close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О сравнении формул численного интегрирования.

код для вставкиСкачать
Известия вузов. Математика
2010, № 12, c. 3–19
http://www.ksu.ru/journals/izv_vuz/
Гос. номер статьи по НТЦ "Информрегистр" 0421000123 \0108
Н.К. БАКИРОВ , И.Р. ГАЛЛЯМОВ
О СРАВНЕНИИ ФОРМУЛ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ
Аннотация. В работе изучается среднеквадратическая погрешность численного интегрирования, когда интегрируемой функцией является стационарный случайный процесс. Получены
точные асимптотики погрешности для классических формул численного интегрирования, даны нижняя и верхняя оценки для наименьшей среднеквадратической погрешности.
Ключевые слова: квадратурная формула, стационарный случайный процесс.
УДК: 519.644
Abstract. In this paper we study the mean-square error of numerical integration, when the integrand is a random stationary process. We obtain exact asymptotic errors of classical quadrature
formulas and give lower and upper bounds for the least mean-square error.
Keywords: quadrature formula, stationary random process.
Введение
Важным элементом исследования различных схем численного интегрирования является
сравнение точностей различных алгоритмов на подходящих классах функций.
В настоящей работе изучается асимптотика при n → ∞ среднеквадратической погрешности формул численного интегрирования стационарного в широком смысле случайного
процесса (сл. пр.) ξ(t), t ∈ R1 ,
2
n
1
E ξ(t)dt −
ck ξ(tk ) .
(1)
0
k=1
Другими словами, на множестве интегрируемых функций вводится некоторая мера, инвариантная к сдвигам аргумента t (“стационарная мера”) и затем по этой мере вычисляется
среднеквадратическая погрешность интегрирования (1), где E — оператор математического
ожидания. Сравнение различных формул интегрирования можно производить по асимптотике средней погрешности (1) при n → ∞ для подходящих классов случайных процессов
ξ(t). Другими словами, сравнение различных квадратурных формул на классах функций
можно, в частности, производить не по наихудшим функциям из класса, а по средней по
классу погрешности интегрирования. В соответствии с таким подходом одна квадратурная
форма признается “лучше” другой, если для широкого класса стационарных процессов ξ(t)
ее среднеквадратическая погрешность будет меньше (асимптотически меньше).
Впервые оптимальные в смысле среднеквадратической погрешности квадратурные формулы были построены А.В. Сульдиным [1]–[2] (для винеровской меры, т. е. когда ξ(t) = W (t)
Поступила 24.04.2009
3
4
Н.К. БАКИРОВ , И.Р. ГАЛЛЯМОВ
— стандартный винеровский процесс). Принципиальное значение имеет среднеквадратическая погрешность e(n) наилучшей формулы интегрирования, соответствующей минимуму
(1) по всем ck , tk . Для получения нижних оценок среднеквадратической погрешности в [3]
введено следующее условие (Sacks–Ylvisaker conditions of order r), состоящее из четырех
требований:
(A) ковариационная функция R(s, t) случайного процесса ξ(t) непрерывно дифференцируема по обеим переменным r раз и принадлежит C (r,r) ([0, 1]2 );
(B), (C) не воспроизводим;
(D) R(r,k) (s, 0) = Eξ (r) (s)ξ (k) (0) = 0 ∀s ∈ [0, 1], k = 1, 2, . . . , r −1, (условие (D) опускается,
если r = 0).
2r+2 | −(r+1)
При справедливости этих условий e(n) = |B
(1 + o(1)), n → ∞, где Bk — числа
(2r+2)! n
Бернулли ([4], с. 87). Если выполнено только условие (A), то e(n) = O n−r−1 . Эта оценка
была обобщена в [5]: если
E(ξ (r) (t) − ξ (r) (s))2 = O(|t − s|β ), β ∈ [0, 1],
то e(n) = O n−r−β−1/2 .
Хорошо известным примером, для которого выполнены условия (A), (B), (C), (D) является следующее обобщение винеровского процесса (r-fold Wiener measure), вероятностное
распределение которого сосредоточенно на функциях ξ(t) таких, что ξ(0) = ξ (0) = · · · =
ξ (r) (0) = 0, т. е.
⎧
r = 0;
⎨W (t),
r−1
ξ(t) = t
⎩ W (u) (t−u)
(r−1)! du, r > 0,
0
более сложные примеры можно найти в [6], [7].
При сравнении формул численного интегрирования посредством погрешности (1) естественно полагать, что точки отрезка [0, 1] равноправны, т. е. случайный процесс ξ(t), t ∈
[0, 1], стационарен. Однако в этом случае условие (D) не выполняется за исключением, возможно, случая r = 0 (условиям (A)–(D) при r = 0, например, удовлетворяют стационарный
гауссовский процесс Орнштейна–Уленбека и др. ([4], с. 70)). В связи с этим представляет
интерес рассмотрение стационарного случая при r > 0. Отметим также статью [8] и другие
работы ее авторов, в которых сравниваются различные алгоритмы численного интегрирования по критерию, аналогичному (1) в многомерном случае для стационарного гауссовского
случайного поля.
1. Интегрируемая функция как стационарный процесс
Принимаем стационарный в широком смысле сл. пр. в качестве модели для подинтегральной функции. Заметим, что величина (1) выражается только через среднее и ковариационную функцию сл. пр. ξ(t), поэтому возможное требование о стационарности сл. пр. ξ(t) в
узком смысле явилось бы излишним. Предполагаем, что Eξ(t) = 0 ∀t, а также стационарный сл. пр. ξ(t) непрерывен в среднем квадратичном, что позволяет записать спектральное
представление для ковариационной функции
∞
eitλ dF (λ)
R(t) = Eξ(t + s)ξ(s) =
−∞
и для сл. пр. [9]
∞
ξ(t) =
−∞
eitλ dΦ(λ),
О СРАВНЕНИИ ФОРМУЛ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ
5
где F (λ) — ограниченная, неубывающая, непрерывная слева функция (спектральная функция распределения) и Φ(λ) — сл. пр. (вообще говоря, комплекснозначный) с траекториями,
непрерывными слева, с нулевым средним и ортогональными приращениями:
E(Φ(λ1 ) − Φ(λ2 ))(Φ(λ3 ) − Φ(λ4 )) = 0 ∀λ1 < λ2 < λ3 < λ4 ,
E|Φ(λ2 ) − Φ(λ1 )|2 = F (λ2 ) − F (λ1 ) ∀λ1 < λ2 .
Ввиду вышеуказанного свойства
2 1
n
ξ(t)dt −
ck ξ(tk ) =
E
0
∞
−∞
k=1
1
itλ
e
dt −
0
n
2
dF (λ),
itk λ ck e
k=1
где все интегралы лебеговские.
Свойства гладкости сл. пр. ξ(t) зависят от гладкости ковариационной функци R(t) в нуле.
В частности, если для некоторых q > 3, K > 0
K|t|
∀t,
(2)
R(0) − R(t) ≤
| ln |t||q
то существует сл. пр., эквивалентный ξ(t), с непрерывными траекториями ([9], с. 95). В
случае гауссовских стационарных процессов для этого достаточно, чтобы было выполнено
неравенство ([9], с. 181)
K
∀t, q > 1.
(3)
R(0) − R(t) ≤ ln |t|q
Отметим также альтернативу Ю.К. Беляева [10], в соответствии с которой выборочные
функции стационарного гауссовского процесса с вероятностью единица либо непрерывны,
либо неограничены на любом сколько угодно малом интервале. Ясно, что переход к эквивалентному сл. пр. не меняет погрешности (1), так что при выполнении (2) можем без
1
ограничения общности считать, что интеграл ξ(t)dt римановский.
0
Неравенства вида (2), (3) можно выводить из существования соответствующих спектральных моментов:
∞
∞
j
λ dF (λ), βj =
|λ|j dF (λ),
αj =
−∞
−∞
пользуясь нижеследующей простой леммой.
Лемма 1. Пусть βn+γ < ∞, 0 ≤ γ < 1, тогда для всех n ≥ 0
n
|t|n+γ
(it)j
αj + 2θ
βn+γ , |θ| ≤ 1.
R(t) =
j!
n!
j=0
Доказательство. Нетрудно показать, что для всех целых неотрицательных n и γ ∈ [0, 1],
x ∈ R1 выполнено соотношение
(ix)n
(ix)2
2|x|n+γ
eix − 1 − ix −
− ··· −
= θ
, |θ | ≤ 1.
(4)
2!
n!
n!
Теперь остается заменить x на itλ и проинтегрировать (4) по dF (λ).
Следствие. Если γ > 0, β1+γ < ∞, то выполнено (2).
Ковариационная функция действительнозначных сл. пр. действительнозначна, поэтому
соответствующее спектральное распределение симметрично: F (λ) = 1 − F (−λ + 0) и, сле∞ 2k+1
λ
dF (λ) = 0 ∀k = 1, 2, . . . в случае
довательно, все нечетные моменты равны нулю:
−∞
6
Н.К. БАКИРОВ , И.Р. ГАЛЛЯМОВ
их существования. Конечность четного момента
∞
−∞
λ2k dF (λ) равносильно существованию
k-й среднеквадратической производной ξ (k) (t), которая в этом случае является стационарным в широком смысле случайным процессом с нулевым средним и спектральной функцией
λ 2k
s F (s)ds ([11], с. 272). Если дополнительно известно, что стационарный
распределения
−∞
процесс ξ(t) гауссовский и для некоторого 0 < α ≤ 1 выполнено неравенство
K|h|2α
∀t, t + h ∈ [0, 1],
E|ξ (k) (t + h) − ξ (k) (t)|2 ≤ ln |h|
то случайный процесс ξ (k) (t) имеет эквивалентный ему случайный процесс с траекториями,
удовлетворяющими условию Гёльдера с показателем α ([9], с. 180).
2. Точные асимптотики для классических формул
численного интегрирования
Пусть ξ(t), t ∈ R1 , — стационарный в широком смысле непрерывный в среднем квадратичном сл. пр., Eξ(t) = 0 ∀t. Нас интересует среднеквадратичная погрешность интегрирования
1
2
n
1
2
∆n = E ξ(t)dt −
ξ(tk ) .
n
0
k=1
Используя спектральное представление для стационарных в широком смысле сл. пр., запишем
∞ 1
n
1 itk λ 2
2
itλ
∆n =
e dt −
e dF (λ).
(5)
n
−∞
0
k=1
∆2n
сводится к изучению асимптотики сумм
Тем самым изучение асимптотики погрешности
комплексных экспонент.
Если в качестве точек разбиения tk выбрать случайные величины, равномерно распределенные на отрезке [0, 1] и не зависящие от сл. пр. ξ(t), то среднеквадратичная погрешность
интегрирования не превосходит σ 2 /n, где σ 2 = Dξ(t) – дисперсия стационарного процесса
ξ(t). Действительно,
n∆2n
∞
=E
−∞
0
1
itλ
e
2
∞ 1
n
1 itk λ 2
1
itλ
it1 λ dt −
e dF (λ) = E
e dt − e dF (λ) =
n
n
−∞
0
k=1
1 1
σ2
R(0)
1
=
.
R(t − s)dt ds ≤
=
R(0) −
n
n
n
0
0
Предположим теперь, что спектральная функция распределения F (λ) случайного процесса ξ(t) принадлежит классу Fn функций распределения, сосредоточенных на конечном
интервале [−πn, πn], ширина которого формально соответствует границе Найквиста – на
один период колебаний с максимальной частотой πn в среднем на интервале [0, 1] приходятся две точки интегрирования tk .
Метод прямоугольников. Пусть
tk =
k−1
1
+
,
2n
n
k = 1, 2, . . . , n.
(6)
О СРАВНЕНИИ ФОРМУЛ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ
7
Применяя формулу суммы геометрической прогрессии, найдем при x = λ/(2n), что в (5)
1
n
eiλ − 1 1
1
1 itk λ eiλ − 1 eiλ − 1 1
def
itλ
−
=
−
.
(7)
e dt −
e
=
fn (λ) =
n
iλ
2in sin x
2in
x sin x
0
k=1
Элементарно обосновывается
Лемма 2. Для 0 ≤ x ≤ π/2 справедливы неравенства
(i) x6 ≤ sin1 x − x1 ≤ x3 ,
2 2
4
(ii) sin1 x − x1 ≤ x6 + x47 ,
(iii) представление в виде сходящегося степенного ряда
∞
2(22j−1 − 1)|B2j |
1 2 1
−
,
=
a2k x2k , a2k =
bj bs , bj =
sin x x
(2j)!
k=1
j+s=k+1,
j,s≥1
1
, B6 =
где Bk — числа Бернулли, B2 = 16 , B4 = − 30
7
a4 = 1080 .
Обозначим
J2k =
∞
−∞
1
42 , . . . ,
|eiλ − 1|2 |λ|2k dF (λ) = E|ξ (k) (1) − ξ (k) (0)|2 ,
в частности, a2 =
1
36 ,
k = 1, 2, . . . .
Из (5), (7) и леммы 2 вытекает
Теорема 1. Пусть спектральная функция распределения F (λ) случайного процесса ξ(t)
принадлежит классу Fn , тогда при использовании разбиений (6) справедливы соотношения
J2 ≤ (24n2 )2 ∆2n ≤ 4J2 ,
0.2
(24n2 )2 ∆2n ≤ J2 + 2 J4 ,
n
∞
7
36a2k J2k
2 2 2
(24n ) ∆n = J2 +
J4 +
,
2
120n
(2n)2k−2
k=3
где a2k — константы, определенные в лемме 2.
Если спектральная функция распределения F (λ) имеет неограниченный носитель, но
существует ее 4-й момент, то справедлива
Теорема 2. Пусть α4 < ∞, тогда
lim (24n2 )2 ∆2n = J2 .
n→∞
Доказательство получим, стандартно оценивая интегралы Лебега.
Метод трапеций. Пусть точки tk заданы формулой (6). Согласно формуле трапеций с
(n + 1) точками интегрирования
1
n 1 1
1
+ ξ tk +
,
ξ tk −
ξ(t)dt ≈
2n
2n
2n
0
k=1
поэтому в данном случае для x = λ/(2n)
2
∞ 1
n 1
1 i(tk − 1 )λ
2
itλ
i(tk + 2n
)λ 2n
e
∆n =
e dt −
+e
dF (λ) =
2n
−∞
0
k=1
8
Н.К. БАКИРОВ , И.Р. ГАЛЛЯМОВ
∞
=
−∞
|1 − eiλ |2
4n2
1 cos x
−
x sin x
2
dF (λ). (8)
Отсюда нетрудно вывести, что если спектральная функция распределения F (λ) имеет ограниченный носитель либо существует J4 , то
lim (12n2 )2 ∆2n = J2 ,
n→∞
т. е. в этом случае метод прямоугольников асимптотически лучше метода трапеций. Более того, и неасимптотически в случае F (λ) ∈ Fn метод прямоугольников лучше метода
трапеций, так как
1
1
1 cos x
−
≥
− ≥ 0 ∀ 0 < x < π/2,
x sin x
sin x x
и можем сравнить соответствующие погрешности с помощью формул (7), (8).
1
Метод Симпсона. Для 2n + 1 точек интегрирования вида tk , tk ± 2n
имеем по формуле
Симпсона
1
n 1 1
1
+ 4ξ (tk ) + ξ tk +
,
ξ tk −
ξ(t)dt ≈
6n
2n
2n
0
k=1
поэтому для x = λ/(2n)
2
∞ 1
n 1
1 i(tk − 1 )λ
2
itλ
itk λ
i(tk + 2n
)λ 2n
∆2n+1 =
e
e dt −
+ 4e
+e
dF (λ) =
6n
−∞
0
k=1
∞
|1 − eiλ |2 1 2 + cos x 2
−
dF (λ).
=
4n2
x
3 sin x
−∞
Если спектральная функция распределения F (λ) имеет ограниченный носитель либо существует J8 , то
lim 1802 (2n + 1)8 ∆22n+1 = J6 ,
n→∞
и, значит, метод Симпсона асимптотически лучше методов трапеций и прямоугольников,
он лучше также в случае F (λ) ∈ Fn при всех конечных n ≥ 1, поскольку
1
2 + cos x 1
1
− ≥
− ≥ 0 ∀ 0 < x < π/2.
sin x x
3 sin x
x
Сравнение с детерминированным случаем. Если ξ(t), t ∈ [0, 1], — неслучайная
функция, имеющая достаточное количество производных, то погрешности
1
n
R=
ξ(t)dt −
ck ξ(tk )
0
k=1
для методов прямоугольников, трапеций и Симпсона имеют следующие асимптотические
представления при n → ∞: если ξ(t) дважды непрерывно дифференцируема (ξ(t) ∈ C 2 [0, 1]),
то
ξ (1) − ξ (0)
ξ (1) − ξ (0)
(1
+
o(1)),
R
=
(1 + o(1)),
Rмет. прямоуг. =
мет.
трапеций
24n2
12n2
и, если ξ(t) ∈ C 4 [0, 1], то
Rмет. Симпсона =
ξ (1) − ξ (0)
(1 + o(1)).
180n4
О СРАВНЕНИИ ФОРМУЛ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ
9
√
В случае стационарных процессов погрешности ∆n = ER2 , как показано выше, имеют
точные асимптотики при n → ∞
E|ξ (1) − ξ (0)|2
E|ξ (1) − ξ (0)|2
(1
+
o(1)),
∆
=
(1 + o(1)),
∆n, прямоуг. =
n,
трапеций
24n2
12n2
E|ξ (1) − ξ (0)|2
(1 + o(1));
∆n, Симпсона =
180n4
здесь все производные среднеквадратические. Таким образом, имеется параллелизм в формулах погрешности для детерминированного и стохастического случаев. Отметим, что сравнение детерминированного и стохастического (для винеровской меры) случаев проводилось
и в работах А.В. Сульдина, см. также [4]. Отметим, что минимуму среднеквадратической погрешности (когда усреднение ведется по винеровской мере) соответствует формула, незначительно отличающаяся от формулы прямоугольников ([1], с. 149).
3. Нижняя оценка погрешности
Рассмотрим сначала сингулярный случай. Пусть спектральная функция распределения
F (λ) дискретна и, более того, сосредоточена на конечном множестве точек λj , j = 1, 2, . . . , d.
Ясно, что
1
∞ 1
ξ(t)dt =
eitλ dt dΦ(λ),
(9)
−∞
0
0
где Φ(λ) — некоторый случайный процесс, ассоциированный со случайным процессом ξ(t)
с ортогональными приращениями; в силу сделанного предположения он кусочно-постоянен
с некоррелированными скачками в точках λj , j = 1, 2, . . . , d.
С другой стороны, найдутся комплексные числа ck такие, что для sk = (k − 1)/d,
k = 1, 2, . . . , d,
1
d
eitλj dt =
ck eisk λj , j = 1, 2, . . . , d.
(10)
0
k=1
Действительно, определитель данной системы линейных уравнений не равен нулю как определитель Вандермонда.
Из (9), (10) и дискретности носителя спектральной функции распределения F (λ) вытекает
1
d
ξ(t)dt =
ck ξ(sk ), ck = Re ck ,
0
k=1
т. е. интеграл в данном случае может быть вычислен точно с помощью некоторой квадратурной формулы с равноотстоящими друг от друга узлами. Таким образом, в рассматриваемом
случае минимум погрешности (1) по всем квадратурным формулам равен нулю.
Рассмотрим теперь несингулярный случай, когда множество точек роста спектральной
функции распределения F (λ) бесконечно и имеет конечную точку сгущения. Обозначим
2
1
2
∞ 1
n
n
itλ
iτk λ ξ(t)dt −
ck ξ(τk ) = inf
e
dt
−
c
e
Rn = inf E k
dF (λ),
0
k=1
−∞
0
k=1
где нижняя грань берется по всем действительным константам ck и всем
0 ≤ τ1 < τ2 < · · · < τn ≤ 1.
Теорема 3. Пусть множество точек роста спектральной функции распределения F (λ)
бесконечно и имеет конечную точку сгущения, тогда Rn > 0 ∀n ≥ 1.
10
Н.К. БАКИРОВ , И.Р. ГАЛЛЯМОВ
Доказательство. Допустим противное, т. е. Rn = 0 для некоторого фиксированного n ≥ 1.
Тогда для некоторых последовательностей констант ck,m , τk,m имеет место сходимость в
комплексном пространстве L2 [R1 , dF (λ)]:
1
n
ck,m eiτk,m λ −−−−→
eitλ dt.
(11)
Sm (λ) =
m→∞
k=1
0
Можно считать, что все показатели τk,m различны при фиксированном m, иначе в сумму
Sm (λ) формально добавляем нулевые слагаемые вида 0 · eiτ λ с τ , отличным от всех τk,m ,
0 ≤ τ ≤ 1. Можно также считать, что последовательности показателей τk,m сходятся при
m → ∞, поскольку все они ограничены: 0 ≤ τk,m ≤ 1, и можем перейти к сходящимся
подпоследовательностям. Рассмотрим далее следующее разложение суммы Sm (λ):
Sm (λ) =
L
j
Sm
(λ),
j
Sm
(λ) =
j=1
ck,m eiτk,m ,
k∈Kj
где для всех k из подмножества индексов Kj
τk,m −−−−→ τj ,
m→∞
τj = τi ∀j = i.
При этом последовательности констант ck,m могут быть неограниченными при m → ∞.
j
(λ). Введем следующие обозначения: N — мощность мноПроанализируем далее сумму Sm
жества Kj ,
τk,m − τj
m
τj = min τk,m , δj = max τk,m − τj , bk,j =
∈ [0, 1], r0 =
ck,m ,
k∈Kj
k∈Kj
δj
k∈Kj
s
ck,m (bm
s = 1, 2, . . . , N − 1.
rs =
k,j ) ,
k∈Kj
j
(λ) в виде
Представим сумму Sm
∞
∞
s
(ibm
(iδj λ)s
k,j δj λ)
ibm
δj λ
iτj λ
iτj λ
iτj λ
j
k,j
=e
rs .
ck,m e
=e
ck,m 1 +
Sm (λ) = e
s!
s!
k∈Kj
s=1
k∈Kj
s=0
Лемма 3. Для всех N ≥ 2, s ≥ N справедливы неравенства
|rs | ≤ CN sN −1
max
0≤i≤N −1
|ri |,
где величина CN не зависит от s.
Лемма 3 будет доказана позже. Используя ее, можем оценить равномерно по любому
конечному промежутку λ ∈ [A, B] для достаточно больших m
∞
∞
(iδj λ)s
|δj λ|s N −1
iτj λ
e
max |ri | = O(1)|δj λ|N max |ri |.
rs = O
s
0≤i≤N −1
0≤i≤N −1
s!
s!
s=N
s=N
Следовательно,
j
Sm
(λ) = eiτj λ
N
−1
s=0
N
−1
(iδj λ)s
(iδj λ)s
rs + O(1)|δj λ|N max |ri | = eiτj λ
rs (1 + αs ),
0≤i≤N −1
s!
s!
s=0
где для некоторой константы RN , зависящей только от N ,
|αs | ≤ RN |δj λ| −−−−→ 0 ∀s = 0, 1, 2, . . . , N − 1,
m→∞
О СРАВНЕНИИ ФОРМУЛ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ
11
при этом величины αs нулевые, кроме одной.
Итак, можем записать
n
Sm (λ) =
dk,m fk,m (λ),
k=1
где dk,m — константы, fk,m (λ) — функции вида λs eiτj λ + o(1). Нетрудно видеть, что при
фиксированном n
2
B 1
n
itλ
iτ
λ
k
dF (λ),
Rn ≥ inf
e dt −
ck e
A
0
k=1
где интервал (A, B) выбран содержащим предельную точку для множества M точек роста
спектральной функции распределения F (λ) на (A, B).
Обозначим через (·, ·) скалярное произведение в L2 [A, B], dF (λ) . Ввиду непрерывности
скалярного произведения по обеим переменным
1
itλ
s iτj λ
, l = 1, 2, . . . , n,
e dt, λ e
gl = (Sm (λ), fl,m (λ)) −−−−→
m→∞
0
с соответствующими s, j. С другой стороны,
gl =
n
dk,m (fk,m (λ), fl,m (λ)),
l = 1, 2, . . . , n.
k=1
Определитель данной системы линейных уравнений относительно неизвестных dk,m сходится к определителю Грама линейно независимой системы функций fk (λ) = lim fk,m (λ),
m→∞
имеющих вид λs eiτj λ . Последний определитель не равен нулю, так как в противном случае
для некоторых констант xk , не равных нулю одновременно, имели бы равенство
n
xk fk (λ) = 0 ∀λ ∈ M,
k=1
которое распространяется на все R1 ввиду аналитичности функций fk (λ) и того, что множество M имеет предельную точку на [A, B]. Последнее равенство противоречиво в силу
линейной независимости функций fk (λ). Следовательно, константы dk,m сходятся к конечным пределам при m → ∞, что противоречит (11), ввиду линейной независимости ин1
теграла eitλ dt = (eiλ − 1)/(iλ) и конечной системы функций вида λs eiτj λ . Тем самым
0
предположение Rn = 0 противоречиво.
Доказательство леммы 3. Переобозначим для простоты изложения
m
bk,j k∈K = {b1 , b2 , . . . , bN }, 0 = b1 < b2 < · · · < bN = 1,
j
и рассмотрим систему линейных уравнений относительно переменных λt :
bsi =
N
−1
λt bti ,
i = 1, 2, . . . , N,
s ≥ N;
(12)
t=0
здесь 00 = 1. Определитель
матрицы системы AN есть определитель Вандермонда, равный
(bj − bi ) =
0, так что коэффициенты λt определяются однозначно по
det AN =
1≤i≤j≤N
12
Н.К. БАКИРОВ , И.Р. ГАЛЛЯМОВ
формулам Крамера
def
λt = λN
t,s =
1
det AN
1 b1 . . . bt−1 bs bt+1 . . . bN −1 1
1
1
1
1 b2 . . . bt−1 bs bt+1 . . . bN −1 2
2
2
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 bN . . . bt−1 bs bt+1 . . . bN −1 N
N
N
N
Из (12) вытекает неравенство
N −1
λt rt ≤ N
|rs | = t=0
max
0≤i≤N −1
|ri |
max
0≤t≤N −1
(13)
|λt |,
так что достаточно доказать, что при s ≥ N , N ≥ 2
def
N,s =
max
max
N ≤k≤s 0≤t≤N −1
N −2
|λN
(s − N + 1))N −1 ≤ CsN −1 ,
t,k | ≤ 6(2
(14)
где константа C > 1 не зависит от s. Докажем (14) индукцией по N . Пусть N = 2, тогда
соотношения (12) имеют вид
bs1 = λ0 + λ1 b1 ,
bs2 = λ0 + λ1 b2 .
Следовательно, для всех s ≥ 2
bs − bs1
= bs−1
+ b2 bs−1
+ · · · + bs−1
≤ s,
|λ1 | = 2
1
1
2
b2 − b1
bs−1 − bs−1
1
≤ s − 1 < s,
|λ0 | = b1 b2 2
b2 − b1
что влечет (14). В случае произвольного N > 2 воспользуемся формулой (13), которую
перепишем более компактно,
1
t−1
t+1
N −1
s
|β 0 , β 1 , . . . , βN
, βN
, βN
, . . . , βN
|,
λN
t,s =
det AN N N
где
⎛ k⎞
⎛ ⎞
b1
1
k⎟
⎜
1
b
⎜
⎟
0
k
2⎟
= ⎝ ⎠ , βN
=⎜
βN
⎝. . .⎠ , k = 1, 2, . . . , N − 1.
...
1
bkN
В случае t = 0 с учетом представления (13), очевидно, можем записать
λ 0 = λN
0,s =
1
b1 b2 . . . bN s−1 0 1
N −1
N −2
s
1
2
|βN
, βN
, βN
, . . . , βN
|=
|βN , βN , βN , . . . , βN
|=
det AN
det AN
b1 b2 . . . bN 0 1
N −2
s−1
= (−1)N −1
|βN , βN , . . . , βN
, βN
| = (−1)N −1 b1 b2 . . . bN λN
N −1,s−1
det AN
и заметить, что λN
N −1,s−1 = 1 при s = N , что не противоречит (14), а при s > N можно
N
воспользоваться неравенством |λ0 | ≤ |λN
N −1,s−1 | и оценкой для λt,s−1 при t ≥ 1, приводимой
ниже.
Пусть теперь t ≥ 1. Вычтем в (13) последнюю строчку из остальных и перейдем к определителю меньшей размерности. В результате получим представление
1
t−2
|β 0 , β 1 , . . . , βN
λN
t,s =
−1 , at−1 , at , . . . , aN −2 |,
det AN −1 N −1 N −1
где
s−1
s−2
s−t t−1
2 s−3
at−1 = βN
−1 + bN βN −1 + bN βN −1 + · · · + bN βN −1 =
О СРАВНЕНИИ ФОРМУЛ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ
13
s−1
s−2
s−N N −1
2 s−3
= βN
at−1 ,
−1 + bN βN −1 + bN βN −1 + · · · + bN βN −1 + +1 N −2
+2 N −3
t−1
at−1 = bs−N
βN −1 + bs−N
βN −1 + · · · + bs−t
N
N
N βN −1 ,
t−1
t
at = βN
−1 + bN βN −1 ,
t+1
t
2 t−1
at+1 = βN
−1 + bN βN −1 + bN βN −1 ,
........................................................................
r−1
r−t+1 t−1
r
2 r−2
βN −1 ,
ar = βN
−1 + bN βN −1 + bN βN −1 + · · · + bN
t ≤ r ≤ N − 2.
(15)
Поэтому, разлагая определитель по столбцу с at−1 , получаем
λN
t,s
=
s−1
k=N −1
bs−k−1
t−2
k
N
|β 0 , β 1 , . . . , βN
−1 , βN −1 , at , . . . , aN −2 |+
det AN −1 N −1 N −1
+
1
t−2
|β 0 , β 1 , . . . , βN
at−1 , at , . . . , aN −2 |. (16)
−1 , det AN −1 N −1 N −1
Каждое слагаемое в (16) под знаком суммы разложим по столбцам, пользуясь формулами
(15). В этом разложении окажется 2N −t−1 ненулевых слагаемых, каждое из которых не
превосходит N −1,s−1 . В аналогичном разложении последнего слагаемого в (16) оказывается
2N −t−1 ненулевых слагаемых, каждое из которых по модулю не превосходит единицы. В
итоге из (16) получаем оценку
N,s ≤ 2N −1 (1 + (s − N + 1)N −1,s−1 ).
Полагая θ = 2N −2 (s − N + 1) ≥ 2, γN,s = N,s /2N −1 , запишем цепочку неравенств
γN,s ≤ 1 + θγN −1,s−1 ≤ 1 + θ + θ2 γN −2,s−2 ≤ 1 + θ + θ2 + · · · + θN −2 γ2,s−N +2 ≤
≤ 1 + θ + θ2 + · · · + θN −2 (s − N + 2) =
θN −2 − 1
+ θN −2 (s − N + 2) ≤ θN −2 (s − N + 3),
θ−1
поэтому N,s ≤ 6θN −1 , откуда следует (14).
Анализ доказательства теоремы 3 позволяет применить его методы к доказательству
теорем 4 и 5.
Теорема 4. Пусть при m → ∞ последовательность
n
ck,m z sk,m eτk,m z , sk,m ∈ N ∪ {0}, τk,m , z ∈ C,
Sm (z) =
k=1
при действительных z сходится в L2 ([0, 1], dz). Если
1) n фиксировано,
2) константы sk,m и действительные части Re τk,m ограничены равномерно по k, m,
то последовательность Sm (z) сходится равномерно на компактах в C к линейной комбинации n функций вида z s eτ z .
Доказательство. Достаточно из каждой подпоследовательности Sm (z) выделить подпоследовательность, сходящуюся равномерно на компактах в C к линейной комбинации n
функций вида z s eτ z . Действуя как при доказательстве теоремы 3, можем выделить подпоследовательность Sm (z), представимую в виде
S
m (z) =
P
p=1
bp,m gp,m (z),
gp,m (z) = eiup,m z
np
j=1
dj,p,m fj,p,m (z),
14
Н.К. БАКИРОВ , И.Р. ГАЛЛЯМОВ
где
bp,m , up,m ∈ R1 ∀p, m,
P
1 ≤ P ≤ n,
np = n,
p=1
u1,m −−−−→ u1 , up,m −−−−→ ∞ ∀p > 1,
m→∞
m→∞
|up,m − uq,m | −−−−→ ∞ ∀p = q,
m→∞
(17)
dj,p,m – константы, сходящиеся к конечным пределам при m → ∞, fj,p,m (z) — функции,
представимые при m → ∞ равномерно по z на компактах в C в виде z s eτ z + o(1) при
некоторых соответствующих s, τ .
В силу принятых условий
−−−→ rq ,
rq,m = (S
m (z), gq,m (z)) −
m→∞
q = 1, 2, . . . , P,
причем вследствие (17) rp = 0 ∀p > 1. С другой стороны,
rq,m =
P
bp,m (gp,m (z), gq,m (z)),
q = 1, 2, . . . , P.
p=1
Матрица A данной системы линейных уравнений относительно неизвестных bk,m сходится к
диагональной матрице ввиду (17). Определитель матрицы A сходится к определителю Грама некоторой линейно независимой системы функций, который не равен нулю, что можно
показать так же, как и ранее. Следовательно, константы bk,m сходятся к конечным преде
лам bp при m → ∞, причем bp = 0 ∀p > 1, что и доказывает теорему.
Замечание. Условие 2) теоремы не следует из условия 1) и сходимости последовательности
2
Sm (z) в L2 ([0, 1], dz) ввиду контрпримера Sm (z) = z m em(z−1) . Пример Sm (z) = z m emz−m
показывает, что условие 2) теоремы не следует из 1) и равномерной сходимости последовательности Sm (z) на компактах в C. Существенность условия 1) теоремы доказывает следующий контрпример. Пусть Pn (z) — последовательность многочленов, равномерно сходящаяся
при действительном z из отрезка [−1, 1] к функции |z|, тогда последовательность Pn (z) не
может сходиться равномерно на компактах в C ввиду неаналитичности функции |z|.
Теорема 5. Пусть ym (t) — решение однородного обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ)
y (n) = an−1,m y (n−1) + an−2,m y (n−2) + · · · + a1,m y + a0,m y,
(18)
где константы ak,m ограничены равномерно по k, m. Если последовательность ym (t) сходится в L2 ([0, 1], dt) при m → ∞, то последовательность констант ak,m сходится при
m → ∞, а последовательность решений ym (t) сходится равномерно на компактах к решению предельного ОДУ вида (18) с коэффициентами ak = lim ak,m при производных y (k) .
m→∞
Доказательство теоремы 5 аналогично доказательству теоремы 4. Отметим только, что в
принятых условиях корни характеристического многочлена ОДУ ограничены равномерно
по m.
Рассмотрим теперь частный случай, когда спектральная плотность распределения f (λ)
допускает оценки: для некоторых положительных констант C1 и C2 и натурального r
C1 ≤
f (λ)
≤ C2 ∀λ ∈ R1 .
(1 + λ2 )r
В соответствии с отмеченным ранее в данном случае не существует среднеквадратическая
производная ξ (r) (t), но существует среднеквадратическая производная ξ (r−1) (t). При этом
О СРАВНЕНИИ ФОРМУЛ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ
15
для гауссовского сл. пр. ξ(t) существует некоторый эквивалентный ему сл. пр., удовлетворяющий условию Гёльдера с любым показателем γ < 1/2. С другой стороны, в спектре
случайного сигнала ξ(t) присутствуют все частоты, и амплитуда высоких частот убывает
с ростом частоты λ. В частном случае рассмотрим стационарный сл. пр. ηr (t) с нулевым
математическим ожиданием и рациональной спектральной плотностью fr (λ) = (1 + λ2 )−r .
Отметим, что случайный процесс
∞
t
ηr+1 (t) = e
ηr (s)e−s ds
t
имеет такую же ковариационную функцию, как и сл. пр. ηr+1 (t). В гауссовском случае η1 (t),
очевидно, есть процесс Орнштейна–Уленбека, который в свою очередь при t > 0 может быть
получен
√ −t из2t стандартного винеровского процесса W (t) с помощью представления η1 (t) =
πe W (e ) [11]. Таким образом, гауссовские процессы ηr (t), r > 1, t > 0, могут быть
получены последовательным экспоненциальным сглаживанием стандартного винеровского
процесса.
Обозначим
2
2
1
∞ 1
N
N
dz
isλ
isk λ ηr (s)ds −
ck ηr (sk ) = inf
e
ds
−
c
e
γ(r) = inf E k
(1 + λ2 )r ,
−1
−∞
k=1
−1
k=1
где нижняя грань берется по всем действительным константам ck , натуральным N и
|sk | ≥ 1. Справедлива
Лемма 4. Для всех натуральных r справедливо неравенство γ(r) > 0.
Доказательство. Покажем, что найдутся коэффициенты ak , bk такие, что функция
r−1
1 isλ
e ds −
(ak eiλ (iλ)k + bk e−iλ (iλ)k )
ψ(λ) =
−1
k=0
(1 + λ2 )r
будет целой аналитической по параметру λ. Действительно, для λ = z/i запишем
1
ψ(z/i) =
−1
esz ds − X(z)
(1 −
z 2 )r
,
X(z) =
r−1
ak ez z k + bk e−z z k
k=0
и заметим, что функция X(z) является решением линейного дифференциального уравнения
с постоянными коэффициентами
d2 r
L(X) = 1 − 2 X(z) = 0.
dz
Для аналитичности ψ(z/i) достаточно, чтобы
1
1
dk
dk
(k)
sz (k)
e ds , X (−1) = k
esz ds
,
X (1) = k
dz −1
dz −1
z=1
z=−1
k = 0, 1, . . . , r − 1.
Тем самым X(z) является решением неоднородной краевой задачи при условии, что однородная задача
L(X) = 0,
X (k) (1) = 0,
X (k) (−1) = 0,
k = 0, 1, . . . , r − 1,
имеет только нулевое решение ([12], с. 25). Отсутствие нетривиальных решений у последней задачи легко доказать индукцией по r. Итак, функция ψ(λ) аналитична при некотором
выборе коэффициентов ak , bk . Рассуждая далее так же, как в ([13], с. 184), покажем, что
16
Н.К. БАКИРОВ , И.Р. ГАЛЛЯМОВ
∞
−∞
eisλ ψ(λ)dλ = 0 при s ≤ −1, s ≥ 1. Действительно, пусть C(N ) — контур, охватывающий
полукруг радиуса N в верхней полуплоскости с центром в начале координат. Тогда, например, при s > 1 в силу справедливости экспоненциальной оценки сверху для ψ(λ) в верхней
полуплоскости имеем
N
∞
eisλ ψ(λ)dλ = lim
eisλ ψ(λ)dλ = lim
eisλ ψ(λ)dλ = 0.
N →∞ −N
−∞
N →∞ C(N )
Последнее соотношение означает ортогональность разности
1
r−1
ξ(s)ds −
(ak ξ (k) (1) + bk ξ (k) (−1))
−1
k=0
линейному пространству, порожденному суммами вида
N
ck ξ(sk ), |sk | ≥ 1. Тем самым
k=1
2
r−1
1
dz
eisz ds −
(ak eiz (iz)k + bk e−iz (iz)k )
γ(r) =
(1 + z 2 )r
−∞ −1
∞
k=0
для некоторых констант ak , bk , и в силу соображений симметричности и неравенства треугольника для норм в L2 можем считать, что ak = bk ∀k. Если теперь γ(r) = 0, то для всех
z ∈ R1
r−1
r
1
isz
iz
k
−iz
k
iz
−iz
iz
e ds −
(ak e (iz) + bk e (iz) ) = e − e −
(ak eiz (iz)k + bk e−iz (iz)k ) = 0,
−1
k=0
k=1
что невозможно ввиду линейной независимости слагаемых.
Обозначим
2
2
∞ 1
n
n
1
dλ
ηr (t)dt −
ck ηr (τk ) = inf
eitλ dt −
ck eiτk λ ,
Rn = inf E 0
(1 + λ2 )r
−∞ 0
k=0
k=0
где нижняя грань берется по всем действительным константам ck и всем
0 = τ0 < τ1 < · · · < τn = 1.
(19)
Теорема 6. Справедливо неравенство Rn ≥ γ(r)/(2n)2r .
Доказательство. Рассмотрим величину
∞ M (τk , τk+1 ) = inf
−∞
τk+1
itλ
e
ds −
τk
N
j=1
2
dλ
(1 + λ2 )r ,
iνj λ cj e
(20)
где нижняя грань берется по всем cj ∈ R1 , натуральным N и νj ∈
/ [τk , τk+1 ]. Пусть δ =
δk+1 = (τk+1 − τk )/2. Применяя замену переменных t = τk+1 + δ(s − 1), λ = z/δ, получаем
2
∞ 1
N
dz/δ
isz
isk z 2
inf
e ds −
uk e δ
≥ γ(r)δ 2r+1 .
M (τk , τk+1 ) =
2 )r
(1
+
(z/δ)
uk ∈R1 ,|sk |≥1 −∞
−1
k=1
Обозначим через L2 (A) замкнутое линейное подпространство в L2 ([0, 1], (1 + λ2 )−r ), порожденное экспонентами eiτj λ , τj ∈ A. Так же, как и в лемме 4, можно показать, что нижняя
О СРАВНЕНИИ ФОРМУЛ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ
17
грань в (20) достигается в следующем случае:
2
∞ τk+1
r−1
isz
iτk z
j
iτk+1 z
j e ds −
(aj e (iz) + bj e
(iz) )
M (τk , τk+1 ) =
−∞
τk
dz
(1 + z 2 )r
j=0
(21)
для некоторых констант ak , bk . Сумма под знаком интеграла, очевидно, принадлежит как
L2 ([τk , τk+1 ]), так и L2 ([0, τk ] ∪ [τk , τk+1 ]). Пусть, например, сумма S(λ) доставляет минимум
τ1
в (21) при k = 0, тогда разность eitλ dt − S(λ) ортогональна подпространству L2 ([τ1 , 1]),
содержащему, в частности,
∞
−∞
−
1
τ1
1
0
n
j=0
itλ
e
dt −
n
0
eitλ dt, следовательно,
2
dλ
=
(1 + λ2 )r
∞
iτj λ cj e
j=0
−∞
2
dλ
iτj λ cj e
(1 + λ2 )r = M (0, τ1 ) +
∞
−∞
τ1
itλ
e
dt − S(λ) +
0
1
eitλ dt + S(λ)−
τ1
1
itλ
e
dt + S(λ) −
τ1
n
cj e
j=0
2
dλ
(1 + λ2 )r .
iτj λ Действуя далее по индукции, получаем
2
∞ 1
n
n−1
n−1
γ(r)
dλ
itλ
iτj λ e
dt
−
c
e
≥
M
(τ
,
τ
)
≥
γ(r)δk2r+1 ≥
.
j
k
k+1
(1 + λ2 )r
(2n)2r
−∞
0
j=0
k=0
k=0
Замечание. Из доказательства этой теоремы следует, что нижняя грань в Rn может быть
достигнута на кубатурных формулах эрмитового типа, построенных с учетом значений
производных случайного процесса ηr (t) в точках τk .
Для частного случая r = 1 обозначим
2
∞ ∆
dλ
itλ
i∆λ
−i∆λ e
dt
−
c(e
+
e
)
G(∆) = inf
1 + λ2 .
c∈R1
−∞
−∆
(22)
Нетрудно доказывается
Лемма 5. 1) Оптимальное значение коэффициента c в (22) равно
1 − e−2∆
.
1 + e−2∆
2) Справедлива формула
1 − e−2∆
G(∆) = 4π ∆ −
.
1 + e−2∆
3) G (∆) > 0 ∀∆ > 0, lim G(∆)/∆3 = 4π/3.
∆→0
Рассуждая, как при доказательстве теоремы 6, и используя лемму 5, получаем
n
1
π
τk − τk−1
= nG
= 2 (1 + o(1)), n → ∞.
G
Rn = inf
τj
2
2n
6n
(23)
k=1
Здесь нижняя грань берется по всем τj , удовлетворяющим (19), при этом для всякого n ≥ 2
оптимальная квадратурная формула есть
n−2
k 1 − e−1/n
η1
+ η1 (1) .
η1 (0) + 2
n−1
1 + e−1/n
k=1
18
Н.К. БАКИРОВ , И.Р. ГАЛЛЯМОВ
Заметим, что
1 − e−1/n
1
+O
=
−1/n
2n
1+e
1
n3
2
n−2
k 1
1
E 3 η1 (0) + 2
+ η1 (1) = O 4 ,
η1
n
n−1
n
,
k=1
поэтому асимптотически оптимальной квадратурной формулой, в частности, является классическая формула трапеций, так как для нее асимптотически достигается нижняя грань
погрешности интегрирования (23).
4. Верхняя оценка погрешности
Обозначим
Rn
= inf E 1
ξ(t)dt −
0
n
2
ck ξ(tk ) = inf
∞
−∞
k=1
1
itλ
e
dt −
0
n
2
dF (λ),
itk λ ck e
k=1
где нижняя грань берется по всем действительным константам ck . Пусть момент α2n =
∞ 2n
λ dF (λ) конечен. Если, например, спектральная функция распределения сосредото-
−∞
чена на интервале [−C, C], то, очевидно, α2n ≤ C 2n
F (λ) =
λ
−z 2 /2
e
−∞
√
C
−C
dF (λ) = E|ξ(0)|2 C 2n , а в случае
dz/ 2π можем оценить α2n = (2n − 1)!! ≤ 2n−1 n!.
Верхнюю оценку для погрешности (1) можно получить исходя из следующего интерполяционного неравенства ([14], с. 137). Пусть f (t) — действительнозначная функция и
Mn = sup |f (n) (t)| < ∞, тогда для интерполяционного многочлена Лагранжа πn (t, f ) стеt∈[0,1]
пени n − 1 в случае произвольных узлов tk ∈ [0, 1], k = 1, 2, . . . , n,
Ln = sup |f (t) − πn (t, f )| ≤
а если tk = 1 + cos
неравенства к f (t) =
2k−1
2n
eitλ ,
t∈[0,1]
Mn
,
n!
/2 — чебышевские узлы, то Ln ≤ Mn /(2n−1 n!). Применяя эти
получаем для произвольных узлов tk
Ln = sup |eitλ − πn (t, eitλ )| ≤
t∈[0,1]
и, значит, Rn ≤ 4α2n /(n!)2 ,
Rn ≤ 4α2n /(2n−1 n!)2 .
2|λ|n
,
n!
а в случае чебышевских узлов Ln ≤ 2|λ|n /(2n−1 n!), так что
Авторы благодарят рецензентов за ценные замечания, позволившие улучшить качество
работы.
Литература
[1] Сульдин А.В. Мера Винера и ее приложения к приближенным методам. I, Изв. вузов. Математика,
№ 6, 145–158 (1959).
[2] Сульдин А.В. Мера Винера и ее приложения к приближенным методам. II, Изв. вузов. Математика,
№ 5, 165–179 (1960).
[3] Sacks J., Ylvisaker D. Statistical design and integral approximation, in: Proc. 12th Biennial Sem. Canad.
Math. Congress, (Montreal, 1970), p. 115–136.
[4] Ritter K. Average-case analysis of numerical problems, – Lecture Notes in Math. (Springer, Berlin; Heidelberg;
New York; Barcelona; Hong Kong; London; Milan; Pads; Singapore; Tokyo, 2000), V. 1733.
О СРАВНЕНИИ ФОРМУЛ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ
19
[5] Ritter K., Wasilkowski G.W., Wozniakowski H. On multivariate integration for stochastic processes, in:
Numerical integration IV, International Series on Numer. Math. (Birkhäuser, Basel, 1993), V. 112, p. 331–347.
[6] Wahba G. On the regression design problem of Sacks and Ylvisaker, Ann. Math. Statist. 42 (3), 1035–1043
(1971).
[7] Wahba G. Regression design for some equivalence classes of kernels, Ann. Statist. 2 (5), 925–934 (1974).
[8] Войтишек А.В., Каблукова Е.Г., Булгакова Т.Е. Использование спектральных моделей случайных полей при исследовании алгоритмов численного интегрирования, Вычис. технологии. 9 (специальный
выпуск), 50–61 (2004).
[9] Крамер Г., Лидбеттер М. Стационарные случайные процессы (Мир, М., 1969).
[10] Беляев Ю.К. Локальные свойства выборочных функций стационарных гауссовских процессов, Теор.
вероятн. и ее примен. 5 (1), 128–131 (1960).
[11] Булинский А.В., Ширяев А.Н. Теория случайных процессов (Физматлит, М., 2003).
[12] Васильев Н.И., Клоков Ю.А. Основы теории краевых задач обыкновенных дифференциальных уравнений (Зинатне, Рига, 1978).
[13] Розанов Ю.А. Стационарные случайные процессы (Физматгиз, М., 1963).
[14] Локуциевский О.В., Гавриков М.Б. Начала численного анализа (ТОО Янус, М., 1995).
Н.К. Бакиров
профессор, кафедра математики,
Уфимский государственный авиационный технический университет,
ул. К. Маркса, д. 12, г. Уфа, 450000
И.Р. Галлямов
студент 5-го курса, кафедра математики,
Уфимский государственный авиационный технический университет,
ул. К. Маркса, д. 12, г. Уфа, 450000,
e-mail: ilnur_pmi21@mail.ru
N.K. Bakirov
Professor, Chair of Mathematics,
Ufa State Aviation Technical University,
12 K. Marks str., Ufa, 450000 Russia
I.R. Gallyamov
Student, Chair of Mathematics,
Ufa State Aviation Technical University,
12 K. Marks str., Ufa, 450000 Russia,
e-mail: ilnur_pmi21@mail.ru
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
261 Кб
Теги
формула, сравнение, интегрированный, численного
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа