close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О приведении уравнений Монжа-Ампера к уравнению Эйлера-Пуассона.

код для вставкиСкачать
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОО ОСУДАСТВЕННОО УНИВЕСИТЕТА
Физико-математические науки
2009
Том 151, кн. 4
УДК 514.763.85
О ПИВЕДЕНИИ УАВНЕНИЙ МОНЖА АМПЕА
К УАВНЕНИЮ ЭЙЛЕА ПУАССОНА
А.. Кушнер
Аннотация
В работе приводятся необходимые и достаточные условия контактной эквивалентности уравнений Монжа Ампера уравнению Эйлера Пуассона.
Ключевые слова:
контактные преобразования, ормы Лапласа.
Введение
Уравнение Монжа Ампера имеет следующий вид:
2
Avxx + 2Bvxy + Cvyy + D(vxx vyy ? vxy
) + E = 0,
(1)
где A, B, C, D и E ункции от независимых переменных x, y , неизвестной
ункции v = v(x, y) и ее первых производных vx , vy . Далее мы полагаем, что
ункции A, B, C, D и E принадлежат классу C ? .
Класс уравнений Монжа Ампера выделяется из уравнений второго порядка
тем, что он замкнут относительно контактных преобразований и содержит квазилинейные уравнения.
Этот акт был известен еще Соусу Ли, который в серии работ [13? рассматривал проблему классиикации гиперболических уравнений Монжа Ампера
и которую в современных терминах можно обобщить следующим образом:
Найти классы эквивалентности уравнений Монжа Ампера относительно
псевдогруппы контактных преобразований.
Сам Соус Ли сормулировал условия приведения гиперболических уравнений Монжа Ампера к волновому уравнению vxy = 0 при наличии у них двух
промежуточных интегралов. Напомним, что промежуточным интегралом уравнения Монжа Ампера называется диеренциальное уравнение первого порядка,
каждое решение которого является решением данного уравнения Монжа Ампера.
Заметим, что не все уравнения Монжа Ампера обладают промежуточными
интегралами. Поэтому результаты Ли применимы не ко всем уравнениям Монжа Ампера, а только к тем из них, которые такими интегралами обладают. Кроме
того, проверка наличия промежуточных интегралов у общего уравнения Монжа Ампера, а тем более их построение, является непростой задачей. Доказательства
полученных результатов Ли так и не опубликовал.
В 1978 г. В.В. Лычагин [4? предложил геометрическое описание широкого класса
диеренциальных уравнений второго порядка на гладких многообразиях. Если
размерность многообразия равна двум, то этот класс совпадает с классом уравнений Монжа Ампера (1).
Основная идея Лычагина заключается в представлении уравнений Монжа Ампера и их многомерных аналогов диеренциальными ормами на пространстве 1-джетов ункций на гладком многообразии M .
О ПИВЕДЕНИИ УАВНЕНИЙ МОНЖА АМПЕА
61
Преимуществом такого подхода перед классическим является редукция порядка пространства джетов: используется более простое пространство 1-джетов J 1 M
вместо пространства 2-джетов J 2 M , в котором, будучи уравнениями второго порядка, ad ho должны лежать уравнения Монжа Ампера (см. [5?).
Такая интерпретация уравнений Монжа Ампера позволила по-новому взглянуть на проблему их классиикации и послужила толчком к появлению множества
работ других авторов.
В частности, в 1983 г. В.В. Лычагиным и В.Н. убцовым [6? была решена проблема приводимости невырожденных уравнений (1) к уравнениям Монжа Ампера
с постоянными коэициентами в случае, когда коэициенты A, B, C, D, E
не зависят от переменной v . Такие уравнения они назвали симплектическими.
Оказалось, что если коэициенты A, B, C, D, E уравнения аналитические
ункции, то локальным симплектическим преобразованием оно может быть приведено к квазилинейному виду, то есть к виду (1), где D = 0 .
Кроме того, они нашли условия, при которых симплектические уравнения приводятся к уравнению Монжа Ампера с постоянными коэициентами A, B, C,
D, E и показали, что если это условие выполняется, то гиперболические уравнения локально эквивалентны волновому уравнению vxy = 0 , а эллиптические уравнению Лапласа vxx + vyy = 0 .
Впоследствии Д.В. Туницкий снял требование независимости коэициентов
уравнения (1) от переменной v и решил проблему приведения уравнений Монжа Ампера к уравнениям с постоянными коэициентами в общем виде [7?.
Задача эквивалентности симплектических уравнений Монжа Ампера была решена Б.С. Кругликовым [8? и нами [9?, а для уравнений переменного типа нами
[10?.
Проблема приведения невырожденных уравнений Монжа Ампера к линейным
уравнениям
vxx ± vyy = a(x, y)vx + b(x, y)vy + c(x, y)v + g(x, y)
(2)
была решена нами в серии работ [1113?, а в работах [1418? были построены различные линейные нормальные ормы для уравнений Монжа Ампера гиперболического, эллиптического и переменного типов. В частности, были найдены условия
приведения уравнений Монжа Ампера к уравнениям вида (2), где a = b = 0 , а
также к телеграному уравнению
vxy = v
и уравнению ельмгольца
vxx + vyy = ?v + f (x, y),
? ? R \ {0}.
В наших работах [1113? были построены две диеренциальные 2-ормы ?+
и ?? , которые являются инвариантами уравнений Монжа Ампера относительно
контактных преобразований. Примечательно, что коэициенты этих орм, вычисленных для линейных гиперболических уравнений, представляют собой классические инварианты Лапласа k и h [19, 20?. Поэтому ормы ?+ и ?? были названы
ормами Лапласа.
Подробный обзор и новые результаты по классиикации уравнений Монжа Ампера можно найти в работе [21? и монограии [22?.
В настоящей работе мы приводим необходимые и достаточные условия, при
которых уравнение Монжа Ампера контактно эквивалентно уравнению ЭйлераПуассона:
?
?
??
vxy =
vx +
vy ?
v.
(3)
x+y
x+y
(x + y)2
62
А.. КУШНЕ
Здесь ?, ? ? R . ешение этой задачи будет сормулировано в терминах орм
Лапласа.
1. Операторы и уравнения Монжа Ампера: подход Лычагина
Пусть M двумерное гладкое многообразие и J 1 M пространство 1-джетов
гладких ункций на M . Каждая диеренциальная 2-орма ? ? ?2 (J 1 M ) может
рассматриваться как нелинейный диеренциальный оператор
?? : C ? (M ) ? ?2 (M ),
действующий на ункцию v ? C ? (M ) по следующему правилу [4?:
?? (v) = ?|j1 (v)(M) .
(4)
Здесь j1 (v)(M ) ? J 1 M граик 1-джета ункции v , ?|j1 (v)(M) ограничение
диеренциальной ормы ? на этот граик.
Оператор ?? называется оператором Монжа Ампера, а соответствующее
уравнение E? = {?? (v) = 0} уравнением Монжа Ампера.
ладкое многообразие 1 -джетов J 1 M , dim J 1 M = 5 , снабжено естественной
контактной структурой, задаваемой распределением Картана:
C : J 1 M ? a 7? C(a) ? Ta (J 1 M ),
или диеренциальной 1-ормой Картана U , которая в стандартных локальных
координатах q1 , q2 , u, p1 , p2 на J 1 M имеет следующий канонический вид:
U = du ? p1 dq1 ? p2 dq2 .
Подпространство C(a) = ker Ua касательного пространства Ta (J 1 M ) называется подпространством Картана [5?.
Диеоморизм ? : J 1 M ? J 1 M , сохраняющий распределение Картана, называется контактным. Соответственно, векторное поле X на J 1 M называется
контактным, если LX (U) = ? U для некоторой ункции ? [5?. Здесь LX (U) производная Ли от U вдоль векторного поля X .
Отметим, что контактное векторное поле X однозначно определяется ункцией f = U(X) , которая называется производящей ункцией контактного векторного
поля X . Поэтому контактное векторное поле с производящей ункцией f обозначают Xf .
Диеренциальные ормы на J 1 M , исчезающие на любом интегральном многообразии распределения Картана и поэтому порождающие нулевые
диеренци
альные операторы, образуют идеал во внешней алгебре ?? J 1 M . Обозначим этот
идеал через
M
I? =
I s , где I s ? ?s J 1 M .
s?0
В силу обобщения теоремы Лепажа [23?, этот идеал порожден диеренциальными ормами вида
U ? ? + d U ? ?,
где ? и ? некоторые диеренциальные
ормы.
Элементы актор-модуля ?2 J 1 M /I 2 называются эективными 2-ормами [4?.
Пусть ? диеренциальная 2-орма на J 1 M . Отвечающую ей эективную
орму мы будем обозначать ?? , то есть ?? = ? mod I 2 .
О ПИВЕДЕНИИ УАВНЕНИЙ МОНЖА АМПЕА
63
Пусть X1 контактное векторное поле с производящей ункцией 1 . В каждой
точке a ? J 1 M касательное пространство Ta J 1 M распадается в прямую сумму
Ta J 1 M = hX1,a i ? C(a).
Это разложение позволяет отождествить эективные ормы с диеренциальными ормами на J 1 M .
Определим действие контактных диеоморизмов на уравнениях Монжа Ампера.
Пусть ? контактный диеоморизм на J 1 M . Тогда ?? сохраняет модуль
2
I и поэтому определяет отображение эективных 2 -орм:
?? : ?
mod I 2 7? ?? (?)
mod I 2 .
Определим действие ?? на эективных ормах следующим образом:
?? (?? ) = ?? (?)? .
Определим теперь действие контактного диеоморизма ? на уравнения
Монжа Ампера, положив ?(E? ) = E?? (?? ) .
Два уравнения Монжа Ампера E?1 и E?2 назовем локально контактно эквивалентными в точке a ? J 1 M , если существует такой локальный контактный
диеоморизм ? некоторой окрестности Oa этой точки, что ?(a) = a и ?(E?1 ) =
= E?2 .
В терминах диеренциальных орм это означает, что (?? (?1 ))? = h? (?2 )?
для некоторой ункции h? ? C ? (J 1 M ) , h? (a) 6= 0 .
2. еометрические структуры на J 1 M
Ограничение диеренциала ормы Картана на подпространство Картана
C(a) невырождено и определяет на нем симплектическую структуру ?a
Определим ассоциированное с ормой ? поле операторов A? , действующих на
распределении Картана C , следующим образом [6?:
A? X? ? = X ? ?.
Здесь X векторное поле из распределения
Картана.
Функция Pf(?) ? C ? J 1 M , определяемая равенством
Pf(?)? ? ? = ? ? ?,
(5)
(6)
называется паианом ормы ? [6?.
Квадрат оператора A? скалярен и
A2? + Pf (?) = 0.
(7)
Пусть ? эективная диеренциальная 2-орма. Уравнение E? называется гиперболическим, параболическим или эллиптическим в точке a ? J 1 M , если
паиан в этой точке Pf(?) отрицательный, нулевой или положительный соответственно.
Если в точке a ? J 1 M паиан меняет знак, то соответствующее уравнение
называется уравнением переменного типа в этой точке. Если Pf(?)(a) 6= 0 , то
уравнение называется невырожденным в точке a . Если для уравнения E? паиан не обращается в нуль в некоторой области, то орму ? можно нормировать
так, чтобы Pf(?) = ?1 в гиперболическом случае или Pf(?) = 1 в эллиптическом.
Оператор A? , отвечающий нормированной орме ? , мы будем обозначать A .
64
А.. КУШНЕ
Таким образом, для гиперболических уравнений нормированный оператор порождает на подпространстве Картана структуру почти произведения (A2a = 1) , а
для эллиптических уравнений комплексную структуру (A2a = ?1) .
Собственные подпространства оператора A двумерны и порождают два распределения C+ и C? на J 1 M , которые мы будем называть характеристическими.
Пересечение первых производных этих распределений порождает одномерное распределение l , трансверсальное распределению Картана [24?.
Таким образом, для гиперболических уравнений в каждой точке a ? J 1 M касательное пространство к многообразию 1 -джетов распадается в прямую сумму
трех подпространств:
Ta (J 1 M ) = C+ (a) ? l(a) ? C? (a),
(8)
и гиперболическое уравнение Монжа Ампера порождает на пространстве J 1 M
набор из трех распределений P = (C+ , l, C? ) . Такая структура является частным
случаем структуры r -кратного почти произведения [21?.
Невырожденное уравнение Монжа Ампера мы называем регулярным, если
(k)
производные C± , k = 1, 2, 3, характеристических распределений также являются
распределениями.
3. Формы Лапласа
Обозначим распределения C+ , l, C? через P1 , P2 , P3 соответственно. Пусть
Di = D(Pi ) модули векторных полей из распределения Pi , i = 1, 2, 3 .
Формула (8) влечет за собой разложение в прямую сумму модуля диеренциальных 1-орм на J 1 M :
?1 (J 1 M ) = ?1,0,0 ? ?0,1,0 ? ?0,0,1 .
(9)
Здесь ?1,0,0 модуль диеренциальных 1-орм на J 1 M , аннулирующихся на
распределениях P2 и P3 . Остальные слагаемые в (9) определяются аналогично.
s
Определим тензорные поля qj,k
типа (2,1) на J 1 M следующим образом:
s
qj,k
(X, Y ) = ?Ps [Pj X, Pk Y ] ,
(10)
где Pj : D(J 1 M ) ? Dj проектор на распределение Pj , j, k, s = 1, 2, 3, s 6= j, k
(см. [13?).
Построенные тензорные поля позволяют определить диеренциальные 2ормы, ассоциированные с уравнением Монжа Ампера.
Пусть A, B ? ?2 ? D тензорные поля типа (2,1) на J 1 M . Здесь ?2 = ?2 (J 1 M )
и D = D(J 1 M ) .
В силу естественного вложения
?
?2 ? D ? ?2 ? D ?? ?1 ? ?1 ? D ? ?1 ? ?1 ? D
тензорное произведение A ? B можно рассматривать как элемент пространства
T = ?1 ? ?1 ? D ? ?1 ? ?1 ? D.
Пусть Cji операция свертки элемента пространства T по индексам i и j, i =
= 3, 6, j = 1, 2, 4, 5 . Тогда композиция C16 ? C43 действует в пространство тензоров
?1 ? ?1 :
C16 ? C43 : T ? ?1 ? ?1 .
О ПИВЕДЕНИИ УАВНЕНИЙ МОНЖА АМПЕА
65
Прямые вычисления показывают, что
hA, BiW = C16 ? C43 (?(A) ? ?(B) ? ?(B) ? ?(A))
(11)
является внешней диеренциальной 2-ормой на J 1 M . Операцию h·, ·iW мы
называем операцией косой свертки.
Замечание 1. На разложимых тензорах, то есть на тензорах вида ? ? X и
? ? Y , где ?, ? ? ?2 и X, Y ? D , скобка h·, ·iW имеет вид:
h? ? X, ? ? Y iW = (Y ??) ? (X??).
s
Формы Лапласа определяются как косые свертки тензорных полей qj,k
:
2
2
1
3
?? = q1,1
, q2,3
и ?+ = q3,3
, q1,2
.
W
W
(12)
Диеренциальные 2-ормы (12) являются основным инструментом при классиикации уравнений Монжа Ампера и называются ормами Лапласа уравнения
Монжа Ампера [1113?. По построению ормы Лапласа являются инвариантами
уравнений Монжа Ампера относительно контактных преобразований.
Например, для уравнения
vxy = f (x, y, v, vx , vy )
эти ормы имеют вид:
?? =fp2 p2 (fp1 dq1 ? du ? dq1 ? dp2 ) +
(fu ? p2 fp2 u + fp1 fp2 ? p2 fp1 fp2 p2 ? f fp1 p2 ? fq2 p2 ) dq1 ? dq2 ,
?+ =fp1 p1 (fp2 dq2 ? du ? dq2 ? dp1 ) +
(?fu + p1 fp1 u ? fp1 fp2 + p1 fp2 fp1 p1 + f fp1 p2 + fq1 p1 ) dq1 ? dq2 .
Замечание 2. Если вместо скобки (11) рассмотреть скобку
hA, BiS =
1 6
C ? C43 (?(A) ? ?(B) + ?(B) ? ?(A)),
2 1
то мы получим симметрическую билинейную орму.
4. Скалярные диеренциальные инварианты
гиперболических уравнений
Пусть ?+ и ?? ормы Лапласа для гиперболического уравнения E? .
Допустим, что для уравнения Монжа Ампера выполняются следующие условия:
1) обе ормы Лапласа не обращаются в нуль в точке a ? J 1 M ;
2) ?? ? ?? = ?+ ? ?+ = ?? ? ?+ = 0 .
Из условия 2) следует, что ормы Лапласа являются внешним произведением
диеренциальных 1-орм
?+ = r+ ?? ? ?+
и ?? = r? ?+ ? ??
Здесь r+ и r? некоторые ункции, ?+ ? ?1,0,0 и ?? ? ?0,0,1 (см. [11?).
Диеренциальные 1-ормы ?± определены с точностью до умножения на
ункцию и порождают два 4-мерных распределения F h?+ i и F h?? i на J 1 M .
66
А.. КУШНЕ
Помимо условий 1) и 2) допустим, что эти распределения вполне интегрируемы
и ормы Лапласа замкнуты.
Тогда для любого векторного поля Z из распределения l производные Ли равны нулю:
LZ (?± ) = Z?d?± = 0.
Пусть теперь Y произвольное векторное поле из одномерного распределения
(2)
C+ ? C? . Так как
Y ??+ = 0 и Y ??? = 0,
то
Y ??+ = 0 и
Y ??? 0.
В силу замкнутости орм Лапласа это означает, что производные Ли этих орм
вдоль векторного поля Y равны нулю:
LY (?± ) = Y ?d?± = 0.
Аналогично получаем, что производные Ли от орм Лапласа вдоль любого
(2)
векторного поля X из распределения C? ? C+ также равны нулю.
Таким образом, производные Ли от орм Лапласа вдоль каждого векторного
поля из вполне интегрируемого трехмерного распределения F h?+ , ?? i равны нулю.
Это означает, что ормы Лапласа являются диеренциальными ормами
на расслоении интегральных многообразий распределения F h?+ , ?? i , то есть они
имеют вид:
?+ = ?+ (g, h)dg ? dh и ?? = ?? (g, h)dg ? dh,
(13)
где g и h первые интегралы распределений C+ (2) и C? (2) соответственно. Функции ?+ и ?? не обращаются в нуль в точке a .
Теорема 1. Функции
J+ =
1 ?2
ln |?+ |
?+ ?g?h
и
J? =
1 ?2
ln |?? |
?? ?g?h
являются инвариантами уравнения Монжа Ампера относительно контактных
преобразований.
Доказательство. Пусть E? и E?e два уравнения Монжа Ампера, удовлетворяющие перечисленным выше условиям. Пусть эти уравнения локально контактно эквивалентны, то есть
(?? (e
? ))? = h0 ?
для некоторого контактного преобразования ? . Здесь h0 некоторая ункция.
Тогда
e± ) = ?±
?? (?
(14)
или
e± ) = ?? .
?? (?
(15)
Без ограничения общности можно считать, что выполняется (14). Действительно, если имеет место (15), то, умножив орму ? на ?1 , мы получим (14). Тогда
ge = ?(g) и e
h = ?(h) , где ? и ? некоторые ункции, такие, что ?? ? ? 6= 0 . Пусть
? одна из ункций ?+ или ?? . Тогда
e g, e
?? (?(e
h)) =
?(g, h)
.
?? (g)? ? (h)
О ПИВЕДЕНИИ УАВНЕНИЙ МОНЖА АМПЕА
Учитывая, что
J=
мы получаем:
67
??gh ? ?g ?h
,
?3
?? (Je) = J.
Замечание 3. Для линейных уравнений вида
vxy = a(x, y)vx + b(x, y)vy + c(x, y)v,
диеренциальный инвариант J+ совпадает с диеренциальным инвариантом
q , найденным Л.В. Овсянниковым [20?.
5. Уравнение Эйлера Пуассона
Следующая теорема задает необходимые и достаточные условия локальной эквивалентности уравнений Монжа Ампера уравнению Эйлера Пуассона.
Теорема 2. иперболическое регулярное уравнение Монжа Ампера локально
контактно эквивалентно уравнению Эйлера-Пуассона
vxy =
?
?
??
vx +
vy ?
v,
x+y
x+y
(x + y)2
?, ? ? R,
(16)
в точке a0 ? J 1 M тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:
1) обе ормы Лапласа не обращаются в нуль в точке a0 ? J 1 M и замкнуты;
2) ?? ? ?? = ?+ ? ?+ = ?? ? ?+ = 0 ;
3) распределения F h?? i и F h?+ i вполне интегрируемы;
4) ??? + ??+ = 0 ;
5) диеренциальный инвариант J+ = const 6= 0 .
Доказательство. Для уравнения (16) ормы Лапласа имеют вид
?+ = ?
?
dq1 ? dq2
(q1 + q2 )2
и ?? =
?
dq1 ? dq2 .
(q1 + q2 )2
2
?
и J? =
2
.
?
Поэтому
J+ = ?
Таким образом, условия теоремы являются необходимыми.
Условия 1)3) теоремы означают (см. [11?), что уравнение Монжа Ампера локально контактно эквивалентно линейному уравнению
vxy = a(x, y)vx + b(x, y)vy + c(x, y)v + g(x, y).
(17)
В силу условий 4) и 5) теоремы инварианты
p=
k
h
и q=
1 ? 2 ln h
h ?x?y
этого уравнения постоянны, причем q 6= 0 [20?.
По теореме Овсянникова (см. [20, с. 123?) уравнение (17) заменой переменных
приводится к уравнению (16).
68
А.. КУШНЕ
6. Уравнение Хантера Сакстона
В качестве приложения теоремы 2 рассмотрим уравнение Хантера Сакстона,
возникающее в теории жидких кристаллов [26?. Это уравнение гиперболического
типа, и оно имеет следующий вид:
(18)
vtx = vvxx + ?u2x ,
где ? некоторая константа.
Ему отвечает эективная диеренциальная 2-орма
? = 2udq2 ? dp1 + dq1 ? dp1 ? dq2 ? dp2 ? 2?p21 dq1 ? dq2
и оператор
в базисе
1
0
A? = 0
2?p21
?
?
d
=
+ p1 ,
dq1
?q1
?u
2u
?1
?2?p21
0
0
0
0
0
1
0
2u ?1
d
?
?
=
+ p2 ,
dq2
?q2
?u
?
,
?p1
?
?p2
(19)
модуля D (C) .
Выберем следующий базис модуля векторных полей на J 1 M :
X1 =
?
?
?
+ p1
+ ?p21
,
?q1
?u
?p2
X2 =
?
?
+u
,
?p1
?p2
Z=
?
?
+ (2 ? ? 1) p1
,
?u
?p2
Y1 =
?
?
?
?
+ ?p21
?u
+ (p2 ? up1 )
,
?q2
?p1
?q1
?u
Y2 =
?
?p2
и дуальный ему базис модуля диеренциальных 1-орм:
?1 = dq1 + udq2 ,
?2 = dp1 ? ?p21 dq2 ,
? = du ? p1 dq1 ? p2 dq2 ,
?1 = dq2 ,
?2 = dp2 + (1 ? 2?) p1 du+ (??1) p21 dq 1 + (2? ? 1) p1 p2 dq 2 ? udp1 .
Векторные поля X1 , X2 в первом базисе образуют базис модуля C+ , а поля
Y1 , Y2 базис модуля D(C? ) .
Тензорные инварианты (10) для уравнения (18) имеют следующий вид:
?
?
1
2 ?
q23 = ? (p1 dq1 ? dq2 + dq2 ? du) ?
+ p1
+ ?p1
,
?q1
?u
?p2
69
О ПИВЕДЕНИИ УАВНЕНИЙ МОНЖА АМПЕА
3
q12
= 2( ? ? 1) ?p31 dq1 ? dq2 + ?p21 dq2 ? du ?
? dp1 ? du ? p1 dq1 ? dp1 ? p2 dq2 ? dp1 ) ?
2
q11
=
dq1 ? dp1 ? ?p21 dq1 ? dq2 + udq2 ? dp1
?
?
,
?p2
?
?
+ (2 ? ? 1) p1
?u
?p2
,
2
q33
= dq2 ? dp2 + (1 ? 2?) p1 dq2 ? du + (1 ? ?) p21 dq1 ? dq2 ? udq2 ? dp1 ?
?
?
?
+ (2 ? ? 1) p1
.
?u
?p2
Формы Лапласа для уравнения Хантера Сакстона имеют вид:
?? = ?dq2 ? dp1 ,
?+ = 2 (1 ? ?) dq2 ? dp1 .
Поэтому уравнение (18) удовлетворяет условиям теоремы 2. Контактное преобразование
Q1 = ?q2 +
1
,
p1
Q2 = q2 ,
U = u ? p1 q1 ,
P1 = q1 p21 ,
P2 = p2 ? ?q1 p21 .
переводит орму ? в орму
?
e = dQ1 ? dP1 ? dQ2 ? dP2 +
2U
2(2? ? 1)P1
+
?Q2 ? Q1
(?Q2 ? Q1 )2
dQ1 ? dQ2 ,
которой отвечает линейное уравнение
UQ1 Q2 =
2? ? 1
1
UQ1 ?
U.
Q1 ? ?Q2
(Q1 ? ?Q2 )2
Последнее уравнение масштабным преобразованием
q1 = Q1 ,
q2 = ??Q2
переводится в уравнение Эйлера Пуассона.
Замечание 4. Другое контактное преобразование, переводящее уравнение
Хантера Сакстона в уравнение Эйлера Пуассона, было найдено О.И. Морозовым [25?.
Summary
A.G. Kushner.
On Redution of Monge Ampere Equation to Euler Poisson Equation.
We solve the problem of loal ontat equivalene of Monge Ampere equation to Euler Poisson equation.
Key words:
ontat transformations, Laplae forms.
70
А.. КУШНЕ
Литература
1.
Lie S.
Ueber einige partielle Dierential-Gleihungen zweiter Orduung // Math. Ann. 1872. V. 5. P. 209256.
2.
Lie S.
3.
Lie S.
4.
Лычагин В.В.
5.
Виноградов, А.М., Красильщик И.С., Лычагин В.В.
6.
Лычагин
7.
Туницкий Д.В.
8.
Кругликов Б.С.
9.
Кушнер А..
10.
Kushner A.G.
11.
Кушнер
12.
Кушнер А..
13.
Kushner A.G.
14.
Кушнер
15.
Кушнер А..
16.
Кушнер А..
17.
Кушнер А.., Манжосова Е.Н.
18.
Kushner A.G.
Begrundung einer Invarianten-Theorie der Beruhrungs- Transformationen // Math.
Ann. 1874. V. 8. P. 215303.
Classiation und integration von gew
ohnlihen dierentialgleihungen zwishen
x, y , die eine Gruppe von Transformationen gestatten // Math. Ann. 1888. V. 32. P. 213281.
Контактная геометрия и нелинейные диеренциальные уравнения в
частных производных второго порядка // Докл. АН ССС. 1978. Т. 238, ќ 5. С. 273276.
Введение в геометрию нелинейных диеренциальных уравнений. М.: Наука, 1986. 336 с.
В.В., убцов В.Н. О теоремах Соуса Ли для уравнений Монжа Ампера // Докл. АН БСС. 1983. Т. 27, ќ 5. С. 396398.
О контактной линеаризации уравнений Монжа Ампера // Изв.
АН. Сер. матем. 1996. Т. 60, ќ 2. С. 195220.
О некоторых классиикационных задачах в четырехмерной геометрии: распределения, почти комплексные структуры и обобщенные уравнения Монжа Ампера // Матем. сб. 1998. Т. 189, ќ 11. С. 6174.
Уравнения Монжа Ампера и e -структуры // Докл. АН. 1998. Т. 361, ќ 5. С. 595596.
Sympleti geometry of mixed type equations // Lyhagin V.V. (ed) The
Interplay beetween Dierential Geometry and Dierential Equations. Amer. Math. So.
Transl. Ser. 2. 1995. V. 167. P. 131142.
А.. Контактная линеаризация невырожденных уравнений Монжа Ампера // Изв. вузов. Матем. 2008. ќ 4. С. 4358.
Контактная линеаризация уравнений Монжа Ампера и инварианты
Лапласа // Докл. АН. 2008. Т. 422, ќ 5. С. 597600.
A ontat linearization problem for Monge Ampere equations and Laplae
invariants // Ata Appl. Math. 2008. V. 101, No 13. P. 177189.
А.. Нормальные ормы Чаплыгина и Келдыша уравнений Монжа Ампера // Матем. заметки. 1992. Т. 52, ќ 5. С. 6367.
Приведение гиперболических уравнений Монжа Ампера к линейным
уравнениям с постоянными коэициентами // Докл. АН. 2008. Т. 423, ќ 5. С. 609611.
Нормальные ормы для уравнений Монжа Ампера: телеграное уравнение и уравнение ельмгольца // еометрiя, топологiя та Ёх застосуваня. Збiрник
Праць Iн-ту математики НАН Украiни. 2009. Т. 6, ќ 2. С. 91122.
Симплектическая классиикация гиперболических
уравнений Монжа Ампера // Proeedings of the International Geometry Center. 2008. V. 1, No 12. C. 4170.
On ontat equivalene of Monge Ampere equations to linear equations
with onstant oeients // Ata Appl. Math. 2009. Online First: DOI 10.1007/
s10440-009-9447-z.
О ПИВЕДЕНИИ УАВНЕНИЙ МОНЖА АМПЕА
19.
Laplae P.S.
20.
Овсянников Л.В.
71
Reherhes sur le alul int e? grals aux di e? renes partielles // M e? moires de
l'Aad e? mie royale des Sienes de Paris. 1773. T. 23(24). P. 341402.
рупповой анализ диеренциальных уравнений. М.: Наука,
1978. 399 с.
21.
Kushner A.G.
Classiation of Monge Ampere equations // Dierential Equations:
Geometry, Symmetries and Integrability. Proeedings of the Fifth Abel Symposium,
Tromso, Norway, June 1722, 2008 / Eds. B. Kruglikov, V. Lyhagin, E. Straume. 2008. P. 223256.
22.
Kushner A.G., Lyhagin V.V., Rubtsov V.N.
23.
Лычагин В.В.
24.
Lyhagin V.V.
Contat geometry and nonlinear dierential
equations. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2007. xxii+496 p.
Контактная геометрия и нелинейные диеренциальные уравнения в
частных производных второго порядка // Усп. матем. нуак. 1979. Т. 34, ќ 1. С. 137165.
Letures on geometry of dierential equations. Rome: La Sapienza,
1993. V. 1,2.
25.
Morozov O.I.
Contat equivalene of the generalized Hunter-Saxton equation and the
Euler Poisson equation. Preprint arXiv: math-ph/0406016. 2004. P. 13.
26.
Hunter J.K., Saxton R.
Dynamis of diretor elds // SIAM J. Appl. Math. 1991. V. 51, No 6. P. 14981521.
Поступила в редакцию
27.07.09
Кушнер Алексей урьевич кандидат изико-математических наук, доцент каедры прикладной математики и инорматики Астраханского государственного университета и научный сотрудник Института проблем управления АН, г. Москва.
E-mail: kushneramail.ru
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
11
Размер файла
251 Кб
Теги
уравнения, монжа, пуассона, приведения, ампера, эйлера
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа