close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О производной функции Вейерштрасса.

код для вставкиСкачать
Приволжский научный вестник
УДК 517.524
В.И. Шмойлов
научный сотрудник,
Научно-исследовательский институт
многопроцессорных вычислительных систем,
ФГАОУ ВПО «Южный федеральный университет»,
Россия, 347900, г. Таганрог, ул. Чехова, 2,
E-mail: Shmoylov40@at.infotectt.ru
Г.А. Кириченко
аспирант,
Инженерно-технологическая академия,
Институт компьютерных технологий
и информационной безопасности,
ФГАОУ ВПО «Южный федеральный университет»,
Россия, 347900, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44,
E-mail: vt_gak@mail.ru
С.В. Плющенко
студент,
Инженерно-технологическая академия,
Институт компьютерных технологий
и информационной безопасности,
ФГАОУ ВПО «Южный федеральный университет»,
Россия, 347900, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44,
E-mail: zdes_zarita@mail.ru
О ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ ВЕЙЕРШТРАССА
Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства
образования и науки РФ, НИР № 2257 базовой части государственного задания № 2014/174.
Аннотация. Рассматривается подход к изучению недиффиринцируемых функций, базирующийся на
методах теории непрерывных дробей. Цепные дроби для функции Вейерштрасса устанавливаются из исходных
тригонометрических рядов посредством рекуррентного алгоритма Рутисхаузера. Этот же алгоритм используется
и при определении производной функции Вейерштрасса, которая может быть представлена расходящимся тригонометрическим рядом. Суммированием расходящихся рядов были установлены значения производной функции Вейерштрасса в рациональных точках x0, причем производные определяются конечными цепными дробями,
содержащими то же число звеньев, что и цепные дроби, определяющие значения функции Вейерштрасса в тех
же точках.
Ключевые слова: функция Вейерштрасса, суммирование расходящихся дробей и рядов, производная
функции Вейерштрасса.
V.I. Shmoylov, Southern Federal University, Russia, 347900, Taganrog, St. Chekhov, 2
G.A. Kirichenko, Southern Federal University Russia, 347900, Taganrog, Nekrasovsky, 44
S.V. Plushenko, Southern Federal University, Russia, 347900, Taganrog, Nekrasovsky, 44
ON THE DERIVATIVE OF THE WEIERSTRASS FUNCTION
Abstract. The approach to the study of non-differentiable functions, based on the methods of the theory of
continued fractions. Continued fractions of the Weierstrass function are set based on the source of trigonometric series
by means of recursive algorithm Rutiskhauzera. The same algorithm is used in determining the derivative of the
Weierstrass function, which can be represented by a trigonometric series divergent. Summation of divergent series have
been set value of the derivative of the Weierstrass function at rational points x0, the derivatives are determined by
terminating continued fractions containing the same number of units as continued fractions, determining the values of
the Weierstrass at the same points.
Keywords: Weierstrass function, fractions and summation of divergent series, the derivative of Weierstrass.
Введение
«Негладкий анализ» – интенсивно развивающийся раздел математики, в котором изучаются недифференцируемые функции. Быстрому становлению этого направления способст-
20
№ 1 (53) – 2016
Приволжский научный вестник
вовали как потребности современной науки, так и возросшие возможности вычислительной
техники. Сформировались направления негладкого анализа, такие как недифференцируемая
оптимизация, негладкие задачи вариационного исчисления и другие [1]. Одним из перспективных подходов в изучении недифференцируемых функций рассматривается подход, связанный
с использованием фрактального анализа [2]. В [3] с помощью средств фрактального анализа
изучаются свойства непрерывной недифференцируемой функции, весьма близкой к знаменитой функции Вейерштрасса. В [4–6] был рассмотрен подход к изучению недифференцируемых
функций, основные идеи которого связаны с r/ϕ-алгоритмом, предложенным для суммирования
расходящихся непрерывных дробей.
Применим к изучению свойств функции Вейерштрасса несколько необычный приём,
связанный с построением для рядов так называемых соответствующих цепных дробей [7]. Следует отметить, что цепные дроби получили в последнее время в вычислительной математике
разнообразные применения [8–10]. Для суммирования расходящихся в классическом смысле
непрерывных дробей используется r/φ-алгоритм [11], существенно расширивший область использования цепных дробей [12–14].
Представление функции Вейерштрасса цепными дробями
Функция Вейерштрасса определяется рядом
∞
w (a, b, x ) = ∑ b n cos(a nπ x ),
(1)
n =0
где 0 < b < 1, a – нечетное натуральное число.
Ряд (1) равномерно сходится в любом интервале, так что функция Вейерштрасса всюду
непрерывна. К. Вейерштрасс доказал [16], что если ab >
3π
+ 1, то функция (1) не имеет конеч2
ной производной ни при каком значении x.
Функция Вейерштрасса имеет период, равный 2. На рисунке 1 представлен график
функции Вейерштрасса на интервале – 2 ≤ x ≤ 2 при a = 7 и b = 0,9.
Рисунок 1 – График функции Вейерштрасса
В таблице 1 приведены значения функции Вейерштрасса в различных точках x, полученные вычислением ряда (1) при а = 7; b = 0,9.
Построим по ряду Вейерштрасса так называемую соответствующую цепную дробь. В
[17] были рассмотрены многочисленные соответствующие непрерывные дроби для элементарных и специальных функций. Соответствующие цепные дроби, как правило, представляют
функции в более широкой области, нежели ряды, а также имеют более высокую скорость сходимости. Соответствующие цепные дроби могут быть установлены по степенным рядам, которыми представляются функции. Помимо формул Хейлерманна–Стилтьеса и формул Хлопонина, известны рекуррентные алгоритмы для определения коэффициентов соответствующих непрерывных дробей, например алгоритмы Висковатова, Никипорца, Рутисхаузера. Запишем алгоритм Рутисхаузера [18] и приведем граф этого алгоритма.
№ 1 (53) – 2016
21
Приволжский научный вестник
Таблица 1 – Значения функции Вейерштрасса,
установленные при помощи ряда для различных значений x
Аргумент, x
Значение функции Вейерштрасса
0,1
2.3317667913366174357160440563768e-1
0,2
2.7942194707236565390012070616751е+0
0,3
7.9764426351276869838314991971299e-1
0,4
-2.205780529276343460998792938324е+0
0,6
2.2057805292763434609987929383248е+0
0,7
-7.9764426351276869838314991971291e-1
0,8
-2.7942194707236565390012070616756е+0
0,9
-2.3317667913366174357160440563768e-1
1,0
-1.0000000000000000000000000000000e+1
1,1
-2.33176679133661743571604405637681e-1
Определим для ряда:
α
00
+ α + α + α + ... + α
+ ...
10
11 12
1n − 1
(2)
коэффициенты α n 0 соответствующей цепной дроби:
α 00 +
α10 α 20 α 30 α 40 α 50
α 2n,0 α 2n +1,0
1 − 1 + 1 − 1 + 1 −... − 1 +
1
(3)
−...
Коэффициенты цепной дроби (3) находятся по рекуррентным формулам:
α 2,ν =
α1,ν +1
,
α1,ν
α 3,ν = −α 2,ν +1 + α 2,ν ,
α 4,ν =
α 2,ν +1 ⋅ α 3,ν +1
,
α 3,ν
(4)
α 5,ν = α 3,ν +1 − α 4,ν +1 + α 4,ν ,
α 2n,ν =
α 2n − 2,ν +1 ⋅ α 2n −1,ν +1
,
α 2n −1,ν
α 2n +1,ν = α 2n −1,ν +1 − α 2n,ν +1 + α 2n,ν .
Схема Рутисхаузера, определяемая формулами (4), показана на рисунке 3.
Коэффициенты цепной дроби αn0 будем обозначать символом с одним индексом, то
есть положим αn0 = ωn.
Вычислим функцию Вейерштрасса (1) при а = 7; b = 0,9; х0 = 0,1 преобразованием ряда
в соответствующую цепную дробь. Разрядность переменных 5000 бит. В таблице 2 приведены
коэффициенты соответствующей цепной дроби для функции Вейерштрасса w (7; 0,9; 0,1) .
Таблица 2 – Значения коэффициентов цепной дроби,
представляющей функцию Вейерштрасса w (7; 0,9; 0,1)
Номер звена
дроби, n
0
1
2
3
4
5
22
Значения коэффициентов
цепной дроби, ωn
0.951056516295
-0.529006727063
1.456230589874
2.012461179749
0.556230589874
-2.52539e-1202
Значения подходящих
дробей, Pn/Qn
0.951056516295
0.422049789232
2.110572644331
-0.072964113728
0.233176679133
0.233176679134
№ 1 (53) – 2016
Приволжский научный вестник
α10
α14
α11
α13
α12
α21
α22
α23
α24
α31
α32
α33
α34
α41
α42
α43
α51
α52
α15
α16
ω1
α20
α25
ω2
α30
ω3
α40
ω4
α50
ω5
α61
α60
ω6
α70
ω7
Рисунок 3 – Схема алгоритма Рутисхаузера
Так как ω5 = α 50 = 0,513 ⋅ 10 −1202 , то полученная соответствующая цепная дробь конечная.
Подставляя коэффициенты цепной дроби, приведенные во второй колонке таблицы 2, в цепную
дробь вида (3), получим конечную соответствующую цепную дробь, представляющую функцию
Вейерштрасса:
w (7; 0,9; 0,1) = 0,951057 −
0,529006 1,45623 2,012461 0,556231
= 0,233177.
−
+
−
1
1
1
1
В таблице 3 приведены результаты определения значений функции Вейерштрасса через соответствующие цепные, построенных из исходных рядов (1), представляющих функцию
Вейерштрасса с параметрами a = 7; b = 0,9 в тех же рациональных точках х, что использовались при вычислении функции Вейерштрасса рядами.
Аргумент,
х
0,1
0,2
0,3
0,4
0,6
Таблица 3 – Значения функции Вейерштрасса,
установленные через цепные дроби для различных значений x
Значения
Номер
Значения функции Вейерштрасса
конечных звеньев
конечного
цепной дроби
звена дроби
2.331766791336617435716044056376e-1
-2.52539e-1202
5
2.794219470723656539001207061675е+0
-1.13488e-1201
5
7.976442635127686983831499197129e-1
2.80477e-1201
5
-2.20578052927634346099879293832е+0
9.60665e-1201
5
2.205780529276343460998792938324е+0
-1.25450e-1200
5
Из колонки 3 таблицы 3 видно, что цепные дроби, представляющие функцию Вейерштрасса в рациональных точках x = 0,1; 0,2; 0,3, … конечны, так как пятые частные числители
цепных дробей близки к нулю. Сравнивая вторые колонки таблицы 1 и таблицы 3, можно заключить, что значения функций Вейерштрасса, определенные рядами и цепными дробями,
совпадают. Причем, для вычисления функции Вейерштрасса w (7; 0,9; 0,1) с точностью 45 десятичных знаков требуется 1024 членов ряда, в то время как при «точном» вычислении этой же
функции соответствующая цепная дробь имеет всего четыре звена. Очевидна вычислительная
эффективность цепных дробей в сравнении с рядами.
Соответствующие цепные дроби для функции Вейерштрасса будут конечными в произ-
№ 1 (53) – 2016
23
Приволжский научный вестник
вольных рациональных точках х.
В таблице 4 приведены коэффициенты соответствующей цепной дроби, построенной
для функции Вейерштрасса w (7; 0,9) в точке х = 0,111.
Таблица 4 – Значения коэффициентов цепной дроби,
представляющей функцию Вейерштрасса w (7; 0,9; 0,111)
Номер звена
дроби, n
0
1
2
3
4
5
…
31
32
33
Значения коэффициентов
цепной дроби, ωn
0.939811951086
-0.688024378281
0.224232938784
4.825758794111
4.357264191278
-0.255710922537
…
-19.071794834810
-18.717927452156
0.37484e-9004
Значения подходящих
дробей, Pn/Qn
0.939811951086
0.251787572805
0.052916370340
0.224245482975
0.484961931198
0.958313937066
…
-0.093790187744
-0.131787400445
-0.131787400445
В таблице 5 приведены результаты определения значений функции Вейерштрасса через соответствующие цепные дроби, построенных из исходных рядов (1) с параметрами а = 7;
b = 0,9. Переменные х имеют три десятичных разряда: x = 0,111; x = 0,222; x = 0,333; … .
Аргумент,
х
0,111
0,222
0,333
0,444
0,555
0,666
0,777
0,888
0,999
1,111
Таблица 5 – Значения функции Вейерштрасса,
установленные через цепные дроби при различных значениях x
Значения конечНомер
Значения
ных звеньев
конечного
функции Вейерштрасса
цепной дроби
звена дроби
-0.1317874004452739846525173072027e0
0.37484e-9004
33
-0.1530569770194524217559734019612e0
0.10853e-9004
33
0.12088194190984092396183752849618e1
0.19338e-9005
33
0.11463808279503072984087704261067e1
0.23072e-9018
17
0.89346677457495307448235913713774e0
0.32041e-9024
9
-0.9164091146439475946496679047149e0
-0.18714e-9004
33
-0.1190665946146215174923275561407e1
-0.66182e-9005
33
0.10228533583044874671171509840906e0
0.195129e-9017
17
-0.23351462022290565773815456526942e1
-0.58527e-9005
33
0.131787400445273984652517307202751e0
-0.48127e-9005
33
В таблице 6 приведены значения функции Вейерштрасса w(7; 09), определенные при
помощи ряда (1) в тех же точках х, в которых значения функции устанавливались конечными
цепными дробями.
Таблица 6 – Значения функции Вейерштрасса,
установленные при помощи ряда для различных значений x
Аргумент,
Значения
x
функции Вейерштрасса
0,111
-0.1317874004452739846525173072027e0
0,222
-0.1530569770194524217559734019612e0
0,333
0.12088194190984092396183752849618e1
0,444
0.11463808279503072984087704261067e1
0,555
0.89346677457495307448235913713774e0
0,666
-0.91640911464394759464966790471491e0
24
№ 1 (53) – 2016
Приволжский научный вестник
Сравнивая вторые колонки таблиц 5 и 6 можно отметить совпадение значений функций
Вейерштрасса, вычисленные по различным алгоритмам при помощи рядов и цепных дробей.
Определение производной функции Вейерштрасса
Как уже отмечалось, установлено, что при ab >
3π
+ 1 функция Вейерштрасса
2
∞
w (a, b, x ) = ∑ b n cos(a nπ x )
n =0
не имеет производной в классическом смысле, т.е. не существует предела
lim
∆x → 0
f ( x + ∆x ) − f ( x )
∆x
(5)
ни при каком значении x.
Определим производную функции Вейерштрасса из расходящегося ряда, которым производная функции Вейерштрасса может быть представлена:
∞
w '(a, b, x ) = ∑ [ −a nπ b n sin(a nπ x )].
(6)
n =0
Построим для расходящегося ряда (6) с параметрами а = 7; b = 0,9; x = 0,1 соответствующую цепную дробь. Такая цепная дробь существует, и она конечная, причем, число звеньев
цепной дроби, представляющей производную функции Вейерштрасса, такое же, как и в случае
цепной дроби, построенной по сходящемуся ряду (1). В таблице 7 приведены значения коэффициентов конечной цепной дроби, представляющую производную функции Вейерштрасса с
параметрами а = 7; b = 0,9 в точке x = 0,1.
Таблица 7 – Значения коэффициентов цепной дроби,
представляющую производную функции Вейерштрасса в точке x = 0,1
Номер звена
Значения коэффициентов
Значения подходящих дробей,
дроби, n
цепной дроби, ωn
Pn/Qn
-0.970805519363
0
-0.970805519363
1
-16.012091630793
-16.982897150156
2
2.406385870876
10.414470714125
3
-14.087228258249
-14.495984106989
4
-16.493614129124
0.438947974933
5
1.30211e-1501
0.438947974933
В таблице 8 приведены значения производной функции Вейерштрасса с параметрами
а =7; b =0,9 в серии рациональных точек: x =0,1; x =0,2; x =0,3;… .
Аргумент,
x
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.1
1.2
Таблица 8 – Значения производной функции Вейерштрасса,
становленные через цепные дроби в различных точках x
Значения
Значения производной
конечных звеньев
функции Вейерштрасса
цепных дробей
4.3894797493294912660825500663464e-1
1.30211e-1501
4.1722194169037467909295703880070e-1
1.16618e-1501
2.2377039591994958972725203517714e-1
-1.06706e-1501
-3.593339320921954660888005192150e-1
-5.53924e-1502
-4.303551580259990737620059429150e-1
-3.39830e-1504
-3.593339320921954660888005192150e-1
9.51526e-1502
2.2377039591994958972725203517714e-1
2.279132e-1501
4.1722194169037467909295703880070e-1
-4.66134e-1501
4.3894797493294912660825500663464e-1
-1.10445e-1500
-4.3894797493294912660825500663464e-1
1.761655e-1500
-4.1722194169037467909295703880070e-1
8.08202e-1501
№ 1 (53) – 2016
Номер
конечного
звена дроби
5
5
5
5
3
5
5
5
5
5
5
25
Приволжский научный вестник
Найдем цепные дроби для производной функции Вейерштрасса в других рациональных
точках.
В таблице 9 приведены коэффициенты цепной дроби, представляющую производную
функции Вейерштрасса с параметрами а = 7; b = 0,9 в точке x = 0,111.
Таблица 9 – Значения коэффициентов цепной дроби,
представляющей производную функции Вейерштрасса в точке x = 0,111
Номер звена
Значения коэффициентов
Значения подходящих
дроби, n
цепной дроби, ωn
дробей, Pn/Qn
0
-1.073457415941
-1.073457415941
1
-12.759082751230
-13.832540167172
2
-9.593730933009
-2.277856775517
3
-8.134837372902
35.948877318004
4
-5.228667081790
-0.653042714684
5
-2.259478771726
-4.541690470137
…
…
…
31
3.633816638510
82.596798624171
32
3.980892708365
0.152651178956
33
-4.25646e-1479
0.152651178956
В таблице 10 приведены значения производной функции Вейерштрасса с параметрами
а = 7; b = 0,9 в серии рациональных точек: x = 0,111; x = 0,222; x = 0,333; ….
Аргумент,
x
0.111
0.222
0.333
0.444
0.555
0.666
0.777
0.888
0.999
1.111
Таблица 10 – Значения производной функции Вейерштрасса,
установленные через цепные дроби в различных точках x
Значения
Значение производной
конечных
функции Вейерштрасса
звеньев
цепных дробей
1.5265117895643695651893300367688e-1
-4.25646e-1479
-4.280751136738788011443515128863e-1
-5.66595e-1479
3.8168174156937645757911787896376e-1
-1.79850e-1478
-5.7206810595214165787580600646831e-1
-3.14017e-1492
4.06753571884962122796039998907642e-1
-3.87306e-1498
-3.51320072330524248711259977317545e-1
-1.11563e-1478
1.946204118885606310829540765236901e-1
-4.23894e-1478
7.845499378410084300481309181648014e-2
-1.75835e-1491
-1.47952828187020001075038197627132e-1
1.29550e-1477
-1.52651178956436956518933003676885e-1
3.67141e-1479
Номер
конечного
звена дроби
33
33
33
17
9
33
33
17
33
33
Заключение
Применение цепных дробей позволило установить наличие производной функции Вейерштрасса в рациональных точках. Этот же прием суммирования расходящихся рядов построением так называемых соответствующих дробей можно использовать при изучении других быстро осциллирующих функций, которые не имеют производных в классическом смысле.
Перспективным подходом к изучению быстро осциллирующих функций является метод,
связанный с r/φ-алгоритмом, получившем, как уже отмечалось выше, разнообразные применения в вычислительной математике. Этот алгоритм дает возможность установить комплексные
значения расходящихся в классическом смысле цепных дробей и позволяет подойти к изучению производных быстро осциллирующих функций с принципиально новых позиций.
26
№ 1 (53) – 2016
Приволжский научный вестник
Список литературы:
1. Демьянов В.Ф. Основы негладкого анализа и квазидиф-ференциальное исчисление
/ В.Ф. Демьянов, А.М. Рубинов. – М.: Наука, 1990. – 431 с.
2. Потапов А.А. Колебания, волны, структуры и системы на примерах глобального
фрактально-скейлингового метода // Нелинейный мир. – 2014. – Т. 12, № 4. – С. 3–34.
3. Ерофеева Л.Н. Фрактальная размерность недифференцированных функций // Труды
Нижегородского государственного технического университета. – 2011. – № 3 (90). – С. 353–357.
4. Левин И.И., Хисамутдинов М.В., Шмойлов В.И. Функция Вейерштрасса и r/φхарактеристики // Известия ЮФУ. Технические науки. – 2014. – № 1. – С. 144–158.
5. Шмойлов В.И., Хисамутдинов М.В., Кириченко Г.А. Интервальные и предельные r/φхарактеристики функции Вейерштрасса // Вестник МИФИ. – 2014. – Т. 3, № 3. – С. 301–310.
6. Хисамутдинов М.В., Шмойлов В.И. Предельные r/φ-характеристики функции Вейерштрасса // Нелинейный мир. – 2015. – № 3, Т. 13. – С. 39–52.
7. Джоунс У. Непрерывные дроби. Аналитическая теория и приложения: пер. с англ.
/ У. Джоунс, В. Трон. – М.: Мир, 1985. – 414 с.
8. Скоробогатько В.Я. Теория ветвящихся цепных дробей и ее применение в вычислительной математике. – М.: Наука, 1983. – 312 с.
9. Cuyt A., Petersen V., Verdonk B., Waadeland H., Jones W. Handbook of Continued
Fractions for Special Functions. – Springer Science, 2008. – 431 p.
10. Kirichenko G.A., Shmoylov V.I. Algorithm for Summation of Divergent Continued Fractions
and Some Applications. // Computational Mathematic and Matematical Physics. – 2015. – Vol. 55,
№ 4. – P. 549–563.
11. Шмойлов В.И. Периодические цепные дроби. – Львов: Академический экспресс,
1998. – 219 с.
12. Гузик В.Ф., Ляпунцова Е.В., Шмойлов В.И. Непрерывные дроби и их применение. –
М.: ФИЗМАТЛИТ, 2015. – 298 с.
13. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби: в 3 т. / Нац. акад. наук Украины, Ин-т прикл. проблем механики и математики. – Львов, 2004. – Т. 2: Расходящиеся непрерывные дроби. – 558 с.
14. Шмойлов В.И. Расходящиеся системы линейных алгебраических уравнений. – Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2010. – 205 с.
15. Шмойлов В.И., Редин А.А., Никулин Н.А., Непрерывные дроби в вычислительной математике. – Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2015. – 228 с.
16. Weierstrass K. Math. Werke. Bd. 2. Berlin 1895. Abh. 6.
17. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби и r/φ-алгоритм. – Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ,
2012. – 608 с.
18. Рутисхаузер Г. Алгоритм частных и разностей. – М.: ИИЛ, 1960. – 93 с.
№ 1 (53) – 2016
27
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
235 Кб
Теги
вейерштрасса, функции, производной
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа