close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О разрешимости периодической краевой задачи и задачи Дирихле для функционально-дифференциальных уравнений второго порядка.

код для вставкиСкачать
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 20, вып. 5, 2015
УДК 517.929
О РАЗРЕШИМОСТИ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ И ЗАДАЧИ
ДИРИХЛЕ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
c
Е.И. Бравый
Ключевые слова: функционально-дифференциальные уравнения; краевые задачи; периодическая краевая задача; задача Дирихле; условия однозначной разрешимости.
Для всех уравнений из семейств линейных функционально-дифференциальных уравнений второго порядка, заданных поточечными ограничениями на коэффициенты, получены необходимые и достаточные условия разрешимости краевой задачи Дирихле и
периодической краевой задачи.
Задача Дирихле и периодическая задача — краевые задачи, наиболее часто встречающиеся в приложениях функционально-дифференциальных уравнений. В последние годы
условиям однозначной разрешимости этих задач посвящено множество работ, например,
[1–7]. В части работ условия существования решения краевых задач для функциональнодифференциальных уравнений получены в случае, когда на функциональные отклонения
аргумента (запаздывание или опережение) не накладывается никаких ограничений, иногда
ограничения на отклонения аргумента являются ограничениями метода, а не постановки
задачи. Оказывается, для линейных функционально-дифференциальных уравнений существуют достаточные условия существования решения, которые являются неулучшаемыми в
следующем смысле: если эти условия не выполнены, то найдется такое отклонение аргумента, что краевая задача не имеет решения. Эти достаточные неулучшаемые условия могут
быть сформулированы в виде необходимых и достаточных условий того, что краевая задача имеет решения для всех функционально-дифференциальных уравнений из заданного
семейства уравнений. Для некоторых семейств уравнений, определяемых интегральными
ограничениями на коэффициенты, такие необходимые и достаточные условия уже получены [3–7].
Здесь для семейств линейных функционально-дифференциальных уравнений второго
порядка, определяемых поточечными ограничениями, будут найдены необходимые и достаточные условия разрешимости периодической краевой задачи и задачи Дирихле. Проверка
этих условий заключается в решении задачи конечномерной оптимизации.
Мы рассматриваем задачу Дирихле
ẍ(t) = (T x)(t) + f (t), t ∈ [0, 1],
(1)
x(0) = c0 , x(1) = c1 ,
и периодическую краевую задачу
ẍ(t) = (T x)(t) + f (t), t ∈ [0, 1],
x(0) = x(1), ẋ(0) = ẋ(1),
(2)
где T : C[0, 1] → L[0, 1] — линейный ограниченный оператор, f ∈ L[0, 1] , c0 , c1 ∈ R , решение x : [0, 1] → R задач (1) или (2) абсолютно непрерывно вместе со своей производной на
отрезке [0, 1] (здесь пространства вещественных непрерывных и суммируемых функций на
[0, 1] со стандартными нормами будем обозначать C[0, 1] и L[0, 1] соответственно). Оператор T : C[0, 1] → L[0, 1] называется положительным, если отображает неотрицательные
функции в почти всюду неотрицательные.
1084
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 20, вып. 5, 2015
Обозначим G(t, s) функцию Грина двухточечной задачи
ẍ(t) = f (t), t ∈ [0, 1],
x(0) = 0, x(1) = 0,
определенную равенством
G(t, s) =
(t − 1)s при 0 6 s 6 t 6 1,
(s − 1)t при 0 6 t < s 6 1.
Т е о р е м а 1. Пусть задана неотрицательная функция p ∈ L[0, 1] . Задача Дирихле
(1) является однозначно разрешимой при всех линейных положительных операторах T :
C[0, 1] → L[0, 1] , удовлетворяющих условию
(T 1 )(t) = p,
t ∈ [0, 1],
тогда и только тогда, когда
1 − R 1 G(t , s)p(s) ds 1 − R 1 G(t , s)p(s) ds
1
1
R 1t3
R01
min
06t1 6t3 6t2 61 −
G(t
,
s)p(s)
ds
1
−
G(t
2
2 , s)p(s) ds
t3
0
> 0.
Далее используем следующие обозначения: для любой функции z ∈ L[0, 1]
z + (t) ≡ (z(t) + |z(t)|)/2,
z − (t) ≡ (|z(t)| − z(t))/2,
для t1 , t2 ∈ [a, b] и z ∈ L[0, 1]
gt1 ,t2 (s) ≡ G(t2 , s) − G(t1 , s),
gt1 ,t2 ,z (t) ≡ gt1 ,t2 (t) −
Z
s ∈ [0, 1],
b
a
z(s)gt1 ,t2 (s) ds,
t ∈ [0, 1].
Т е о р е м а 2. Пусть заданы неотрицательные функции p , q ∈ L[0, 1] и
Z 1
(p(s) − q(s) ds 6= 0.
P ≡
0
Периодическая задача (2) имеет единственное решение при всех таких линейных ограниченных операторах T : C[0, 1] → L[0, 1] , что
T = T + − T −,
T +1 = p
, T − 1 = q,
и линейные операторы T + , T − : C[0, 1] → L[0, 1] положительны, тогда и только тогда,
когда
Z 1
p(t)gt+1 ,t2 ,(p−q)/P (t) + q(t)gt−1 ,t2 ,(p−q)/P (t) dt < 1.
max
06t1 6t2 61 0
ЛИТЕРАТУРА
1. Mukhigulashvili S. The Dirichlet boundary value problems for strongly singular higher-order nonlinear
functional-differential equations // Czechoslovak Mathematical Journal. 2013. V. 63. № 1. P. 235–263.
2. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Элементы современной теории функциональнодифференциальных уравнений: Методы и приложения. М.: Институт компьютерных исследований, 2002.
3. Hakl R., Lomtatidze A., Půža B. On periodic solutions of first order linear functional differential equations //
Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications. 2002. Vol. 49. № 7. P. 929–945.
1085
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 20, вып. 5, 2015
4. Hakl R., Lomtatidze A., Šremr J. Some boundary value problems for first order scalar functional differential
equations. Brno: Masaryk University, 2002.
5. Kiguradze I., Půža B. Boundary value problems for systems of linear functional differential equations. Brno:
Masaryk University, 2003.
6. Бравый Е.И. Разрешимость краевых задач для линейных функционально-дифференциальных уравнений. Москва; Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2011.
7. Бравый Е.И. О разрешимости периодической краевой задачи для линейных функционально-дифференциальных уравнений // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки.
Тамбов, 2011. Т. 16. № 4. С. 1029–1032.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена в рамках госзадания Минобрнауки РФ (задание
2014/152, проект 1890) и поддержана РФФИ (проект 14–01–00338).
Поступила в редакцию 27 мая 2015 г.
Bravyi E.I. ON SOLVABILITY OF PERIODIC BOUNDARY VALUE PROBLEM AND DIRICHLET
PROBLEM FOR SECOND ORDER FUNCTIONAL-DIFFERENTIAL EQUATIONS
The Dirichlet boundary value problem and the periodic boundary value problem for for some classes
of linear second-order functional-differential equations are considered. Necessary and sufficient conditions
of a unique solvability of the boundary value problem for all equations from these classes are obtained.
Key words: functional-differential equations; boundary value problems; periodic boundary value problem; solvability conditions; Dirichlet problem.
Бравый Евгений Ильич, Пермский национальный исследовательский политехнический университет, г. Пермь, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, старший научный
сотрудник научно-исследовательского центра «Функционально-дифференциальные уравнения», email: bravyi@perm.ru
Bravyi Evgenii Ilich, Perm National Research Polytechnical University, Perm, the Russian Federation,
Candidate of Physics and Mathematics, Senior Researcher of the Research Center «Functional-Differential
Equations», e-mail: bravyi@perm.ru
УДК 517.968.4
ON CONNECTION BETWEEN CONTINUOUS AND DISCONTINUOUS
HOMOGENIZED NEURAL FIELD EQUATIONS
c
E. Burlakov, A. Ponosov, J. Wyller
Key words: discontinuous Hammerstein equations; solvability; continuous dependence.
We study existence and continuous dependence of the solutions to the Hammerstein equation
under the transition from continuous nonlinearities in the Hammerstein operator to the
Heaviside nonlinearity in a vicinity of the solution, corresponding to the discontinuous
nonlinearity case.
We consider the following generalization of the homogenized Amari neural field equation (see
for example [1], [2])
Z Z
∂t u(t, x, xf ) = −u(t, x, xf ) +
ω(x − y, xf − yf )fβ (u(t, y))dyf dy,
(1)
Ξ Y
t > 0, x ∈ Ξ ⊆ Rm , xf ∈ Y ⊂ Rk ,
1086
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа