close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О стационарных точках конформного радиуса спиралеобразных областей.

код для вставкиСкачать
2004
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 4 (503)
УДК 517.546
В.П. МИККА
О СТАЦИОНАРНЫХ ТОЧКАХ КОНФОРМНОГО РАДИУСА
СПИРАЛЕОБРАЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ
В работах [1], [2] с помощью подчинений
i
;i
0
(0.1)
ei ff (()) e 1+;e f0 (; ; ; ); 2 (;=2; =2);
для регулярных в E = f : j j < 1g функций f ( ) = + a3 3 + a4 4 + при + i 2
= f(; ) 2 [;1; 1] [;1; 1] : + > 0g выделены подклассы звездообразных ( = 0) и
спиралеобразных функций с единственной критической точкой = 0 конформного радиуса
R(f (E ); f ( )) = jf 0( )j(1 ; j j2). Ниже эти результаты распространены на случай комплексного
параметра = jjei , jj 2 [0; 1], 2 (;; ], для регулярных функций
f ( ) = + an+1 n+1 + an+2 n+2 + : : : ; n 2:
(0.2)
Теорема 1, являясь неулучшаемой при n = 2, расширяет множество единственности на плоскости + i из [2]. Теоремы 1, 2 в случае n > 2 не являются точными, однако так называемые экстремальные функции показывают, что множество функций, для которых конформный радиус
области f (E ) имеет единственную стационарную точку = 0, не совпадает со всем подклассом
-спиралеобразных функций. В теореме 3 из [1] исключались функции f ( ), определяемые из
условия f 0( )=f ( ) = (1 + 2 )=(1 ; 2 ), когда + i 2 @G2=3 . Примененный в данной работе
метод оценок позволяет определить критические точки конформного радиуса для таких областей f (E ) (теорема 5), с помощью которых удается исследовать поведение решений внешней
обратной краевой задачи в случае неединственности (теорема 6).
1. Достаточные условия единственности критических точек конформного
радиуса в классе
-спиралеобразных
областей
Л.А. Аксентьев в [3] установил, что необходимое условие экстремума конформного радиуса
R(f (E ); f ( )) в E , записанное в виде
f 00 ( ) = 2 ;
f 0( ) 1 ; j j2
(1.1)
является уравнением Гахова в теории обратных краевых задач для аналитических функций.
При этом каждое решение = k этого уравнения входит как параметр в оператор
Af Fk ( ) =
Z
0
f 0(t)
1 ; k t 2 dt;
t ; k
(1.2)
дающий интегральное представление решения внешней обратной краевой задачи в постановке
Ф.Д. Гахова [4]. Здесь ln f 0( ) восстанавливается по краевым условиям и является функцией,
регулярной в E .
38
Теорема 1.
ограничения
Пусть регулярная функция (0:2) удовлетворяет условию (0:1) и выполнены
jj + njj=(n + 1) 1;
j + e;i2 j n=(n + 1):
(1.3)
(1.4)
Тогда конформный радиус f (E ) имеет единственную критическую точку = 0, если при равенстве в (1:4) и n = 2 исключить экстремальные области f (E ), где функции f ( ) определены
соотношением
f 0( )=f ( ) = (1 + e;i2 2 )=(1 ; 2 ):
Доказательство. Для функций (0.2) с подчинением (0.1) (напр., [5], с. 357) существует регулярная в E функция '( ) = bn n + bn+1 n+1 + , удовлетворяющая условию
f 0( )=f ( ) = [1 + e;i2 '( )]=[1 ; '( )]; j'( )j < 1:
Тогда в силу теорем 4, 5 ([5], с. 323) получим следующую цепь неравенств:
00
0
f ( ) f ( )
e;i2
'0( ) = ;
1
+
+
f 0 ( ) f ( )
1 + e;i2 '( ) 1 ; '( )
;i2
;i2 0 ( )j
( +1 ;e'()') ( ) + j1 +j(e;+i2e'( )j)j'
1 ; '( )j jn + j jnj jn;1(1 ; j'( )j)(1 + j'( )j) j + e;i2 j j1 ;j'
( )j (1 ; j j2n )j1 + e;i2 '( )j j1 ; '( )j
2
;i2 j j jn;2 (1 ; j j2 ) 1 ; j jn
2
j
j
j
+
e
2
1 ; j jn
j1 ; '( )j +
1 ; j j2
2
;i2 j
n
(1
;
j
'
j
)
+ j1 + e;i2 '( )jj1 ; '( )j 2j j 2 j + e
2
1 ; j j
j jn;2 + j jn;1 max 1 ; j'j +
n(1 ; j'j)
max
j j<1 1 + j j + + j jn;1 j'j<1 j1 ; 'j j1 + e;i2 'j j1 ; 'j
2
2
j
j
j + e;i2 j max (j j) max ('); (1.5)
2
j j<1 n
j'j<1 n
2
1 ; j j
в итоге совпадающую при n = 2 с соответствующей оценкой из [2]. Теперь для обоснования
теоремы 1 достаточно убедиться в справедливости следующих утверждений.
Лемма 1. Функция
tn;2 + tn;1
(
t
)
=
n
1 + t + t2 + + tn;1 2 [0; 2=n)
является монотонной при t 2 [0; 1) и n > 2.
Действительно, непосредственные вычисления показывают, что n0 (t) > 0 при n > 2 для всех
t 2 (0; 1).
Лемма 2. Пусть
; )
n () = 1 1;;jj + (1 ; jnj(1)(1
; jj)
и параметры , , n связаны неравенством (1:3). Тогда
max () = n (0) = n + 1:
2[0;1) n
39
(1.6)
Для вспомогательной функции
!n(jj; jj; ) = a0(jj; jj)2 + a1 (jj; jj) + a2 (jj; jj);
a0 (jj; jj) = jj(jj jj + njj ; jj); a1 (jj; jj) = jj[2 ; 2(n + 1)jj];
a2(jj; jj) = (n + 1)jj + njj ; n ; 1;
определяемой соотношением
j; ) ;
0n () = (1 ;!jnj(j)2j;(1j;
jj)2
Доказательство.
получим !n(jj; jj; 1) = (jj ; 1)(jj ; n ; 1)(jj ; 1) 0; !n (jj; jj; 0) = (n + 1)jj + njj ; n ; 1;
!n0 (jj; jj; 1) = 2jj(jj ; 1)(jj ; 1) 0; !n0 (jj; jj; 0) = 2 ; 2(n + 1)jj. Если a0(jj; jj) 0, то
при !n (jj; jj; 0) 0 справедливо (1.6), т. к. !n (jj; jj; 1) 0 при (jj; jj) 2 [0; 1] [0; 1]. Если
a0 (jj; jj) < 0, то условие (1.6) также будет выполнено, т. к. !n0 (jj; jj; 1) 0 на [0; 1] [0; 1], а
!n0 (jj; jj; 0) > 0 в силу того, что !n00 (jj; jj; ) = 2a0 (jj; jj) < 0. Значит, функция !n(jj; jj; )
является неубывающей по 2 (0; 1), поэтому из неравенства !n (jj; jj; 1) 0 следует (1.6).
Для завершения доказательства теоремы достаточно заметить, что n (') n (j'j) и n (0) =
n (0). Тогда оценка (1.5) при n > 2 примет вид
2
00 ff 0(()) < 2j j 2 j + e;i2 j(n + 1)=n:
(1.7)
1 ; j j
Значит, при j + e;i2 j(n + 1)=n 1 уравнение (1.1) имеет единственное решение = 0.
Отметим, что экстремальные функции, связанные с применением теорем 4, 5 (см. [5], с. 323),
удовлетворяют соотношению
f 0( )=f ( ) = (1 + e;i2 n)=(1 ; n):
(1.8)
Для этих функций уравнение (1.1) будет иметь единственное решение даже при равенстве в
(1.4) и n > 2. Если n = 2, то в (1.7) будет нестрогое неравенство, поэтому при выполнении
равенства в (1.4) нужно исключить экстремальные функции, определяемые (1.8).
Условие (0.1), вообще говоря, выводит f ( ) из класса -спиралеобразных функций, т. к.
f0 (; ; ; E ) = fw : jw ; aj < Rg, где a = [ei + e;i ]=(1 ; 2 ), R = jei + e;i j=(1 ; 2 ),
принадлежат полуплоскости Re w > 0 тогда и только тогда, когда
q
cos + jj cos( ; ) ; 2 + j2 j + 2jj cos( ; 2 ) > 0:
(1.9)
Покажем, что при специальном выборе
= ( cos ; i sin )ei ; + i 2 ;
(1.10)
т. е. = cei2 в обозначениях из [2], условие (1.9) будет выполнено для каждого . Действительно,
в этом случае a = (1 + ) cos =(1 ; 2 ) + i, R = ( + ) cos =(1 ; 2 ), поэтому Re a ; R =
(1 ; ) cos =(1 + ) 0. В работе [2] при таких и n = 2 было получено достаточное условие
единственности решения уравнения Гахова при более жестком ограничении jj + jj 1, чем
(1.3).
Взяв призму = f(; ; ) 2 [;1; 1] [;1; 1] (;=2; =2) : + > 0g, можно описать
множества En , Tn , удовлетворяющие ограничениям (1.3), (1.4), когда параметр задан соотношением (1.10). Тогда неравенства (1.3), (1.4) примут
вид (n + 1)jj + nj cos ; i sin j n + 1, ( + ) cos n=(n + 1). Множество Tn = (; ) 2 [;1; 1] [;1; 1] : + > 0,
( + ) cos n=(n + 1) представляет трапецию в сечении плоскостью = const, если
2 (;; ), = arccos[n=[2(n + 1)]], и является треугольником , если 2 (;=2; ; ] [ [; =2).
Граница множества En = f(; ) 2 [;1; 1][;1; 1] : + > 0, (n+1)jj+nj cos ;i sin j n+1g
40
содержит ветви гиперболы при фиксированных n, , ибо это ограничение равносильно неравенству
2
2
2 cos2 )2
2 cos2 (1 + 2n + n2 cos2 ) 1
jj ; 1 + 2(nn++n1)2 cos2 (1(+n 2+n1)+2 nn2 sin
;
2
(n + 1)2 sin2 в треугольнике . Обратим внимание на то, что соответствующие ветви гипербол при всех пересекают сторону + = 0 в точках (n + 1)(1 ; i)=(2n + 1) и (n + 1)(;1 + i)=(2n + 1), а сечение
E0n есть пятиугольник с вершинами в точках (n +1)(1 ; i)=(2n +1), 1, 1=(1+ n)+ i, ;1=(n +1)+ i,
(n + 1)(;1 + i)=(2n + 1). Таким образом, в случае = 0 и n 2 теорема 1 не дает возможности
описывать подкласс
единственности решения уравнения Гахова, когда + i принадлежит либо
треугольнику (1)
с
вершинами
в точках 1 ; i, 1, (n +1)(1 ; i)=(2n +1), либо треугольнику (2)
1
3 с
вершинами в точках ;1+ i, (n +1)(;1+ i)=(2n +1), ;1=(n +1)+ i. Соответствующие исследования
при n = 2 проведены в [1], и эти результаты можно распространить на случай n > 2.
Лемма 3. Пусть + i 2 и
; j'j + n(1 ; j'j) :
n(') = j11 ;
'j j1 ; 'j j1 + 'j
Тогда линиями уровня функции (+ ) max
(')=n=m являются прямые линии (+ )(n+1) =
j'j<1 n
mn, m 2 (0; 2(n + 1)=n], если + i принадлежат пятиугольнику с вершинами в точках
(n + 1)(1 ; i)=(2n + 1), 1, 1 + i, ;1=(n + 1) + i, (n + 1)(;1 + i)=(2n + 1);
кривые Lnm с уравнением
2
+ 2n2 m + n2 m2 ;
= ; (n +(1n ++ 1)+2 ; )2(1;+2(1 )(+n+)nm
1)nm ; 2n2 m + n2 m2
m 2 (0; (n + 1)=n), если + i 2 (1)
1 ;
кривые Lnm с уравнением
2
n(1 ; )m ; 2n2 m + n2 m2 ;
= ; (n +(1n ;+ 1);2 + )2n+(n2+
1)(1 ; )m ; 2n2 m + n2 m2
m 2 (0; 1), если + i 2 (2)
3 .
Для доказательства достаточно воспользоваться тем, что множество точек f' : j1 ; 'j j1 +
'j = a2 ; constg является овалом Кассини [6] с фокусами в точках ' = 1=, ' = ;1= , поэтому
min j1 ; ei j j1 + ei j = (1 ; )(1 + ), если + i 2 1 = f(; ) 2 : 0, < 0g или
2(;;]
+ i 2 (1)
2 = f(; ) 2 : 0, 0, ; 0g. В случае, когда + i 2 3 = f(; ) 2 :
< 0, 0g, справедливо равенство 2min
j1 ; ei j j1 + ei j = (1 + )(1 ; ).
(;;]
Таким образом,
n(1 ; )
i ) = 1 ; +
i0
max
(
e
n
2(;;]
1 ; (1 ; )(1 + ) n (e );
если + i 2 1 [ (1)
2 ,и
+ n(1 ; )
i
max (ei ) = 11+;
2(;;] n
(1 + )(1 ; ) n(e );
если + i 2 3 , а при + i 2 (2)
2 = f(; ) 2 : 0, > 0, ; > 0g достаточно найти
наибольшее значение мажоранты
; j Re 'j +
n(1 ; j Re 'j)
n (Re ') = 11 ;
Re ' (1 ; Re ')(1 + Re ') n('); j'j < 1:
41
Тогда, повторив обоснование теоремы 2 из [1], проведенное для 2 (Re '), получим требуемое. Введем, как и в [1], множество Gnm из , ограниченное кривыми Lnm , Lnm и прямыми + = 0,
( + )(n + 1) = mn, если m 2 (0; 1); прямыми + = 0, = 1, ( + )(n + 1) = mn и кривой
Lnm, если m 2 [1; (n + 1)=n); прямыми + = 0, = 1, ( + )(n + 1) = mn, = 1, если
m 2 [(n + 1)=n; 2(n + 1)=n].
Теорема 2. Для функций (0:2), удовлетворяющих подчинению
f 0( )=f ( ) (1 + )=(1 ; )
(1.11)
при + i 2 Gn1 , n > 2, уравнение (1:1) имеет единственное решение.
n
Доказательство. Действительно, в оценке (1.5) при + i 2 G1 и n > 2 в силу лемм 1, 3
имеет место строгое неравенство
jf 00( )=f 0 ( )j < 2j j2 =(1 ; j j2 ); 2 E n f0g;
поэтому уравнение (1.1) имеет единственное решение = 0.
2. О числе решений уравнения Гахова для экстремальных функций
Для функций
f;; ( ) = (1 ; n ) ; = ;(e;i2 + )=(n);
(2.1)
определяемых из (1.8), уравнение (1.1) примет вид
ne;i n cos + e;i n cos = 2j j2 ;
1 + e;i n cos 1 ; j j2
если задано равенством (1.10) и ! 0. Поэтому решениями последнего уравнения могут быть
либо = exp i +2nk , либо = exp i +(2nk+1) . Тогда для определения параметра получим
одно из соотношений:
n cos (n + 1 + n cos ) = 22 ;
(2.2)
1 + n cos 1 ; 2
n cos (n cos ; n ; 1) = 22 :
1 ; n cos 1 ; 2
Последнее уравнение может иметь только одно решение = 0, т. к. его левая часть отрицательна
в призме при 2 2 (0; 1) в силу условия > 0 при = 0.
Покажем, что уравнение (2.2) имеет три решения при n = 2 и условии 2 [; arccos(2=3),
arccos(2=3)], равносильном принадлежности 2 [2=(3 cos ); 1], и что = 0 является единственным корнем, если n 3 и 2 [; arccos[n=(n + 1)]; arccos[n=(n + 1)]], т. е. 2 [n=[(n + 1) cos ]; 1].
Действительно, при n = 2 уравнение (2.2) равносильно 2 !2 (0; ; ; 2 ) = 0 с !2 (0; ; ; 2 ) =
2
; cos2 4 + cos ( cos ; 5)2 + 3 cos ; 2, а для функции !2(0; ; ; t) справедливы неравенства !2 (0; ; ; 0) = 3 cos ; 2 0; !2(0; ; ; 1) = ;2( cos + 1) < 0. Поэтому уравнение
!2 (0; ; ; t) = 0 имеет решение
q
t = ( cos ; 5 + ( cos + 1)2 + 16)=(2 cos ) 2 (0; 1);
когда 2 (2=(3 cos ); 1] и 2 [; arccos(2=3); arccos(2=3)].
Соотношение (2.2) при n 3 перепишем в виде n !n (0; ; ; ) = 0, где !n (0; ; ; ) =
2 cos2 2n;2 (1 ; 2) + (n + 1)n;2 (1 ; 2 ) cos ; 2 ; 2n cos .
Лемма 4. Функция !n (0; ; ; ) является отрицательной при всех 2 (0; 1), 2 (0; 1) и
2 (;=2; =2).
42
Действительно, функции
'1(n) = max
[2n;2 (1 ; 2 )] = n;1 (1 ; 1=n)n;1 ;
2(0;1)
Доказательство.
'2(n) = max
[(n + 1)n;2 (1 ; 2 )] = 2(1 + 1=n)(1 ; 2=n)(n;2)=2
2(0;1)
монотонно убывают при n 3, ибо положительные множители 1=n, 1+1=n монотонно убывают,
а логарифмические производные вторых множителей будут иметь вид
[(n ; 1) ln(1 ; 1=n)]0n = ln(1 ; 1=n) + 1=n < 0;
[(n=2 ; 1) ln(1 ; 2=n)]0n = (1=2) ln(1 ; 2=n) + 1=n < 0:
Таким образом, max
' (n) = '1 (3), max
' (n) = '2 (3). Тогда !n (0; ; ; ) 2 '1 (n) cos2 +
n3 1
n3 2
'2 (n) cos ;2;2n cos 2 cos2 max
' (n)+ cos max
' (n);2;2 cos n = 2 '1 (3) cos2 +
n3 1
n3 2
'2 (3) cos ; 2 ; 2n cos ;0;25 ; 2 cos n < 0, когда 2 (0; 1).
Теперь ясно, что уравнение (2.2) при n 3 имеет единственное решение = 0. Сформулируем
полученный результат.
Теорема 3. Для функций
f0;; ( ) = expf cos e;i n=ng
уравнение (1:1) имеет три разных решения :
r
q
0 = 0; 1;2 = ( cos ; 5 + ( cos + 1)2 + 16)=(2 cos );
если n = 2, 2 (2=(3 cos ); 1], 2 [; arccos(2=3); arccos(2=3)], и = 0 является единственным
решением (1:1) при n 3, 2 (0; 1), 2 (;=2; =2).
Теперь исследуем вопрос о числе корней уравнения (1.1) для функций (2.1) при = 0,
+ i 2 . Для определения решений (1.1) получим одно из соотношений:
nn + ( + + n)n = 22 ;
(2.3)
1 + n
1 ; n
1 ; 2
;nn ; ( + + n)n = 22 ;
(2.4)
1 ; n
1 + n
1 ; 2
если
f;;0( ) = (1 ; n );(+)=(n):
(2.10 )
Левая часть уравнения (2.4) отрицательна при 2 (0; 1), поэтому = 0 является единственным его корнем. Уравнение (2.3) преобразуем к виду !n (; ; 0; ) = 0, где !n (; ; 0; ) =
( ; )2n + ( + )2n;2 ; [(n ; 1) + (n + 3) ]n + (n + 1)( + )n;2 ; 2 удовлетворяет
следующим двум условиям: !n (; ; 0; 0) = ;2 < 0; !n (; ; 0; 1) = 2( + 1)( ; 1) < 0, поэтому
вопрос о наличии корней уравнения !n (; ; 0; ) = 0 на интервале (0,1) остается открытым.
Дополнительно
предположим, что = 0, и из уравнения !n0 (; 0; 0; ) = 0 найдем корни 1 = 0,
p
2 = 1 ; 2=[n(n ; 1)]. Значит,
n=2
2
(
n
;
1)
2
max ! (; 0; 0; ) = !n (; 0; 0; 2 ) = n ; 2 1 ; n(n ; 1)
; 2:
2(0;1) n
Из условия !n(; 0; 0; 2 ) = 0 определим
n = (1 ; 1=(n ; 1))f1 ; 2=[n(n ; 1)]g;n=2 2 (0; 1);
(2.5)
43
поэтому при 2 (n ; 1) уравнение !n (; 0; 0; ) = 0 имеет два разных решения на (0; 1); при
= n имеет единственное решение и не имеет корней, когда 2 (0; n ).
Таким образом, доказана
0
Теорема 4. Уравнение Гахова для функций f;0;0 ( ) из (2:1 ) имеет n + 1 корней :
q
0 = 0; k = 1 ; 2=[n(n ; 1)]ei2k=n ; k = 0; n ; 1;
если = n ; 2n + 1 корней, если 2 (n ; 1); единственный корень 0 = 0, если 2 (0; n ), где
n вычисляется по формуле (2:5).
Теорема 2 при n = 2 совпадает с основными утверждениями из [1], если при + i 2 @G21
исключить экстремальные функции
f; ( ) = (1 ; 2 );(+)=(2);
(2.100 )
когда + i 2 n G21 , где G21 | открытая трапеция с одной криволинейной боковой стороной
( + 1)2 + 16 ; 2 (;1; ;1=5)
L21 = (; ) 2 (1)
:
=
;
1
( ; 7)2 ; 48
и с вершинами в точках ;1 + i, ;1=3 + i, 13=15 ; i=5, 1 ; i.
Пусть + i 2 (;1 + i; 1 + i]. Тогда f;0 1 ( ) = (1 + 2 )(1 ; 2 );(1+3)=(2) имеет нули первого порядка в точках = i. Значит, образ единичной окружности в точках f;1(i) имеет
внутренние углы, равные 2. Непосредственно можно показать, что образы дуг (;i; i) и (i; ;i)
единичной окружности переходят в выпуклые кривые, т. е. вариация угла наклона касательной
к образу Г= f (@E ) равняется 6.
Решениями уравнения (1.1), эквивалентного уравнению
22 + (1 + 3)2 = 22 ;
1 + 2
1 ; 2
1 ; 2
являются = 0, когда 2 (;1; ;1=3] и
r
q
0 = 0; 1;2 = (;2 + (1 + )(5 ; 3))=(1 ; );
(2.6)
т. к. (1 + )(5 ; 3) 2 (4; 16=3] при 2 (;1=3; 1). Для функции f1;0;1( ) = =(1 ; 2) уравнение
(1.1) имеет единственное решение = 0.
При + i 2 (;1=3 + i; 13=15 ; i=5) для функции f;2=3; ( ) = (1 ; 2 );1=(3) уравнение
(1.1) будет равносильно соотношению 4 [2 (;22 + 2 ; 4=9) + (10=3) ; (26=9)] = 0, имеющему
единственное решение = 0, если 2 (;1=3; 13=15], и три решения:
s
; 13 2 (;1; 1); 2 (13=15; 1):
(2.7)
0 = 0 = 0; 1;2 = 1 = (3 15
; 1)(3 ; 2)
Если + i 2 0 = f(; ) 2 : + > 2=3g, то (1.1) для экстремальных функций (2:10 )
при n = 2 будет равносильно уравнению 2 !2 (; ; 0; ) = 0, где !2 (; ; 0; ) = 4 ( ; 2 ) +
2 ( + 2 ; ; 5 ) + 3( + ) ; 2 удовлетворяют неравенствам !2(; ; 0; 0) = 3( + ) ; 2 > 0;
!2 (; ; 0; 1) = 2(1 + )( ; 1) 0. Тогда уравнение (1.1) для функций (2:10 ) при + i 2 0 и
n = 2 имеет три разных решения:
p
q
где
0 = 0; 1;2 = (;( + 2 ; ; 5 ) ; D)=(2 ( ; ));
(2.8)
D = ( + )[( 2 ; 14 + 1) + 3 + 2 2 + 17 ]:
(2.9)
44
Если теперь + < 2=3, то для функции !2 (; ; 0; ) будут выполнены неравенства
!2 (; ; 0; 0) = 3( + ) ; 2 < 0; !2(; ; 0; 1) = 2(1 + )( ; 1) < 0 при 6= 1, поэтому вопрос о существовании и числе решений уравнения !2 (; ; 0; ) = 0 на интервале(0; 1) открыт.
Для производной !20 (; ; 0; ) имеют место соотношения
!20 (; ; 0; 0) = + 2 ; ; 5 > 0; !20 (; ; 0; 1) = 3 ; 2 ; ; 5 < 0:
Первое неравенство есть следствие того, что кривая с уравнением + 2 ;p ; 5 = 0 является дугой гиперболы, проходящей через точки 0 + i0, 13=15 ; i=5, 1 + (2 ; 5)i, поэтому при
2 (13=15; 1) она принадлежит области 0 , т. е. сохраняется знак !20 (; ; 0; 0) в
2 + 16
(
+
1)
2
;
G1 = (; ) 2 : + < 2=3; > ; ( ; 7)2 ; 48 ; 6= 1 :
(2.10)
Аналогично, кривая с уравнением 3 ; 2 ; ; 5 = 0, являясь дугой гиперболы, проходит
через точки 0 + i0, 3=5 ; i=5, 1 ; i и пересекает кривую L21 в точках 0 + i0, 1 ; i, 3 + 3i, тем самым
знак !20 (; ; 0; 1) в G21; сохраняется.
Таким образом, кривая ! = !2 (; ; 0; ) либо пересекает интервал (0; 1) в двух точках, либо
касается этого интервала, либо не пересекает его.
Из (2:8) следует, что касание кривой ! = !2 (; ; 0; ) равносильно условию D = 0, а это
означает, что на кривой L21 уравнение (1.1) для функций (2:10 ) имеет три различных решения:
q
0 = 0; 1;2 = ;( + 2 ; ; 5 )=(2 ( ; )):
Если + i 2 G21; , то D > 0 и для этих функций получим пять разных корней:
p
q
0 = 0; 1;2 = (;( + 2 ; ; 5 ) ; D)=(2 ( ; ));
q
p
3;4 = (;( + 2 ; ; 5 ) + D)=(2 ( ; ));
(2.11)
(2.12)
где D задано соотношением (2.9).
Отдельно остановимся на случае + i 2 (1 ; i; 1 + i]. Тогда функции семейства (2:10 ) при
n = 2 примут вид f ( ) = (1 ; 2);(1+)=2 , 2 (;1; 1].
Образом f (E ) является область, ограниченная двусимметричным контуром,
p имеющим в
5; 1], с точками
f (i) = 1 ;два равных
угла
с
величиной
(1
+
)
=
2,
вогнутым,
когда
2
[2
;
p
;
перегиба f ei1 , f ei(;1 ) , когда 2 (;1; 2 ; 5), где 1 = 1=2 arccos[(1 + 2 ; 2 )=(2 )].
Уравнение (1.1) будет равносильно соотношению 2 [2 ( 2 ; ) + 1 + 3 ] = 0, поэтому критическими точками конформного радиуса являются
s
(2.13)
= 0; = 1 + 3 при 2 (;1; ;1=3);
1;2
; 2
и единственная точка 0 = 0, если 2 [;1=3; 1]. Тем самым доказана
00
Теорема 5. Для экстремальных функций (2:1 ) конформный радиус имеет единственную
стационарную точку 0 = 0, если
+ i 2 (;1 + i; ;1=3 + i] [ (;1=3 + i; 13=15 ; i=5] [ [1 ; i=3; 1 + i];
0
стационарными будут
три точки (2:8), если + i 2 0 ;
три точки (2:7), если + i 2 (13=15 ; i=5; 1 ; i=3);
три точки (2:11), если + i 2 L21 ;
три точки (2:13), если + i 2 (1 ; i; 1 ; i=3);
три точки (2:6), если + i 2 (;1=3 + i; 1 + i);
пять точек (2:12), если + i 2 G21; .
45
Здесь 0 = f(; ) 2 : + > 2=3g.
В качестве следствия этого утверждения сформулируем уточнение теоремы 3 из [1].
0
2
2
Теорема 2 . Если в подчинении (1:11) + i 2 G1 n L1 , то конформный радиус областей
f (E ) имеет единственную критическую точку = 0, а при + i 2 L21 для областей f; (E ),
где f; ( ) заданы соотношением (2:100 ), стационарные точки будут иметь вид (2:11).
Отметим, что так же, как и в [7], [8], можно исследовать поведение конформного радиуса
экстремальных областей в окрестности критических точек. Например, = 0 является точкой
максимума при +i 2 (;1+i; ;1=3+i], 1 и 2 из (2.6) есть точки максимума и = 0 | седловая
точка поверхности конформного радиуса R(f;1 (E ); f;1 ( )), если + i 2 (;1=3 + i; 1 + i).
3. Свойства решений обратной краевой задачи в случае неединственности
Пусть регулярные функции f;1 ( ), 2 [;1; 1], заданы соотношением (2:100 ),
а параметры = k , k = 0; 1; 2, для z = Fk ( ), имеющей вид (1:2), определены (2:6) при
2 (;1=3; 1).
Тогда справедливы следующие утверждения.
1. Контуры ;;k = Fk (ei ), 2 (;; ], конечной длины имеют две угловые точки на оси
симметрии с внешними углами, равными 2.
2. Двусимметричный, осесимметричный контур ;;0 является
а) простым, если 2 [;1; ;1=3),
б) разрезом по отрезку [;2i; 2i] при = ;1=3,
в) самопересекающимся, если 2 (;1=3; 1),
г) имеет четыре точки перегиба zj = F0 (ei ), где j = 0;5 arccos + j 2 (;; ], а
вращение
(3.1)
a(;;0 ) = 4 2 ; 1 +3 arctg p 2
1;
стремится к 6 при ! ;1.
3. Контуры ;;0 и ;;1 будут существенно разными.
Доказательство. 1. Свойство 1 есть следствие того, что функция
Fk0 ( ) = (1 + 2)(1 ; 2 );(1+3)=(2) (1 ; k )2 =( ; k )2;
отличная от нуля в E , имеет нули 1-го порядка в точках = i и
Теорема 6.
j
l(;;k ) =
Z
;
j1 + ei2 j j1 ; ei2 j;(1+3)=(2) d < 1;
т. к. подинтегральная функция принимает конечные значения при 2 (;1; 1). Параметры функций Fk0 ( ) вещественные, поэтому контуры ;;k осесимметричны, а
F00 ( ) = ;2(1 + 2 )(1 ; 2 );(1+3)=(2)
(3.2)
порождает двусимметричный контур ;;0 .
2. Угол наклона касательной к контуру ;;0
(
;;0 = () + =2; 2 (;=2; =2);
() + 3=2; 2 (;; ;=2) [ (=2; );
sin 2
0
где () = 1+3
2 arctg 1; cos 2 , и точки перегиба находятся из условия ( ) = 0, т. е.
;
(1 + 3)(cos 2 ; ) = 0, поэтому для a(;0 ) получим соотношение (3.1), т. е. утверждение 2г)
доказано.
Для обоснования свойства 2а) используется
46
Пусть при n = 2 коэффициенты c;1 ; cn;1 ; c2n;1 ; : : : функции
F0 ( ) = c;1= + cn;1 n;1 + c2n;1 2n;1 + ;
(3.3)
регулярной в E n f0g и непрерывной вплоть до единичной окружности, вещественные, а
F0 (1) > 0, F0 (;1) < 0 | угловые точки контура ;;0 = F0 (ei ) с внешними углами 2, 2 [0; 1].
Если Im F0 (ei ) = 0 только при = 0, = и
Лемма 5.
Z
a(;;) =
0
;
d arg dF0
(ei ) =
Z
;
(
d;;0 = ;2;
; 1); 2 [1=2; 1];
jd arg dF0 (ei )j 22(4
(3 ; 4); 2 [0; 1=2);
;
Z
(3.4)
(3.5)
то z = F0 ( ) будет однолистной в E .
Действительно, если связные симметричные составляющие ;0 , ;00 контура ;;0 простые, то
в силу теоремы 1 из [9], [10] функция F0 ( ) будет однолистной в E . Предположим, что ;0 , ;00
непростые. Тогда в силу (3.4) существуют \петли" ;0 ;0 , ;00 ;00 (напр., [11]), где
изм ;0 () = изм ;00 () < ;;
поэтому
углы наклона касательной в начальной точке z0+ = F (ei0 ) и в конечной точке z0; =
00
F (ei ) \петли" отличаются на величину, меньшую чем ;. Таким образом, функция ;;0 ()
удовлетворяет следующим условиям: ;;0 (0) = =2, ;;0 (+0) = , ;;0 (0 ) = 1 , ;;0 (00 ) =
2 > 1 + , ;;0 ( ; 0) = 2 ; , ;;0 () = 3=2.
Пусть 1=2 и 1 . Тогда 2 > 1 + 2 ; и
1 a(;; ) = V [; 0 ()] min ; + ( ; 2 + ) + 3 ; 2 + >
;
2
2
0
1 2 0
2
2
2 >1 +
> min
[2 + 2 ; ] 4 ; :
1
1
Если 1 < , 1 > ; , то 2 > 2 ; и
1 a(;; ) = V [; 0 ()] min ; + ( ; ) +
;
1
0
1 >;
2 0
2
1 <
+ (2 ; 1 ) + (2 ; 2 + ) + 32 ; 2 + =
= 2 >
min
[4 + 2(2 ; 1 ) ; 3] > 4 ; :
1 +
В случае, когда 1 < , 2 2 ; , имеем
1 a(;; ) = V [; 0 ()] min ; + ( ; ) +
;
1
0
1 <
2 0
2
2 2;
+ (2 ; 1 ) + (2 ; ; 2 ) + 32 ; 2 + 1 <
min;[2 ; 21 + ] > 4 ; :
Полученные неравенства противоречат первому ограничению из (3.5), значит, наше предположение было неверным. Аналогичные рассуждения позволяют доказать однолистность F ( ) в
E при выполнении второго ограничения в (3.5). Отметим, что данное утверждение является дополнением к исследованиям из [12], где однолистность функций (3.3) при n 3 обеспечивается с помощью a(;;0 ) 2(n ; 1).
В лемме 5 условие Im F0 (ei ) = 0 только при = 0, = можно заменить на неравенство
Im F0 (i) < 0, если контур ;;0 имеет только четыре точки перегиба. Для функций (1.2), когда
47
F00 ( ) из (3.2), это ограничение примет вид F0(1) < 0, а F0 (1) = 0 при = ;1=3, поэтому свойства
2a) и 2б) будут выполнены.
Для обоснования утверждений 2в) и 3 необходима
Лемма 6. Пусть F1 ( ) задано соотношением (1:2) и
F1 ( (!)) = ;1=! + a1 ! + 2;1 a2 !2 + ;
где (!) = (! + 1 )=(1 + 1 !), = 1 является решением уравнения Гахова для регулярной в E
функции f ( ). Тогда
2 2
00 ( )
1
(1
;
j
f
1j )
2
0
f
f;
g
;
2
f
f;
g
:
(3.6)
a1 = 2! (1 ; j1 j )ff (1 ); 1 g; a2 =
0
3!
f ( )
=1
Здесь
000 ( ) 3 f 00 ( ) 2
f
ff ( ); g = f 0( ) ; 2 f 0( )
| производная Шварца функции f ( ).
Действительно, при замене ( ; 1 )=(1 ; 1 ) = ! в (1.2) для соотношения
F10 ( (!)) = 1 + a + a ! + 0
f (1 )(1 ; j1 j2 ) !2 1 2
получим
000
00 (1 )
2 f
)
1
f
(
6
6(
1)
1
1
2
a1 = 2! (1 ; j1j ) f 0( ) ; (1 ; j j2 )f 0 ( ) + (1 ; j j2 )2 =
1
1
1
1
000
00
2
00
2 = 2!1 (1 ; j1 j2 ) ff 0 ((1)) ; 3 ff 0 ((1)) + 32 ff 0((1)) = 2!1 (1 ; j1 j2 )ff (1 ); 1 g;
1
1
1
если = 1 | корень уравнения (1.1).
Аналог данного соотношения впервые был получен в [13] и применен при обосновании гипотезы М.Т. Нужина о существовании неоднолистных решений в случае неединственности решения
обратной краевой задачи ([14], с. 55).
Eсли 1 является решением уравнения Гахова, то
(IV)
000
a2 = 3!(1 ;1 j j2) f f 0 (()1 ) (1 ; j1 j2 )3 ; 12 ff 0((1)) 1 (1 ; j1 j2 )2 +
1
1
1
000 (1 )
2 )2 f (IV) ( )
f
(1
;
j
j
f 000 (1 ) f 00 (1 ) +
3
1
1
+36( 1 )2 f 0( ) (1 ; j1 j2 ) ; 24 1 =
;
6
3!
f 0(1 )
f 0(1 ) f 0(1 )
1
00
2
00
3 +9 ff 0((1)) ; 3 ff 0((1)) :
1
1
Тогда, учитывая равенство
00
3
IV
000
00
ff; g0 = ff 0(()) ; 4 f (f(0()f))(2 ) + 3 ff 0(()) ;
получим (3.6). Непосредственный подсчет коэффициента a1 для функции F0 ( ) показывает, что ja1 j > 1 при
2 (;1=3; 1), поэтому имеет место 2в) в силу внешней теоремы площадей [5].
3. Осесимметричный контур ;;1 не является двусимметричным, ибо a2 6= 0 при = 1 ,
определяемом соотношением (2.6), значит, контуры ;;0 , ;;1 существенно разные.
Автор искренне благодарит проф. Л.А. Аксентьева за постоянное внимание к исследованиям
и проф. А.М. Елизарова за неоценимую помощь при оформлении результатов.
48
Литература
1. Аксентьев Л.А., Казанцев А.В., Попов Н.И. О теоремах единственности для внешней
обратной краевой задачи в подклассах однолистных функций// Изв. вузов. Математика.
{ 1998. { Є 8. { C. 3{13.
2. Аксентьев Л.А., Микка В.П. О поведении конформного радиуса в подклассах однолистных
областей // Изв. вузов. Математика. { 2001. { Є 8. { C. 20{28.
3. Аксентьев Л.А. Связь внешней обратной краевой задачи с внутренним радиусом области
// Изв. вузов. Математика. { 1984. { Є 2. { C. 3{11.
4. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. { 3-е изд.{ М.: Наука, 1977. { 640 c.
5. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. { 2-e изд. { М.:
Наука, 1966. { 628 с.
6. Савелов А.А. Плоские кривые. { М.: Физматгиз, 1960. { 293 с.
7. Krzyz J.G. Some remarks on the maxima of inner conformal radius // Ann. Univ. M. CurieSklodowska. Sec. A. { 1992. { V. 46. { P. 57{61.
8. Kuhnau R. Maxima beim konformen Radius einfach zusammenhangender Gebiete // Ann. Univ.
M. Curie-Sklodowska. Sec. A. { 1992. { V. 46. { P. 63-73.
9. Аксентьев Л.А. Применение принципа аргумента к исследованию условий однолистности. I
// Изв. вузов. Математика. { 1968. { Є 12. { C. 3{15.
10. Аксентьев Л.А. Применение принципа аргумента к исследованию условий однолистности. II // Изв. вузов. Математика. { 1969. { Є 3. { C. 3{15.
11. Umezawa T. On the theory of univalent functions// T^ohoku Math. J. { 1955. { V. 5. { Є 3. {
P. 218{228.
12. Микка В.П. Два достаточных условия однолистности аналитических функций // Матем.
заметки. { 1976. { T.19. { Є 3. { C. 331{346.
13. Киселев А.В. Геометрические свойства решений внешней обратной краевой задачи // Изв.
вузов. Математика. { 1992. { Є 7. { C. 20{25.
14. Тумашев Г.Г., Нужин М.Т. Обратные краевые задачи и их приложения. { 2-е изд. { Казань:
Изд-во Казанск. ун-та, 1965. { 333 c.
Марийский государственный
университет
Поступили
первый вариант 12:03:2002
окончательынй вариант 12:03:2004
49
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
224 Кб
Теги
точка, конформной, областей, стационарный, радиус, спиралеобразного
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа