close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О расходимости интерполяционных процессов Лагранжа по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля.

код для вставкиСкачать
Известия вузов. Математика
2010, № 11, c. 74–85
http://www.ksu.ru/journals/izv_vuz/
Гос. номер статьи по НТЦ "Информрегистр" 0421000123 \0105
А.Ю. ТРЫНИН
О РАСХОДИМОСТИ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ ЛАГРАНЖА
ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ ЗАДАЧИ ШТУРМА–ЛИУВИЛЛЯ
Аннотация. В работе построен пример непрерывной функции, интерполяционный процесс
Лагранжа–Штурма–Лиувилля которой расходится почти всюду.
Ключевые слова: теорема отсчетов, интерполяция, равномерная сходимость, синк аппроксимация.
УДК: 517.518
Abstract. In this paper we construct the example of a continuous function, for which the Lagrange–
Sturm–Liouville process diverges almost everywhere.
Keywords: sampling theorem, interpolation, uniform convergence, sinc approximation.
Работа посвящена изучению аппроксимативных свойств интерполяционных операторов
Лагранжа тесно связанных с конструкцией синк-приближений, используемой в теореме отсчетов Уиттекера–Котельникова–Шеннона. Впервые синк-приближения появились в работах Плэйне. Позднее, в связи с развитием теории сигналов, Э. Борель и Э.T. Уиттекер ввели
понятие кардинальной функции и усеченной кардинальной функции, сужение на отрезок
[0, π] которых имеет вид
n
n
n
kπ
kπ
kπ
sin (nx − kπ)
(−1)k sin nx
f
=
f
=
.
(1)
lk,n (x)f
Ln (f, x) =
nx − kπ
n
nx − kπ
n
n
k=0
k=0
k=0
К настоящему времени основательно исследована проблема синк-аппроксимации аналитической на действительной оси функции, экспоненциально убывающей на бесконечности
(например, [1]–[5]). Наиболее полный обзор результатов, полученных в этом направлении
до 1993 года, а также большое количество важных приложений синк-аппроксимаций можно найти в [6]. Интересный исторический обзор исследований в этой области содержится
также в [7].
Кроме того, появился ряд исследований, восходящих к теореме отсчетов, или, как ее еще
называют, теореме дискретизации Уиттекера–Котельникова–Шеннона ([8], [9], [6], [10]), в
которых получены различные представления целых функций рядами по синкам с узлами интерполирования, удовлетворяющими некоторым условиям “равномерности распределения”, например, [11]–[13]. Начиная с известной работы Крамера [14], изучается также
связь между теоремами отсчетов и интерполяцией Лагранжа по узлам из спектра задачи
Штурма–Лиувилля, например, [15].
Поступила 25.02.2009
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 07-01-00167) и гранта президента РФ (проект НШ-2970.2008.1).
74
О РАСХОДИМОСТИ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ ЛАГРАНЖА
75
Синк-приближения нашли широкое применение при построении различных численных
методов математической физики и приближения функций как одной, так и нескольких переменных [16]–[20], в теории квадратурных формул [6], [21] и теории вейвлет-преобразований
или всплесков [8]–[10], [22], [23]. В работе [24] получен аналог теоремы отсчетов, использующий интерполяцию типа Эрмита.
Доказать наличие аппроксимативной сходимости на оси для менее гладких функций удалось П.Л. Бутцеру и Р.Л. Стенсу. Однако для этого пришлось несколько модифицировать
оператор (1). В [25] ими установлено, что для равномерно непрерывных, ограниченных на R
функций f , принадлежащих классу Дини–Липшица и, кроме того, удовлетворяющих условию f (x) = O(|x|−δ ) при x → ±∞ для некоторого δ > 0, равномерно на R, для любых
m ∈ N и 0 < a < 1 справедливо равенство
m
∞
sin π a(Wmx−k)
k
sin π(W x − k)
= f (x).
f
lim
a(W
x−k)
W →∞
W
π(W x − k)
π
k=−∞
m
Кроме того, для этих аппроксимаций ими получены теоремы типа Джексона при
W → ∞. Интересный признак равномерной сходимости на оси самих кардинальных функций Уиттекера приводится в [26].
До появления работ [27]–[34], насколько автору известно, приближение такими операторами на отрезке или ограниченном интервале осуществлялось только для некоторых классов
аналитических функций [6], [19] сведением к случаю оси с помощью конформного отображения. В [32] получена оценка сверху наилучшего приближения непрерывных, исчезающих
на концах отрезка [0, π], функций линейными комбинациями синков.
Результаты, полученные в [31] и [33] с помощью исследований, опубликованных в [30],
описывают класс непрерывных на [0, π] функций, для которых последовательность значений операторов (1) сходится к приближаемой функции равномерно на любом компакте,
содержащемся внутри интервала (0, π). В [31], кроме того, получен критерий аппроксимативной сходимости в каждой точке отрезка [0, π] изучаемых операторов. Информация
о непрерывной функции f для описания поведения Ln (f, ·) может быть ограничена только ее значениями в дискретных узлах kπ
n , находящихся в окрестности точки, в которой
исследуются аппроксимативные свойства (1). Поэтому условие возможности приближения
конкретной функции легко проверяется на вычислительной технике. Отметим, что если
f ∈ C[0, π], уже в случае f ≡ 1, как было установлено в [34], то имеет место равенство
1 − Ln 1, π = 4 − π + O 1 ,
2n 2π
n
гарантирующее отсутствие равномерной сходимости (1) на [0, π].
В тесной связи с синк-приближениями находятся интерполяционные процессы Лагранжа,
построенные по собственным функциям задачи Штурма–Лиувилля. Г.И. Натансон в [35]
получил признак Дини–Липшица равномерной сходимости внутри интервала (0, π), т. е.
равномерной на любом компакте, содержащемся в (0, π), процессов Лагранжа–Штурма–
Лиувилля
n
n
Un (x)
SL
=
(f,
x)
=
f
(x
)
f (xk,n )lk,n
(x),
(2)
LSL
k,n
n
Un (xk,n )(x − xk,n )
k=1
k=1
где Un есть n-я собственная функция регулярной задачи Штурма–Лиувилля
U + [λ − q]U = 0,
U (0) − hU (0) = 0,
U (π) + HU (π) = 0
(3)
76
А.Ю. ТРЫНИН
с непрерывным потенциалом q ограниченной вариации на [0, π] и граничными условиями,
гарантирующими, что главный член в асимптотических формулах для Un будет косинусом,
т. е. h = ±∞, H = ±∞. Здесь через 0 < x1,n < x2,n < · · · < xn,n < π обозначены нули
функции Un .
В [36] и [37] при тех же условиях на параметры задачи Штурма–Лиувилля получен критерий, а также установлен ряд достаточных условий равномерной сходимости внутри интервала (0, π) процессов (2). Исследования, проведенные в [38] показывают, что при сколь
угодно малом изменении параметров задачи Штурма–Лиувилля (3) (потенциала q или констант h, H) аппроксимативные свойства процессов (2) могут сильно измениться.
В теории интерполирования функций классическими многочленами важную роль играют задачи изучения структуры множеств расходимости процессов Лагранжа для различных функциональных классов. Так, Грюнвальд [39] и Марцинкевич [40] независимо друг
от друга привели примеры непрерывных на [−1, 1] функций, интерполяционные процессы Лагранжа–Чебышёва которых расходятся всюду. А.А. Привалову [41] удалось построить непрерывную функцию, интерполяционные многочлены Лагранжа по матрице Якоби
(α > −1, β > −1) которой расходятся почти всюду на [−1, 1].
В этой работе устанавливается существование непрерывной на [0, π] функции, интерполяционный процесс Лагранжа–Штурма–Лиувилля (2) которой неограниченно расходится
почти всюду на [0, π]. Отметим, что при доказательстве теоремы будут использоваться идеи
работы А.А. Привалова [41].
Теорема. Пусть h и H — произвольные действительные числа, q — непрерывный потенциал ограниченной вариации задачи Штурма–Лиувилля (3). Тогда существуют непрерывная на отрезке [0, π] функция f и множество E : E ⊂ [0, π], mes E = π такие, что
lim |LSL
n (f, x)| = ∞
n→∞
для всех x ∈ E.
Прежде чем приступить к доказательству теоремы приведем ряд вспомогательных утверждений.
Лемма 1. Пусть Un — собственная функция, соответствующая собственному значению λn регулярной задачи Штурма–Лиувилля (3) с непрерывным потенциалом q ограниченной вариации и h = ±∞, H = ±∞; 0 < x1,n < x2,n < · · · < xn,n < π — нули функции
Un . Тогда имеют место следующие асимптотические формулы:
β(x)
sin nx + O(n−2 ),
(4)
Un (x) = cos nx +
n
(5)
Un (x) = −n sin nx + β(x) cos nx + O(n−1 ),
Un (x) = −n2 cos nx − nβ(x) sin nx + O(1),
(6)
(7)
Un (xk,n ) = (−1)k n + O(n−1 ),
2k − 1
2k − 1
π + n−2 β
π + O(n−3 ),
(8)
xk,n =
2n
2n
λn = n + O(n−1 ),
(9)
x
π
где β(x) = −cx + h + 12 q(τ )dτ , c = π1 h + H + 12 q(τ ) dτ , а оценка остаточного члена
0
0
во всех формулах (4)– (8) равномерна по x ∈ [0, π] или 1 ≤ k ≤ n.
По поводу доказательства (4), (5) и (9) см., например, [42], гл. 4, § 7. Подробное доказательство (8) можно найти в [36]. Формула (6) следует из (4) и (3), а (7) — из (5) и (8).
О РАСХОДИМОСТИ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ ЛАГРАНЖА
77
∞
Лемма 2. Пусть последовательности {an }∞
n=1 и {bn }n=1 удовлетворяют неравенствам
0 < an < bn < π,
1
= o(1).
n(bn − an )
(10)
Тогда для любых h и H в краевых условиях и непрерывного потенциала q ограниченной
вариации существует константа C1 такая, что, начиная с некоторого номера n0 ∈ N,
для любой точки x0 ∈ [an , bn ] справедливо неравенство
1
|Un (x)|
C1
SL
SL
ln
.
|l2l,n
(x)| ≥
−
L
n ([an , bn ], x) =
3π
bn − an
n
l:x2l,n ∈[a
/ n ,bn ]
Доказательство. Зафиксируем x ∈ [an , bn ]. В силу (8) и (10) найдется номер n1 ∈ N, начиная с которого в отрезки [an , bn ] будет попадать хотя бы один нуль x2l,n и будет выполняться
неравенство
3π
.
(11)
max {x2l+1,n − x2l,n } ≤
n−1
n
1≤l≤[ 2 ]
Применяя формулу конечных приращений Лагранжа при достаточно больших n для функции Un , в силу (5) и (7) равномерно по x на [0, π] получим
SL
L
n ([an , bn ], x) =
l:x2l,n ∈[a
/ n ,bn ]
−
l:x2l,n ∈[a
/ n ,bn ]
|Un (x)|
≥
n
|Un (x)|
n
1
−
|x − x2l,n |
l:x2l,n ∈[a
/ n ,bn ]
(x)|
|U
Un (x)
n
−
≥
Un (x2l,n )(x − x2l,n ) n|x − x2l,n | SL
|l2l,n
(x)| ≥
l:x2l,n ∈[a
/ n ,bn ]
n
O(n−1 ) 1
≥
−
|Un (ξk,n )| 2
|x − x2l,n |
n + O(1) k=1
≥
|Un (x)|
n
l:x2l,n ∈[a
/ n ,bn ]
C2
1
−
, (12)
|x − x2l,n |
n
где C2 зависит только от параметров задачи Штурма–Лиувилля (3).
Положим x0,n = 0 и x2[ n2 ]+2,n = π. Пусть нули с четными индексами 2p и 2q удовлетворяют
неравенствам (см. (8) и (10))
x2p,n < an ≤ x2p+2,n и x2q−2,n ≤ bn < x2q,n .
Тогда в силу (12)
SL ([an , bn ], x) ≥ |Un (x)|
L
n
n
p
l=1
[n]
2
1
1
+
|x − x2l,n |
|x − x2l,n |
l=q
−
C2
.
n
(13)
Заметим, что, если пределы суммирования теряют смысл, то соответствующая сумма в (13)
1
, как функция переменного t, монотонно возрастает при
заменяется нулем. Функция |x−t|
t < x и убывает при t > x, поэтому в силу (11) имеем
p
x2l,n
|Un (x)| 1
dt
SL
Ln ([an , bn ], x) ≥
+
n
x2l,n − x2l−2,n x2l−2,n x − t
l=1
78
А.Ю. ТРЫНИН
n
+
[2]
l=q
1
x2l+2,n − x2l,n
x2l+2,n
x2l,n
|Un (x)|
≥
3π
dt
t−x
an − 3π
n
0
−
C2
≥
n
dt
+
x−t
π
bn + 3π
n
dt
t−x
−
C2
. (14)
n
Опустив неотрицательные слагаемые в (13), мы только усилим неравенство. Поэтому, если
в каком-либо интеграле верхний предел интегрирования становится меньше нижнего, мы
исключаем из рассмотрения соответствующее слагаемое.
Далее, при an + bn ≤ π в оценке (14) будем рассматривать только вторую сумму, если
же an + bn > π — первую. Рассуждения при этом будут совершенно аналогичные, поэтому
ограничимся разбором случая an + bn ≤ π. В этой ситуации из (10) следует
π
(15)
π − an ≥ .
2
В силу (10) найдется номер n0 ≥ n1 , начиная с которого будет выполняться неравенство
π
bn − an + 3π
n ≤ 2 (bn − an ). Тогда из (14) и (15) имеем
|Un (x)| π
C2
dt
SL
≥
Ln ([an , bn ], x) ≥
−
3π
3π
n
bn + n t − an
|Un (x)|
C2
3π ≥
ln |π − an | − ln bn − an +
−
≥
3π
n
n
π
2
C2
|Un (x)|
ln + ln
−
.
≥
3π
2
π(bn − an )
n
Лемма 3 (И.М. Виноградов). Пусть α — иррациональное число, и пусть H(x) — число
простых чисел p, для которых αp ≤ β, p ≤ x, где 0 < β < 12 и θ — расстояние от числа θ до ближайшего целого. Тогда справедливо асимптотическое равенство H(x) ∼
= 2βπ(x)
при x → ∞. Здесь π(x) — число простых чисел в натуральном ряду, не превосходящих
числа x.
Подробный список литературных источников, содержащих доказательства этой леммы,
можно найти в ([41], с. 845, лемма 9).
Лемма 4. Для произвольных действительных h и H в краевых условиях и любого непрерывного потенциала q ограниченной вариации задачи Штурма–Лиувилля существует бесконечная последовательность номеров {ni }∞
i=1 такая, что если i = j, то функции Uni и Unj
не имеют общих нулей, кроме быть может x = π2 .
Доказательство. Запишем асимптотическую формулу для нулей собственных функций задачи Штурма–Лиувилля (8) в виде
xk,n =
2k − 1 + αk,n
π,
2n
(16)
причем константа C3 в оценке
C3
, n = 1, 2, 3, . . . ,
(17)
n
не зависит от k, 1 ≤ k ≤ n. Пусть n — произвольное простое число. В силу (16) совпадение
нулей xk,n и xl,m означает равенство
|αk,n | ≤
(2k − 1 + αk,n )m = (2l − 1 + αl,m )n.
(18)
О РАСХОДИМОСТИ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ ЛАГРАНЖА
79
Номера nk будем выбирать из последовательности простых чисел. Выберем какой-либо
номер k, 1 ≤ k ≤ n.
Пусть αk,n = αl,m = 0, тогда из (18) следует
2k − 1 = an,
k ∈ [1, n], l ∈ [1, m], a ∈ N.
2l − 1 = am,
n+1
π
Это возможно только в случае a = 1, l = m+1
2 , k = 2 , т. е. когда xk,n = xl,m = 2 .
Пусть теперь αk,n = 0, αl,m = 0. Тогда (18) имеет вид
αl,m
2k − 1 2l − 1
−
=
.
n
m
m
m+1
получаем αl,m = 0, что невозможно в силу предположения. При
При k = n+1
2 , l =
2
m+1
остальных k = 1, . . . , n, l = 1, . . . , m, k = n+1
2 или l = 2
αl,m 1
m ≥ nm .
В силу (17) и фиксированного n можно выбрать m1 настолько большим, чтобы (18) не
выполнялось для всех m ≥ m1 .
pk,n
, где
Пусть αk,n — рациональное, отличное от нуля число. Положим αk,n = qk,n
pk,n ∈ Z \ {0}, qk,n ∈ N — взаимно-простые числа. Обозначим qn = max{qk,n , k = 1, . . . , n,
p m
, k = 1, . . . , n, pk,n = 0, отличается от целого числа
pk,n = 0}. Тогда остаток от деления qk,n
k,n
не менее чем на
1
qn .
В этом случае (18) имеет вид
(2k − 1)m − (2l − 1)n +
pk,n m
= αl,m n.
qk,n
Поэтому, выбрав в силу (17) простое m2 ≥ m1 таким образом, чтобы для всех простых
m ≥ m2 выполнялось |αl,m | < 2q1n , мы исключим возможность совпадения нуля xk,n с
каким-либо из нулей функции Um (x). Тем более (18) не имеет места в случае, когда αk,n
рационально, а αl,m иррационально, или наоборот.
Пусть αk,n и αl,m иррациональные. В силу (17) найдется такой номер m3 ≥ m2 , что
|nαl,m | < 8n1 3 для всех простых m ≥ m3 , всех l = 1, . . . , m. Перепишем (18) в виде αk,n m =
(2l − 1)n − (2k − 1)m + αl,m n. Положив β = 8n1 3 , заметим, что для того чтобы нули xk,n
и xl,m совпадали, необходимо, чтобы число αk,n m лежало в β-окрестности целого числа
(2l − 1)n − (2k − 1)m. По лемме 3 Виноградова число простых чисел, не превосходящих m,
которые после умножения на αk,n попадают в β-окрестность целого числа, асимптотически
(m) таких простых чисел может быть
. Но 1 ≤ k ≤ n. Поэтому число W
равно W (m) = π(m)
4n3
асимптотически оценено сверху таким образом
(m) ≤ π(m) .
W
4n2
Выбрав в качестве n1 любое простое число, остальные члены последовательности {ni }∞
i=1
отыщем методом математической индукции. Пусть выбраны l собственных функций с простыми номерами, не имеющих общих нулей Un1 , Un2 , . . . , Unl . Тогда число собственных функций, имеющих общие нули хотя бы с одной из выбранных Un1 , . . . , Unl , асимптотически
может быть оценено сверху
l
i=1
l
1
π(m)
n (m) ≤ π(m)
W
.
≤
i
2
4
2
ni
i=1
80
А.Ю. ТРЫНИН
Доказательство теоремы. Возьмем бесконечную последовательность {ms }∞
s=1 натуральных чисел такую, что ряд
∞
1
√
(19)
4
ln ms
s=1
сходится. Пусть S — сумма этого ряда. В силу леммы 4 существует бесконечная последовательность простых номеров {nl }∞
l=1 такая, что n1 < n2 < · · · < nl < · · · , и если nli = nlj , то
собственные функции задачи Штурма–Лиувилля Unli (x) и Unlj (x) на отрезке [0, π] не имеют
общих нулей, кроме быть может одного нуля x = π2 . Для числа m1 из последовательности
l1 +m1
{nl }∞
l=1 возьмем m1 номеров {nl }l=l1 +1 таких, что
m31 < nl1 +1 < nl1 +2 < · · · < nl1 +m1 .
Множество нулей B1 =
элементов. Поэтому
nl1 +i , m1
{xk,nl1 +i }k=1,
i=1
(20)
1 +m1
функций {Unl }ll=l
содержит конечное число
1 +1
min{|x − y| : x = y, x, y ∈ B1 } > 0.
Разобьем промежуток [0, π) на m1 равных полуинтервалов
π(i − 1) πi
, i = 1, . . . , m1 .
,
∆i,m1 =
m1
m1
(21)
Положим
⎧
π
⎪
1
при x = x2k,nl1 +i , x2k,nl1 +i ∈ [0, π(i−1)
⎪
m1 ); x2k,nl1 +i = 2 , i = 1, . . . , m1 ,
⎪
⎨
πi
−1 при x = x2k,nl1 +i , x2k,nl1 +i ∈ ( m
, π]; x2k,nl1 +i = π2 , i = 1, . . . , m1 ,
1
ϕ1 (x) =
π
⎪
0
в точках 0, 2 , π и остальных нулях функций Unl1 +i , i = 1, . . . , m1 ,
⎪
⎪
⎩
линейная между точками B1 ∪ {0, π2 , π}.
(22)
Из (21), (22) и конечности множества B1 следует, что существует константа Липшица M1
такая, что ϕ1 ∈ LipM1 1 . Все нули xk,n собственных функций задачи Штурма–Лиувилля
SL (x) видно, что для
простые. Поэтому из определения (2) фундаментальных функций lk,n
них сохраняется свойство классических фундаментальных многочленов Лагранжа
SL
SL
SL
SL
sign l2k−2,n
(x) = sign l2k,n
(x) = − sign l2l,n
(x) = − sign l2l+2,n
(x),
(23)
если только x2k,n < x < x2l,n . В силу леммы 2, (20), (22) и (23) для любого i = 1, . . . , m1 и
любого x ∈ ∆i,m1
SL
|LSL
(ϕ
,
x)|
=
|l2k,n
(x)| ≥
1
nl +i
l +i
1
k:x2k,nl
1 +i
∈∆
/ i,m1
1
≥ C4 |Unl1 +i (x)| ln
Из последовательности
что ms1 = m1 и
{ms }∞
s=1
1≤n≤nl1 +ms
n
x∈[0,π] k=1
|∆i,m1 |
−
C1
C1
≥ C4 |Unl1 +i (x)| ln m1 − 3 .
nl1 +i
m1
выберем бесконечную подпоследовательность {msj }∞
j=1 так,
LSL
n
max
где LSL
n = max
1
1
∞
j=2
1
≤ C4 ,
4 ln m
sj
(24)
SL (x)| — константы Лебега процесса (2). Этот выбор возможен в силу
|lk,n
сходимости ряда (19) и теоремы Вейерштрасса. Для числа ms2 ∈ {msj }∞
j=1 , ms1 < ms2 , из
О РАСХОДИМОСТИ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ ЛАГРАНЖА
81
последовательности {nl }∞
l=1 выберем ms2 номеров таких, что
max{nl1 +ms1 , m3s2 } < nl2 +1 < nl2 +2 < · · · < nl2 +ms2 ,
и
x∈
max
π
,π− mπ
m1
1
SL
|Ln (ϕ1 , x) − ϕ1 (x)| ≤ C4 ,
(25)
n ≥ nl2 +1 .
Такой выбор nl2 +i , i = 1, . . . , ms2 возможен. Действительно, в силу (21) и (22) функция
ϕ1 ∈ LipM1 1. Согласно признаку Дини–Липшица ([35] или [36], следствие 3 теоремы 3 )
интерполяционный процесс Лагранжа–Штурма–Лиувилля аппроксимирует такие функции
равномерно внутри (0, π).
nl2 +i , ms2
ms2
Множество нулей B2 = {xk,nl2 +i }k=1,
i=1 функций {Unl2 +i }i=1 содержит конечное число
элементов. Поэтому
(26)
min{|x − y|, x = y, x, y ∈ B2 } > 0.
Разбив промежуток [0, π) на ms2 равных полуинтервалов
π(i − 1) πi
, i = 1, . . . , ms2 ,
,
∆i,ms2 =
ms2
ms2
положим
⎧
π(i−1) ⎪
,
x
∈
0,
; x2k,nl2 +i = π2 , i = 1, . . . , ms2 ,
1
при
x
=
x
⎪
2k,n
2k,n
l
+i
l
+i
⎪
2
2
⎪
πi ms2
⎨
−1 при x = x2k,nl2 +i , x2k,nl2 +i ∈ ms , π ; x2k,nl2 +i = π2 , i = 1, . . . , ms2 ,
2
ϕ2 (x) =
(27)
⎪
0
в точках 0, π2 , π и остальных нулях функций Unl2 +i , i = 1, . . . , ms2 ,
⎪
⎪
⎪
⎩
линейная между точками B2 ∪ {0, π2 , π}.
Из (26), (27) и конечности множества B2 следует, что существует константа Липшица M2
ϕ1 (x)
ϕ2 (x)
такая, что функция √
+ √
принадлежит классу Липшица LipM2 1. В силу лем4
4
ln ms1
ln ms2
мы 2, (25), (23) и (27) для любого i = 1, . . . , ms2 и любого x ∈ ∆i,ms2
SL
SL
Ln (ϕ2 , x) =
l
≥ C4 Un (x) ln ms − C1 .
(x)
2
2k,n
l
+i
l2 +i
l2 +i
2
m3s2
k:x2k,nl
Число ms3 ∈
{msj }∞
j=1 ,
2 +i
∈∆
/ i,ms
и выбираем ms3 номеров из последовательности {nl }∞
l=1 так, чтобы
LSL
n
max
1≤n≤nl2 +ms
x∈
max
π
ms2
,π− mπ
s2
∞
j=3
2
max{nl2 +ms2 , m3s3 }
и
2
1
≤ C4 ,
4 ln m
sj
< nl3 +1 < nl3 +2 < · · · < nl3 +ms3
2
2
SL ϕj
ϕj (x) ,x −
Ln
≤ C4 ,
4 ln m
4 ln m
sj
sj
j=1
j=1
n ≥ nl3 +1 .
Возможность такого выбора чисел ms3 и nl3 +i , i = 1, . . . , ms3 , обосновывается так же, как
и справедливость (24) и (25).
Продолжая процесс неограниченно, построим две числовые последовательности {msj }∞
j=1
ms ,∞
j
и {nlj +i }i=1,j=1
, а также последовательность непрерывных функций {ϕj }∞
j=1 . Эти последовательности обладают следующими свойствами:
ϕj ∈ LipM
j 1,
max |ϕj (x)| = 1,
x∈[0,π]
(28)
82
А.Ю. ТРЫНИН
max
n=1,...,nlν +msν
LSL
n
∞
j=ν+1
4
1
≤ C4 ,
ln msj
(29)
ν = 1, 2, 3, . . . ,
для всех n ≥ nlν +1 выполняется соотношение
ν−1
ν−1
SL ϕ
ϕ
(x)
j
j
≤ C4 ,
,x −
max
Ln
4
4
π
ln msj
ln msj x∈
,π− π
j=1
j=1
msν−1
(30)
msν−1
для любого i = 1, . . . , msν и любого x ∈ ∆i,msν соотношения
|LSL
nlν +i (ϕl , x)| ≥ C4 |Unlν +i (x)| ln msν −
C1
,
m3sν
(31)
max{nlν−1 +msν−1 , m3sν } < nlν +1 < nlν +2 < · · · < nlν +msν .
Функция
f (x) =
(32)
∞
ϕj (x)
4 ln m
sj
j=1
(33)
непрерывна на отрезке [0, π] в силу (28), сходимости ряда (19) и теоремы Вейерштрасса.
Перейдем к построению множества E. Для этого рассмотрим множества
msj −1
π π
,π −
Gi , j = 1, 2, 3, . . . ,
(34)
I(j) =
msj
msj
i=2
где
Gi =
k:xk,nl
j
i,m
⊂∆
s
+i
xk,nlj +i
π
π
,
−
, xk,nlj +i +
4nlj +i 4 ln msj
4nlj +i 4 ln msj
j
i,ms = (∆i−1,ms ∪ ∆i,ms ∪ ∆i+1,ms ). Сначала покажем существование константы C5 и
а∆
j
j
j
j
номера n0 , зависящих только от параметров задачи Штурма–Лиувилля таких, что для всех
n ≥ n0 выполняется неравенство
C5
|Unlj +i (x)| ≥ , i = 1, . . . , msj .
(35)
min
4
x∈I(j)∩∆i,ms
ln msj
j
Потенциал q ∈ C[0, π], поэтому в силу (9), начиная с номера n0 такого, что для всех n ≥ n0
будет выполняться неравенство λn ≥ max{|q(x)|, x ∈ [0, π]}, нули функции Un (x) и ее вто
рой производной будут совпадать, а sign Un (x) = − sign Un (x). Это означает, что функция
|Un (x)| строго вогнута на каждом из отрезков [xk,n , xk+1,n ], k = 1, 2, 3, . . . , n − 1, и
π
.
x
|Unlj +i (x)| ≥
min
±
min
U
(36)
n
k,n
l
+i
l
+i
j
4 ln m
j
k=1,...,nl +i x∈I(j)∩∆i,m
4n
sj
j
lj +i
sj
Пусть k0 — номер, на котором достигается минимум в (36). Представим собственную
функцию Unlj +i в нуле xk0 ,nlj +i с помощью формулы Тейлора с остаточным членом в форме
Лагранжа. Из (6) и (7) для достаточно больших nlj +i получим
π
Un (x) ≥ Un
min
(x
)
−
k
,n
0
lj +i
lj +i
lj +i
x∈I(j)∩∆i,ms
4nlj +i 4 ln msj
j
−
|Unl
j +i
(ξk0 ,nlj +i )|
2
nlj +i
π2
π
π2
2
≥
−
n
.
l
+i
j
2 4nlj +i 4 ln msj
16n2lj +i ln msj
16n2lj +i ln msj
О РАСХОДИМОСТИ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ ЛАГРАНЖА
83
i,ms = ∆i−1,ms ∪∆i,ms ∪∆i+1,ms
Отсюда следует (35). Из (8) видно, что в полуинтервале ∆
j
j
j
j
6n
lj +i
3π
π
содержится не более чем ms 2nl +i = ms
нулей функции Unlj +i . Поэтому в силу (34)
j
j
j
msj −1
mes I(j) ≥ π −
6nlj +i
2π
2π
3π
π
−
≥π−
−
.
4 ln m
msj
msj 2nlj +i 4 ln msj
msj
s
j
i=2
Таким образом, для любого положительного ε < π2 найдется номер j0 такой, что для всех
j ≥ j0
mes I(j) ≥ π − ε.
(37)
∞
Положим Ek = ∪ I(j). Из (37) следует, что mes Ek = π. Итак, мы имеем счетную последоj=k
вательность измеримых множеств {Ek }∞
k=1 , обладающих свойствами
E1 ⊃ E2 ⊃ E3 ⊃ · · · ⊃ Ek ⊃ · · · ,
mes Ek = π,
k = 1, 2, 3, . . . .
Таким образом, множество
E = ∩∞
(38)
k=1 Ek
измеримо и mes E = π. Покажем, что функция (33) и множество (38) искомые.
Пусть x ∈ E, тогда найдется бесконечная последовательность номеров {jp }∞
p=1 такая, что
∞
x ∈ ∩ I(jp ), и последовательность индексов i = i(x, p) подобрана так, чтобы x ∈ ∆i,msj .
p=1
p
Отсюда, из (19), (28)–(35) и линейности оператора (2) получаем
⎛
⎞
jp −1
ϕj (x)
1
SL ⎝
, x⎠ +
LSL
|LSL
nlj +i (f, x)| = Lnlj +i
nlj +i (ϕjp , x)+
p
p
p
4
4
ln msjp
ln msjp
j=1
⎞ ⎛
∞
ϕ
(x)
1
j
SL
SL
, x⎠ ≥ Lnl +i (ϕjp , x) −
+Lnl +i ⎝
jp
jp
4 ln m
4 ln msjp
sjp
j=jp +1
⎞
⎛
jp −1
jp −1
ϕj (x)
ϕj (x) SL
−
⎠
⎝
,x −
− Lnl +i
4 ln m
4 ln m
jp
sjp
sjp j=1
j=1
j
p −1
∞
ϕ
(x)
1
j
SL
≥
−
− Lnl +i
jp
4 ln m
4
j=1
ln msjp sjp
j=jp +1
C1
− 2C4 − S, i = 1, . . . , msjp .
msjp
В том числе и для i = i(x, p). Таким образом, lim LSL
nl +i(x,p) (f, x) = ∞, и для всех точек
≥ C4 C5
ln msjp −
p→∞
x ∈ E справедливо утверждение lim |LSL
n (f, x)| = ∞.
n→∞
jp
Литература
[1] Жук А.С., Жук В.В. Некоторые ортогональности в теории приближения, Зап. научн. семин. ПОМИ
314, 83–123 (2004).
[2] Schmeisser G., Stenger F. Sinc approximation with a Gaussian multiplier, Sampl. Theory Signal Image and
Process 6 (2), 199–221 (2007).
[3] Ignatović A. Local approximations based on orthogonal differential operators, J. Fourier Anal. Appl. 13 (3),
309–330 (2007).
84
А.Ю. ТРЫНИН
[4] Gelb A. Reconstruction of piecewise smooth functions from non-uniform grid point data, J. Sci. Comput. 30
(3), 409–440 (2007).
[5] Annaby M.H., Tharwat M.M. Sinc-based computations of eigenvalues of Dirac systems, BIT 47 (4), 699–713
(2007).
[6] Stenger F. Numerical methods based on sinc and analytic functions (Springer-Verlag, N. Y., 1993).
[7] Higgins J.R. Five short stories about the cardinal series, Bull. AMS. New Ser. 12 (1), 45–89 (1985).
[8] Новиков И.Я., Стечкин С.Б. Основы теории всплесков, УМН 53 (6), 53–128 (1998).
[9] Новиков И.Я., Стечкин С.Б. Основные конструкции всплесков, Фундамент. и прикл. матем. 3 (4),
999–1028 (1997).
[10] Добеши И. Десять лекций по вейвлетам (НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, Ижевск, 2001).
[11] Butzer P.L. , Hinsen G. Reconstruction of bounded signals from pseudo-periodic, irregularly spaced samples,
Signal Process. 17, 1–17 (1989).
[12] Higgins J.R. Sampling theorems and contour integral method, Appl. Anal. 41 (1–4), 155–169 (1991).
[13] Hinsen G. Irregular sampling of bandlimited Lp -functions, J. Approx. Theory 72 (3), 346–364 (1993).
[14] Kramer H.P. A generalized sampling theorem, J. Math. Phys. 38, 68–72 (1959).
[15] Zayed A.I., Hinsen G., Butzer P.L. On Lagrange interpolation and Kramer-type sampling theorems associated
with Sturm–Liouville problems, SIAM J. Appl. Math. 50 (3), 893–909 (1990).
[16] McArthur K.M., Bowers K.L., Lund J. The sinc method in multiple space dimensions: model problems, Numer.
Math. 56 (8), 789–816 (1990).
[17] Ebata M., Eguchi M., Koizumi Sh., Kumahara K. On sampling formulas on symmetric spaces, J. Fourier
Anal. Appl. 12 (1), 1–15 (2006).
[18] Boumenir A. Computing eigenvalues of Lommel-type equations by the sampling method, J. Comput. Anal.
Appl. 2 (4), 323–332 (2000).
[19] Mohsen A., El-Gamel M. A sinc-collocation method for the linear Fredholm integro-differential equations, Z.
Angew. Math. Phys. 58 (3), 380-390 (2007).
[20] Hackbusch W., Khoromskij B.N. Low-rank Kronecker-product approximation to multi-dimensional nonlocal
operators. I. Separable approximation of multi-variate functions, Computing 76 (3–4), 177-202 (2006).
[21] El-Gamel M., Cannon J.R. On the solution a of second order singulary-perturbed bondary value problem by
the sinc-Galerkin method, Z. Angew. Math. Phys. 56 (1), 45–58 (2005).
[22] Walter G.G., Shen X. Wavelets based on prolate spheroidal wave functions, J. Fourier Anal. Appl. 10 (1),
1–26 (2004).
[23] Sun Q. Frames in spaces with finite rate of innovation, Adv. Comput. Math. 28 (4), 301–329 (2008).
[24] Li H.A., Fang G.S. Sampling theorem of Hermite type and aliasing error on the Sobolev class of functions, J.
Beijing Norm. Univ., Nat. Sci. 40 (3), 315–319 (2004).
[25] Butzer P.L., Stens R.L. A modification of the Whittaker–Kotelnikov–Shannon sampling series, Aequationes
Math. 28 (3), 305–311 (1985).
[26] Butzer P.L., Higgins J.R., Stens R.L. Classical and approximate sampling theorems; studies in Lp (R) and
the uniform norm, J. Approx. Theory 137 (2), 250–263 (2005).
[27] Трынин А.Ю. Об аппроксимации аналитических функций операторами Лагранжа–Штурма–
Лиувилля, Тез. докл. 10-й Саратовской зимней школы 27 января – 2 февраля 2000 года. Современ.
пробл. теории функц. и их прилож. (Изд-во Саратовск. ун-та, Саратов, 2000), с. 140–141.
[28] Трынин А.Ю. Об оценке аппроксимации аналитических функций интерполяционным оператором по
синкам, в сб. “Математика. Механика” (Изд-во Саратовск. ун-та, Саратов, 2005), с. 124–127.
[29] Berrut Jean-Paul. A formula for the error of finite sinc-interpolation over a finite interval, Numer. Algorithms
45 (1–4), 369–374 (2007).
[30] Трынин А.Ю. Оценки функций Лебега и формула Неваи для sinc-приближений непрерывных функций
на отрезке, Сиб. матем. журн. 48 (5), 1158–1169 (2007).
[31] Трынин А.Ю. Критерии поточечной и равномерной сходимости синк-приближений непрерывных
функций на отрезке, Матем. сб. 198 (10), 141–158 (2007).
[32] Sklyarov V.P. On the best uniform sinc-approximation on a finite interval, East J. Approx. 14 (2), 29–38
(2008).
[33] Трынин А.Ю. Критерий равномерной сходимости sinc-приближений на отрезке, Изв. вузов. Математика, № 6, 66–78 (2008).
[34] Trynin A.Yu., Sklyarov V.P. Error of sinc approximation of analytic functions on an interval, Sampl. Theory
Signal Image and Process. 7 (3), 263–270 (2008).
[35] Натансон Г.И. Об одном интерполяционном процессе, Учен. зап. Ленинградск. пед. ин-та 166, 213–219
(1958).
[36] Трынин А.Ю. О равномерной сходимости интерполяционных процессов Лагранжа–Штурма–
Лиувилля, ВИНИТИ, № 1763-B91 (Саратовский ун-т, 1991).
О РАСХОДИМОСТИ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ ЛАГРАНЖА
85
[37] Трынин А.Ю. Об одном признаке сходимости интерполяционных процессов Лагранжа–Штурма–
Лиувилля, ВИНИТИ, № 2201-B91 (Саратовский ун-т, 1991).
[38] Трынин А.Ю. Об отсутствии устойчивости интерполирования по собственным функциям задачи
Штурма–Лиувилля, Изв. вузов. Математика, № 9, 60–73 (2000).
[39] Grünwald G. Über Divergenzerscheinungen der Lagrangeschen Interpolationspolynome stetiger Funktionen,
Ann. Math. 37 (2), 908–918 (1936).
[40] Marcinkiewicz J. Sur la divergence des pôlynomes d’interpolation, Acta Litterarum ac Scientiarum 8, 131–135
(1937).
[41] Привалов А.А. О расходимости интерполяционных процессов Лагранжа по узлам Якоби на множестве положительной меры, Сиб. матем. журн. 17 (4), 837–859 (1976).
[42] Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения, T. 1 (Ин. лит., М., 1953).
А.Ю. Трынин
доцент, кафедра математической физики и вычислительной математики,
Саратовский государственный университет,
ул. Московская, д. 155, г. Саратов, 410000,
e-mail: trynin@cpk.sgu.ru
A.Yu. Trynin
Associate Professor, Chair of Mathematical Physics and Computing Mathematics,
Saratov State University, 155 Moskovskaya str., Saratov, 410000 Russia,
e-mail: trynin@cpk.sgu.ru
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
228 Кб
Теги
лагранжа, лиувилля, процессов, функция, расходимости, интерполяционное, задачи, штурм, собственных
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа