close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О приводимости задачи Коши функционально-дифференциальных включений.

код для вставкиСкачать
ISSN 1810-0198 Вестник ТГУ, т. 15, вып. 6, 2010
УДК 517.911, 517.968
О ПРИВОДИМОСТИ ЗАДАЧИ КОШИ
ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ
c
А.И. Булгаков, J.P. Munembe, О.В. Филиппова
Ключевые слова: функционально-дифференциальные включения нейтрального типа;
приводимость.
В работе рассмотрен вопрос разрешимости функционально-дифференциальных включений нейтрального типа с помощью идеи приводимости, сформулированной Н.В. Азбелевым, для функционально-дифференциальных уравнений, правая часть которых
определена на пространстве абсолютно непрерывных функций.
Пусть U ∈ [a, b] — измеримое по Лебегу множество. Обозначим RLn (U) пространство
суммируемых по Лебегу функций x : U → Rn с нормой kxkLn (U ) = |x(s)|ds, Ln∞ (U) —
U
пространство измеримых по Лебегу функций x : U → Rn , ограниченных в существенном,
n
2L (U ) — множество всех подмножеств пространства Ln (U).
Пусть Rn — n -мерное пространство вектор-столбцов с нормой | · |.
Обозначим Cn [a, b] (Dn [a, b]) пространство непрерывных (абсолютно непрерывных)
функций x : [a, b] → Rn с нормой kxkCn [a,b] = max{|x(t)| : t ∈ [a, b]} ( kxkDn [a,b] =
Rb
|x(a)|+ |ẋ(s)| ds), C1+ [a, b] — множество неотрицательных функций пространства C1 [a, b].
a
Пусть X — нормированное пространство с нормой k kX . Обозначим ρX [x; U ] — расстояние от точки x ∈ X до множества U в пространстве X ; h+
X [U1 ; U ] ≡ sup ρX [x, U ] —
x∈U1
полуотклонение по Хаусдорфу множества U1 ⊂ X от множества U в пространстве X;
hX [U1 ; U ] = max{h+ [U1 ; U ]; h+ [U ; U1 ]} — расстояние по Хаусдорфу между множествами U1
и U в пространстве X.
Далее, пусть Φ ⊂ Ln [a, b]. Будем говорить, что множество Φ выпукло по переключению (разложимо), если для любых x, y ∈ Φ и любого измеримого множества e ⊂ [a, b]
выполняется включение χ(e) x + χ([a,b]\e) y ∈ Φ, где χ(·) — характеристическая функция
соответствующего множества. Обозначим через Π(Ln [a, b]) множество всех непустых ограниченных замкнутых выпуклых по переключению подмножеств пространства Ln [a, b].
Рассмотрим задачу Коши
ẋ ∈ Φ(x), x(a) = x0 ,
(1)
где многозначный оператор Φ : Dn [a, b] → Π(Ln [a, b]).
Исследование задачи (1) в общем виде вызывает непреодолимые трудности в связи с
тем, что многозначный оператор Φ : Dn [a, b] → Π(Ln [a, b]), определенный на пространстве
абсолютно непрерывных функций, компактен только в исключительных случаях.
Отметим, что изучением вопроса разрешимости таких включений занимались И.А. Финогенко, А.А. Толстоногов, М. Kisielewicz и др. В работах этих авторов одним из условий предполагалась непрерывность по Хаусдорфу по третьему аргументу (по производной) многозначного отображения в слабой топологии пространства суммируемых функций
1648
ISSN 1810-0198 Вестник ТГУ, т. 15, вып. 6, 2010
(см. [1 – 3]). На наш взгляд, это требование чрезвычайно жесткое, поскольку оно может не
выполняться даже для однозначного оператора Немыцкого линейного относительно производной.
Здесь исследование задачи (1) существенно опирается на идею приводимости
(см. [4]), которую в многозначном случае сформулируем в следующем виде.
Будем говорить, что задача (1) приводима, если найдется многозначное слабо компактное отображение Φ1 : Сn [a, b] → Π(Ln [a, b]), что множество решений задачи
ẋ ∈ Φ1 (x),
x(a) = x0 ,
(2)
совпадает с множеством решений задачи (1).
Идею приводимости функционально-дифференциальных включений рассмотрим на
примере.
Рассмотрим задачу
x(a) = x0 (x(t) ∈ Rn )
ẋ(t) ∈ F (t, x[p(t)], ẋ[g(t)]),
−
(3)
x(ξ) = ϕ(ξ), ẋ(ξ) = ψ(ξ), если ξ ∈ [a, b],
где F : [a, b] × Rn × Rn → comp[Rn ] удовлетворяет следующим условиям: при почти всех
t ∈ [a, b] отображение F (t, ·, ·) непрерывно на Rn × Rn ; при каждых (x, y) ∈ Rn × Rn
отображение F (·, x, y) измеримо (см. [5]); для каждого ограниченного множества U ⊂ Rn
существует неотрицательная функция vU ∈ L1 [a, b] и число cU , что при почти всех t ∈ [a, b]
для всех x ∈ U и y ∈ Rn справедливо неравенство
kF (t, x, y)kRn 6 vU (t) + cU |y|.
(4)
Функции ϕ : R1 \ [a, b] → Rn , ψ : (−∞, a) → Rn ограничены и измеримы по Борелю, а
функция p : [a, b] → R1 измерима по Лебегу. Функция g : [a, b] → Rn монотонно возрастает и удовлетворяет условиям: существует число τ ∈ (0, b − a), что для любого t ∈ [a, b]
µ[g −1 (e)]
< ∞,
выполняется неравенство g(t) 6 t − τ ; справедливо соотношение
sup
µ(e)
e⊂[a,b],µe6=0
( g −1 (e) — прообраз измеримого множества e ); µ[g −1 (e)] = 0, если µ(e) = 0.
Под решением задачи (3) будем понимать абсолютно непрерывную функцию x : [a, b] →
Rn , удовлетворяющую при почти всех t ∈ [a, b] включению (3) и равенству x(a) = x0 .
Определим операторы P : Cn [a, b] → Ln∞ [a, b], G : Ln [a, b] → Ln [a, b] равенствами
(
x[p(t)], если p(t) ∈ [a, b],
(5)
(Px)(t) =
−
ϕ[p(t)], если p(t) ∈ [a, b],
(Gx)(t) =
(
x[g(t)],
если g(t) ∈ [a, b],
−
ψ[g(t)], если g(t) ∈ [a, b].
(6)
Пусть оператор Немыцкого N : Ln∞ [a, b] × Ln [a, b] → Π(Ln [a, b]) определен равенством
N [x, y] = {z ∈ Ln [a, b] : z(t) ∈ F (t, x(t), y(t)) при п.в. t ∈ [a, b]}.
Тогда задача (3) эквивалентна задаче
ẋ ∈ N [P(x), G(ẋ)],
x(a) = x0 .
(7)
1649
ISSN 1810-0198 Вестник ТГУ, т. 15, вып. 6, 2010
В связи с тем, что правая часть включения (7) определена только на пространстве Dn [a, b],
слабая компактность оператора N в пространстве Ln [a, b] уже недостаточна для компактности соответствующего интегрального включения. Установить компактность произведения
N [P, G] в пространстве Dn [a, b] невозможно, т. к. оператор G, определенный равенством
(6), не может быть вполне непрерывным, если он отличен от нулевого (см. [4, c. 27]). И,
таким образом, непосредственный путь исследования задачи (3) невозможен. Один из возможных путей исследования задачи (3) рассмотрен ниже и основан на идее приводимости.
Будем говорить, что отображение Ξ : Cn [a, b] → Π(Ln [a, b]) слабо компактное в Ln [a, b],
если для каждого ограниченного множества U ⊂ Cn [a, b] образ Ξ(U ) имеет равностепенно
абсолютно непрерывные интегралы.
Будем говорить, что задача (3) приводима, если найдется непрерывное (или полунепрерывное снизу), слабо компактное в Ln [a, b] многозначное отображение Ξ : Cn [a, b] →
Π(Ln [a, b]), что множество решений задачи
ẋ ∈ Ξ(x),
x(a) = x0
(8)
совпадает с множеством решений задачи (3).
Отметим, что само многозначное отображение Ξ в определении приводимости, вообще
говоря, знать необязательно, главное знать факт существования такого отображения. Вопрос о разрешимости задачи (8), а следовательно, и (3), как правило, удается исследовать
на основе априорных неравенств для исходной задачи (3). Таким образом, установление
приводимости задачи (3) позволяет исследовать задачу (3) без условия компактности произведения N [P, G]. Ниже реализуем предложенную схему исследования.
Л е м м а 1. Если множество U ⊂ Ln [a, b] выпукло по переключению, то образ
N [P(x), G(U )] выпукл по переключению в Ln [a, b] для любого x ∈ Cn [a, b].
Пусть для целого k = 2, 3, . . . выполняется неравенство k − 1 6 b−a
τ 6 k. Определим
n
n
j
L
[a,b]
многозначные отображения Ξ : C [a, b] → 2
, j = 0, 1, . . . , k − 1 равенствами:
Ξ0 (x) = N [P(x), G(0)],
(9)
Ξ1 (x) = N [P(x), G(N [P(x), G(0)])],
(10)
Ξj (x) = N [P(x), G(Ξj−1 (x))].
Определим также многозначное отображение Ξ1 : Cn [a, b] → 2L
(11)
n
[a,b]
Ξ1 (x) = {z ∈ Ln [a, b] : z ∈ N [P(x), G(z)]}.
соотношением
(12)
Л е м м а 2. Оператор Ξ1 : Cn [a, b] → Π(Ln [a, b]) непрерывен, слабо компактен в
Ln [a, b], и для любого x ∈ Cn [a, b] выполняется равенство
Ξ1 (x) = Ξk−1 (x).
(13)
Из леммы 2 вытекает
Т е о р е м а 1. Задача (1) приводима.
Действительно, так как отображение Ξ1 : Cn [a, b] → Π(Ln [a, b]) слабо компактно и
непрерывно, а множество решений задачи
ẋ ∈ Ξ1 (x),
x(a) = x0
(14)
в силу равенства (12) совпадает с множеством решений задачи (8) и, следовательно, совпадает с множеством решений задачи (3), то задача (3) приводима.
1650
ISSN 1810-0198 Вестник ТГУ, т. 15, вып. 6, 2010
З а м е ч а н и е 1. Задача (14) гораздо проще для изучения (см. ниже теоремы 2, 3), чем
задача (3) в силу слабой компактности оператора Ξ1 . Также отметим, что факт существования отображения Ξ1 устанавливается благодаря понятию выпуклости по переключению
множества в пространстве Ln [a, b] (см. леммы 1, 2). В связи с этим понятие выпуклости по
переключению является фундаментальным понятием в теории дифференциальных включений, т. к. с помощью этого понятия можно изучать такие дифференциальные включения,
которые ранее не поддавались изучению (см. замечание 3).
З а м е ч а н и е 2. Если при всех t ∈ [a, b] справедливо неравенство p(t) 6 t, то в
этом случае оператор P : Cn [a, b] → Ln∞ [a, b], определенный равенством (5), вольтерров по
А.Н. Тихонову. И, следовательно, Ξ1 : Cn [a, b] → Π(Ln [a, b]) – вольтерров оператор. Поэтому естественно говорить в этом случае, что задача (3) вольтеррово приводима. Таким
образом, если задача (3) вольтеррово приводима, то для задачи (3) справедливы утверждения о локальной разрешимости, продолжаемости решений (см. [6]).
Будем говорить, что многозначное отображение F : [a, b]×Rn ×Rn → comp[Rn ] обладает
свойством A , если найдутся неотрицательная функция η ∈ L1 [a, b] и число c > 0, что при
почти всех t ∈ [a, b] и всех x1 , x2 , y1 , y2 ∈ Rn выполняется неравенство
hRn [F (t, x1 , y1 ); F (t, x2 , y2 )] 6 η(t)|x1 − x2 | + c|y1 − y2 |.
(15)
Л е м м а 3. Если отображение F обладает свойством A , то для любых x, y ∈ Cn [a, b]
и любого измеримого множества U ⊂ [a, b] для отображения Ξk−1 : Cn [a, b] → Π(Ln [a, b]),
заданного равенством (11) при j = k − 1, выполняется неравенство
e
hLn (U ) [Ξk−1 (x), Ξk−1 (y)] 6 kG1k−1 (P(Z(x
− y)))kL1 (U ) ,
(16)
где непрерывный оператор Z : Cn [a, b] → C1+ [a, b] определен равенством (Zx)(t) = |x(t)| ,
e : C1 [a, b] → L1∞ [a, b] задан соотношением
линейный непрерывный оператор P
(
x[p(t)], если p(t) ∈ [a, b],
e
(17)
(Px)(t)
=
−
0,
если p(t) ∈ [a, b],
отображение G1k−1 : L1∞ [a, b] → L1 [a, b] определяется рекуррентно следующим образом:
(G10 x)(t) = η(t)x(t),
для i = 1, 2, . . . , k − 1
(G11 x)(t) = η(t)x(t) + cGe1 (ηx)(t),
(G1i x)(t) = η(t)x(t) + cGe1 (G1i−1 x)(t),
(18)
(19)
где функция η ∈ L1 [a, b] удовлетворяет неравенству (15), а линейный непрерывный оператор Ge1 : L1 [a, b] → L1 [a, b] задан равенством
(
x[g(t)], если g(t) ∈ [a, b],
(20)
(Ge1 x)(t) =
−
0,
если g(t) ∈ [a, b].
С л е д с т в и е 1. Пусть отображение F обладает свойством A . Тогда для отображения Ξk−1 : Cn [a, b] → Π(Ln [a, b]), заданного равенством (11), для любых x, y ∈ Cn [a, b]
и любого измеримого множества U ⊂ [a, b] выполняется неравенство
Z
hLn (U ) [Ξk−1 (x), Ξk−1 (y)] 6 G1k−1 (η)(s)dskx − ykCn [a,b] ,
(21)
U
1651
ISSN 1810-0198 Вестник ТГУ, т. 15, вып. 6, 2010
где функция η ∈ L1 [a, b] удовлетворяет неравенству (15), а функция G1k−1 (η) ∈ L11 [a, b]
определяется рекуррентно равенствами (18) – (20), в которых x = 1.
Действительно, так как операторы Ge1 , G1i , i = 0, 1, . . . , k − 1 линейны, то при почти
всех t ∈ [a, b] выполняется неравенство
e
G1k−1 (P(Z(x
− y)))(t) 6 G1k−1 (η)(t)kx − ykCn [a,b] .
Поэтому из неравенства (16) следует неравенство (21).
С л е д с т в и е 2. Пусть отображение F обладает свойством A , а измеримая
функция p : [a, b] → R1 для любого t ∈ [a, b] удовлетворяет неравенству p(t) 6 t. Тогда
для отображения Ξk−1 , заданного равенством (11) при j = k − 1, для любых x, y ∈
Dn [a, b] и произвольного измеримого множества U ⊂ [a, b] выполняется неравенство
hLn (U ) [Ξk−1 (x), Ξk−1 (y)] 6 kG1k−1 (η)Θ(x − y)kL1 (U ) ,
(22)
где функция η ∈ L1 [a, b] удовлетворяет неравенству (15), функция G1k−1 (η) ∈ L1 [a, b]
определяется рекуррентно равенствами (18) – (20), в которых x = 1, а Θ определен
Rt
соотношением (Θx)(t) = |x(a)| + |ẋ(s)|ds, t ∈ [a, b].
a
Будем предполагать, что функции G ∈ Dn [a, b] и κ ∈ L1 [a, b] для каждого измеримого
множества U ⊂ [a, b] удовлетворяют неравенству
Z
ρLn (U ) [ẏ, Ξ1 (y)] 6 κ(s)ds,
(23)
U
где оператор Ξ1 задан равенством (12).
Т е о р е м а 2. Пусть функции y ∈ Dn [a, b] и κ ∈ L1 [a, b] для каждого измеримого
множества U ⊂ [a, b] удовлетворяют неравенству (23). Далее, пусть отображение F
обладает свойством A и пусть выполняется неравенство
Zb
a
G1k−1 (η)(s)ds < 1,
(24)
где функция η ∈ L1 [a, b] удовлетворяет неравенству (15), а функция G1k−1 (η) ∈ L1 [a, b]
определяется рекуррентно равенствами (18) – (20), в которых x = 1. Тогда для любого
ε > 0 существует такое решение x задачи (3), что при любом t ∈ [a, b] справедлива оценка |x(t) − y(t)| 6 Ψε (t) и при почти всех t ∈ [a, b] выполняется соотношение
|ẋ(t) − ẏ(t)| 6 ε + κ(t) + G1k−1 (η)(t)kΨε kC1 [a,b] , где Ψε — решение уравнения
Ψε (t) =
Zt
a
(ε + κ(s) + G1k−1 (η)(s)kΨε kC1 [a,b] )ds + |x0 − y(a)|.
Далее, рассмотрим вопрос об оценке нормы разности решения задачи (3) и заданной
абсолютно непрерывной функции с вольтерровым оператором P (см. (5)).
Т е о р е м а 3. Пусть функции y ∈ Dn [a, b] и κ ∈ L1 [a, b] для каждого измеримого
множества U ⊂ [a, b] удовлетворяют неравенству (23). Далее, пусть отображение F
обладает свойством A и пусть измеримая функция p : [a, b] → R1 при всех t ∈ [a, b]
удовлетворяет неравенству p(t) 6 t. Тогда для любого ε > 0 существует такое решение
x задачи (3), что при любом t ∈ [a, b] справедлива оценка |x(t) − y(t)| 6 Ψε (t) и при
1652
ISSN 1810-0198 Вестник ТГУ, т. 15, вып. 6, 2010
почти всех t ∈ [a, b] выполняется соотношение |ẋ(t) − ẏ(t)| 6 ε + κ(t) + G1k−1 (η)(t)Ψε (t),
где функция Ψε при любом t ∈ [a, b] задана равенством
v(t)
Ψε (t) = |x0 − y(a)|e
v(t) =
+
Zt
ev(t)−v(s) (ε + κ(s))ds,
a
Zt
a
G1k−1 (η)(s)ds,
функция η ∈
удовлетворяет неравенству (15), а функция G1k−1 (η) ∈ L1 [a, b] определяется рекуррентно равенствами (18) – (20), в которых x = 1.
Действительно, так как задача (3) приводима, то, согласно равенству (13), неравенству
(22) и следствию 2, найдется решение x задачи (3), удовлетворяющее утверждению теоремы.
З а м е ч а н и е 3. Отметим, что в работах [1 – 3], посвященных исследованию вопроса существования решений включений нейтрального типа, предполагалось одним из
условий непрерывность по третьему аргументу многозначного отображения в слабой топологии пространства Ln [a, b]. Как уже отмечалось, это условие может не выполняться даже для однозначного линейного оператора Немыцкого. Поэтому результаты, приведенные
здесь, не являются следствиями работ [1 – 3]. В связи с этим приводимость функциональнодифференциальных включений играет принципиальную роль при изучении вопросов существования решений включений нейтрального типа.
L1 [a, b]
ЛИТЕРАТУРА
1. Финогенко И. А. Функционально-дифференциальные включения в банаховом пространстве:
дис. ... канд. физ.-мат. наук. Иркутск, 1982.
2. Kisielewicz M. Existence theorem for generalized functional-differential equations of neutral type //
Journal of Mathematical Analysis and Applied. 1980. V. 78. № 1. P. 173–189.
3. Kisielewicz M. On the trajectories of generalized functional-differential system of neutral type //
Journal of Optimization Theory and Applied. 1981. V. 33. № 2. P. 255–266.
4. Азбелев Н. В., Максимов В. П., Рахматуллина Л. Ф. Введение в теорию функциональнодифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991.
5. Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.
6. Булгаков А.И., Корчагина Е.В., Филиппова О.В. Функционально-дифференциальные включения с импульсными воздействиями. Части 1, 2 // Вестник Тамбовского университета. Серия
Естественные и технические науки. Тамбов, 2009. Т. 14. Вып. 6. С. 1275-1289.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 0901-97503); АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 годы)» (проект
№ 2.1.1/1131); ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на
2009-2013 годы» (государственные контракты № П688, № 14.740.11.0349, № 14.740.11.0682);
темплана 1.5.10.
Поступила в редакцию 20 августа 2010 г.
Bulgakov A. I., Munembe J. P., Filippova O. V. On reducibility of the Cauchy problem for functionaldifferential inclusions.
In the work there is considered the question of solvability of neutral type functional-differential
inclusions by means of reducibility idea formulated by N.V. Azbelev for functional-differential equations,
the right-hand sides of which are defined on the space of absolutely continuous functions.
Key words: functional-differential inclusions of neutral type; reducibility.
1653
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
225 Кб
Теги
функциональная, дифференциальной, кошик, приводимости, включение, задачи
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа