close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О разрешимости эволюционных уравнений с памятью.

код для вставкиСкачать
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2014. ќ19(190). Вып. 36 111
MSC 35G10
О АЗЕШИМОСТИ ЭВОЛЮЦИОННЫХ УАВНЕНИЙ С ПАМЯТЬЮ
В.Е. Фјдоров, О.А. Стахеева
Челябинский государственный университет,
ул. Братьев Кашириных, 129, Челябинск, 454001, оссия, e-mail: karsu.ru, ostasu.ru.
Методами теории полугрупп операторов найдены условия однозначной разрешимости задачи Коши для линейного интегро-диеренциального уравнения с памятью в
банаховом пространстве в смысле классических решений на полуоси, а также в смысле более
гладких решений на отрезке. С помощью этих результатов доказано существование единственного решения на полуоси задач Коши и Шоуолтера для вырожденного линейного эволюционного уравнения с памятью в банаховом пространстве. Общие результаты использованы для
установления однозначной разрешимости в неограниченном по времени цилиндре начальнокраевой задачи для линеаризованной интегро-диеренциальной системы уравнений Осколкова, описывающей динамику вязкоупругой жидкости.
Аннотация.
Ключевые слова: эволюционное уравнение, полугруппа операторов, уравнение с памятью, интегро-диеренциальное уравнение, начально-краевая задача, система уравнений
Осколкова.
В работе исследуется разрешимость задачи Коши для невырожденного линейного интегро-диеренциального уравнения
1. Введение.
v?(t) = Av(t) +
Zt
K(s)v(t ? s)ds + f (t)
(1)
0
с оператором A, порождающим в банаховом пространстве (C0 )-непрерывную полугруппу, а также разрешимость начальных задач Коши и Шоуолтера для вырожденного
интегро-диеренциального уравнения
Lu?(t) = Mu(t) +
Zt
K(s)u(t ? s)ds + f (t)
(2)
0
с линейными операторами L, M, K(s), s ? 0, действующими из банахова пространства
U в банахово пространство V, ker L 6= {0}. При этом предполагается, что пара операторов L, M порождает вырожденную сильно непрерывную полугруппу операторов (т.е.
абота выполнена при поддержке Лаборатории квантовой топологии Челябинского госуниверситета (грант правительства Ф ќ 14.Z50.31.0020).
112 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2014. ќ19(190). Вып. 36
выполняется условие сильной (L, p)-радиальности оператора M [1,2?). К таким задачам
редуцируются начально-краевые задачи для интегро-диеренциальных уравнений в
частных производных, описывающих динамику некоторых процессов с эектами памяти, например, термомеханическое поведение полимеров [3, 4?, вязкоупругих жидкостей [5? и других процессов [69?. Вырожденность оператора L означает, что система
не разрешима относительно производной по выделенной переменной, как правило, по
времени.
По сравнению с работами [10,11?, в которых рассмотрено невырожденное уравнение
с оператором A, порождающим аналитическую полугруппу, здесь рассмотрен более
широкий класс операторов A и более общая постановка задачи, когда заданная история системы с памятью учитывается ункцией f в правой части уравнения. При этом в
большинстве ситуаций доказана глобальная разрешимость задачи Коши для уравнения
(1), в отличие от работ [10, 11?. В [12? рассмотрены те же начальные задачи для уравнений (1), (2), что и в настоящей работе, но при более жестких условиях на оператор
A (порождение аналитической полугруппы) в случае уравнения (1) или на операторы
L, M (порождение вырожденной аналитической полугруппы) в случае уравнения (2).
Кроме того, в работе удалось отказаться от условий на ограниченность справа спектра
оператора A или L-спектра оператора M , а также от условия ограниченности операторункции K при доказательстве существования решения на всей полуоси.
Отметим серию работ М.В. Фалалеева и С.С. Орлова [1317?, в которых исследованы
интегро-диеренциальные уравнения с эектами памяти, вообще говоря, высокого
порядка, имеющие вырожденный оператор при старшей производной. В предположении
редгольмовости оператора при производной и существования полного M -жорданова
набора у оператора L, либо при условии (L, p)-ограниченности оператора M (в работе [14?) доказана разрешимость задачи Коши для уравнения (2) как в смысле классических, так и в смысле обобщенных решений. Аналогичные результаты получены для
уравнений высокого порядка.
Основная цель данной работы исследовать разрешимость начальных задач для
уравнения (2). Для этого в џ2 сначала найдены условия однозначной разрешимости
задачи Коши для уравнения (1), глобальной для классических решений и локальной
в случае решений большей гладкости. ассмотрен также случай, когда гладкость по
выделенной переменной t заданных в уравнении ункций K, f заменяется условием их
непрерывности в смысле нормы граика неограниченного оператора A, что в приложениях, как правило, соответствует их большей гладкости по пространственным переменным.
Далее, в џ3 ормулируются условия на операторы L и M в уравнении (2) и вытекающие из этих условий и используемые в дальнейшем утверждения о порождении парой
этих операторов вырожденной сильно непрерывной полугруппы, о представлении пространств, в которых эти операторы действуют, в виде прямых сумм и расщеплении
действий операторов вдоль этих сумм. Это позволяет перейти в џ4 к рассмотрению задач Коши и Шоуолтера для вырожденного эволюционного уравнения с памятью (2).
Оно сводится к системе двух уравнений на взаимно дополняющих друг друга подпространствах. При наложении некоторых дополнительных условий на образ или ядро
Серия: Математика. Физика. 2014. ќ19(190). Вып. 36 113
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
оператор-ункции из интегральной части уравнения эту систему удается решить. При
этом в одном из случаев требуется существование решения уравнения (1) повышенной
гладкости, доказанное в џ2.
Наконец, в џ5 результаты из предыдущего раздела используются для получения
условий однозначной глобальной по времени разрешимости начально-краевой задачи
для интегро-диеренциальной системы уравнений Осколкова, описывающей динамику жидкости Кельвина-Фойгта. В отличие от работы [18? рассмотрен более простой
случай ядра интегрального оператора, соответствующий, тем не менее, исходной модели предложенной Осколковым [5?. При этом решение найдено не в классе слабых
решений, как в работе [18?, а в классическом по времени смысле.
Обозначим через
L(X) банахову алгебру линейных непрерывных операторов на банаховом пространстве
X, через Cl(X) множество линейных замкнутых операторов с плотной областью определения в X. Кроме того, через ?(A) обозначим резольвентное множество оператора
A, а через DA область определения оператора A, снабженную нормой его граика
k · kDA = k · kX + kA · kX . DA является банаховым пространством в случае замкнутого
оператора A.
ассмотрим эволюционное уравнение с эектом памяти
2. Невырожденное эволюционное уравнение с памятью.
v?(t) = Av(t) + (Jv)(t).
Здесь интегральный оператор памяти имеет вид
(Jv)(t) =
Z?
K(s)v(t ? s)ds =
0
Zt
K(s)v(t ? s)ds +
0
Z?
K(t + s)v? (?s)ds, t ? 0,
0
при заданных оператор-ункции K : [0, +?) ? L(X) и вектор-ункции v? : (??, 0] ?
X, описывающей ѕисториюї системы. Обозначим
Z?
K(t + s)v? (?s)ds = f (t), t ? 0,
0
тогда уравнение примет вид
v?(t) = Av(t) +
Zt
K(s)v(t ? s)ds + f (t), t ? 0.
(3)
0
ешением задачи для уравнения (3) на отрезке [0, T ], где T > 0 с условием
v(0) = v0
(4)
назовем ункцию v ? C r ([0, T ]; X) ? C r?1 ([0, T ]; DA ) при некотором r ? N, удовлетворяющую уравнению (3) на [0, T ] и условию (4). Аналогично определяется решение задачи
(3), (4) на полуоси [0, +?).
114 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2014. ќ19(190). Вып. 36
ешения, более гладкие, чем из класса C 1 ([0, T ]; X) ? C([0, T ]; DA ),
понадобятся в следующем параграе при рассмотрении вырожденного уравнения.
Обозначим при m = 0, 1 C0m ([0, T ]; X) = C m ([0, T ]; X), при r = 2, 3, . . . ,
Замечание 1.
C0r ([0, T ]; X) = {g ? C r ([0, T ]; X) : g (k)(0) = 0, k = 0, 1, . . . , r ? 2}.
Понятно, что в таком случае C01 ([0, T ]; X) = C 1 ([0, T ]; X).
Теорема 1.
A
(C0 )
r ? N v0 ? DAr K ? C0r?1 ([0, T1 ]; L(X)) f ? C0r ([0, T1 ]; X)
T ? (0, T1 ]
v ? C r ([0, T ]; X) ? C r?1 ([0, T ]; DA )
(3), (4).
Для операторов V (t) ? L(X) полугруппы, порождаемой оператором A, при некоторых C ? 0, a ? R выполняются неравенства [19?
Пусть оператор порождает
,
,
,
существует единственное решение
ров,
-непрерывную полугруппу операто. Тогда при некотором
задачи
kV (t)kL(X) ? Ceat ,
Поэтому
max kV (t)kL(X) ? C(T ) ?
t?[0,T ]
t ? 0.
CeaT , a > 0;
C, a ? 0.
Введем обозначения
Kk (T ) =
k
X
(l)
sup kK (s)kL(X),
kgkk =
l=0 s?[0,T ]
k
X
sup kg (l) (t)kX ,
k = 0, 1, 2, . . . ,
l=0 t?[0,T ]
для K ? C k ([0, T ]; L(X)), g ? C k ([0, T ]; X). На полуоси [0, +?) рассмотрим числовую
ункцию F (T ) = T (1+T /2)C(T )K0(T ). Она непрерывна, неотрицательна, строго монотонно возрастает, неограничена (кроме тривиального случая K ? 0, который исключается из дальнейших рассмотрений) и F (0) = 0. Следовательно, найдется единственное
число T0 > 0, такое, что F (T0 ) = 1, F (T ) < 1 при любом T ? (0, T0 ).
Выберем T ? (0, T0 ), T ? T1 , и рассмотрим уравнение
v?(t) = Av(t) + g(t) .
(5)
При v0 ? DAr , g ? C0r ([0, T ]; X) решение v ? C r ([0, T ]; X) ? C r?1 ([0, T ]; DA ) задачи (4)
для уравнения (5) существует, единственно и имеет вид
v(t) = V (t)v0 +
Zt
V (t ? s)g(s)ds,
t ? [0, T ],
(6)
0
где {V (t) ? L(X) : t ? 0} порождаемая оператором A полугруппа операторов (см.
[19?). Действительно,
(r)
r
v (t) = V (t)A v0 + V (t)g
(r?1)
(0) +
Zt
0
V (t ? s)g (r) (s)ds.
Серия: Математика. Физика. 2014. ќ19(190). Вып. 36 115
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Определим на C0r ([0, T ]; X) оператор
[?g](t) =
Zt
K(s)v(t ? s)ds + f (t) =
(7)
0
=
Zt
K(s)V (t ? s)v0 ds +
0
Zt
0
Zt?s
K(s) V (t ? s ? ? )g(? )d? ds + f (t),
0
где ункция v является решением задачи (4) для уравнения (5) с данной ункцией g
в правой части. Имеем
d
dt
Zt
K(s)V (t ? s)v0 ds = K(t)v0 +
0
Zt
Zt?s
K(s) V (t ? s ? ? )g(? )d? ds =
0
=
0
K(s)g(t ? s)ds ?
0
=
Zt
K(s)V (t ? s)Av0 ds,
0
d
dt
Zt
Zt
Zt
K(s)
0
0
Zt
0
=
K(s)
0
d
V (t ? s ? ? )g(? )d? ds =
d?
0
K(s)V (t ? s)g(0)ds +
Zt
Zt?s
Zt?s
K(s) V (t ? s ? ? )g?(? )d? ds =
0
Zt?s
V (t ? s ? ? )g?(? )d? ds.
0
Докажем при n < r равенство
[?g]
(n)
(t) =
n?1
X
(k)
n?1?k
K (t)A
v0 +
k=0
+
Zt
0
Zt
K(s)V (t ? s)An v0 ds+
0
Zt?s
K(s) V (t ? s ? ? )g (n) (? )d? ds + f (n) (t).
0
Продиеренцируем при n < r ? 1 правую часть этого равенства и получим
n?1
X
k=0
K
(k+1)
n?1?k
(t)A
n
v0 + K(t)A v0 +
Zt
0
K(s)V (t ? s)An+1 v0 ds+
(8)
116 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
+
Zt
0
=
Серия: Математика. Физика. 2014. ќ19(190). Вып. 36
Zt?s
K(s) V (t ? s ? ? )g (n+1) (? )d? ds + f (n+1) (t) =
0
n
X
(k)
n?k
K (t)A
v0 +
k=0
+
Zt
0
K(s)
Zt
K(s)V (t ? s)An+1 v0 ds+
0
Zt?s
V (t ? s ? ? )g (n+1) (? )d? ds + f (n+1) (t).
0
Тем самым, ормула (8) доказана. В случае n = r в правой части ормулы (8) добаRt
вится еще выражение K(s)V (t ? s)g (r?1) (0)ds. Следовательно,
0
k?gkr ? (rKr?1 (T ) + T C(T )K0 (T ))
n
X
kAk v0 kX + T (1 + T /2)C(T )K0 (T )kgkr + kf kr .
k=0
Поэтому имеет место действие оператора ? : C0r ([0, T ]; X) ? C0r ([0, T ]; X) в силу условий
теоремы на K и f .
Для произвольных ункций g1 , g2 ? C0r ([0, T ]; X)
k?g1 ? ?g2 kX ? T (1 + T /2)C(T )K0 (T )kg1 ? g2 kr = F (T )kg1 ? g2 kr ,
где F (T ) < 1 при выбранном T > 0. Таким образом, на полном метрическом пространстве C0r ([0, T ]; X) оператор ? является сжимающим. По теореме о сжимающем
отображении найдется единственный элемент g1 ? C0r ([0, T ]; X), такой, что g1 = ?g1 . В
этом случае ункция
Zt
v(t) = V (t)v0 + V (t ? s)g1 (s)ds
0
из класса C r ([0, T ]; X) ? C r?1([0, T ]; DA ) является одновременно решением задач (3), (4)
и (4), (5), так как v?(t) ? Av(t) = g1 (t) = [?g1 ](t).
Если v1 , v2 два решения задачи (3), (4) на некотором отрезке [0, T ], T < T0 , то
ункции
Zt
gi (t) = K(s)vi (t ? s)ds + f (t), i = 1, 2,
0
являются неподвижными точками оператора ?, лежащими в C0r ([0, T ]; X). Поэтому g1 ?
g2 и при каждом t ? [0, T ]
w?(t) ? Aw(t) = 0,
t ? [0, T ],
w(0) = 0,
где w(s) = v1 (s) ? v2 (s). Отсюда следует совпадение v1 и v2 на [0, T ] и единственность
решения задачи (3), (4). НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2014. ќ19(190). Вып. 36 117
В случае r = 1 можно доказать однозначную разрешимость задачи (3), (4) на всей
полуоси [0, +?).
Теорема 2.
A
(C0 )
1
v0 ? DA K ? C([0, +?); L(X)) f ? C ([0, +?); X)
v ? C 1 ([0, +?); X) ? C([0, +?); DA )
(3), (4).
При r = 1 из прежней теоремы получаем решение v ? C 1 ([0, T ]; X) ? C([0, T ]; DA )
задачи (3), (4). Нетрудно заметить, что в проведенном доказательстве теоремы 1 ограничения на T0 определяются только оператором A и оператор-ункцией K и не зависят
от v0 ? DA . ассмотрим уравнение
ров,
решение
Пусть оператор порождает -непрерывную полугруппу операто,
,
. Тогда существует единственное
задачи
ZT +t
v?(T + t) = Av(T + t) +
K(s)v(T + t ? s)ds + f (T + t),
0
при иксированном ранее T ? (0, T0 ) и t ? 0. Сделаем замену v1 (t) = v(T +t) и получим
задачу Коши
v?1 (t) = Av1 (t) +
Zt
K(s)v1 (t ? s)ds + f1 (t),
v1 (0) = v(T ),
(9)
0
где ункция
ZT +t
f1 (t) = f (T + t) +
K(s)v(T + t ? s)ds,
t
как нетрудно заметить, уже определена и принадлежит пространству C 1 ([0, T ]; X). Повторив рассуждения, докажем существование единственного решения задачи (9) на отрезке [0, T ], а значит, и решения исходной задачи на отрезке [0, 2T ]. Повторяя процесс,
получим решение этой задачи в любой момент времени t ? 0. Докажем в некотором смысле смежное к теореме 2 утверждение.
Теорема 3.
A
(C0 )
v0 ? DA im K(s) ? DA
s ? 0 K ? C([0, +?); L(X; DA)) f ? C([0, +?); DA)
(3), (4)
[0, +?).
Обозначим
sup kK(s)kL(X;DA) ? sup kK(s)kL(X) + kAK(s)kL(X) ? KA (T ),
Пусть оператор порождает -непрерывную полугруппу операторов,
,
при
,
,
.
Тогда существует единственное решение задачи
на полуоси
s?[0,T ]
s?[0,T ]
FA (T ) = C(T )KA (T )T 2 /2. Как и при доказательстве теоремы 1, определим T0 = FA?1 (1),
тогда F (T ) < 1 при T ? (0, T0 ).
Заиксируем T ? (0, T0 ). Для g ? C([0, T ]; DA ), решение v ? C 1 ([0, T ]; X)?C([0, T ]; DA)
задачи (4), (5) существует, единственно и имеет вид (6). Зададим на C([0, T ]; DA ) оператор (7). Тогда
[A?g](t) =
Zt
0
AK(s)V (t ? s)v0 ds +
Zt
0
Zt?s
AK(s) V (t ? s ? ? )g(? )d? ds + Af (t),
0
118 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2014. ќ19(190). Вып. 36
k?gkC([0,T ];DA) ? T C(T )KA (T )kv0 kX +
T2
C(T )KA (T )kgk0 + kf kC([0,T ];DA) ,
2
поэтому ? : C([0, T ]; DA ) ? C([0, T ]; DA ).
Для g1 , g2 ? C([0, T ]; DA ) имеем
k?g1 ? ?g2 kC([0,T ];DA) ?
T2
C(T )KA (T )kg1 ? g2 kC([0,T ];DA) = FA (T )kg1 ? g2 kC([0,T ];DA) .
2
Поскольку FA (T ) < 1 при выбранном T , то на полном метрическом пространстве
C([0, T ]; DA) оператор ? является сжимающим. По теореме о сжимающем отображении
существует единственная неподвижная точка g1 ? C([0, T ]; DA ) оператора ?. Следовательно, ункция
Zt
v(t) = V (t)v0 + V (t ? s)g1 (s)ds
0
является решением задач (3), (4) и (4), (5). Единственность решения и его продолжимость на всю полуось [0, +?) доказываются так же, как в теоремах 1 и 2 соответственно. 3. Условия на операторы в вырожденном уравнении. Сормулируем условия на операторы, которые будут использованы в дальнейшем, и соответствующие им
утверждения, которые доказаны ранее в [1, 2?.
Пусть U и V банаховы пространства, оператор L : U ? V линеен и непрерывен
(для краткости обозначим L ? L(U; V)), а оператор M : DM ? V линеен, замкнут и
плотно определен в U (коротко, M ? Cl(U; V)). Введем обозначения
N0 = {0} ? N,
? L (M) = C \ ?L (M),
?L (M) = {µ ? C : (µL ? M)?1 ? L(V; U)},
RµL (M) = (µL ? M)?1 L,
Пусть p ? N0 . Оператор M называется
(i) ?a ? R (a, +?) ? ?L (M) ;
(ii) ?K ? R+ ?µ ? (a, +?) ?n ? N
сильно
LLµ = L(µL ? M)?1 .
(L, p)-радиальным, если
max{k(RµL (M))n(p+1) kL(U) , k(LLµ (M))n(p+1) kL(V) } ?
K
;
(µ ? a)n(p+1)
?
(iii) существует плотный в V линеал V, такой, что при любом µ ? (a, +?)
kM(µL ? M)?1 (LLµ (M))p+1 f kV ?
c(f )
(µ ? a)p+2
k(RµL (M))p+1 (µL ? M)?1 kL(V;U) ?
?
?f ?V ;
K
.
(µ ? a)p+2
Здесь c(f ) константа, зависящая от выбора элемента f .
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2014. ќ19(190). Вып. 36 119
Замечание 2. Эквивалентность условий данного определения аналогичным более
сложным условиям, использованным в [1, 2?, доказана в [20?.
Положим U0 = ker(RµL (M))p+1 , V0 = ker(LLµ (M))p+1 ; U1 замыкание образа оператора im(RµL (M))p+1 в пространстве U, V1 замыкание образа im(LLµ (M))p+1 в пространстве
V. Обозначим через Lk (Mk ) сужение оператора L (M) на Uk (DMk = DM ? Uk ), k = 0, 1.
Пусть оператор
сильно
-радиален. Тогда
[1, 2?.
M
(L, p)
1
0
1
(i) U = U ? U , V = V ? V ;
(ii) Lk ? L(Uk ; Vk ), Mk ? Cl(Uk ; Vk ), k = 0, 1;
1
1
(iii)
M0?1 ? L(V0 ; U0 ) L?1
1 ? L(V ; U );
(iv)
H = M0?1 L0
p;
(v)
{U(t) ? L(U) : t ? 0}
Lu?(t) = Mu(t);
(vi)
L?1
(C0 )
1 M1
1
U(t)|U1 ? L(U ) : t ? 0}.
Теорема 4
0
существуют операторы
и
оператор
нильпотентен степени не больше
существует сильно непрерывная полугруппа
, разрешающая
уравнение
оператор
порождает -непрерывную полугруппу операторов {U1(t) ?
Замечание 3. В случае ker L 6= {0} единицей U(0) разрешающей полугруппы уравнения Lu?(t) = Mu(t) является нетривиальный проектор, при этом ker L ? ker U(0) = U0 ,
im U(0) = U1 .
Обозначим P = U(0), Q проектор на подпространство V1 вдоль подпространства
V , P0 = I ? P , Q0 = I ? Q.
0
Замечание 4. При доказательстве утверждения (ii) теоремы 4 существенную роль
играют равенства MP u = QMu, u ? DM , и LP = QL. Они в дальнейшем также
потребуются в явном виде.
4. Вырожденное эволюционное уравнение с памятью.
задачи Коши
ассмотрим начальные
u(0) ? u0 = 0
(10)
P (u(0) ? u0 ) = 0
(11)
и Шоуолтера
для вырожденного эволюционного уравнения с памятью
Lu?(t) = Mu(t) +
Zt
K(s)u(t ? s)ds + f (t),
(12)
0
где {K(t) ? L(U; V) : t ? 0} заданное семейство оператор-ункций.
ешением задачи (10), (12) (задачи (11), (12)) на отрезке [0, T ], T > 0, называется
ункция u ? C 1 ([0, T ]; U)?C([0, T ]; DM ), удовлетворяющая условию (10) (условию (11))
и уравнению (12) на [0, T ]. Аналогично определяется решение на полуоси.
Здесь подразумевается, что область определения DM снабжена нормой граика
k · kDM = k · kU + kM · kV замкнутого оператора M и поэтому является банаховым
пространством.
120 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2014. ќ19(190). Вып. 36
Пусть ker L 6= {0}, оператор M сильно (L, p)-радиален. Подействуем на обе части
уравнения (12) непрерывным оператором L?1
1 Q и получим в силу теоремы 4 и замечания
4 уравнение
v?(t) =
L?1
1 M1 v(t)
+
Zt
L?1
1 QK(s)v(t
? s)ds +
0
Zt
?1
L?1
1 QK(s)w(t ? s)ds + L1 Qf (t), (13)
0
где P u(t) = v(t), P0 u(t) = w(t), u(t) = v(t) + w(t). Если же на уравнение (12) подействовать непрерывным оператором M0?1 Q0 , то получим
H w?(t) = w(t) +
Zt
M0?1 Q0 K(s)w(t
? s)ds +
0
Zt
M0?1 Q0 K(s)v(t ? s)ds + M0?1 Q0 f (t). (14)
0
Таким образом, уравнение (12) сводится к системе уравнений (13) и (14).
ассмотрим случаи, когда второе слагаемое в правой части равенства (14) тождественно равно нулю. Например, используя условие im K(t) ? V1 при t ? 0, нетрудно
получить следующий результат.
Теорема 5.
M
(L, p)
im K(t) ? V1
t?0
1
p+1
K ? C([0, +?); L(U; V)) f ? C ([0, +?); V) Q0 f ? C ([0, +?); V) u0 ? DM
(11), (12)
[0, +?)
Пусть оператор сильно
-радиален,
для всех
,
,
,
,
. Тогда
решение задачи
существует и единственно на всей полуоси
. Если к
тому же выполняется условие
P0 u 0 = ?
p
X
H k M0?1 (Q0 f )(k) (0),
(15)
k=0
то существует единственное на полуоси [0, +?) решение задачи (10), (12).
Если im K(t) ? V1 , то Q0 K(t) ? 0. В этом случае уравнение (14) принимает вид
H w?(t) = w(t) + M0?1 Q0 f (t) и, следовательно, имеет единственное решение
w=?
p
X
H k M0?1 (Q0 f )(k) ? C 1 ([0, +?); U) ? C([0, +?); DM )
k=0
в силу нильпотентности оператора H . При этом задача w(0) = P0 u0 для уравнения (14),
а значит, и задача (10) для уравнения (12), имеет решение только в случае выполнения
условия (15).
Таким образом, задача (10), (12) (или (11), (12)) сведена к задаче Коши для уравнения
Zt
v?(t) = L?1
L?1
1 M1 v(t) +
1 QK(s)v(t ? s)ds + h(t),
0
где h(t) =
Rt
0
?1
1
1
L?1
1 QK(s)w(t ? s)ds + L1 Qf (t) принадлежит пространству C ([0, +?]; U ).
Используя теорему 4, нетрудно убедится, что выполняются все условия теоремы 2 о
разрешимости такой задачи. Серия: Математика. Физика. 2014. ќ19(190). Вып. 36 121
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Замечание 5. Таким образом, задача Коши для вырожденного эволюционного
уравнения (12) является переопределенной в том смысле, что для ее разрешимости
требуется выполнение условия (15) согласования данных задачи.
Аналогичный результат нетрудно получить с использованием теоремы 3 вместо теоремы 2 на последнем этапе доказательства.
Теорема 6.
M (L, p)
t ? 0 im K(t) ?
?1
?1
DM1 L?1
K
?
C
[0,
+?);
L
U;
D
Qf
?
C
[0,
+?);
D
Q
f
?
C p+1([0, +?); V)
0
M 1 L1
M 1 L1
1
u 0 ? DM
(11), (12)
[0, +?)
(15)
[0, +?)
(10), (12)
-радиален, для всех
,
,
. Тогда решение задачи
существует и единственно на всей полуоси
. Если к тому же выполняется условие , то существует единственное на полуоси
решение задачи
.
,
Пусть оператор
сильно
,
ассмотрим теперь случай U0 ? ker K(t) при t ? 0.
Пусть оператор M сильно (L, 0)-радиален, U0 ? ker K(t) для всех t ? 0,
K ? C([0, +?); L(U; V)), f ? C 1 ([0, +?); V), u0 ? DM . Тогда решение задачи (11),
(12) существует и единственно на всей полуоси [0, +?). Если к тому же выполняется
условие
?1
Теорема 7.
P0 u0 = ?M0 Q0 f (0),
то существует единственное на полуоси [0, +?) решение задачи (10), (12).
(16)
В случае, когда U0 ? ker K(t), система (13), (14) принимает вид
v?(t) = L?1
1 M1 v(t) +
Zt
?1
L?1
1 QK(s)v(t ? s)ds + L1 Qf (t),
(17)
M0?1 Q0 K(s)v(t ? s)ds + M0?1 Q0 f (t).
(18)
0
H w?(t) = w(t) +
Zt
0
Однозначная разрешимость задачи Коши v(0) = P u0 для уравнения (17) следует из
теорем 2 и 4. Подставим найденную ункцию v в уравнение (18). При p = 0 оператор
H = 0 по теореме 4 (iv), поэтому ункция
w(t) = ?
Zt
M0?1 Q0 K(s)v(t ? s)ds ? M0?1 Q0 f (t)
0
является решением уравнения (18). Условие (16), тогда является необходимым для разрешимости задачи Коши w(0) = P0 u0 для уравнения (18). С помощью теоремы 3 аналогичным образом получим утверждение.
0
Теорема 8.
M
(L, 0)
U
t?
? ker K(t) 1
0 K ? C([0, +?); L(U; V)) QK ? C [0, +?); L U; DM1 L?1
Q0 f ? C ([0, +?); V)
1
Qf ? C [0, +?); DM1L?1
u 0 ? DM
(11), (12)
1
[0, +?)
(16)
[0, +?)
(10), (12)
Пусть оператор сильно
-радиален,
для всех
,
,
,
,
,
. Тогда решение задачи
существует и
единственно на всей полуоси
. Если к тому же выполняется условие , то
существует единственное на полуоси
решение задачи
.
122 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2014. ќ19(190). Вып. 36
При произвольном p ? N, используя теорему 1, докажем лишь локальную разрешимость рассматриваемых задач.
M сильно (L, p)-радиален, U0 ? ker K(t) для всех
t ? [0, T1 ], K ? C([0, T1 ]; L(U; V)), QK ? C0p ([0, T1 ]; L(U; V)), f ? C 1 ([0, T1 ]; V), Qf ?
C0p+1([0, T1 ]; V), u0 ? DM , P u0 ? D(L?1
p+1 . Тогда при некотором T ? (0, T1 ] решение
1 M1 )
задачи (11), (12) существует и единственно на отрезке [0, T ]. Если к тому же выполняется условие (15), то существует единственное на полуоси [0, +?) решение задачи (10),
(12).
Теорема 9.
Пусть оператор
p+1
1
По теореме
1 получим существование единственного решения v ? C ([0, T ]; U )?
C [0, T ]; DM1 задачи Коши v(0) = P u0 для уравнения (17). Подставив его в уравнение
p
P
(18), найдем решение w(t) = ?
H k h(k) (t) класса C 1 ([0, T ]; U0 ), где ункция h(t) =
p
k=0
Rt
0
M0?1 Q0 K(s)v(t ? s)ds + M0?1 Q0 f (t) имеет необходимую гладкость. 5. Линеаризованная интегро-диеренциальная модель Осколкова. ассмотрим начально-краевую задачу для интегро-диеренциальной системы уравнений
Осколкова
(1 ? ??)vt (x, t) = ??v(x, t) ? (v? · ?)v(x, t) ? (v · ?)v?(x, t) ? r(x, t)+
+
Zt
K(s)?v(x, t ? s)ds + h(x, t),
(x, t) ? ? Ч [0, +?),
(19)
0
? · v(x, t) = 0,
v(x, t) = 0,
(x, t) ? ? Ч [0, +?),
(x, t) ? ?? Ч [0, +?),
v(x, 0) = v0 (x),
x ? ?.
(20)
(21)
(22)
Здесь ? ? Rn огpаниченная область с гpаницей ?? класса C ? , T > 0. Параметр ? > 0
характеризует упругие свойства жидкости, а параметр ? > 0 еј вязкие свойства.
Вектор-ункции v = (v1 , v2 , . . . , vn ) (вектор скорости жидкости) и r = (r1 , r2 , . . . , rn )
(градиент давления) неизвестны. Вектоp-ункция v? = (v?1 , v?2 , . . . , v?n ), v?k = v?k (x), k =
1, 2, . . . , n, задана и означает стационаpное pешение исходной системы. Также заданы
ункции N : [0, +?) ? R, h : ? Ч [0, +?) ? R.
Эта система моделирует в линейном пpиближении динамику вязкоупpугой несжимаемой жидкости [5? в окрестности стационарного решения v? .
едуциpуем задачу (19)(22) к задаче Шоуолтера (11) для уpавнения (12). Для этого
введем обозначения L2 = (L2 (?))n , H1 = (W21 (?))n , H2 = (W22 (?))n . Замыкание множества L = {v ? (C0? (?))n : ? · v = 0} по ноpме L2 обозначим через H? , а по норме H1 через H1? . Будем использовать также обозначение H2? = H1? ? H2 . Обозначим через H?
оpтогональное дополнение к H? в L2 , чеpез ? : L2 ? H? , ? = I ? ? соответствующие
оpтопpоектоpы.
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2014. ќ19(190). Вып. 36 123
В пространстве L рассмотрим оператор A = ??, который, будучи продолженным
до замкнутого оператора в пространстве H? с областью определения H2? , имеет вещественный, отрицательный, дискретный, конечнократный спектр, сгущающийся только
на ?? [21?. Обозначим через {?k } его собственные значения, занумерованные по невозрастанию с учетом кратности, а через {?k } ортонормированную систему соответствующих собственных ункций, образующую базис в H? .
Пусть v? ? H1 . Тогда оpмулой Dw = ??w ? (v? · ?)w ? (w · ?)v? зададим опеpатоp
D ? L(H2? ; L2 ).
Учитывая уравнение несжимаемости (20), положим
U = H2? Ч H? ,
V = L2 = H? Ч H? .
(23)
Таким образом, элемент u ? U имеет вид u = (v, r), а элемент w ? V вид w = (y, z),
где y = ?w , z = ?w . Фоpмулой
I ? ?A O
L=
(24)
???? O
опpеделяется опеpатоp L ? L(U; V). Учитывая отрицательность спектра ?(A), имеем
??1 ?
/ ?(A), поэтому ker L = {0} Ч H? . При заданном v? ? H1 оpмулой
?D O
M=
(25)
?D ?I
опpеделяется опеpатоp M ? L(U; V).
Теорема 10 [22?.
U V
L M
(24) (25)
? 6= 0 ??1 6?
M
(L, 0)
I
O
I
P =
, Q=
?1
???(I ? ?A) ?D + ?D O
????(I ? ?A)?1
Пусть пpостpанства и опpеделены равенствами (23), а опеpатоpы и равенствами
и
соответственно,
,
?(A). Тогда
опеpатоp сильно
-pадиален, при этом
O
O
.
Из теоремы 10 следует, что U0 = ker P = {0} Ч H? . При s ? 0 определим операторы
K(s) : H2? Ч H? ? L2 , K(s)(v, r) = N(s)?v . Очевидно, что U0 ? K(s) при всех s ? 0,
поэтому с помощью теорем 10 и 7 получим следующее утверждение.
Теорема 11.
N ? C([0, +?); R) h ? C 1 ([0, +?); L2) v0 ? H2?
(19)(22)
Из условий на ункцию N и построения операторов K(s) следует, что K ?
C([0, +?); L(U; V)). Из вида полученного в теореме 10 проектора P следует, что условие
(22) эквивалентно условию Шоуолтера (11). 6. Заключение. В работе получены теоремы существования и единственности решения начальных задач для некоторых классов линейных эволюционных уравнений
с эектами памяти. Для невырожденных уравнений такого рода получены условия
глобальной однозначной разрешимости задачи Коши в смысле классических решений и
задачи
Пусть
,
существует и единственно.
,
. Тогда решение
124 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2014. ќ19(190). Вып. 36
локальной ее разрешимости в классах решений повышенной гладкости. Для эволюционных уравнений с вырожденным оператором при производной исследована однозначная
разрешимость начальных задач Коши и Шоуолтера. Полученные абстрактные результаты использованы для исследования глобальной по времени разрешимости начальнокраевой задачи для системы уравнений Осколкова, описывающей динамику вязкоупругой жидкости. Аналогичным образом можно использовать полученные результаты при
рассмотрении других начально-краевых задач для интегро-диеренциальных систем
уравнений в частных производных
Литература
1. Федоров В.Е. Вырожденные сильно непрерывные полугруппы операторов // Алгебра и
анализ. 2000. Т. 12, вып. 3. С. 173-200.
2. Свиридюк .А., Федоров В.Е. Линейные уравнения соболевского типа / Челябинск: Челяб. гос. ун-т, 2003. 179 .
3. Coleman B.D., Gurtin M. E., Angew Z. Equipresene and ostitutive equations for rigid heat
ondutors // Math. Phys. 1967. Vol. 18. P. 199-208.
4. Gurtin M.E., Pipkin A.C. A general theory of heat ondution with nite wave speeds //
Arh. Rational Meh. Anal. 1968. Vol. 31. P. 113-126.
5. Осколков А.П. Начально-краевые задачи для уравнений движения жидкостей КельвинаФойгта и жидкостей Олдройта // Тр. Мат. ин-та АН ССС. 1988. Т. 179. С. 126-164.
6. Giorgi C., Marzohi A. Asymptoti behavior of a semilinear problem in heat ondution with
memory // Nonlinear Dier. Equ. Appl. 1998. Vol. 5. P. 333354.
7. Grasselli M., Pata V. Uniform attrators of nonautonomous dynamial systems with memory.
In the book: Progress in nonlinear dierential equations and their appliations / Basel:
Birkhauser Verlag, 2002. Vol. 50. P. 155-178.
8. Gatti S., Grasselli M., Pata V., Squassina M. Robust exponential attrators for a family
of nononserved phase-eld systems with memory // Disrete and Continuous Dynamial
Systems. 2005. 12, ќ5. P. 1019-1029.
9. Grasselli M., Squassina M. Exponential stability and singular limit for a linear thermoelasti
plate with memory eets // Advanes in Mathematial Sienes and Appliations. 2006. 16, ќ1. P. 15-31.
10. Федоров В.Е., Стахеева О.А. О локальной разрешимости линейных эволюционных уравнений с памятью // Вестник Южно-Уральского гос. ун-та. Сер. Мат. моделирование и
программирование. 2008. 27 (127); 2. С. 104-109.
11. Стахеева О.А. Локальная разрешимость одного класса линейных уравнений с памятью // Вестник Челябинского гос. ун-та. Сер. Математика. Механика. Инорматика. 2009. 20 (158); 11. С. 70-76.
12. Федоров В.Е., Стахеева А.В. О разрешимости линейных уравнений соболевского типа
с эектом памяти // Неклассические уравнения математической изики: сб. науч.
работ / Новосибирск: Изд-во Ин-та математики им. С.Л. Соболева СО АН, 2010. С.245-261.
13. Орлов С.С. Вырожденное интегро-диеренциальное уравнение в банаховых пространствах и его приложения // Изв. Иркутского гос. ун-та. Сер. Математика. 2010. 3,
ќ.1. С. 54-60.
14. Фалалеев М.В., Орлов С.С. Вырожденные интегро-диеренциальные уравнения специального вида в банаховых пространствах и их приложения // Вестник Южно-Уральского
гос. ун-та. Сер. Мат. моделирование и программирование. 2011. 4 (211); 7. С. 100-110.
15. Фалалеев М.В., Орлов С.С. Интегро-диеренциальные уравнения с вырождением в
банаховых пространствах и их приложения в математической теории упругости // Изв.
Иркутского гос. ун-та. Сер. Математика. 2011. 4, ќ1. С. 118-134.
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2014. ќ19(190). Вып. 36 125
16. Фалалеев М.В., Орлов С.С. Вырожденные интегро-диеренциальные операторы в банаховых пространствах и их приложения // Изв. вузов. 2011. ќ10. С. 68-79.
17. Фалалеев М. В. Интегро-диеренциальные уравнения с редгольмовым оператором
при старшей производной в банаховых пространствах и их приложения // Изв. Иркутского гос. ун-та. Сер. Математика. 2012. 5, ќ1. С. 90-102.
18. Звягин В.., Турбин М.В. Исследование начально-краевых задач для математических
моделей движения жидкостей Кельвина-Фойгта // Современная математика. Фундаментальные направления. 2009. 31. С. 3-144.
19. Хилле Э., Филлипс . Функциональный анализ и полугруппы / М.: Иностр. лит., 1962. 830 с.
20. Федоров В.Е. Свойства псевдорезольвент и условия существования вырожденных полугрупп операторов // Вестник. Челяб. гос. ун-та. Сер. Математика. Механика. Инорматика. 2009. 20 (158); 11. С. 12-19.
21. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости /
М.: Физматлит, 1961. 204 .
22. Иванова Н.Д., Федоров В.Е., Комарова К.М. Нелинейная обратная задача для системы
Осколкова, линеаризованной в окрестности стационарного решения // Вестник Челяб.
гос. ун-та. Сер. Математика. Механика. Инорматика. 2012. 26 (280); 15. С.49-70.
ON SOLVABILITY OF EVOLUTION EQUATIONS WITH MEMORY
V.E. Fedorov, O.A. Stakheeva
Chelyabinsk State University,
Kashirin Brothers St., 129, Chelyabinsk, 454001, Russia, e-mail: karsu.ru, ostasu.ru.
Abstrat. Conditions of unique solvability of the Cauhy problem to a linear integro-dierential
equation with memory in a Banah spae are found by methods of the operator semigroup theory.
Solutions are supposed in the lassial sense. They are dened on the temporal semiaxis and in the
sense of smoother solutions on a segment. These results are used at the proof of unique solution
existene both the Cauhy problem on semiaxis and the Showalter problem to a degenerate linear
evolution equation with memory in a Banah spae. General results are applied to researh of unique
solvability of an initial-boundary value problem in an ylinder unbounded with respet to time for
the linearized integro-dierential Oskolkov system of equations desribing dynamis of visoelasti
uid.
evolution equation, operator semigroup, equation with memory, integrodierential equation, initial boundary value problem, Oskolkov's equations system.
Ключевые слова:
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
261 Кб
Теги
уравнения, разрешимости, память, эволюционная
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа