предположим, что для всех δ > 0
∞
P(Σn1 > c1/α β 1/β + δ) +
n=1
∞
p̃
P(Σn2 > t−
0 + δ) < ∞
(2)
n=1
и для всех пар x, y > 0, таких что xβ /(βcα1 ) + t0 y 1/p̃ > 1,
∞
P(Σn1 > x, Σn2 > y) < ∞.
(3)
n=1
Тогда
lim sup
Sn+can − Sn
≤1
cn ϕ(c)
п.н.
(4)
99
Доказательство.
{Sn+can − Sn > cn (ϕ(c) + 3δ)} = {Σn1 + Σn2 > ϕ(c) + 3δ} ⊂
p̃
⊂ {Σn1 > c1/α β 1/β + δ} ∪ {Σn2 > t−
0 + δ} ∪
{Σn1 > xm , Σn2 > ym },
m∈M
%
&
где xm = mδ, ym = ϕ(c) + (1 − m)δ, M = m ∈ {0, 1, 2 . . . } : mδ ≤ c1/α β 1/β . Воспользовавшись (2) и (3), получим
∞
∞
P Sn+can − Sn > cn (ϕ(c) + 3δ) =
P Σn1 + Σn2 > (ϕ(c) + 3δ) < ∞.
n=1
n=1
Таким образом, lim sup(Sn+can − Sn )/cn ≤ ϕ(c) + 3δ п.н. Поскольку δ — произвольное, получим утверждение леммы 3.
4. Доказательство теоремы. В условиях теоремы 1, не умаляя общности, можно считать, что t0 = 1. Докажем сначала (4). Для этого достаточно показать, что в условиях
теоремы 1 справедливо (2) и (3). Тогда (4) будет следовать из леммы 3.
Докажем (3). Рассмотрим x, y > 0, такие что xβ /(βcα1 )+y 1/p̃ > 1. Выберем θ ∈ (0, 1)
и ỹ < y так, чтобы θxβ /(βcα1 ) + ỹ 1/p̃ > 1,
P(Σn1 > x, Σn2 > y) =
can
(n,2)
P(Σn1 > x, Σn2 > y, Xi
= 0 ровно k раз) ≤
k=0
≤
kn
(n,2)
P(Σn1 > x, Σn2 > y, Xi
= 0
ровно k раз)+
k=0
+ P(Xi > ρn для по крайней мере [kn ] индексов 1 ≤ i ≤ can ).
#∞
Обозначим последнее слагаемое как Pn и покажем, что n=1 Pn < ∞. Легко видеть,
[k ]
что Pn ≤ C[cann ] P(Xi > ρn )kn . Выберем s ∈ (0, 1). Тогда
Pn ≤ [can ][kn ] P(es(X
+ 1/p̃
)
1/p̃
> esρn )[kn ] ≤ exp{kn (log can +log Ees(X
+ 1/p̃
)
)−kn s1/p̃ (τn δn )1/p̃ }.
1/p̃
Несложно
#∞ убедиться в том, что kn log an /log n → 0 и kn (τn δn ) /log n → ∞. Следовательно, n=1 Pn < ∞.
Далее,
kn
(n,2)
P(Σn1 > x, Σn2 > y, Xi
= 0 ровно k раз) =
k=0
=
kn
k
C[ca
P(Scan −k ≥ cn x, Xi ≤ ρn , 1 ≤ i ≤ [can ] − k)P(Sk ≥ cn y, Xi > ρn , 1 ≤ i ≤ k) ≤
n]
k=0
kn
k
C[ca
P(Sk ≥ cn y, Xi > ρn , 1 ≤ i ≤ k) ≤
≤ sup P(Scan −k ≥ cn x, Xi ≤ ρn , 1 ≤ i ≤ [can ]−k)
n]
0≤k≤kn
k=0
≤n
xβ
θ βc
α1
kn
k=0
100
k
Cca
P(Sk > cn y, Xi > ρn , 1 ≤ i ≤ k).
n
Здесь мы использовали утверждение 1. При этом
kn
k
Cca
P(Sk > cn y, Xi > ρn , 1 ≤ i ≤ k) ≤ 2aknn P
n
ca
n
(n,2)
Xi
> cn y
.
i=1
k=0
Следовательно,
∞
P(Σn1
>
x, Σn2
> y) ≤ C
∞
β
θ x −ỹ 1/p̃ +1
aknn n βcα1
P
n=1
k=0
cn
(n,2)
Xi
> cn y nỹ
1/p̃
−1
.
i=1
Ясно, что aknn /nτ → 0 при произвольном τ > 0, а по лемме 1
c
∞
n
1/p̃
(n,2)
P
Xi
> cn y nỹ −1 < ∞.
n=1
i=1
по Таким образом, (3) доказано.
n
1/α 1/β
+ δ). Утверждение
Теперь докажем (2). Рассмотрим P(Σ
#∞1 > c n β 1/α
#∞ 1 позволяет
для каждого δ выбрать такое θ, что n=1 P(Σ1 > c β 1/β + δ) < n=1 n−(1+δ1 ) <
∞. Далее, рассмотрим P(Σn2 > 1 + δ). Применяя технику из доказательства (3), мы
#n
(n,2)
X
> cn x). По лемме 1 (x = 1 + δ) для
получим, что P(Σn2 > x) ≤ 2aknn P( ci=1
#∞ i #cn
(n,2)
любого δ найдется такое δ1 > 0, что n=1 P( i=1 Xi
> cn x)nδ1 < ∞. Вспомнив,
что aknn /nτ → 0 при произвольном τ > 0, мы завершим доказательство (2). Таким
образом, мы доказали (4).
Теперь докажем, что
lim sup
Sn+can − Sn
≥ 1 п.н.
cn ϕ(c)
(5)
Пусть x + y = t − δ, где δ ∈ (0, t) и xβ /(βcα1 ) + y 1/p̃ < 1. Выберем η, γ > 1, ỹ > y, такие
что γ ηxβ /(βcα1 ) + ỹ 1/p̃ < 1.
Тогда
P Sn+can − Sn ≥ (ϕ(c) − δ)cn ≥
can
can
can
(n,1)
(n,2)
(n,1)
≥
P(
Xi
> cn x,
Xi
> cn y, Xi
= 0
k=0
≥
kn
i=1
ровно для k индексов) ≥
i=1
k
C[ca
P(Scan −k ≥ cn x, Xi ≤ ρn , 1 ≤ i ≤ [can ] − k)P(Sk ≥ cn y, Xi > ρn , 1 ≤ i ≤ k) ≥
n]
k=0
≥
kn
k
inf P(Scan −k ≥ cn x, Xi ≤ ρn , 1 ≤ i ≤ [can ] − k) C[ca
P(Sk ≥ cn y, Xi > ρn , 1 ≤ i ≤ k) ≥
n]
0≤k≤kn
k=0
≥ n−ηx
β
/(βcα1 )
kn
k
C[ca
P(Sk ≥ cn y, Xi > ρn , 1 ≤ i ≤ k).
n]
k=0
В последнем неравенстве мы воспользовались утверждением 2. Далее,
101
kn
k
C[ca
P(Sk ≥ cn y, Xi > ρn , 1 ≤ i ≤ k) ≥
n]
k=0
≥
kn
k
C[ca
P(Sk ≥ cn y, Xi > ρn , 1 ≤ i ≤ k, Xi < ρn , k ≤ i ≤ cn ) =
n]
k=0
cn
=
−
≥P
c
n
cn
(n,2)
(n,2)
P(
Xi
≥ cn y, Xi
= 0
i=1
cn
k=0
cn
P(
k=kn +1
(n,2)
≥ cn y, Xi
(n,2)
= 0 для по крайней мере [kn ] индексов i: 1 ≤ i ≤ [can ]).
Xi
(n,2)
ровно для k индексов)−
= 0
ровно для k индексов) ≥
i=1
(n,2)
Xi
≥ cn y
−P(Xi
i=1
Вычитаемая вероятность
уже рассматривалась выше. Она обозначалась как Pn и
#∞
было доказано, что n=1 Pn < ∞. Далее,
cn
xβ
(n,2)
−η βc
α1
P Sn+can − Sn ≥ (ϕ(c) − δ)cn ≥ n
P(
Xi
≥ cn y) − Pn .
i=1
Таким образом, учитывая выбор γ,
c γ
∞
∞
n
γ
β
α1
(n
,2)
P Snγ+canγ −Snγ ≥ (ϕ(c)−δ)cnγ +Pnγ ≥
n−ηx /(βc ) P
Xi
≥ cnγ y ≥
n=1
n=1
∞
≥
n=1
P
c γ
n
i=1
(nγ ,2)
Xi
≥ cnγ y nγ ỹ
1/p̃
−1
. (6)
i=1
Предположим, что
∞
P Snγ +canγ − Snγ ≥ (ϕ(c) − δ)cnγ = ∞.
(7)
n=1
Так как для достаточно больших n выполняется неравенство (n+1)γ > nγ +canγ +1,
по лемме Бореля—Кантелли P(Sn+can − Sn ≥ (ϕ(c) − δ)cn б.ч.) = 1. Поскольку δ > 0 —
произвольное, мы получим (5). Осталось доказать (7).
#cnγ (nγ ,2)
#
1/p̃
≥ cnγ y)nγ ỹ −1 < ∞. Тогда по лемме 2
Предположим, что ∞
i=1 Xi
n=1 P(
+ 1/p̃
Eet(X ) < ∞ для всех t ∈ (0, ỹ 1/p̃ /y 1/p̃ ). Но это противоречит нашему условию, т. к.
#∞
#cnγ (nγ ,2)
1/p̃
t0 = 1, а ỹ > y. Значит, n=1 P( i=1
Xi
≥ cnγ y)nγ ỹ −1 = ∞, что вместе с (6)
означает справедливость (7).
Таким образом, (7) доказано, следовательно, имеет место (5) и это завершает доказательство теоремы.
102
Литература
1. Csörgő M., Steinebach J. Improved Erdős—Rényi and strong approximation laws for increments of partial sums, Ann. Probab. Vol. 9. 1981. P. 988–996.
2. Deheuvels P., Devroye L. Limit laws for Erdős—Rényi—Shepp type // Ann. Probab. Vol. 15.
1987. P. 1363–1386.
3. Erdős P., Rényi A. On a new law of large numbers // J. Analyse Math. Vol. 23. 1970.
P. 103–111.
4. Frolov A. N. One-sided strong laws for increments of sums of i.i.d. random variables // Studia
Scientiarum Mathematicarum Hungarica. Vol. 39. 2002. P. 333–359.
5. Lanzinger H. A law of the single logarithm for moving averages of random variebles under
exponential moment condition // Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica. Vol. 36. 2000.
P. 65–91.
6. Lanzinger H., Stadtmüller U. Maxima of increments of partial sums for certain subexponential
distributions // Stochastic Processes and their Applications. Vol. 86. 2000. P. 307–322.
7. Shepp L. A. A limit law concerning moving averages // Ann. Math. Statist. Vol. 35. 1964.
P. 424–428.
Статья поступила в редакцию 25 ноября 2010 г.
103
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа