close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О распределении нулей линейных комбинаций L-функций Дирихле лежащих на критической прямой.

код для вставкиСкачать
38
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. ќ5(202). Вып. 38
MSC 11M25
О АСПЕДЕЛЕНИИ НУЛЕЙ ЛИНЕЙНЫХ КОМБИНАЦИЙ L?
ФУНКЦИЙ ДИИХЛЕ, ЛЕЖАЩИХ НА КИТИЧЕСКОЙ ПЯМОЙ
До Дык Там
Белгородский государственный университет,
ул. Студенческая, 14, г. Белгород, 308007, оссия, e-mail: dodutam140189gmail.om
В работе рассматривается линейные комбинации ункций, аналогов ункции
Харди, соответствующих L-ункциям Дирихле. Исследуется распределение нулей, которые
лежат на критической прямой ?s = 1/2. Для ункций указанного типа доказаны утверждения, аналогичные результатам А.А. Карацубы для дзета-ункции имана.
Аннотация.
Ключевые слова:
дзета-ункция, нетривиальные нули, критическая прямая, L-ункция
Дирихле.
1. Введение
Пусть Z(t, ?) = ei?(t,?) L 21 + it, ? , где ункция ?(t, ?) подобрана так, что Z(t, ?)
веществена при вещественных t [1, . 485?. Пусть далее
G(t) = a1 Z(t, ?1 ) + a2 Z(t, ?1 ) + · · · + al Z(t, ?l ) ,
(1)
N0 (T + H, ?) ? N0 (T, ?) ? c1 H (ln T )??? ,
(2)
где a1 , a2 , · · · , al произвольные вещественные числа, ?1 , · · · , ?l примитивные характеры Дирихле по модулям соответственно k1 , k2 , · · · , kl . Z(t, ?) представляет собой аналог ункции Харди [2, гл. 2?.
В 1991 году А.А. Карацуба [1? поставил и решил своим методом задачу о нижней
оценке числа нулей нечетного порядка ункции G(t) на отрезке (T, T + H), где H =
27
T 82 +? , ? произвольное малое положительное число.
В настоящей работе получены оценки для числа нулей ункции G(t) на почти всех
промежутках вида (T, T + H), где H = X ?1 , X ? T ? 2X, ?1 ? сколь угодно малое
иксированное положительное число. Доказательства проводятся по схеме работы А.А.
Карацубы [1?. Пусть [k1 , k2 , · · · , kl ] наименьшее общее кратное натуральных чисел
k1 , · · · , kl . Доказаны следующие теоремы:
Пусть ?, ?1 > 0 произвольно малые иксированные положительные
числа и K = [k1 , k2 , · · · , kl ] > 3, ? = 1/?(K), X > X0 (?, ?1), H = X ?1 , X 6 T 6 2X . Если
E1 множество тех T из промежутка [X, 2X], для которых не выполняется неравенство
Теорема 1.
то для меры множества E1 справедлива оценка µ(E1 ) ? X 1?0,5?1 .
. Пусть ?, ?1 > 0 произвольно малые иксированные положительные
числа и K = [k1 , k2 , · · · , kl ] > 3, X > X0 (?, ?1), H = X ?1 , M = [XH ?1]. При m =
M + 1, M + 2, · · · , 2M рассмотрим интервалы вида [mH, mH + H]. Тогда в каждом
из этих интервалов, за исключением не более M 1?0.5?1 из них, содержится более чем
c2 H(ln X)??? нулей нечетного порядка ункции G(t).
Теорема 2
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. ќ5(202). Вып. 38
39
2. Вспомогательные утверждения.
Для доказательств теорем нам понадобятся леммы. Эти леммы близки к известным
леммам [3, с. 1215?.
Пусть ?1 , ?2, h1 положительные числа
с условиями
?1 < 0.01, ?2 < 1, h1 < 1, r
q
q
натуральное число, H = X ?1 . P =
определяются равенствами:
W0 (T ) =
X
?1 <?2 ?P
W1 (T ) =
X
1??2
?1 <?2 ?P0
W2 (T ) =
kT
,
2?
a(?1 )a(?2 )
?
?2 ?1
a(?1 )a(?2 )
?
?2 ?1
X
1??
P0 2 <?1 <?2 ?P
kX
.
?
P0 =
?2
?1
?2
?1
iT
a(?1 )a(?2 )
?
?2 ?1
iT
?
e
При j = 0, 1, 2 суммы Wj (T )
H
2
2
?
ln ?2
1
?
B(?1 )B(?2 )e
?2
?1
iT
?
e
H
2
,
H+1
2
2
?
ln ?2
2
?
ln ?2
1
1
,
,
r
?r
где B(?) = (P ??1 )ih1 ? 1 (ln(P ??1 )) , a(?)? числа из приближеного ункционального уравнения для аналога ункции Харди-Сельберга F (t, ?) [1, . 490?.
Имеет место неравенство
2 Z 2X
X
?1 4r 2 ?1
?2 ?1 ?1 4
?1 12 7
Wj2 (T ) ? r 4 (1 + 8??1
Y L ,
2 L ) h1 (?2 + 8?2 L h1 ) XH
Лемма 1.
X
j=0
где L = ln X.
Следствие 1. Пусть ? произвольное положительное число, не превосходящее 1,
E1 множество таких из интервала [X, 2X], для которых
2
X
j=0
?1 4r 2 ?1
?2 ?1 ?1 4 1?? ?1 12 7
Wj2 (T ) ? r 4 (1 + 8??1
H Y L .
2 L ) h1 (?2 + 8?2 L h1 ) X
(3)
Тогда для меры множества E1 справедлива оценка µ(E1 ) ? X ? .
При обозначениях теоремы 2 справедливо неравенство
Лемма 2.
2 X
2M
X
j=0 m=M
?1 4r 2 ?1
?2 ?1 ?1 4
?1 12 8
Wj2 (mH) ? r 4 (1 + 8??1
Y L .
2 L ) h1 (?2 + 8?2 L h1 ) MH
(4)
Следствие 2. Пусть ?? произвольное положительное число, не превосходящее 1,
E1 множество таких M ? m ? 2M , для которых
2
X
j=0
?1 4r 2 ?1
?2 ?1 ?1 4
1?? ?1 12 8
Wj2 (mH) ? r 4 (1 + 8??1
H Y L .
2 L ) h1 (?2 + 8?2 L h1 ) M
(5)
Тогда для количества элементов этого множества µ(E1 ) справедлива оценка µ(E1 ) ?
M ?.
40
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. ќ5(202). Вып. 38
3. Схема доказательства теоремы 1.
Возьмем в Следствии 1 ? = 1?0.5?1 . Докажем, что для T , не принадлежащих множеству E1 , выполняется неравенство (2). Тогда из следствия 1 легко следует утверждение
теоремы.
Для T , не принадлежащих множеству E1 , выполняется неравенство
?1 4r 2 ?1
?1 ?1 ?1 4 ?0.5 12 7
W02 (T ) + W12 (T ) + W22 (T ) < r 4 (1 + 8??1
Y L .
2 L ) h1 (?2 + 8?2 L h1 ) H
(6)
Посредством символа ? обозначим величину
?1 2r
?1
?1 ?1 ?1 2 ?0.25 6 3.5
r 2 (1 + 8??1
Y L .
2 L ) h1 (?2 + 8?2 L h1 ) H
1) По аналогии с работой [1?, определим ункцию
2
1
F (t) = G(t) g
+ it ,
2
где G(t) определяется равенством (1),
g(s) = gj (s, ?) =
и
X ?(?)?j (?)
, j = 1, 2, · · · , l,
s
?
??Y
?
??(?) 1 ? ln ?
если 1 ? ? < Y = H 0.01 ,
ln Y
?(?) =
?
0 если ? ? Y ;
1/2
?
X
Y
?(?)
1
=
1? s
при Res > 1 .
s
?
p
?=1
p?1
(mod K)
Посредством E обозначим подмножество (T, T + H), на котором выполняется неравенство
Z h1 Z h1
Z h1 Z h1
...
|F (t + u1 + ... + ur )| du1...dur > ...
F (t + u1 + ... + ur )du1 ...dur ,
0
0
0
0
Далее, следуя рассуждениям А.А. Карацубы [1? получаем неравенство:
(7)
I1 + I2 ? I3 ,
где
I1 =
I2
I3
Z Z
h1
···
Z
h1
F (t + u1 + · · · + ur )du1 · · · dur
a
dt ,
a
Z h1
dt ,
=
·
·
·
F
(t
+
u
+
·
·
·
+
u
)du
·
·
·
du
1
r
1
r
T
0
0
a
Z T +H Z h1
Z h1
=
···
|F (t + u1 + · · · + ur )|du1 · · · dur dt ,
E
0
Z T +H Z h1
T
0
0
0
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. ќ5(202). Вып. 38
41
a число из отрезка (0, 1).
2) Для I3 из [1? имеем оценку снизу
I3 ? c4 hra
1 H.
3) Для I1 из [1? имеем оценку сверху
?0,2
? (µ(E))2/a?1 h2r
,
1 H ?0 + |W0 | + T
2/a
I1
где
?0 =
X |a(?)|2
??P
?
(8)
,
W0 ? тригонометрическая сумма из леммы 2.
Сумма ?0 оценивается аналогично тому, как это было сделано в [1? с учетом леммы
5 [1, . 505?:
X |a(?)|2
ln T
?0 =
?
.
(9)
?
?
(ln
Y
)
??P
Для суммы W0 справедливо неравенство (6), поэтому
(10)
W0 ? ? .
Таким образом из (8)-(10) получаем
1?a/2
I1 ? c5 (µ(E))
a/2
har
1 H
ln T
(ln Y )?
a/2
.
4) Подобно тому как это сделано в [1?, для I2 получаем оценку сверху
2/a
I2
где
I21
I22
? H 2/a?1 I21 + I22 + HT ?0.2 h2r
,
1
Z h1 Z h1
2
dt ,
=
...
F
(t
+
u
+
...
+
u
,
?)du
...du
1
1
r
1
r
T
0
0
2
Z T +H Z h1 Z h1
dt ,
=
...
F
(t
+
u
+
...
+
u
,
?)du
...du
2
1
r
1
r
Z
T +H
T
0
0
X
p
F1 (t, ?) = 2Re ?(?)ei?1 (t)
1??2
??P0
p
F2 (t, ?) = 2Re ?(?)ei?1 (t)
X
a(?) ?it
? ? ,
?
1??2
<??P
P0
a(?) ?it
? ? .
?
42
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. ќ5(202). Вып. 38
Для I21 справедливо неравенство
I21 ? H
?1
где
?1 =
8
?2 ln T
2r
+ |W1 |
!
(11)
,
X |a(?)|2
,
?
??P
W1 ? тригонометрическая сумма леммы 2.
Сумма ?1 оценивается аналогично сумме ?0 :
?1 ?
ln T
.
(ln Y )?
(12)
Используя (6), получаем оценку суммы W1 :
(13)
W1 ? ? .
Из (11)-(13) следует
I21 ? H
8
?2 ln T
2r
ln T
+?
(ln Y )?
!
.
Аналогично тому, как это было сделано в 3) для оценки I1 , для I22 получаем неравенство
ln T
2r
I22 ? Hh1 ?2
+? .
(14)
(ln Y )?
Таким образом, получаем:
где
?1 =
8
?2 h1 ln T
I2 ? Hhar
1 ?1 ,
2r
ln T
ln T
+ h?2r
+?
1 ? + ?2
?
(ln Y )
(ln Y )?
!a/2
.
Из полученных оценок для I1 , I2 и I3 с учетом неравенством (7) найдем нижнюю
границу для µ(E). Из этой оценки уже легко будеть следовать, что для T выполняется (2).
Доказательство теоремы 2 с очевидными изменениями повторяет доказательство
теоремы 1.
Литература
1. Карацуба А.А. О нулях специального вида ункций, связанных с рядами Дирихле //
Известия АН ССС. Серия Математическая. 1991. 55;3. C.483-514.
2. Воронин С.М., Карацуба А.А. Дзета-ункция имана / М.: Физматлит, 1994. 376 .
3. Карацуба А.А. аспределение нулей ункции ?( 12 + it) // Известия АН ССС. Серия
Математическая. 1984. 48; 6. C.1214-1224.
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. ќ5(202). Вып. 38
43
4. Карацуба А.А. О нулях ункции Дэвенпорта-Хейльброна, лежащих на критической прямой // Известия АН ССС. Серия Математическая. 1990. 54;2, C.303-315.
ON ZERO DISTRIBUTION OF LINEAR COMBINATIONS
OF
L-DIRICHLET
FUNCTIONS LYING ON THE CRITICAL LINE
Do Du Tam
Belgorod State University,
Studenheskaya St., 14, Belgorod, 308007, Russia, e-mail:dodutam140189gmail.om
Abstrat. Linear ombinations of funtions whih are analogous Hardy's funtions, orresponding L-Dirihlet funtions are studied. It is investigated the zero distribution whih are on the ritial
line ?s = 1/2. Assertions whih are analogous some Karatsuba's results onerning Riemann's zetafuntion have been proved for funtions pointed out.
Key words:
Rieman's zeta-funtion, non-trivial zeros, ritial line, L-Dirihlet funtion.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
285 Кб
Теги
критических, функции, линейный, нулей, дирихле, распределение, лежащие, прямой, комбинации
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа