close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О представлении четных чисел суммой двух нечетных простых чисел из арифметической прогрессии.

код для вставкиСкачать
2000
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 8 (459)
УДК 511.216
И.А. АЛЛАКОВ
О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ЧЕТНЫХ ЧИСЕЛ СУММОЙ ДВУХ НЕЧЕТНЫХ
ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ ИЗ АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ
1. Введение
Пусть
p X и P | достаточно большие вещественные числа, а N | натуральное число с условием N < X N ; p, p1 , p2 | простые числа; D = p , где p > 2, | положительное целое;
MD (X ) | множество четных натуральных чисел n X , которые (возможно) не представимы
в виде
n = p1 + p2 ; pi li (mod D); (li ; D) = 1; i = 1; 2;
(1.1)
ED (X ) = card MD (X ); R(n) | число представлений n в виде (1.1); c, cj (j = 1; 2; : : : ) | некоторые
положительные постоянные, | символ Виноградова, '(a) | функция Эйлера.
В [1] была получена асимптотическая формула для R(n), справедливая для всех четных
n X , за исключением не более ED (X ) X ln;A X (где A > 0 | произвольная постоянная)
значений n из них.pЗатем в [2], [3] для ED (X ) в случае D = 1 соответственно доказано, что
E1 (X ) < X exp(;c ln X ) и E1 (X ) < X 1; , 0 < < 1. В [4] получена оценка снизу R(n) при
D = 1 для всех n X , за исключением не более X 1; значений n из них.
В данной работе соединением методик работ [1], [2] доказана
A
Теорема 1. При D = p и D ln X справедливы оценки
p
ED (X ) X';1 (D) exp(;c1 ln X )
и для n 2= MD (X ), n X
An
p ln
n
c
2
p
R(n) 1;
exp ; 4 ln n ;
'(D) ln2 n
exp(c2 ln n)
где постоянные c1 и c2 не зависят от A.
Пусть s | комплексная переменная, q (n) | характер Дирихле по модулю q и L(s; q ) |
1
L-функция Дирихле, определяемая при Re s > 1 равенством L(s; q ) = P q (n)n;s. Если не
n=1
существует вещественный (исключительный) нуль с условием > 1 ; c3 ln;1 q L-функции
Дирихле для всех q P (в этом случае положим E = 0), то методикой из данной работы можно
получить асимптотическую формулу для R(n). В случае существования такого исключительного нуля (тогда положим E = 1) также получается асимптотическая формула, но в этой формуле
вместе с обычным главным членом будет участвовать член, соответствующий исключительному
нулю (порядок которого по сути одинаков с главным членом), т. е. справедлива
и D lnA X , то для всех n X , исключая не более чем
Теорема 2. Если D = p
p
;
1
c4 X' (D) exp(;c1 ln X ) значений из них, справедлива формула
2 n);1 e (n)
J
(
n
)
(
n
)
J
(
n
)
n
(
'
(
D
)
ln
p
R(n) = 2
+E 2
+O
;
' (D) ln2 n
' (D) ln2 n
exp(c5 ln n)
3
где
J (n) =
X
n=n1 +n2
n1 ;n2 2
(n) = 2D
1; J (n) =
p(p ; 2)
2
p>2 (p ; 1)
e (n) =
Y
X
n=n1 +n2
n1 ;n2 2
(p ; 1)2
pnD p(p ; 2)
Y
p>2
p(p ; 2)
2
pnrd p ; 1 p6nnrd (p ; 1)
Y
p6nn
1
Y
p>2
(n1 n2 )(;1) ;
Y
pnn
p6nD; p>2
Y
pnndr
p>2
p;1
p ; 2;
p ;
p;1
где d = (q; D), r | модуль вещественного (исключительного) характера er и | исключительный нуль функции L(s; er ).
Заметим, что методика работы [3] не позволяет получить даже такую асимптотическую формулу. Отметим также, что в [5] приводится оценка ED (X ) ';1 (D)X 1; , однако она доказана
другим путем и только в случае, когда D = p | простое число.
Q
Известно, что изучение функции R(n) можно связать с изучением функции n (X; D), означающей число пар простых чисел p, p + 2n из интервала (0; X ), принадлежащих соответственно
арифметическим прогрессиям Dt1 + l1 , Dt2 + l2 с условием 1 l1 ; l2 D, (l1 ; D) = 1; (l2 ; D) = 1
[1].
Методика,
используемая в данной работе, дает возможность доказать аналогичный резульQ
тат и для n (X; D), а именно, справедлива
A
;A X , 2n Теорема 3. Если D = p и D ln X , то для каждого целого 0 < 2n X ln
p
;
1
l1 ; l2 (mod D), исключая не более чем c4 X' (D) exp(;c1 ln X ) значений из них, справедлива
оценка
An
p Y
ln
n
c
2
p
n (X; D ) '(D ) ln2 n 1 ; exp(c2 ln n) exp ; 4 ln n ;
где постоянные c1 и c2 не зависят от A > 0.
Полученные результаты являются усилением результатов [1] и обобщением результата [2].
Доказательство теоремы 3 в основном аналогично доказательству теоремы 1, причем необходимые изменения для вывода теоремы 3 можно посмотреть в [1]. В ходе доказательства теоремы
1 сначала установим справедливость теоремы 2.
2. Основные леммы
Пусть (n) | функция Манголдта, определяемая равенством
(
k
(n) = ln n; если n = p ;
0
в остальных случаях:
P
Обозначим (x; m ) = (n)m (n) и
nx
q
P
(
= 1; m = m (главный характер);
0; m =
6 m:
Символы и 0 обозначают соответственно суммирование по всем характерам mod q и по
q a=1
приведенной системе вычетов mod q.
p достаточно больших X и N с условием 3 n X ,
p Лемма 2.1 ([6], x 19; [2], п. 4). Для
N < X N и для всех m exp(c5 ln N ) справедливы следующие равенства:
P
4
a) если E = 0 и E = 1 и m | модуль характера m не делится на r | ведущий модуль
исключительного характера em, то (n; m ) = n + n ;
b) если же E = 1 и r n m, то (n; m ) = n ; ;1 n + n , причем во всех случаях для n
справедлива оценка
p
n X exp(;c6 ln N ):
0
00
0
00
Лемма 2.2 ([7]). Если (t) и (t) | характеры Дирихле соответственно по mod Q и Q ,
то произведение 0 (t)00 (t) | главный характер тогда и только тогда, когда 0 (t) = 00 (t) для
всех (t; Q) = 1 и 0 | производный характер, порожденный одним из характеров по mod d, где
d = (Q0 ; Q00 ), Q = Q0Q00 d;1 и 00(t) | характер, сопряженный с 00 (t).
Лемма 2.3 ([7]). Для (j; k ) = 1, d n k и (h; d) = 1 имеют место соотношения
k 0
X
8
<0;
если (d; kd;1 ) > 1;
jl
e k = : ; k e jh ; если (d; kd;1 ) = 1;
d
d
l=1
lh(mod d)
где e() = e2i , (k) | функция Мебиуса и | решение сравнения kd;1 z 1(mod d).
3. Основные обозначения и деление единичного интервала
Пусть
p
ln N ; P = P 1=4 :
P1 = exp c6 200
2
1
Если E = 0 или же E = 1 и P2 < r, то положим P = P2 , в остальных случаях P = P1 .
Полагая Q = NP ;1 , сегмент [Q;1 ; 1 + Q;1 ] делим на основные и дополнительные интервалы.
При a q P через M (q; a) обозначим закрытый интервал [aq;1 ; (qQ);1 ; aq;1 + (qQ);1 ],
(a; q) = 1. Ясно, что основные интервалы не пересекаются и M (q; a) [Q;1 ; 1 + Q;1 ].
Через T обозначим множество тех точек , Q;1 < < 1 + Q;1 , которые не содержатся ни
в каком M (q; a). В дальнейшем объединение всех M (q; a) назовем большой дугой, а T | малой
дугой.
Введем функции
Si (X; ) =
X
D
D (li )
gu(i) (x; ) =
Vi (X; ; q; a)
X
2<pi X
X
D (pi ) ln pi e(pi ); i = 1; 2;
nui ;1 e(ni ); i = 1; 2;
2<nX
;1 ) a
(i)
= R(q) '((qd
e
N
l
qd;1 ) q 1 i g1 (X; );
(3.1)
(3.2)
i = 1; 2;
(3.3)
где = aq;1 + , d = (q; D), N1 = gqd;1 (mod q) (N1 | наименьший положительный вычет числа
gqd;1 по mod q), g по mod d определяется из gqd;1 1(mod d); R(q) = 1, если (qd;1 ; D) = 1, и
R(q) = 0 в противном случае, обозначим
S = S (X; ) = S1 (X; )S2 (X; );
V = V (X; ; q; a) = V1 (X; ; q; a)V2 (X; ; q; a):
(3.4)
Тогда имеем
S (X; ) = '2(D)
X
2<n2X
5
R(X; n)e(n);
(3.5)
где
R(X; n) =
и
2 ;1 )
V = R(q) '2((qd
qd;1 )
где
X
n=p1 +p2
2<p1 ;p2 X
p1 l1 ; p2 l2 (mod D)
ln p1 ln p2 ;
(3.6)
J (N; n)e aq (N1 (l1 + l2 ) ; n) e(n);
2<n2N
X
J (N; n) =
Очевидно,
X
n=n1 +n2
2n1 ;n2 N
1:
(3.7)
(3.8)
n=2 < J (N; n) N (J (N; n) = 2(n ; 2)) ;
если 2 < n N . Если 1=2 u 1, то суммирование по частям дает ([8], лемма 3.5)
gu(i) (X; ) min(kk;u ; X u );
где kk | расстояние от до ближайшего целого числа.
(3.9)
(3.10)
4. Малые дуги
Лемма 4.1.
При достаточно большом N справедливы оценки
Z
T
q
Z XX
0
T qP a=1
Доказательство.
T
Z
T
jS2
V (N; ) d N 3 P ;2 (D ln ln P )4 :
jS (N; )j2 d max
jS (N; )j2
2T 1
(N; )j2 d (4.1)
2
В силу (3.4) имеем
Z
Здесь
jS (N; )j2 d N 2D2'(D)P ;1 ln12 N;
Z
1+Q;1
Q;1
Z
T
(4.2)
jS2 (N; )j2 d:
jS2(N; )j2 d = '2 (D)
В силу теоремы 5.2.1 из [9] при N 2 и D N 1=2
X
ln p N';1 (D):
X
2<pN
p2 l2 (mod D)
(4.3)
ln2 p2 :
pN; pl(mod D)
Поэтому
Z
T
jS2(N; )j2 d '(D)N ln N:
(4.4)
Для оценки max
jS (N; )j2 используем результат работы [10]: если R < q NR;1, 1 R N 1=3,
2T 1
(a; q) = 1, j ; aq;1 j 2R(qN );1 , то
Si (N; ) NR;1=2 D(ln N )11=2 :
(4.5)
6
Согласно теореме Дирихле существуют такие q Q и с условием 1 a q, (a; q) = 1, для
которых j ; aq;1 j < (qQ);1 . Это означает, что 2 M (q; a), если q P . Значит, для 2 T имеем
q > P и, следовательно, в (4.5) можем полагать R = P . Теперь из (4.3){(4.5) следует (4.1).
Оценка (4.2) доказывается так же, как оценка (5.9) из [2].
5. Главные дуги
A. Случай P = P2 . Из (3.7) следует, что
q
X X0
q>y a=1
где
V (N; ; q; a) =
X
2<n2N
J (N; n)(y; n)e(n);
(5.1)
q 2 (qd;1 ) X
0 a
(y; n) = R(q) '2 (qd;1 ) e q (N1 (l1 + l2) ; n) :
q>y
a=1
Если 2 M (q; a), то
2
q
k
X X0 Z
X X0
P 9 (D ln ln P )4 :
d V
(
N;
;
k;
h
)
Q
qP a=1 M (q;a) kP h=1
X
Лемма 5.1.
(5.2)
k6=q h6=a
Доказательство. Предположим, что a q P , (a; q ) = 1, h k P , (h; k ) = 1, k 6= q , h 6= a
и 2 M (q; a). Тогда j ; aq;1 j (qQ);1 . Следовательно, k ; hk;1 k = k ; hk;1 + aq;1 ; aq;1 k kaq;1 ; hk;1 k ; j ; aq;1j (qk);1 ; (qQ);1 > (qk);1. Поэтому, учитывая n';1(n) ln ln n (при
n 3) и d1 = (k; D) D, из (3.3), (3.4), (3.10) получим
k
X X0
2
2 (kd;1 )
1
;
1
;
2
k
;
hk
k
'
(
k
)
V (N; ; k; h) ;
1
2 (kd1 )
'
kP h=1
kP
2
k6=q h6=a
X
k6=q
(qD ln ln P )4
Таким образом,
q
X X0 Z
k
X X0
qP a=1 M (q;a) kP h=1
k6=q h6=a
Лемма 5.2
k P
2
'(k) (qDP ln ln P )4:
2
V (N; ; k; h) d ка
X
q
X X0
qP a=1
(PDq ln ln P )4 (qQ);1 P 9 Q;1 (D ln ln P )4 : ([1], x 7). Для суммы (P; n), определяемой равенством (5:2), справедлива оцен-
(P; n) D2 P ;1 (n)(ln ln N )3 ;
где (n) | число натуральных делителей n.
Из леммы 5.2 и из (5.1), (3.9) следует
Лемма 5.3. При достаточно большом N имеет место оценка
2
q
1+Q;1 X X
0
d N 3 P ;2 (D ln N )4 :
V
(
N;
;
k;
h
)
;
1
Q
q>P a=1
Z
7
Если a q P , (a; q) = 1 и 2 M (q; a), то
p
Si(N; ) ; Vi (N; ; q; a) N 2 q;1 Q;1 exp(;c6 ln N )4 :
Доказательство. Ясно, что
Лемма 5.4.
X
pi N
D (pi ) ln pi e(pi ) ;
X
pi N; pi 6nq
D (pi ) ln pi e(pi ) ln q:
(5.3)
Используя свойство ортогональности характеров, вычитаемую сумму в левой части (5.3) можно
написать в виде
X
q
aj
1 XX
(5.4)
(
j
)
e
q
'(q) q j=1
q pi N (ln pi )D (pi )q (pi )e(pi ):
Обозначим
q
X X
Ai = Ai (D ; q ; q; a) = '(1q)
D (li )q (j )e ajq
(5.5)
D ;q j =1
и
X
Gi = Gi(D ; q ; N ) = (ln pi )D (pi )q (pi )e(pi ); i = 1; 2:
(5.6)
pi N
Тогда, используя (5.3){(5.6), из (3.1) находим
Si (N; ) = Ai Gi + O('(D) ln q); i = 1; 2:
(5.7)
Сначала оценим Gi . Положим D (pi )q (pi ) = m (pi ), где m = qDd;1 , тогда из (5.6) получим
X
X
X
Gi =
m(pi) ln pi e(pi ) =
m(ni )(ni )e(ni ) ;
m(pi ) ln pi e(pi ) =
pi N
ni N
n
p N
=
X
Отсюда, используя лемму 2.1 а), находим
ni N
Gi(m ; N ) ; X
2<ni N
X
2<ni N
e(ni ) X
2<ni N
(ni ; ni ;1 ) +
2
( (m ; ni ) ; (m ; ni ; 1))e(ni ; ) + O(N 1=2 ):
p
(ni ; ni ;1 )e(ni ) + N X
(e(ni ) ; e((ni + 1)))
2<ni N ;1
p
+ N jN j +
X
2<ni N
X
2<tni
(t ; t;1 ) +
p
je(ni ) ; e((ni + 1))j jni j + N:
Далее, принимая во внимание je(ni ) ; e((ni + 1))j jj (qQ);1 , будем иметь
X
p
Gi(m ; N ) ; e(ni ) jN j + N (qQ);1 max
j
j
+
N
N
ni
2<ni N
Таким образом, из (5.7) и (5.8) находим
Si (N; ) = Ai
p
N (qQ);1jN j N 2(qQ);1 exp(;c6 ln N ): (5.8)
2
p j
A
j
exp(
;
c
e(ni ) + O N
6 ln N ) :
qQ i
2<ni N
X
8
(5.9)
Теперь найдем Ai . В силу леммы 2.2 D (pi )q (pi ) = m (pi ) = m | главный характер (т. е.
= 1) тогда и только тогда, когда D (pi) = q (pi ) и q (pi ) = d(pi ) для всех (pi ; m) = 1.
Поэтому, применяя лемму 2.2 при Q0 = D, Q00 = q, Q = m, из (5.5) получим
q
q
X X
XX
d(li )d(j )e ajq = ''((dq))
D (li )q (j )e ajq = '(1q)
Ai = '(1q)
D ;q j =1
d j =1
q
X0
j =1
j li (mod d)
e ajq :
Отсюда, используя лемму 2.3, находим
;1 ) aN1 li (
qd
Ai = R(D) '(qd;1 ) e q :
(5.10)
Из (3.3), (5.9) и (5.10) следует утверждение леммы 5.4
Лемма 5.5. Справедлива оценка
q
X X0 Z
qP a=1 M (q;a)
Доказательство.
(3.10)
p
jS (N; ) ; V (N; ; q; a)j2 d N 3P 3D2 exp(;2c6 ln N ):
Утверждение леммы следует из леммы 5.4, если учесть в силу (3.3) и
Vi (N; ; q; a) ';1 (qd;1 )jg1(i) (N; )j N';1 (qd;1 ):
Действительно, из леммы 5.4 следует
p
S (N; ) ; V (N; ; q; a) (jV1 (N; ; q; a)j + jV2(N; ; q; a)j)NPq;1 exp(;c6 ln N ) +
p
p
p
+ (NPq;1 exp(;c6 ln N ))2 N 2 P';1 (qd;1 )q;1 exp(;c6 ln N ) + N 2 P 2 q;1 exp(;2c6 ln N ):
Отсюда
q
X X0 Z
qP a=1 M (q;a)
Лемма 5.6.
jS (N; ) ; V (N; ; q; a)j2 d X
X
N 4 Pp4
N 4 Pp2
'(q) +
'(q)q;5 Q;1 3
2
;
1
q
Q'
(
qd
)
exp(2c6 ln N ) qP
exp(4c6 ln N ) qP
p
N 3P 3 D2 exp(;2c6 ln N ): Справедливо соотношение
Z
1+Q;1 Q ;1
Доказательство.
Z
S (N; ) ;
q=1 a=1
2
V (N; ; q; a) d N 3 D2 P ;1 ln12 N:
В силу леммы 5.3 оцениваемый интеграл можно представить в виде
1+Q;1 Q;1
q
1 X0
X
q
2
3 D 4 ln4 N N
S (N; ) ;
V (N; ; q; a) d + O
:
P2
qP a=1
X X0
(5.11)
Пусть M = [Q;1 ; 1 + Q;1 ] n T . Тогда интеграл по [Q;1 ; 1 + Q;1 ] в (5.11) можно записать как
сумму интегралов по M и по T , которые обозначим через K1 и K2 соответственно.
K2 оценим при помощи леммы 4.1
K2 Z
T
jS (N; )j2 d +
k 0
Z XX
T kP h=1
2
V (N; ; k; h) d N 3 D2 P ;1 ln12 N:
9
(5.12)
Для оценки интеграла K1 используем леммы 5.1 и 5.5. Это дает
K1 Z
M
S (N; ) ;
k 0
XX
kP h=1
2M (k;h)
2
V (N; ; k; h) d +
+
Z
k
X X0
p
2
V (N; ; k; h) d N 3 P 3D2 exp(;2c6 ln N ): (5.13)
M kP h=1
=2M (k;h)
Теперь из (5.11){(5.13) следует утверждение леммы 5.6.
Б. В случае P = P1 получится E = 1 и существует исключительный вещественный (нуль )
характер er , где r P11=4 = P2 . Пусть (k ) | сумма Гаусса, т. е.
(k ) =
k
X
n=1
k (n)e(n=k):
Из теоремы Пейджа и Зигеля о нулях L-функции Дирихле [6] следует, что 1 ; c7 ln;1=2 N < <
1 ; c(")r;" , т. е. r (ln N )1=2" . Положим " = "1 = (2A + 6);1 , тогда r > (ln N )A+2 .
Известно, что ведущие модули вещественного примитивного характера могут равняться
только 4, 8 и p > 3 | простое число. Так как m = qDd;1 , d = (q; D), D = p , D lna X ,
(qd;1 ; D) = 1, qd;1 бесквадратный, то отсюда следует, что r n m равносильно тому, что r n qd;1 ,
т. е. r n q.
e a) если r 6 nq , то
Лемма 5.1.
q
X X0 Z
qP a=1 M (q;a)
b) если r n q, то
q
X X0 Z
qP a=1 M (q;a)
где
jS (N; ) ; V (N; ; q; a)j2 d N 3 Pp3D2 ;
exp(2c6 ln N )
2
e i
2
Y
3 3
S (N; ) ; (Vi ; V ) d N P pln P ;
exp(2c6 ln N )
i=1
Vei = Ai (q ; D ; q; a)g(i) (N; ):
Доказывается так же, как и лемма 5.5. При этом в доказательстве утверждения a) используется лемма 2.1 a), а в доказательстве утверждения b) | лемма 2.1 b).
e ([3], лемма 5.2). Если k | характер по mod k , индуцированный примитивным
Лемма 5.2
характером k , то r n k и (k ) = (k=r)r (k=r) (r ), j (r )j2 = r.
Из равенства (5.5) следует
e Если существует исключительный характер по модулю m = qDd;1 , то
Лемма 5.3.
q
X0
1
Ai (D ; q ; q; a) = '(q) em (ali ) em(h)e(h=q):
h=1
Далее для a q P , (a; q) = 1, r n m, 2 M (q; a) положим W (N; ) = Ve1 Ve2 ; V1 Ve2 + Ve1 V2 , в
других случаях W (N; ) = 0.
e Справедлива оценка
Лемма 5.4.
Z
1+Q;1 Q;1
S;
q
1 X0
X
q=1 a=1
2
V (N; ; q; a) ; W (N; ) d N 3 D2 P ;1 ln12 N:
10
Доказательство.
1+Q;1 Z
В силу леммы 5.3 оцениваемый интеграл представим в виде
S;
Q;1
q
X X0
qP a=1
2
V (N; ; q; a) ; W (N; ) d + O(N 3 P ;2 (D ln N )4 ):
(5.14)
Интеграл по [Q;1 ; 1+ Q;1 ] в (5.14) представим суммой интегралов по M и T . Тогда учитывая,
что W (N; ) = 0 для 2 T , и используя леммы 4.1, 5.1 и 5:e1, получим утверждение леммы
(подробности | в [2]).
6. Исследование функции
Положим
D(N; h) =
Лемма 6.1.
1+Q;1
Z
Q;1
W (N; )
W (N; )e(;h)d:
(6.1)
Имеет место оценка
j'2 (D)R(N; n) ; J (N; n)(n) ; D(N; n)j2 N 3D3P ;1 ln12 N;
X
2<n2N
где R(N; n), J (N; n) и (n) = (0; n) определены в виде сумм (3:6), (3:8) и (5:2).
Доказательство. Пусть
(
2
F (N; h) = ' (D)R(N; h) ; J (N; h) ; D(N; h); 0 < h 2N ;
D(N; h) в других случаях:
Тогда в силу (6.1), (5.1) и (3.5) функция F (N; h) является коэффициентом Фурье функции
S;
q
1 X0
X
q=1 a=1
V (N; ; q; a) ; W (N; ):
Применяя неравенство Бесселя и лемму 5:e4, получим утверждение леммы.
Пусть r n m и
I1(i)
= I1(i) (n; q; D; a) =
I2(i) = I2(i) (n; q; D; a) =
тогда
Z
Z
M (q;a)
M (q;a)
Vi Vei e(;n)d; i = 1; 2;
(6.2)
Ve e(;n)d; Ve = Ve1 Ve2 ;
(6.3)
B1(i) = B1(i)(n; q; D; a) = (qd;1 )';1 (qd;1 )e(aq;1 (N1 li ; n))Ai ; i = 1; 2;
B2 = B2(n; q; D; a) = A1 A2 e(;aq;1 n);
I1(i) = B1(i)
и
Z
1=qQ
;1=qQ
I2 = B2
Z
g1(i) (N; )g(i) (N; )e(;n)d; i = 1; 2;
1=qQ
g(1) (N; )g(2) (N; )e(;n)d:
;1=qQ
Теперь, если q P , r n qd;1 и k = qr;1 , то из (6.4)
q
X0
a=1
и леммы 5:e3 следует оценка
1=2
B1(i) (n; q; D; a) 'r2 (q) '(d)'(r)er (k)2 jCk (N1 li ; n)j2 (k):
11
(6.4)
(6.5)
(6.6)
(6.7)
Аналогично из (6.5) и леммы 5:e3 получим
q
X0
a=1
где
B2(n; q; D; a) '21(q) er (l1 l2 )2 (k)e2r (k) (er )2 Cq (;n);
q
X0 (q1 ) '(q); q = q :
=
e am
1
q
'(q1 )
(q; jmj)
a=1
Лемма 6.2 ([2], лемма 9.4). Пусть Li = jN1 li ; nj, тогда
X
2(k)';2 jCk (N1li ; n)j Li ';1 (Li ):
Cq (m) =
(6.8)
(6.9)
kPr;1
Если r n m, то
Лемма 6.3.
q
X X0
qP a=1
I1(i) (n; q; D; a) Nr1=2 '(d)Li ('(r)'(Li ));1 :
Используя неравенство Шварца и (3.2) в (6.6), а затем применяя лемму
6.2, получим утверждение леммы.
Пусть
Доказательство.
J (N; n) =
Тогда
Z
1=qQ
;1=qQ
Далее положим
Z
1=2
;1=2
g(1) g(2) e(;n)d =
n=n1 +n2
2n1 ;n2 N
(n1 n2 );1 :
g(1) g(2) e(;n)d = J (N; n) + O qN
P :
G(N; n) =
Если n N , то
Лемма 6.4.
X
q
X X0
qP a=1
rnqd;1
B2 (n; q; D; a):
(6.10)
(6.11)
(6.12)
q
4 ln1=2 N :
I2(n; q; D; a) = J (N; n)G(N; n) + O qN
(
n
)(ln
ln
N
)
P
qP a=1
X X0
rnq
Доказательство.
Согласно (6.7) и (6.11) из (6.8), (6.9) и (6.12) получим
q
X X0
qP a=1
rnqd;1
где
X
=
1
Nr2 X ;
I2(n; q; D; a) ; J (N; n)G(N; n) P'
(r) 1
2 (k)2 (k;kn) '(kk) ';1 (k;kn) (ln ln N )3 (n) ln1=2 N:
kPr;1
X
(k;r)=1
Так как r';1 (r) ln ln N , то из (6.13) и (6.14) следует утверждение леммы.
12
(6.13)
(6.14)
Лемма 6.5.
Если n 2N , то D(N; n) ; J (N; n)G(N; n) NP ;1 r (n)(ln ln N )4 ln1=2 N +
Nr;1=2 '(d)(ln ln N )2 .
Доказательство.
В силу (6.1){(6.3) имеем
D(N; n) =
q
X X0
qP a=1
(I2 ; I1(1) ; I1(2) ):
Далее, применяя леммы 6.3 и 6.4, будем иметь
D(N; n) ; J (N; n)G(N; n) NP ;1 (n)r(ln ln N )4 ln1=2 N + Nr1=2'(d)';1 (r) ln ln N:
Отсюда следует утверждение леммы 6.5, если учесть, что
'(r) r(ln ln r);1 ; где P r > lnA+2 N: 7. Доказательство теоремы 1
A. Случай P = P2 . Из (3.5) и (5.1) при y = 0, используя тождество Парсеваля и лемму 5.6,
находим
2
X
(7.1)
('2 (D)R(N; n) ; J (N; n)(n))2 (ND) '(D) ln12 N:
P
n2N
Здесь для четного n
(n) = (0; n) = D
1
X
k=1
(k)';2 (k)
X
tnn; (t;D)=1
2 (t)';1 (t) =
= D
p(p ; 2) Y (p ; 1)2 Y p ; 1 ;
2
p>2 (p ; 1) pnD p(p ; 2) pnn;p6nD p ; 2
Y
p>2
p>2
где = 1, если D четное; при D нечетном = 2 (более подробно относительно (n) см. x 7 из
[1]). Отсюда
(n) D:
(7.2)
Из (7.1) следует, что для всех n 2N , исключая не более чем
c8 NP ;1=3 '(D) ln4 N
(7.3)
значений из них, справедлива формула
4 ln ln D
J
(
N;
n
)
(
n
)
N
(ln
N
)
p
R(N; n) = '2 (D) + O
:
(7.4)
'(D) exp(c6 ln N=600)
Согласно (7.2) и (3.9) при N=2 < n N имеем
J (N; n)(n) DN:
Тогда из (7.4) находим
R(N; n) DN';2(D)
1 ; P ;1=3 ln4 N
N';1 (D):
Из (7.3) и (7.5) сразу следует утверждение теоремы 1 с X = N . Из (7.5) следует, что
p ;
R(n) n('(D) ln2 n);1 1 ; (ln n)2 exp(;c9 ln n) :
13
(7.5)
(7.6)
Б. Случай P = P1 . В силу (6.13) и (6.8) имеем
jG(N; n)j e(n) + O(P ;1rd (n)(ln ln N )4 );
где
e (n) =
(7.7)
p(p ; 2) Y p (n)
2
pnrd p ; 1 p6nnrd (p ; 1) pnnrd p ; 1
1
Y
Y
p6nn
(подробные выкладки см. в [1] и [2]).
Учитывая J (N; n) N (см. (6.10)), из леммы 6.5 и неравенства (7.7) получим для четного
n 2N
jD(N; n)j J (N; n)(n) + O;P ;1 dr (n)(ln ln N )4 ln1=2 N + O;Nr;1=2'(D)(ln ln N )2: (7.8)
Лемма 7.1.
Существует такая положительная постоянная c10 , что
J (N; n) ; J (N; n) > c10 r;"1 J (N; n); "1 = (2A + 6);1 :
;"
Доказательство. В силу теоремы Зигеля 1=2 < 1 ; c("1 )r 1 . Поэтому при n1 n2 > 1
будем иметь
;
;
1 ; (n1 n2 );1 > 1 ; exp ; c("1 )r;"1 ln(n1 n2 ) > c10 r;"1 :
Теперь, используя последнюю оценку, из (6.10) и (3.8) получим утверждение леммы.
Из (7.8) и леммы 7.1 следует, что если n 2N и n 0(mod 2), то
jJ (N; n)(n) + D(N; n)j > c10 r;" J (N; n)(n) +
1
N
N
1
=
2
4
2
+ O P rd (n)(ln ln N ) ln N + O r1=2 '(D)(ln ln N ) : (7.9)
Согласно лемме 6.1
'2 (D)R(N; n) ; J (N; n)(n) ; D(N; n) NP ;1=3 D'(D)
(7.10)
для всех n 2N , за исключением не более чем
c11';1 (D)NP ;1=3 ln12 N
(7.11)
значений из них.
Лемма 7.2. Для всех четных чисел n, N=2 < n N , за исключением не более чем
c12 N';1 (D)P ;1=3 ln N значений из них, справедлива оценка
jJ (N; n)(n) + D(N; n)j NP ;"1=4 D:
P
Известно, что
(n) N ln N . Отсюда (n) P 1=3 '(D) для всех n,
nN
n N , за исключением не более чем c12 NP ;1=3 ';1 (D) ln N значений n.
Следовательно, согласно (7.9)
Доказательство.
jJ (N; n)(n) + D(N; n)j > c10 J (N; n)(n) + O(Nr;1P ;5=12 '(D)d(ln ln N )4 ln1=2 N ) +
+ O(Nr;1=2 (ln ln N )2 '(d)) r;" ND(1 ; c13 (ln ln N )2 (ln N );(A+2)( ;" ) ) r;" ND:
Так как r P , то отсюда следует утверждение леммы.
1
2
1
14
1
1
Поскольку R(N; n) не отрицательное, то
R(N; n) ';2(D)fjJ (N; n)(n) + D(N; n)j ; j'2 (D)R(N; n) ; J (N; n)(n) ; D(N; n)jg:
Следовательно, учитывая P = P1 , из (7.10) и леммы 7.2 получим
;
; 31 + "41 > NDP ; 201 :
R(N; n) > PND
"1 =4 c14 ; c15 '(D )P
Из последнего соотношения следует
p An
n
exp(
;
c
ln
14 ln n)
p
R(n) >
1;
:
(7.12)
'(D) ln2 n
exp(3c14 ln n)
Из (7.6) и (7.12), учитывая (7.3) и (7.11), получим утверждение теоремы 1. В заключение автор выражает благодарность за поддержку и полезные советы профессорам
А.Ф. Лаврику и М.И. Исраилову.
Литература
1. Лаврик А.Ф. К бинарным проблемам аддитивной теории простых чисел в связи с методом
тригонометрических сумм И.М. Виноградова // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. матем. { 1961.
{ Вып. 13. { С. 11{27.
2. Vaughan R.C. On Goldbach's problem // Acta arithm. { 1972. { V. 21. { Є 1. { P. 21{48.
3. Montgomery H.L., Vaughan R.C. The exceptional set in Goldbach's problem // Acta arithm. {
1975. { V. 27. { P. 353{370.
4. Аллаков И.А. Некоторые оценки снизу для числа представлений гольдбаховых чисел //
Вопр. вычисл. и прикл. матем. { Ташкент. { 1985. { Є 77. { C. 37{41.
5. Хамзаев Э. О представлении натуральных чисел в виде суммы простого и квадрата целого
из арифметической прогрессии // Узб. матем. журн. { 1991. { Є3. { C. 64{75.
6. Дэвенпорт Г. Мультипликативная теория чисел. { М.: Наука, 1971. { 199 с.
 eine Erweiterung des Goldbachen Problems // Math. Zeit. { 1925. { Bd. 25.
7. Rademacher H. Uber
{ S. 627{657.
8. Аллаков И.А. Об исключительном множестве в бинарной проблеме Гольдбаха. { Ред. журн.
\Изв. АН УзССР. Сер. физ.-матем. наук". { Ташкент, 1981. { 76 с. { Деп. в ВИНИТИ 11.11.81,
Є 5087{82.
9. Прахар К. Распределение простых чисел. { М.: Мир, 1967. { 511 с.
10. Исраилов М.И., Аллаков И.А. Об оценке тригонометрических сумм по простым числам
арифметических прогрессий // ДАН УзССР. { 1982. { Є 4. { C. 5{6.
Термезский государственный университет
15
Поступили
первый вариант 17:02:1997
окончательный вариант 29:02:2000
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
16
Размер файла
234 Кб
Теги
прогрессия, арифметических, простые, суммой, представление, чисел, нечетный, четных, двух
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа