close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О применении дискретно-непрерывного принципа максимума к задачам оптимального проектирования конструкций.

код для вставкиСкачать
УЧЕНЫЕ
т о.м
удк
ЗАПИСКИ
ЦАГИ
М4
1973
/V
629.735.33.015.4
о ПРИМЕНЕНИИ ДИСКРЕТНО-НЕПРЕРЫВНОГО
ПРИНЦИПА МАКСИМУМА К ЗАДАЧАМ ОПТИМАЛЬНОГО
ПРОЕКТИРОВАНИЯ
КОНСТРУКЦИЙ
В. И. Бирюк, В. П.
Моисеенко
Рассматривается задача оптимизации по весу конструкций ба­
лочного типа, работающего на изгиб, при нескольких видах нагру­
жений. При этом распределения изгибающих моментов могут иметь
либо разрывы первого рода, либо различные аналитические выраже­
ния
на
конечном
числе
участков.
1. Постановка задачи. В практике часто встречаются балочные
либо рамные конструкции, деформированное и напряженное состоя­
ния которых описывается системой обыкновенных дифференциаль­
ных уравнений с соответствующими граничными условиями. Для
таких конструкций, подверженных воздействию различных чере­
дующихся нагружений, ставится задача отыскания оптимальной
в смысле минимума веса
конструкции при наложении ограничений
на максимальные прогибы.
Решением подобной задачи занимался ряд авторов [1], [2].
В отличие от этих работ, в статье рассматривается случай, когда
функции моментов M k (х), нагружающих элементы конструкции,
не
только
первого
ном
могут
рода
числе
иметь
или
разрывную
различные
производную,
аналитические
но
выражения
и
разрывы
на
конеч­
участков.
Рассмотрим в качестве примера статически определимую балку,
последовательно
подверженную
конечному
числу
т
различных
видов нагружений. Каждое из этих нагружений будет однозначно
определяться соответствующим моментом M k (х), г де х - коорди­
ната сечения балки, k
1, ... , m. Таким образом, в случае k-ro
=
нагружения
(1.1 )
здесь
Z-
постоянная, характеризующая
геометрические и физиче­
ские свойства балки; u - варьируемый
параметр
"управления"
(толщина,
диаметр, высота);
(и) - функция,
пропорциональная
изгибной жесткости балки. Двумя точками над Yk обозначена вто­
f
рая
производная
по
х.
77
Балка разбивается заданным числом точек разрыва на участки,
которые
последовательно пронумеровывают;
i 1, ... ,n; i 1
соответствует сечению х = О; n - 1 - максимальному числу точек
разрыва у функций M k (х) И их первых производных. Соответст­
=
=
венно в дальнейшем будем обозначать эти функции как
M~ (х); k
1, ... , т;
=
i
1, ... , n.
=
При k-M нагружении в заданных сечениях будем требовать
выполнения следующей пары ограничений на величину прогиба У
и угла поворота сечения 6:
( 1.2)
Задачу оптимизации сформулируем следующим образом: среди
всех балок длиной L, подверженных т видам заданных нагруже­
ний и удовлетворяющих условиям (1.2), найти балку с таким рас­
пределением толщины и (х), которое обеспечивает минимум веса W.
Поскольку в нашем случае ширина балки и модуль Юнга
постоянны по длине балки, так как рассматривается балка прямо­
угольного
сечения,
то
L
W,-...,
Su{х) dx.
u
2.
Условия оптимальности. Конкретизируя граничные условия,
выпишем
уравнения
вариационной
задачи
в
виде,
удобном для
применения принципа максимума, сформулированного в работе
используя ее обозначения:
k= 1, ... , т;
Yk(O)=Yk(L)=O,
vk(L)=opt, i=I, ...
vk(O)=opt;
.
P~
~
=
'6
.
Pk =
P~ (О)
Yk о;
Vk
~
6
Pk (О)
о;
.
(
.)
Zk= X-Xk
';;'
.
~
Z
е
е
*
В,
О;
z~ (О)
(Х - х;) O,i В;
I Pk (L r ~ 6k;
(2.1 )
=
zl (L)
Х (О) = О;
уо= и;
Уо (О) = О;
O,i - символ
=
О;
т=
z,(O) =zr(L)=O.
х= 1;
Здесь
n;
Zk (0)= Zk (L)=O;
о;
k = (х - Xk) о;
Z, =
j
Ipk (L)I -< Sk;
= О;
=
[3J,
Х
(L) = L;
yo(L)
Кронекера;
1, ... , n --1;
~
min.
В - управляющая
функщfЯ
ти'па
о-функции Дирака; введение предпоследнего уравнения сводит
неавтономную систему (правые части дифференциальных уравнений зависят от переменной интегрирования) к автономной; Х,* ординаты
точек
ко-
разрыва.
Требования ограниченности правых частей в принципе макси­
мума [4] приводят к следующему ограничению на управляющую
функцию и:
'
u>О.
78
(2.2)
Следуя процедуре
принципа
мак~имума,
выпишем
гамильто­
нову функцию Н:
.
т
~vk ~ M~ (Х) + ['P;kYk + ~;k V k + <jJ~k (х- Xk)
L {'fYk 'Uk -
н=
.
k=1
+
и
+.
.
В
В -}
~Zk (х - Xk)] о
вспомогательную
n-l
+ "-"['fz/X -
*J 8 + ~х -
"'....
Х.(} оТ
т",1
и
(2.3)
'
систему
ФУk = - ~~k 8;
.
-
в
~vk
=
~ <jJPk 0- 'fv k;
Ф~k
=
О;
.
ФV k (О)
= 'fvk (l.) =
~~k = - л~
в
в
'fPk =0;
'РР"
Ф~k
.
'f Z k
в
=
Лk
-
О;
= COIlst (k);
=
О;
~~k =
=
О;
<jJzk = '1,,= const (k);
в
.
Vk = const (k);
в
ФZТ = О;
I~
I
= const (k);
е
'PzT =
УТ =
(2.4)
const (1)·
дН
-ах;
t/lx=
в уравнениях
факт, что ~Yo =
(2.4)
const,
трансверсальности
и
(2.3)
учтен тот
известный
и условие нормировки ФУ,
и
очевидный
= -- 1.
Из условий
следует:
в
л~[IРk(L)I-s]=О;
в
/..,. llpk (L)I
-- 6*]
= О.
Кроме того,
Аналогичные
Из
условия
следует,
что
Лk>О,
если p~ (L»O;
Лk<О,
если
Pk (L)<O.
соотношения имеют место
непрерывности
•
если
ХТ
есть
гамильтониана
точка
разрыва
ной, то соответствующий множитель " т
точке
разрыва
не
'1
'V k
Xk
•
1>v k (X)=I'k
'fvk
>
(Х) = л~ Х
лишь
=О И
два уравнения в
том условий трансверсальности.
когда
точках
u
первои
л~ .
.
разрыsа Х т
производ-
переменная Ух в этой
терпят.
Проинтегрируем первые
u
случаи,
для величины
в
в
х".
Рассмотрим
(2.4)
с уче­
определенности
т огда
(1 _ х; ) ___ л В ~
L
k
L
'
Х(1- :~) + ,,~ (1- ~ ),.
(Х) = )'k x k( 1 -
системе
для
; ) + л~ ( 1-
;) ,
X~<X <Xk;
1~.
(2.5)
I,
79
Нетрудно видеть, что сомножитель
при л~
есть
не
что
иное
как момент от единичной силы, приложенной в точке x~, а сом н 0о
житель при Лk
совпадает с выражением
для
момента
от
единич-
ного момента, приложенного в точке x~. Обозначим их соответ­
ственно т"" (х) и m~ (х).
Тогда выражения (2.5) перепишутся более компактно:
ф• V = л kЕ тЕk
"Оk тОk'
k
+
Из условия стационарности
дН -о
-
ди
получаем
ны
следующий
закон
оптимального
распределения толщи­
и:
или с учетом
(2.6)
.,.4(
uopt =
т
V Х L. [(л~ т~ + ,,~т:) M~].
(2.7)
k=l
Из (2.7) следует, что в тех точках, где M~ (х)
на концах балки), Uopt = О. При этом,
ченности
правых
частей
в
однако,
уравнениях
=
О (например,
требование
не
(2.1)
ограни­
нарушается,
по­
скольку в этих точках выIаженияя M~/и3 представляют неопреде­
ленность вида о/о, которая легко раскрывается.
Частные
1.
случаи
Ограничения на угол поворота б
отсутствуют.
Из
условий
трансверсальности следует, что ).~ = о и
U opt =
VХ i: (л~ m~
Mk).
k=l
2.
Отсутствуют
ограничения
Лk=О и
Uopt =
на
величину
прогиба
у.
Тогда
.,.4/ т
V Х L. (л~ т~ M~).
k=l
Повторяя рассуждения, можно
показать,
что
аналогичные за­
коны управления имеют место и для других комбинаций гранич­
ных условий, соответствующих статической определимости, в ча­
стности,
у (о)
= о,
у (о)
=
у (L)
= opt;
о, у (L) = opt;
= opt,
У (о) = opt,
У (о)
У (L) = о;
У (L) ~ О.
Сформулированный подход может быть распространен и на слу­
чай, когда для каждого из нагружений задано более двух ограни­
чений. Закон оптимального управления (распределения толщины)
получен нами непосредственно из условий задачи без использова­
ния каких-либо дополнительных вариационных припципов, широко
80
использующихся
в
механике,
например принципа минимума
потен-
,
циальной энергии.
По}{ажем, как тот же закОН управления можно было бы полу­
чить,
используя
один
из
таких
критериев,
а
именно
теорему
Кастильяно, согласно которой
L
L
'. f M~" (х) m~ (х)
Yk (Xk), =
х
dx
:t
;
и
6k
XJ
(Х:) =
о
M~ (х) т: (х) dx
иЗ
о
Уравнения вариационной задачи
запишем
в
следующем виде:
Y~=y'M~(x)m~(x)ju3; Vk(O)=O;
y~ = xM~ (х) m~ (x)ju S ; y~ (О) = О;
у~(L)-<Е; k=1, ... , m;]
у: (L) <: 6*;
ZI(O)=ZI(L)=O, т= 1, ... , n-l;
(2.8)
ZI=(x-x;)8,i8 ;
х=1;
х(О)=О,
уо=и;
Уо(О)=О,
x(L)=L;
I
Yo(L)~min.
J
Выпишем гамильтониан Н
,
Н=
n-l
т
L (X'f~k M~ m~/и3 + y.'f~kM~ m~!и3) + ~
k=1
и
1=1
вспомогательную
систему
Ф;k = О;
.е
'f;k =
'fYk = О;
'fYk =
ФZI = О;
'fz, = const (1");
.
'fx
е
ан
=
-
-
-
л:
=
const (k) :> :0;
е
'
const (k) >- О;
лk =
.
а.:;-
=
Из условия стационарности дН/ди
Заметим, что каждый раз условие
новании
принuипа
['fz l (х - x~) O,i] а + 'fx - и
максимума,
и,
О сразу следует закон (2.7).
было получено на ос­
(2.7)
следовательно,
оно
является
необходимым условием оптимальности. Однако в работе [5] пока­
зано, что для систем, аналогичных системе (2.8), необходимые
условия
оптимальности,
являются
одновременно
вытекающие
и
из
достаточными.
принципа
Таким
максимума,
образом,
закон
распределения (2.7) является как необходимым, так и достаточным
условием минимума веса балки.
3. Пример. Зададим три вида нагружf,НИЙ следующими момен­
тами (фиг. 1):
i
'[х
k=1, M1(x)=P
2-
.
(Х-т
L) 012 ];
х
(
L)~
mli()
х = 2 - Х-т 0;2;
qx
k=2, M~(X)=-2- (L -х);
k=3,
М~(Х)=-rХ+Моi2=М(Оj2-'~); m~(x)=- ~
+Oi2'
Ограничения имеют вид
)'. ( ~ ) < E 1; У2 ( ; ) -< Е2;
б- Ученые эапнскн N. 4
{) (
~ ) < 6*.
(3.1)
,Gor.lraCHO (2.7)
l,lopt
r { Р [~ -X'-~8i2
( )]2 +Л2
~, "V',,' Х'
1,
,"
)'i
2,
2,
qx
2
[
(L - 1 х) ,.-5.
- х- 12
/,.,
,,2 , ,
! (
"
,; ,
Е)']
()/'2
! '
+- '1., .'~
;
(3.2)
Интегрирование уравнений (2.8) с учетом (3.1) и (3.2) проводи­
лось
,
численно.
1.,
1')
"
М2
i=2
!
~
Фиг.
Фиг.
2
i
11.2
е
ос.
1t0!2
4m~~~~~~L-LJ
/l
Фиг.
3
Фиг.
4
На фиг. 2 римскими цифрами и разной штриховкой rrоказаны
еоответствующие области, где величины У1' У2 .и О выходят на гра­
ницу допустимых значений порознь, одновремеННО,nарам'и; при.
няты следующие обозначения:
Изменение оптимальных коэффициентов }'j' Л 2 И )'3 при измене­
нии (х и ~ показано на фиг.3-S в форм~ графиков для бев.размер­
ных
величин е,
d, f:
, ,.
82,
J
,
"'i
~"
.
)
,1\'
i;'
'Фчt.5
iI
7! при il""t =Сl/Лst
~1IГ-Г#=-~nр-U~U~q-t-(Х~/~~r=~
IIлmUМОЛ!JНОЯ
, tftlлно,t/ля СЛ#~'
IР.91=-t---,_--:-(---=.r.:;;'-9-~~*-I
'IОЯ ДI IftU,o#-
tJ--f ий
f-7""!~~:-::-'--j
:..--::~,; nmUМОЛ!J-
жениЯ
'лт'м'''''' '~
KIl t/ЛR IДШ nt/слеtlll!/lmеЛ!JIf!JU
НUi',о!lжеIfUU '"
EI
11
IlIjlf/7UМ/lЛ/7Н/lЯ
1"J/J г- Q/lЛКО rJля СЛJlЛ
If/l Z/l,5l-- I{/lf/lflelfU}f
11
~
k:::: ~ v
v
~~
/l,1
/l,l
L?-
1"-
Н/lЯ tfizЛНIl ЛI/ЩUIf!JI
r:::-r/Jлтим/lЛон/lЯ tllZЛlfIZ
Il,.f
1"-
v-;
-"-
111
о
~ сmllЯННIIU mllЛ-
V "~ ~ ::::::: ~
.х
~ fJ
/JлmUМ/lЛЬНtlя tlO/!/flZ
лtlсm/lЯНН}l/i m/lЛщиН!J/
/
&
~
р'
.........
[.-..-<
r-.....
fJлmuм/zльнl1'Я tlОЛНfl .......... --<::::: &.
оля СЛ!,'II1'Я I Нtlё,орнения
М
1/,'1
//,!
Фиг.
/J,u
11.7
r- f:::::::~
//,8
//,j.x 1,0
6
83
В качестве иллюстрации
для
заданных
численно
величин на­
грузок и размеров балки прямоугольного поперечного сечения
с постоянной шириной было получено оптимальное распределение
ТОЛЩИНЫ по длине балки для всех трех типов нагрузок
дено сравн~ние весов.
В качестве
эталона
и
рассматривалась
прове­
опти­
мальная балка ПОСТОSIIШОЙ толщины.
На фиг. 6 представлено
по длине балки для случая
ра<;пределение изгиб ной жесткости
действия каждого типа нагрузок и
последоват,елъности их, прикладываемой к оптимальной балке.
Геометрия, нагрузка и ограничения были выбраны следующим
.
L=L o; Р=РО; М=О,l PL o; q=Po/L o;
81 = 0,154 L o;
6 = 0,0385;
82 = 0,0682 L{J.
образом:
ЛИТЕРАТУРА
1. Prager W., Sh.ield R. Т. Optimal design of multipllrpose
strllctures. Internat~onal ,Journal of Solids and Strllctures, У. 4, No 4, 1968.
2. Н 11 а n d N. С., 1 а n g Н. Т. M/nimum weight design of elastic
sandwich beams withdeflection consttaints. Journal of Optimization Theory
and А pplications, У. 4,No 4, 1969., .
3. М о и с е е н к о В,. П; О решении вариационных задач для
уравнений с разрывнымИ.правымИ частями, зависящими от проме­
жуточных значений фазоВl,t~ координат и от дискретных величин.
,Ученые записки ЦЛГИ", т. в, N!',l, 1971.
4.
Понтрягин
Л.
С.,
В'олтянский
В.
л и Д з е Р.
В., М и щ е н к о Е. Ф. Математическая
мальных процессов. М., Физматгиз, 1961.
с
Г.,
Гамкре­
теория
опти­
5. В е л и ч е н к о В. В. 06 условиях оптимальности в задачах
разрывными
правыми
частями.
.Автоматика и телемеханика",
1966, .N9 7.
Рукопись поступила
27/V/ 19722.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа