close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О р-алгебрах на основе 4-систем.

код для вставкиСкачать
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 12 Выпуск 2 (2011)
Труды VIII Международной конференции
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения,
посвященной 190-летию Пафнутия Львовича Чебышева и
120-летию Ивана Матвеевича Виноградова
УДК 512.577
О
Р -АЛГЕБРАХ НА ОСНОВЕ 4 -СИСТЕМ
С. В. Сыроватская (г. Волгоград)
Аннотация
В работе рассматриваются
P -алгебры
на основе
4 -систем
(под
4-
си-
стемами понимаются системы четверок Штейнера). Приводятся свойства
этих алгебр. Описаны некоторые конгруэнц-простые
4 -систем.
P -алгебры на основе
P-алгеброй
Алгебра ?A, P ? c одной тернарной операцией P называется
[1],
если она удовлетворяет тождествам А. И. Мальцева P (x, y, y) = x = P (y, y, x).
-алгебру ?A, P ?, на которой справедливо тождество P (P (x, y, z), u, v) =
= P (x, y, P (z, u, v)) [2], будем называть
.
В [3] под
T (v, k, t, ?), или t
, понимают
пару (X, B), где X множество из v различных элементов, B семейство
k -подмножеств (блоков) множества X , такую что любое подмножество X , состоящее из t различных элементов, содержится ровно в ? блоках из B .
t-схему T (v, k, t, ?) с ? = 1 называют
. При k = 3, t = 2
эта система называется
(STS), а при k = 4, t = 3 (SQS) [3].
В работе [1] описана следующая алгебраическая структура -алгебры
на STS. Пусть A произвольное линейно упорядоченное множество, SA STS
на A.
[1] это алгебра ?A, P (SA )? с одной тернарной операцией P , заданной по правилам:
R1. если {x, y, z} ? SA , то P (x, y, z) = min {x, y, z};
R2. если {x, y, z} ?
/ SA и x ?= z , то P (x, y, z) = a2 , где {a2 , y, a1 } , {a1 , x, z} ? SA ;
R3. если x = z ?= y , то P (x, y, z) = a, где {a, x, y} ? SA ;
R4. если x = y = z , то P (x, y, z) = x.
В работе [4] исследуются свойства -алгебр ?A, P (SA )?, где A нижняя
полурешетка с одной из диаграмм, изображенных на Рис. 1,
операция P определена правилами R2R4 и условием: если {x, y, z} ? SA , то
Р
почти ассоциативной
тактической конфигурацией
-схемой
системой Штейнера
системой троек Штейнера
системой четверок Штейнера
P-алгебра Штейнера
P
Р
О
Р-АЛГЕБРАХ НА ОСНОВЕ 4-СИСТЕМ
111
t
????
?? ??
t??t ? ? ? ?t?t
?? ??
????t??
??
t t? ? ? t t
?? ??
????t??
??
Рис. 1:
P (x, y, z) = x ? y ? z (x ? y ? z это точная нижняя грань множества {x, y, z}).
В частности, доказывается, что эти алгебры конгруэнц-просты [4, c. 53].
Под
KA на множестве A будем понимать SQS на A. Известно (см., например, [3]), что SQS существует на v -элементном множестве тогда
и только тогда, когда v ? 2 или 4 (mod 6).
[5] (SQS-skein) называется алгебра ?S, q? с одной тернарной
операцией q , удовлетворяющая тождествам q(x, y, z) = q(x, z, y) = q(z, x, y),
q(x, y, y) = x, q(x, y, q(x, y, z)) = z .
Соответствие между системами четверок Штейнера и SQS-мотками устанавливается в [6] следующим образом.
Пусть (S, B) SQS на S . Тогда алгебра ?S, q?, где
?
x, если y = z
?
?
?
y, если x = z
q(x, y, z) =
z, если x = y
?
?
?
w, в противном случае, где {x, y, z, w} ? B
4-системой
SQS-мотком
для любых x, y, z ? S , является SQS-мотком. Обратно. Пусть ?S, q? SQS-моток. Пара (S, B), где B = {{x, y, z, q(x, y, z)} | x, y, z ? S, x ?= y ?= z, x ?= z }, является SQS.
Теперь перейдем к рассмотрению -алгебр на основе -систем.
Пусть A конечное множество, KA произвольная -система на A. Алгебру
?A, P ?, удовлетворяющую условиям
P
4
4
1) P (x, y, y) = x = P (y, y, x) для любых x, y ? A,
2) если x, y, z попарно различные элементы из A, то P (x, y, z) = u, где
{x, y, z, u} ? KA ,
P-алгеброй на основе 4-системы
P
4
P
назовем
KA и обозначим через ?A, P (KA )?.
Отметим, что всякий конечный SQS-моток ?S, q? с мощностью |S| > 2 является -алгеброй на основе -системы. Однако, класс -алгебр на основе
-систем шире класса конечных SQS-мотков, имеющих более двух элементов, ниже будут приведены примеры -алгебр на основе -систем, не удовлетворяющих тождеству P (y, x, y) = x, а на любом SQS-мотке это тождество выполняется.
4
P
4
112
С. В. СЫРОВАТСКАЯ
Теорема 1 Для P-алгебры A = ?A, P (KA )? на основе 4-системы KA следующие утверждения эквивалентны:
1. A является почти ассоциативной;
2. на A истинно тождество P (x, y, x) = y и справедливо условие:
для любых x, y, z, u, t, v ? A если {x, y, z, u} ? KA, {x, y, t, v} ? KA и
{x, y, z, u} =
? {x, y, t, v}, то {z, u, t, v} ? KA .
.
Пусть для алгебры A = ?A, P (KA )? выполняется утверждение 2. Сразу заметим, что -алгебра на основе -системы, удовлетворяющая тождеству P (x, y, x) = y , будет удовлетворять тождествам
P (x, y, z) = P (y, x, z) = P (y, z, x).
Пусть a1 , a2 , b1 , b2 , c ? A. Если a1 = a2 , то
Доказательство.
P
4
P (P (a1 , a2 , c), b1 , b2 ) = P (P (a1 , a1 , c), b1 , b2 ) = P (c, b1 , b2 ) =
= P (a1 , a1 , P (c, b1 , b2 )) = P (a1 , a2 , P (c, b1 , b2 )).
Если a1 ?= a2 , b1 = b2 , то
P (P (a1 , a2 , c), b1 , b2 ) = P (P (a1 , a2 , c), b1 , b1 ) = P (a1 , a2 , c) =
= P (a1 , a2 , P (c, b1 , b1 )) = P (a1 , a2 , P (c, b1 , b2 )).
Пусть теперь a1 ?= a2 , b1 ?= b2 . Возможны случаи.
c = b1 . Если c = a1 , то
1)
P (P (a1 , a2 , c), b1 , b2 ) = P (P (a1 , a2 , a1 ), a1 , b2 ) = P (a2 , a1 , b2 ) =
= P (a1 , a2 , b2 ) = P (a1 , a2 , P (a1 , a1 , b2 )) = P (a1 , a2 , P (c, b1 , b2 )).
Если c = a2 , то
P (P (a1 , a2 , c), b1 , b2 ) = P (P (a1 , a2 , a2 ), a2 , b2 ) = P (a1 , a2 , b2 ) =
= P (a1 , a2 , P (a2 , a2 , b2 )) = P (a1 , a2 , P (c, b1 , b2 )).
Положим, что c ?= a1 , a2 . Тогда P (P (a1 , a2 , c), b1 , b2 ) = P (w1 , c, b2 ), где
{a1 , a2 , c, w1 } ? KA . С другой стороны,
P (a1 , a2 , P (c, b1 , b2 )) = P (a1 , a2 , P (c, c, b2 )) = P (a1 , a2 , b2 ).
Если b2 = a1 или b2 = a2 , то
P (w1 , c, b2 ) = P (w1 , c, a1 ) = a2 = P (a1 , a2 , a1 ) = P (a1 , a2 , b2 ) либо
P (w1 , c, b2 ) = P (w1 , c, a2 ) = a1 = P (a1 , a2 , a2 ) = P (a1 , a2 , b2 ) соответственно.
Если же b2 ?= a1 , a2 , тогда P (a1 , a2 , b2 ) = w2 , где {a1 , a2 , b2 , w2 } ? KA . Имеем:
{a1 , a2 , c, w1 } ? KA , {a1 , a2 , b2 , w2 } ? KA . Возможны варианты.
{a1 , a2 , c, w1 } = {a1 , a2 , b2 , w2 }. Так как c ?= b2 , следовательно, c = w2 , w1 = b2 .
Значит, w2 = c = P (b2 , c, b2 ) = P (w1 , c, b2 ).
{a1 , a2 , c, w1 } =
? {a1 , a2 , b2 , w2 }. Отсюда, {c, w1 , b2 , w2 } ? KA , что влечет
w2 = P (w1 , c, b2 ).
О
2)
Р-АЛГЕБРАХ НА ОСНОВЕ 4-СИСТЕМ
113
c = b2 . Сначала отметим: P (P (a1 , a2 , c), b1 , b2 ) = P (P (a1 , a2 , c), b2 , b1 ).
Далее аналогично случаю
получаем, что
P (P (a1 , a2 , c), b2 , b1 ) = P (a1 , a2 , P (c, b2 , b1 )). Таким образом,
P (P (a1 , a2 , c), b1 , b2 ) = P (a1 , a2 , P (c, b2 , b1 )). Поскольку P (c, b2 , b1 ) = P (c, b1 , b2 ),
следовательно, P (a1 , a2 , P (c, b2 , b1 )) = P (a1 , a2 , P (c, b1 , b2 )).
c ?= b1 , b2 . P (c, b1 , b2 ) = P (b1 , b2 , c), откуда
P (a1 , a2 , P (c, b1 , b2 )) = P (a1 , a2 , P (b1 , b2 , c)) = P (P (b1 , b2 , c), a1 , a2 ). Если c = a1
или c = a2 , то аналогично случаям
и
доказывается, что
P (P (b1 , b2 , c), a1 , a2 ) = P (b1 , b2 , P (c, a1 , a2 )).
Положим, что c ?= a1 , a2 . Тогда P (b1 , b2 , P (c, a1 , a2 )) = P (b1 , b2 , w1 ), где
{a1 , a2 , c, w1 } ? KA . В свою очередь, P (P (b1 , b2 , c), a1 , a2 ) = P (w3 , a1 , a2 ), где
{b1 , b2 , c, w3 } ? KA . Возможны ситуации.
w3 = a1 . Имеем: P (w3 , a1 , a2 ) = P (a1 , a1 , a2 ) = a2 . При этом
{a1 , a2 , c, w1 } ? KA , {a1 , b1 , b2 , c} ? KA . Возможны варианты.
{a1 , a2 , c, w1 } = {a1 , b1 , b2 , c}. Тогда a2 = b1 , w1 = b2 либо a2 = b2 , w1 = b1 . Если
a2 = b1 , w1 = b2 , то P (b1 , b2 , w1 ) = P (a2 , w1 , w1 ) = a2 . Если a2 = b2 , w1 = b1 , то
P (b1 , b2 , w1 ) = P (w1 , a2 , w1 ) = a2 .
{a1 , a2 , c, w1 } ?= {a1 , b1 , b2 , c}. Отсюда, {a2 , b1 , b2 , w1 } ? KA , и следовательно,
a2 = P (b1 , b2 , w1 ).
w3 = a2 . Аналогично ситуации , получаем, что
P (w3 , a1 , a2 ) = a1 = P (b1 , b2 , w1 ).
w3 ?= a1 , a2 . Тогда P (w3 , a1 , a2 ) = w4 , где {a1 , a2 , w3 , w4 } ? KA . Имеем:
{a1 , a2 , c, w1 } ? KA , {a1 , a2 , w3 , w4 } ? KA . Возможны варианты.
{a1 , a2 , c, w1 } = {a1 , a2 , w3 , w4 }. Поскольку c ?= w3 (так как {b1 , b2 , c, w3 } ? KA ),
следовательно, c = w4 , w1 = w3 . Значит, P (b1 , b2 , w1 ) = P (b1 , b2 , w3 ) = c = w4 .
{a1 , a2 , c, w1 } =
? {a1 , a2 , w3 , w4 }. Отсюда, {c, w1 , w3 , w4 } ? KA . При этом
{b1 , b2 , c, w3 } ? KA . Возможны варианты.
{c, w1 , w3 , w4 } = {b1 , b2 , c, w3 }. Тогда w1 = b1 , w4 = b2 либо w1 = b2 , w4 = b1 . Если w1 = b1 , w4 = b2 , то P (b1 , b2 , w1 ) = P (w1 , w4 , w1 ) = w4 . Если w1 = b2 , w4 = b1 ,
то P (b1 , b2 , w1 ) = P (w4 , w1 , w1 ) = w4 .
{c, w1 , w3 , w4 } =
? {b1 , b2 , c, w3 }. Отсюда, {b1 , b2 , w1 , w4 } ? KA , из чего следует,
что w4 = P (b1 , b2 , w1 ).
Таким образом, в случае
мы имеем:
P (a1 , a2 , P (c, b1 , b2 )) = P (P (b1 , b2 , c), a1 , a2 ) = P (b1 , b2 , P (c, a1 , a2 )). Поскольку
P (c, a1 , a2 ) = P (a1 , a2 , c), значит,
P (b1 , b2 , P (c, a1 , a2 )) = P (b1 , b2 , P (a1 , a2 , c)) = P (P (a1 , a2 , c), b1 , b2 ).
Итак, было доказано, что для любых a1 , a2 , b1 , b2 , c ? A
P (P (a1 , a2 , c), b1 , b2 ) = P (a1 , a2 , P (c, b1 , b2 )). Следовательно, -алгебра A является почти ассоциативной.
Обратно. Пусть теперь утверждение 2 не выполняется для A.
Положим сначала, что алгебра A не удовдетворяет тождеству P (x, y, x) = y .
Тогда найдутся элементы a, b ? A, такие, что P (a, b, a) ?= b. Очевидно, a ?= b.
Рассмотрим P (P (a, b, a), a, b) и P (a, b, P (a, a, b)).
1)
3)
1) 2)
а)
б)
а)
в)
3)
P
114
С. В. СЫРОВАТСКАЯ
P (a, b, P (a, a, b)) = P (a, b, b) = a. Для P (P (a, b, a), a, b) возможны варианты. Если P (a, b, a) = a, то P (P (a, b, a), a, b) = P (a, a, b) = b. Если же P (a, b, a) = c ?= a,
тогда P (P (a, b, a), a, b) = P (c, a, b) = w, где {a, b, c, w} ? KA .
Значит, P (P (a, b, a), a, b) ?= P (a, b, P (a, a, b)). Следовательно, алгебра A не является почти ассоциативной.
Теперь положим, что существуют a1 , a2 , b1 , b2 , c1 , c2 ? A, такие, что
{a1 , a2 , b1 , b2 } ? KA , {a1 , a2 , c1 , c2 } ? KA , {a1 , a2 , b1 , b2 } =
? {a1 , a2 , c1 , c2 }, но
{b1 , b2 , c1 , c2 } ?
/ KA . Рассмотрим P (P (a1 , a2 , b1 ), b1 , c1 ) и P (a1 , a2 , P (b1 , b1 , c1 )).
P (a1 , a2 , P (b1 , b1 , c1 )) = P (a1 , a2 , c1 ) = c2 . В свою очередь,
P (P (a1 , a2 , b1 ), b1 , c1 ) = P (b2 , b1 , c1 ) = s, где {b1 , b2 , c1 , s} ? KA . При этом s ?= c2
(поскольку {b1 , b2 , c1 , c2 } ?
/ KA ).
Таким образом, P (P (a1 , a2 , b1 ), b1 , c1 ) ?= P (a1 , a2 , P (b1 , b1 , c1 )). Значит,
алгебра A не является почти ассоциативной. Теорема доказана.
SQS-моток ?S, q? называется
ство q(w, x, q(w, y, z)) = q(x, y, z).
булевым [5], если на нем выполняется тожде-
Для того, чтобы P-алгебра A = ?A, P (KA)? являлась
почти ассоциативной, необходимо и достаточно, чтобы на ней было истинно
тождество P (w, x, P (w, y, z)) = P (x, y, z).
Предложение
1.
Доказательство. Пусть алгебра A удовлетворяет
P (P (x, y, z), u, v) = P (x, y, P (z, u, v)). Тогда, по теореме 1, на A истинно тождество P (x, y, x) = y . Следовательно, для любых a, b1 , b2 , b3 ? A мы имеем
P (a, b1 , P (a, b2 , b3 )) = P (P (a, b1 , a), b2 , b3 ) = P (b1 , b2 , b3 ).
Обратно. Пусть на A справедливо P (w, x, P (w, y, z)) = P (x, y, z). Тогда для
произвольных a, b из A P (a, b, a) = P (a, b, P (a, b, b)) = P (b, b, b) = b. Значит,
алгебра A удовлетворяет тождеству P (x, y, x) = y .
Пусть a1 , a2 , b1 , b2 , c1 , c2 элементы множества A, такие что
{a1 , a2 , b1 , b2 } ? KA , {a1 , a2 , c1 , c2 } ? KA , {a1 , a2 , b1 , b2 } =
? {a1 , a2 , c1 , c2 }. В этом
случае b1 ?= b2 , b1 ?= c1 ?= b2 .
P (c1 , b1 , b2 ) = P (a1 , c1 , P (a1 , b1 , b2 )) = P (a1 , c1 , a2 ) = c2 .
Отсюда, {b1 , b2 , c1 , c2 } ? KA .
Таким образом, согласно теореме 1, A является почти ассоциативной.
Из теоремы 1 и предложения 1 непосредственно вытекает
P-алгебра A = ?A, P (KA)? почти ассоциативна тогда и
только тогда, когда A есть булев SQS-моток.
Следствие
1.
Через 0A и 1A обозначим соответственно наименьшую и наибольшую конгруэнции алгебры A.
О
Р-АЛГЕБРАХ НА ОСНОВЕ 4-СИСТЕМ
115
Теорема 2 Если P-алгебра A = ?A, P (KA )? на основе 4-системы KA удовлетворяет одному из тождеств
.
либо
P (x, y, x) = x
(1)
P (x, y, x) = P (y, x, y),
(2)
то алгебра A конгруэнц-проста.
Пусть 0A ?= ? ? Con A. Тогда найдутся элементы a, b ? A,
такие, что a?b, a ?= b. Пусть c ? A, c ?= a, b. Заметим: c = P (c, a, a)?P (c, a, b) = w,
где {a, b, c, w} ? KA .
Положим сначала, что алгебра A удовлетворяет тождеству (1). В этом случае a = P (a, c, a)?P (a, w, b) = c. Таким образом, [a]? = A, т. е. ? = 1A .
Пусть теперь на A истинно тождество (2). Отсюда, P (a, c, a) = P (c, a, c).
При этом P (a, c, a)?P (a, w, b) = c, P (c, a, c)?P (c, b, w) = a.
Имеем: c ?P (a, c, a)?P (c, a, c)?a. Следовательно, ? = 1A .
Доказательство.
Если P-алгебра A = ?A, P (KA)? удовлетворяет одному
из тождеств (1) либо (2), то A не является почти ассоциативной.
Предложение
2.
Прямо следует из теоремы 1 и того факта, что алгебра A, удовлетворяющая одному из тождеств (1) или (2), очевидно, не будет
удовлетворять тождеству P (x, y, x) = y .
Доказательство.
P -алгебр на основе 4 -систем.
Пусть A конечное множество, KA 4 -система на A.
Примеры
1. Пусть ?A, ?1 ? линейно упорядоченное множество. A1 = ?A, P1 (KA )? -алгебра на основе -системы KA , такая, что P1 (x, y, x) = lst{x, y} для
любых x, y ? A. Здесь lst{x, y} это наименьший элемент множества
{x, y}.
P
4
P
2. Пусть ?A, ?2 ? решетка. A2 = ?A, P2 (KA )? -алгебра на основе
-системы KA , такая, что P2 (x, y, x) = x ? (y ? x) для любых x, y ? A. Под
x ? y и x ? y подразумеваем соответственно точную нижнюю и точную
верхнюю грани множества {x, y}.
4
P
3. Пусть ?A, ?3 ? нижняя полурешетка. A3 = ?A, P3 (KA )? -алгебра на
основе -системы KA , такая, что P3 (x, y, x) = x ? y для любых x, y ? A
(x ? y точная нижняя грань множества {x, y}).
4
Заметим, что алгебра из примера 2 удовлетворяет тождеству (1), в то время
как алгебры из примеров 1 и 3 удовлетворяют тождеству (2).
Очевидно, алгебра A2 не изоморфна алгебрам A1 и A3 .
116
С. В. СЫРОВАТСКАЯ
Предложение 3 Если ? изоморфизм A1 на A3 , то ? является изоморфизмом частично упорядоченного множества ?A, ?1? на частично упорядоченное множество ?A, ?3?.
.
Пусть ? изоморфизм алгебры A1 на алгебру A3 . Для
произольных элементов a, b ? A имеем:
Доказательство.
a ?1 b ? P1 (a, b, a) = a ? ?(P1 (a, b, a)) = ?(a) ?
? P3 (?(a), ?(b), ?(a)) = ?(a) ? ?(a) ? ?(b) = ?(a) ? ?(a) ?3 ?(b),
где ?(a) ? ?(b) есть точная нижняя грань множества {?(a), ?(b)} в ?A, ?3 ?.
Следовательно, ? является изоморфизмом ?A, ?1 ? на ?A, ?3 ?.
Таким образом, если нижняя полурешетка ?A, ?3 ? не является цепью, то
алгебры A1 и A3 неизоморфны.
Под End A и Aut A будем понимать соответственно полугруппу эндоморфизмов и группу автоморфизмов алгебры A.
Пусть ?A, ?? линейно упорядоченное множество,
алгебра из примера 1. Тогда
3.
A = ?A, P (KA )?
Теорема
End A = Aut A
[
End0 A,
(3)
где End0 A = {? : A ? A отображение | ?(a) = ?(b) для любых a, b ? A }.
End0 A есть идемпотентная некоммутативная подполугруппа полугруппы
End A, удовлетворяющая тождеству x ? y = x. |Aut A| = 1. |End A| = n + 1,
где n = |A|.
Докажем сначала равенство (3). Так как для любого
? ? End0 A и произвольных a1 , a2 , a3 ? A
P (?(a1 ), ?(a2 ), ?(a3 )) = P (?(a1 ), ?(a1 ), ?(a
S1 )) = ?(a1 ) = ?(P (a1 , a2 , a3 )), отсюда,
End0 A ? End A. Таким образом, Aut A End0 A ? End A. Поскольку A удовлетворяет тождеству (2), следовательно, по теореме 2, алгебра A конгруэнцпроста. Значит, обратное включение также имеет место.
Теперь рассмотрим множество End0 A ? End A. Отметим, что |End0 A| = n,
где n = |A|. Пусть ?, ? ? End0 A. Тогда для всякого a ? A
(? ? ?)(a) = ?(?(a)) = ?(a). Таким образом, ? ? ? = ?. Следовательно, End0 A
является идемпотентной подполугруппой полугруппы End A и удовлетворяет
тождеству x ? y = x. Рассмотрим элементы ?1 , ?2 ? End0 A, ?1 ?= ?2 . Имеем:
?1 ? ?2 = ?1 ?= ?2 = ?2 ? ?1 . Значит, на полугруппе End0 A не выполняется
тождество x ? y = y ? x.
Пусть ? ? Aut A. Тогда, согласно предложению 3, ? является изоморфизмом
цепи ?A, ?? на себя. Отсюда, ? = IA , где IA тождественное отображение
множества A на себя. Поэтому
Aut A = {IT
A }, т. е. |Aut A| = 1.
S
Так как End A = Aut A End0 A и Aut A End0 A = ?, следовательно,
|End A| = |End0 A| + |Aut A| = n + 1. Доказательство теоремы завершено.
Доказательство.
О
Р-АЛГЕБРАХ НА ОСНОВЕ 4-СИСТЕМ
117
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Чакрабарти С. Новая алгебраическая структура тройных систем Штейнера // Фундаментальная и прикладная математика. 2002. Т. 8. Вып. 1.
С. 313318.
[2] Артамонов В. А., Чакрабарти С. Свойства алгебр примарного порядка с
одной тернарной мальцевской операцией // Алгебра и логика. 1995. Т. 34.
ќ2. С. 132141.
[3] Зиновьев В. А., Зиновьев Д. В. Классификация систем четверок Штейнера
порядка 16, ранг которых не превышает 13 // Проблемы передачи информации. 2004. Т. 40. Вып. 4. С. 4867.
[4] Бощенко А. П. Свойства P-алгебр на основе тройных систем Штейнера //
Чебышевский сборник. 2003. Т. 4. Вып. 1. С. 5153.
[5] Armanious M. H., Elzayat E. M. A. Extending sloops of cardinality 16 to
SQS-skeins with all possible congruence lattices // Quasigroups and related
systems. 2004. V. 12. P. 112.
[6] Ganter B., Werner H. Co-ordinatizing Steiner systems // Annals of discrete
math. 1980. V. 7. P. 324.
Волгоградский государственный социально-педагогический университет.
Поступило 25.10.2011
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
238 Кб
Теги
система, алгебра, основы
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа