close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О распределении простых чисел и простых чисел-близнецов в натуральном ряде до.

код для вставкиСкачать
ISSN 2074-1065
Рецензируемый, реферируемый научный журнал «Вестник АГУ». Выпуск 4 (125) 2013
УДК 511
ББК 22.13
A 66
Андрухаев Х.М.
Кандидат физико-математических наук, профессор кафедры информатики и вычислительной
техники факультета математики и компьютерных наук Адыгейского государственного университета, Майкоп, тел. (8772) 59-39-01
О распределении простых чисел и простых чисел-близнецов
в натуральном ряде до x = 400000000
(Рецензирована)
Аннотация
С помощью модифицированного решета Эратосфена составлена таблица всех простых чисел и
пар простых чисел-близнецов ≤ 400000000 с одновременным подсчетом их количества и средних частот в промежутках [1; n ⋅ 10 6 ] (1 ≤ n ≤ 400 ) . В таблице 1 приводится фрагмент этой таблицы (последние 20 строк). Пары близнецов отмечены черточками. Полная таблица размещена в 400 файлах
папки PBLIZ. Даются краткие исторические справки о таблицах простых чисел и приводятся некоторые последние результаты по проблеме простых чисел-близнецов.
Ключевые слова: простое число, простые числа-близнецы, решето Эратосфена, асимптотический закон распределения, обобщенные близнецы, криптосистема.
Andrukhaev Kh.M.
Candidate of Physics and Mathematics, Professor of Informatics and Computer Equipment Department
of Mathematics and Computer Science Faculty, Adyghe State University, Maikop, ph. (8772) 59-39-01
On distribution of prime numbers and twin primes
in natural number series to x = 400000000
By using Eratosthenes's modified sieve the table is compiled of all prime numbers and pairs of twin
primes ≤ 400000000 with simultaneous calculation of their quantity and average frequencies in intervals of
[1; n ⋅ 10 6 ] (1 ≤ n ≤ 400 ) . The fragment of this table (the last 20 lines) is given in Table 1. Twin pairs are
marked by hyphens. The full table is placed in 400 files of the PBLIZ folder. Brief historical information about
tables of prime numbers is given and the last results related to a problem of twin primes are given.
Keywords: prime number, twin primes, sieve of Eratosthenes, asymptotical law of distribution, generalized twins, cryptosystem.
Введение
В 1976 г. американцы У. Диффи, М. Хеллман и Р. Меркль показали, что некоторые проблемы прикладной теории чисел можно применить к построению так называемых криптосистем с открытыми ключами (асимметричных криптосистем).
Такая возможность основывается на однонаправленности некоторых теоретикочисловых функций (операций): факторизация больших натуральных чисел, дискретное
логарифмирование (индексирование), проблема оптимальной упаковки рюкзака и т.д.
Взаимно-однозначная функция называется однонаправленной, если ее значения легко
вычисляются, а вычисление значения обратной функции требует длительного времени
даже с использованием быстродействующих вычислительных машин. Например, легко
перемножить два больших числа, но трудно разложить большое натуральное число на
два множителя, даже зная, что оно является произведением двух простых. При формировании открытых и секретных ключей асимметричных криптосистем используются
- 17 -
ISSN 2074-1065
Рецензируемый, реферируемый научный журнал «Вестник АГУ». Выпуск 4 (125) 2013
большие простые числа, записываемые несколькими сотнями цифр. В специальном
курсе «Теоретико-числовые методы в криптографии», который читается на специальностях «Прикладная математика и информатика», «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем» и «Информационная безопасность», наряду с другими криптосистемами изучаются криптосистемы RSA [1] и Эль-Гамаля [2], по
которым автором разработаны учебно-демонстрационные компьютерные программы,
использующие большие простые числа из базы данных. Для этого предназначены составленные нами таблицы простых чисел до границы x = 400000000 , которые хранятся в 400 файлах папки PBLIZ с общим объемом 210 Мб.
Краткая историческая справка ([3-6]). Первую таблицу простых чисел до границы x = 750 составил Катальди (1603); затем Шутен (1657) до x = 10000 ; талантливый
русский математик-самоучка И.М. Первушин посвятил 43 года составлению таблицы
простых чисел до x = 100000 (1854-1897); профессор Пражского университета Я.Ф.
Кулик немного позже Первушина представил в Венскую Академию наук таблицу простых чисел до p = 100330201, но она не опубликована. В 1914 г. Д.Н. Лемер опубликовал таблицу простых чисел до p = 10006721 . В 1951 г. К.Л. Бейкер и Ф.Ю. Грунбергер
на микрофильме записали первые 6 миллионов простых чисел, последним из которых
является p = 104395301 ; кстати, 104395301-104395303 – близнецы. К 1965 г. Полетти
составил таблицу простых чисел 77-го миллиона. Все это было в докомпьютерное время, когда талантливые вычислители затрачивали десятки лет на составление таблиц
простых чисел. В наш век компьютеров обширные таблицы простых чисел удается составить в считанные минуты. Например, для составления таблицы простых чисел в
пределах первого миллиона с выделением простых чисел-близнецов обычный персональный компьютер затрачивает меньше 8 минут. При выводе таких таблиц простых
чисел до x = 4000000000 нами затрачено около 50 ч машинного времени. Наибольшее
простое число, не превосходящее 400000000, равно 399999959. Наибольшей парой простых чисел-близнецов ≤400000000 является 399999329-399999331.
Напомним, что простыми числами называются натуральные числа, большие
единицы, имеющие только два делителя: единицу и само себя. Например: 2, 3, 5, 7, …,
23, 29, …. Еще древнегреческий ученый Евклид, который жил в III-м веке до нашей
эры, доказал, что в последовательности натуральных чисел простые числа составляют
бесконечную подпоследовательность. Рассуждения Евклида были предельно простыми,
они основываются на хорошо известном методе «от противного».
Обозначим через pn n -е простое число. Тогда по теореме Евклида последовательность
p1 = 2 , p2 = 3 , p3 = 5 , p4 = 7 , p5 = 11 , p6 = 13 , …, p10 = 29 , …, p25 = 97 , …, pn , …(1)
является бесконечной. Заметим, что в (1) только p1 = 2 является четным, а остальные –
нечетные. Разность между соседними простыми 3 и 2 равна 1, а дальше эта разность
pk +1 − pk ( k ≥ 2 ) четна и не меньше двух. Если pn +1 − pn = 2 , то pn и pn+1 называются
простыми числами-близнецами. Например: 3 и 5, 5 и 7, 17 и 19, …, 41 и 43, 57 и 59.
Предполагают, что последовательность пар близнецов бесконечна, но до настоящего
времени (2013 г.) это ни кем не доказано и не опровергнуто.
Количество простых чисел, не превосходящих x ( x ≥ 2 ), обозначают π ( x ) , а количество пар близнецов, не превосходящих x ( x ≥ 5 ), – π 2 ( x) . Например,
π ( 2 ) = 1 , π (3) = 2 , π ( 4 ) = 2 , π (5) = 3 , π (10 ) = 4 , π (30 ) = 10 , π (100 ) = 25 , …
- 18 -
ISSN 2074-1065
Рецензируемый, реферируемый научный журнал «Вестник АГУ». Выпуск 4 (125) 2013
π 2 (5) = 1, π 2 (10) = 2 , π 2 (50) = 6 , π 2 (100) = 8 , π 2 (230) = 16 , …
Теорему Евклида о бесконечности множества простых чисел можно записать и
так: lim π ( x ) = ∞ . Асимптотический закон распределения простых чисел в натуральx →∞
ном ряде утверждает, что
lim
x→∞
π (x )
x
ln x
= 1.
(2)
При условии существования предела в (2), что он равен 1 впервые доказал в
1848 г. выдающийся русский математик Пафнутий Львович Чебышев (1821-1894). Существование же указанного выше предела было доказано только спустя 48 лет в 1896 г.
независимо друг от друга французским математиком Ж.С. Адамаром (1865-1963) и
бельгийским математиком Валле-Пуссеном (1866-1962).
Швейцарский математик Л. Эйлер (1707-1783), который большую часть своей
жизни прожил в Петербурге, доказал, что ряд
1 1 1 1 1
1
+ + + + + ... = ∑ ,
2 3 5 7 11
p p
(3)
членами которого являются числа, обратные простым, расходится. Это второй способ
доказательства теоремы Евклида. В противоположность этому, как показал Норвежский математик В. Брун (1885-1978), аналогичный ряд для простых чисел p с условием, что p + 2 тоже простое число (даже если их бесчисленное множество), сходится. Из
π ( x)
сказанного следует, что средняя частота
простых чисел в натуральном ряде до x
x
π ( x)
простых чисел-близнецов. Из резульсущественно больше, чем средняя частота 2
x
π ( x)
1
татов П.Л. Чебышева следует, что
, а из результатов В. Бруна
< c1
x
ln x
π 2 ( x)
1
< c2 2 .
x
ln x
Фрагмент таблицы простых чисел и простых чисел-близнецов до x = 400000000
представлен в таблице 1.
Простые числа-близнецы выделены черточками между ними. В этих таблицах через каждый промежуток длины ∆x = 1000000 подсчитаны π ( x ) , π 2 ( x) и средние часπ ( x) π 2 ( x) π 2 ( x)
тоты:
,
и
. Вся таблица составила бы около 754600 книжных страниц.
x
x
π ( x)
Самым богатым простыми числами и простыми числами-близнецами миллионным промежутком до 400000000 является 1-й. В нем 78498 простых чисел, 8169 близнецов, максимальное простое число 999983, максимальная пара близнецов 999959999961. С точностью до 0,001: частота простых чисел 0,079, частота пар близнецов
0,008, частота пар близнецов среди простых чисел 0,104. Общее число простых чисел,
не превосходящих 400000000, равно 21342079; количество же близнецов 1508102. Знаπ ( x)
π ( x) π 2 ( x)
чения средних частот
,
и 2
, которые стремятся к 0 при x → ∞ ; при
x
x
π ( x)
x = 400000000 достигают соответственно: 0,053; 0,004 и 0,071, т.е. уменьшаются по
сравнению с их значениями при x = 1000000 соответственно на: 0,026; 0,004; 0,033.
- 19 -
ISSN 2074-1065
Рецензируемый, реферируемый научный журнал «Вестник АГУ». Выпуск 4 (125) 2013
Фрагмент таблицы простых чисел и простых чисел-близнецов до x = 400000000
399997373
399997523
399997613
399997727399997847
399997967
399998047
399998293
399998407
399998531
399998693
399998861
399999007
399999133
399999323
399999421
399999529
399999689
399999829
399999937
399997387
399997529
399997621
399997729
399997859
399997979
399998087
399998299
399998437
399998561
399998699
399998867
399999023
399999211
399999329399999433
399999599
399999707399999839
399999947-
399997421
399997541
399997651
399997751399997877
399997987
399998147
399998327399998447399998569
399998707
399998873
399999031
399999217
399999331
399999451
399999617
399999709
399999857
399999949
- 20 -
Р
ец
ен
зи
ру
ем
ы
й
ре
ф
ер
ир
уе
м
ы
й
на
уч
ны
й
ж
ур
на
л
В
ес
тн
ик
А
ГУ
В
ы
пу
ск
4 (125) 2013
Примечание: До 400000000:
простых чисел – 21342079; пар близнецов 1508102; максимальное простое число 399999959;
средняя частота простых чисел 0,053; максимальная пара близнецов 399999947-399999949;
средняя частота близнецов 0,004; средняя частота пар близнецов среди простых 0,071.
399997427
399997561
399997687
399997753
399997903
399998021399998237
399998329
399998449
399998603
399998713
399998909
399999053
399999221
399999359
399999473
399999629
399999737
399999869
399999959
».
399997349
399997483
399997603
399997723
399997831
399997963
399998041
399998273
399998399
399998519
399998671
399998839
399998953
399999121
399999317
399999401
399999521
399999671
399999827399999931
«
399997259
399997469
399997597
399997721399997781
399997919
399998029
399998257
399998383
399998471
399998647
399998813
399998941
399999101
399999247
399999389
399999499
399999667
399999823
399999907
,
- 20 -
399997243
399997453
399997583
399997693
399997771
399997909
399998023
399998243
399998353
399998461
399998617
399998759
399998927
399999071
399999227
399999377
399999497399999653
399999781
399999893
ISSN 2074-1065
Таблица 1
ISSN 2074-1065
Рецензируемый, реферируемый научный журнал «Вестник АГУ». Выпуск 4 (125) 2013
По таблице 2 можно проследить изменение значений функций π ( x ) и π 2 ( x) при
изменении x от 1 до 400000000 с шагом ∆x = 10000000 , а так же изменение средних
π ( x) π 2 ( x) π 2 ( x)
частот
,
и
.
x
x
π ( x)
Таблица 2
x
10000000
20000000
30000000
40000000
50000000
60000000
70000000
80000000
90000000
100000000
110000000
120000000
130000000
140000000
150000000
160000000
170000000
180000000
190000000
200000000
210000000
220000000
230000000
240000000
250000000
260000000
270000000
280000000
290000000
300000000
310000000
320000000
330000000
340000000
350000000
360000000
370000000
380000000
390000000
400000000
π ( x)
664579
1270607
1857859
2433654
3001134
3562115
4118064
4669382
5216954
5761455
6303309
6841648
7378187
7912199
8444396
8974458
9503083
10030385
10555473
11078937
11601626
12122540
12642573
13167297
13685071
14201613
14717137
15231822
15745416
16258078
16770274
17280959
17791228
18300358
18809279
19317041
19824158
20331126
20836963
21342079
π 2 ( x)
π ( x)
π ( x)
π ( x)
x
58980
107407
152891
196753
239101
280558
321466
361450
401090
440312
479129
517360
555376
593174
630392
667529
704104
740685
777052
813371
849301
884949
920527
956580
991816
1026952
1062112
1097091
1132160
1166849
1201546
1236081
1270509
1304764
1338911
1372721
1406633
1440551
1474436
1508102
0,067
0,064
0,062
0,061
0,060
0,060
0,060
0,058
0,058
0,058
0,057
0,057
0,057
0,057
0,056
0,056
0,056
0,056
0,056
0,055
0,055
0,055
0,055
0,055
0,055
0,055
0,055
0,054
0,054
0,054
0,054
0,054
0,054
0,054
0,054
0,054
0,054
0,054
0,053
0,053
x
0,006
0,005
0,005
0,005
0,005
0,005
0,005
0,005
0,005
0,004
0,004
0,004
0,004
0,004
0,004
0,004
0,004
0,004
0,004
0,004
0,004
0,004
0,004
0,004
0,004
0,004
0,004
0,004
0,004
0,004
0,004
0,004
0,004
0,004
0,004
0,004
0,004
0,004
0,004
0,004
π ( x)
0,089
0,085
0,082
0,081
0,080
0,079
0,078
0,077
0,077
0,077
0,077
0,076
0,075
0,075
0,075
0,074
0,074
0,074
0,074
0,073
0,073
0,073
0,073
0,073
0,072
0,072
0,072
0,072
0,072
0,072
0,072
0,072
0,071
0,071
0,071
0,071
0,071
0,071
0,071
0,071
2
2
pmax
9999991
19999999
29999999
39999983
49999991
59999999
69999989
79999987
89999999
99999989
109999993
119999987
129999997
139999991
149999957
159999997
169999967
179999993
189999989
199999991
209999987
219999919
229999981
239999987
249999991
259999991
269999993
279999991
289999999
299999977
309999997
319999969
329999987
339999997
349999999
359999989
369999979
379999999
389999999
399999959
( p, p + 2) max
9999971 - 9999973
19999547 - 19999549
29999549 - 29999551
39999899 - 39999901
49999757 - 49999759
59999879 - 59999881
69999911 - 69999913
79999571 - 79999573
89999981 - 89999983
99999587 - 99999589
109999859-109999861
119999861-119999863
129999911-129999913
139999901-139999903
149999879-149999881
159999941-159999943
169999901-169999903
179999639-179999641
189999839-189999841
199999901-199999903
209999891-209999893
219999749-219999751
229999697-229999699
239999831-239999833
249999767-249999769
259999847-259999849
269999339-269999341
279999989-279999991
289999769-289999771
299999639-299999641
309999971-309999973
319999751-319999753
329999819-329999821
339999941-339999943
349999799-349999801
359999537-359999539
369999809-369999811
379999577-379999579
389999879-389999881
399999947-399999949
Примечание: Количество простых чисел и пар простых чисел-близнецов – в интервалах от 1 до x с шагом ∆ x =10000000 ( x ≤ 400000000).
Обозначения: p max – наибольшее простое число ≤ x ;
( p; p + 2 )max – наибольшая пара простых чисел-близнецов ≤ x .
- 21 -
ISSN 2074-1065
Рецензируемый, реферируемый научный журнал «Вестник АГУ». Выпуск 4 (125) 2013
(
) (
)
В таблице 3 приведены значения разностей π k ⋅107 − π (k − 1) ⋅107
и
π 2 k ⋅107 − π 2 (k − 1) ⋅107 для 1 ≤ k ≤ 40 , т.е. количества простых и простых чиселблизнецов в 10-миллионных промежутках до 400000000.
Таблица 3
(
)
(
)
x
y
00000000
10000000
20000000
30000000
40000000
50000000
60000000
70000000
80000000
90000000
100000000
110000000
120000000
130000000
140000000
150000000
160000000
170000000
180000000
190000000
200000000
210000000
220000000
230000000
240000000
250000000
260000000
270000000
280000000
290000000
300000000
310000000
320000000
330000000
340000000
350000000
360000000
370000000
380000000
390000000
10000000
20000000
30000000
40000000
50000000
60000000
70000000
80000000
90000000
100000000
110000000
120000000
130000000
140000000
150000000
160000000
170000000
180000000
190000000
200000000
210000000
220000000
230000000
240000000
250000000
260000000
270000000
280000000
290000000
300000000
310000000
320000000
330000000
340000000
350000000
360000000
370000000
380000000
390000000
400000000
Всего
π ( y ) − π ( x)
664579
606028
587252
575795
567480
560981
555949
551318
547572
544501
541854
538339
536539
534012
532197
530062
528625
527302
525088
523464
522689
520914
520033
524724
517774
516542
515524
514685
513594
512662
512196
510685
510269
509130
508921
507762
507117
506968
505837
505116
21342079
π 2 ( y ) − π 2 ( x)
58980
48427
45484
43862
42348
41457
40908
39984
39640
39222
38817
38231
38016
37798
37218
37137
36575
36581
36367
36319
35930
35648
35578
36053
35236
35136
35160
34979
35069
34689
34697
34535
34428
34255
34147
33810
33912
33918
33885
33666
1508102
Примечание: Число простых чисел и число пар простых чисел-близнецов
≤ 400000000 и их распределение по интервалам длины 10000000.
Обозначения: x – начало интервала; y – конец интервала.
- 22 -
ISSN 2074-1065
Рецензируемый, реферируемый научный журнал «Вестник АГУ». Выпуск 4 (125) 2013
Любопытно, что в 1-м промежутке от 1 до 10000000 значительно больше простых
чисел (664579) и простых чисел-близнецов (58980), чем в последующих, причем число
простых чисел от промежутка к промежутку сначала уменьшается до 23-го промежутка
(520033), а в 24-м промежутке – увеличивается (524724). После этого количество простых чисел снова уменьшается до 505116 в 40-м промежутке.
Количество близнецов так же сначала уменьшается от 58980 до 36575 в 17-м промежутке, а в 18-м – увеличивается на 6 пар близнецов (36581). После этого количество
близнецов снова уменьшается до 35578 в 23-м промежутке и в 24-м – увеличивается на
475 пар (36053) и т.д. (см. табл. 3). В 40-м 10-миллионном промежутке 505116 простых
чисел и 33666 пар близнецов.
В промежутке от 1 до 400000000 простые числа составляют 5,3%, пары простых
чисел-близнецов 0,4%, пары простых чисел-близнецов составляют 7,1% от общего числа простых чисел. Для сравнения отметим, что до 400000000 чисел, являющихся точными квадратами, 0,005%.
Возникает вопрос: встретится ли в натуральном ряде 10-миллионный промежуток
(n − 1) ⋅10 7 ; n ⋅107 ( n ≥ 1) , в котором нет простых чисел, а значит и близнецов? До
400000000, как видно из таблицы 3, такого промежутка нет. Однако такой промежуток
при дальнейшем увеличении x встретится. Действительно: очевидно, что при любом
натуральном k ≥ 2 все числа k!+2 , k!+3 , …, k!+ k являются составными. Выберем
k = 2 ⋅ 10 7 и рассмотрим составные числа
[
]
(2 ⋅10 7 )!+10 7 , (2 ⋅107 )!+107 + 1 , (2 ⋅107 )!+107 + 2 , …, (2 ⋅ 107 )!+2 ⋅ 107 ,
которые можно переписать так:
 (2 ⋅10 7 )!  7

+ 1 ⋅10 ,
7
 10

 (2 ⋅10 7 )!  7
 (2 ⋅10 7 )!  7

+ 1 ⋅10 + 10 7 .
+ 1 ⋅10 + 1 , …, 
7
7
 10
 10


[
]
(2 ⋅ 107 )!
+ 2 , получим промежуток (n − 1) ⋅107 ; n ⋅107 , в котором нет
7
10
простых чисел. Ясно, что найденный 10-миллионный промежуток, свободный от простых
чисел, очень далек от начала натурального ряда. Возможно, что найдется более близкий к
началу натурального ряда 10-миллионный промежуток без простых чисел. Чтобы пояснить сказанное, найдем промежуток длины 10 вида [( n − 1) ⋅ 10; n ⋅ 10 ] , указанным выше ме(2 ⋅ 10)!
тодом. Для этого достаточно взять n =
+ 2 и искомым промежутком будет
10
Выбрав n =
[(n − 1) ⋅ 10; n ⋅ 10 ] = [2431228184 985600010 ; 2431228184 985600020 ],
в то время как ближайшим от начала натурального ряда промежутком вида
[(n − 1) ⋅10; n ⋅10 ] без простых чисел является [200; 210].
В общем случае, чтобы построить промежуток вида [(n − 1) ⋅10s ; n ⋅10s ] ( s – натуральное) без простых чисел, достаточно взять n =
(2 ⋅10 s )!
+ 2 . Интересно было бы най10 s
ти для данного s меньшие значения n .
В 1845 г. известный французский математик Ж. Бертран (1822-1900) в своих исследованиях выдвинул гипотезу о том, что в любом промежутке [ n; 2 n ] ( n – натуральное) находится по крайней мере одно простое число и убедился, что она верна для всех
n до 3000000, но доказать в общем виде, т.е. для любого n , он тогда не смог. Однако
он пользовался этим фактом, постулировав его (постулат Бертрана). Позже П.Л. Чебы- 23 -
ISSN 2074-1065
Рецензируемый, реферируемый научный журнал «Вестник АГУ». Выпуск 4 (125) 2013
шев в 1852 г. доказал постулат Бертрана даже в более сильной форме. Впоследствии
было доказано еще более сильное утверждение: при любом n ≥ 6 в промежутке [ n; 2 n ]
содержится по крайней мере 2 простых числа. Аналогичные вопросы можно ставить и
о простых числах-близнецах, но они очень трудные. Как уже отмечалось выше до настоящего времени вопрос о конечности или бесконечности количества близнецов остается открытым.
Упомянем еще об одном результате, полученном совсем недавно (2013). Назовем
обобщенными близнецами пары простых чисел ( pn ; pn +1 ) , для которых pn +1 − pn ≤ С ,
где С постоянное число, не зависящее от n . Китайский математик Yitan Zhang анонсировал, что им доказана бесконечность числа обобщенных близнецов с C = 70000000 .
Конечно, этот результат далек от возможного доказательства бесконечности числа
обычных близнецов, но с точки зрения специалистов по теории чисел является большим продвижением в проблеме близнецов. Если удастся довести С до 2, то этим будет
доказана бесконечность последовательности близнецов.
Отметим так же, что наибольшей найденной парой близнецов (февраль 2013 г.,
Калифорния) является
(257885161 − 1; 257885161 + 1).
Интересно отметить, что простое число p = 257885161 − 1 в десятичной системе счисления содержит 17425169 цифр. Чтобы записать эту пару простых чисел на бумажную
ленту в одну строку, потребуется лента длиной 116 км.
Заключение
Публикуя эту статью, мы хотели создать базу данных для достаточно больших
простых чисел, которые используются в учебных программах, реализующих алгоритмы
некоторых криптосистем с открытыми ключами. Одновременно с этим, затронув некоторые классические результаты по проблемам распределения простых чисел и простых
чисел-близнецов, хотели бы вызвать у студентов и учащихся классов с математическим
уклоном интерес к теоретико-числовым задачам и проблемам «царицы» математики –
теории чисел.
Что касается таблицы простых чисел и простых чисел-близнецов, то в ближайшее
время она будет доведена нами до границы x = 500000000 .
Примечания:
1. Коутинхо С. Введение в теорию чисел.
ритм RSA. М.: Постмаркет, 2001. 323 с.
References:
Алго-
2. Основы криптографии / А.П. Алферов, А.Ю.
Зубов, А.С. Кузьмин, А.В. Черемушкин. М.:
Гелиос АРВ, 2002. 480 с.
3. Бухштаб А.А. Теория чисел. М.: Просвещение,
1966. 384 с.
4. Трост Э. Простые числа. М.: Государственное
издательство физико-математической литературы, 1959. 135 с.
5. Сизый С.В. Лекции по теории чисел. Екатеринбург, 2002. 194 с.
6. Толковый словарь математических терминов /
О.В. Мантуров, Ю.К. Солнцев, Ю.И. Соркин,
Н.Г. Федин. М.: Просвещение, 1965. 540 с.
1. Koutinkho S. Introduction to the theory of numbers. Algorithm RSA. M.: Postmarket, 2001.
323 pp.
2. Foundations of cryptography / A.P. Alferov, A.Yu.
Zubov, A.S. Kuzmin, A.V. Cheremushkin. M.: Gelios ARV, 2002. 480 pp.
3. Bukhshtab A.A. Theory of numbers. M.: Prosveshchenie, 1966. 384 pp.
4. Bukhshtab A.A. Theory of numbers. M.: Prosveshchenie, 1966. 384 pp.
5. Sizy S.V. Lectures on the theory of numbers. Yekaterinburg, 2002. 194 pp.
6. Explanatory dictionary of mathematical terms /
O.V. Manturov, Yu.K. Solntsev, Yu.I. Sorkin,
N.G. Fedin. М.: Prosveshchenie, 1965. 540 pp.
- 24 -
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
18
Размер файла
276 Кб
Теги
ряде, простые, близнецов, натуральних, чисел, распределение
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа