close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О строении полных многообразий над алгебрами Вейля.

код для вставкиСкачать
2003
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 11 (498)
УДК 514.763
В.В. ШУРЫГИН
О СТРОЕНИИ ПОЛНЫХ МНОГООБРАЗИЙ НАД АЛГЕБРАМИ ВЕЙЛЯ
В работе дается описание строения полного многообразия MnA над алгеброй Вейля A в терминах его псевдогрупп голономии.
1. Введение
Гладким многообразием над коммутативной ассоциативной алгеброй A (A-гладким многообразием) называется вещественное гладкое многообразие, снабженное атласом, карты которого принимают значения в фиксированном A-модуле L, а функции склейки h h; 1 являются
A-гладкими отображениями. A-гладкое многообразие, моделируемое A-модулем An =A A
(n сомножителей), называется n-мерным A-гладким многообразием.
Геометрия конечномерных многообразий над алгебрами изучалась многими авторами (см.,
напр., [1]{[4]). Различного типа многообразия над алгебрами изучались также в случае, когда
либо многообразие, либо алгебра являются бесконечномерными (см., напр., [5]{[7]).
А.П. Широковым было обнаружено [1], что естественные структуры гладких многообразий
над алгебрами Вейля возникают на расслоениях Вейля T A Mn [8], [9], определенных для произвольной алгебры Вейля A и произвольного гладкого многообразия Mn . Различным вопросам
геометрии расслоений Вейля посвящены работы [10]{[13] и др. (см., напр., списки литературы в
[9], [1], [4]).
Структуры гладких многообразий над алгебрами можно ввести на торах и цилиндрах, многообразиях Хопфа, расслоениях реперов высших порядков, фактормногообразиях расслоений
Вейля [14].
Пусть MnA | n-мерное гладкое многообразие над алгеброй Вейля A. Всякий идеал I алгебры
A порождает вполне интегрируемое распределение
на MnA и соответствующее каноническое
слоение
F I. В частности, максимальный идеал A алгебры A порождает каноническое слоение
F на MnA. В случае расслоения Вейля T AMn вещественного гладкого многообразия Mn слои
слоений F и F I совпадают соответственно со слоями расслоений T A Mn ! Mn и T A Mn !
T A=IMn . Слои слоения F I несут на себе естественные структуры (X; G)-многообразий в смысле
У. Терстона [15], где X = In , а G = Dn (I) | некоторая полиномиальная группа Ли (см. x 2), и,
таким образом, слоение F I принадлежит классу так называемых тангенциальных (X; G)-слоений [16].
Для каждого слоя LIX слоения F I определены следующие два представления голономии:
представление ростковой голономии слоя LIX как слоя слоения [17] и представление голономии LIX как (X; G)-многообразия [15], [18]. Распространение ростка локальной An -карты на
MnA вдоль слоя LIX дает еще одно представление голономии, которое определяет оба из вышеуказанных представлений [14]. Слоение F I называется полным, если все его слои являются
полными (X; G)-многообразиями. A-гладкое многообразие MnA называется полным, если все
слои слоения F являются полными. В этой работе определяется псевдогруппа голономии ;(')
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант Є 00-01-00308).
88
для погруженной трансверсали ' : Wn ! MnA , состоящая из локальных A-диффеоморфизмов
расслоения T A Wn , и доказывается (теорема 2), что полное многообразие MnA A-диффеоморфно
многообразию T A Wn =;(').
Для алгебры R(") дуальных чисел a + b", "2 = 0, понятие структуры R(")-гладкого многообразия эквивалентно понятию интегрируемой почти касательной структуры. Глобальная теория интегрируемых почти касательных структур и проблема эквивалентности такой структуры
канонической почти касательной структуре некоторого касательного расслоения изучались в
[19]{[23]. В [20] показано, что в случае, когда каноническое слоение на многообразии M с интегрируемой почти касательной структурой задается субмерсией, а его слои являются полными и
односвязными аффинными многообразиями, почти касательная структура на M эквивалентна
стандартной почти касательной структуре некоторого касательного расслоения. В данной работе этот результат следующим образом обобщается на случай A-гладкого многообразия MnA
(теорема 3): если многообразие MnA полно, а слоение F задается субмерсией p : MnA ! Mn с
односвязными слоями, то MnA A-диффеоморфно расслоению Вейля T A Mn . Обобщением дру
гого результата из [20] является теорема 4, утверждающая, что в случае, когда слоение F на
полном A-гладком многообразии MnA задается субмерсией p : MnA ! Mn , допускающей сечение
s : Mn ! MnA , существует A-гладкое накрытие c : T A Mn ! MnA .
Если алгебра A представляет собой полупрямую сумму A = A I, вышеуказанные результаты обобщаются на случай A-гладкого многообразия MnA с полным слоением F I (теоремы 2
и 3).
2. Предварительные сведения
Конечномерная коммутативная ассоциативная R-алгебра A с единицей называется локальной в смысле А. Вейля или, кратко, алгеброй Вейля [8], [9], если ее радикал (множество ниль
потентных элементов) Rad(A) = A является единственным максимальным идеалом и фактор
алгебра A=A изоморфна R. Одномерное подпространство в алгебре Вейля A, натянутое на ее
единицу 1A , является подалгеброй, изоморфной R. Отождествляя эту подалгебру с R, а 1A |
с 1 2 R, будем представлять алгебру A в виде полупрямой суммы
A = R A :
(1)
В соответствии с разложением (1) элемент X 2 A представляется в виде X = x + X , где x 2 R,
X 2 A. Символом
0q : A ! R обозначается
канонический эпиморфизм,
отображающий X в x.
r
2
Пусть (A) | r-я степень идеала A. Размерность N фактор-алгебры A=(A) называется шири
ной алгебры A. Натуральное число q, определяемое соотношениями (A)q 6= 0, (A)q+1 = 0, называется высотой алгебры A. Алгебра Вейля ширины N и высоты q изоморфна фактор-алгебре
алгебры R[[t1 ; : : : ; tN ]] формальных степенных рядов от N переменных t1 ; : : : ; tN с коэффициентами в R. Она также изоморфна фактор-алгебре алгебры R(N; q) = R[t1 ; : : : ; tN ; q] срезанных
многочленов степени q от N переменных. Для алгебры R(1; 1), называемой алгеброй дуальных
чисел, будем использовать обозначение R(") (в [9] эта алгебра обозначается символом D).
Пусть I | идеал в A, A = A=I | фактор-алгебра, а p : A ! A | канонический эпиморфизм. Эпиморфизм p индуцирует эпиморфизм модулей n-строк p : An ! An (для простоты обозначаем его тем же символом). Слоение на An , определяемое субмерсией p, называется
каноническим In -слоением. Слои этого слоения являются классами вычетов по модулю In. В
частности, эпиморфизм 0q : An ! Rn задает каноническое An -слоение на An .
Пусть U An | открытое множество. Гладкое отображение : U ! Ak называется Aгладким, если касательное отображение TX : TX U = An ! Ak = T(X ) Ak A-линейно при
89
всех X 2 U . Если гладкое отображение ' : U ! Ak является базовым (проектируемым) [17] по
отношению к каноническому An -слоению, то формулой
q 1 D p 'i ;
X
p
Y i = 'i +
(2)
pX ;
p
!
Dx
jpj=1
;
где i = 1; : : : ; k, p = (p1 : : : ; pn ) | мультииндекс длины n, а X p = (X 1 )p1 : : : (X n )pn , задается
A-гладкое отображение : U ! Ak . Более того, всякое
A-гладкое отображение : U ! Ak
i
имеет вид (2) для некоторых базовых функций ' : U ! A, а если U | простое открытое
множество [17] для канонического An -слоения, то A-гладкое отображение : U ! Ak единственным образом продолжается до A-гладкого отображения e : (0q );1 (0q (U )) ! Ak такого,
что ' = (e j 0q (U )) 0q . Доказательство этого факта можно найти, например, в [14].
A-гладким многообразием размерности n (A-гладким многообразием, моделируемое Aмодулем An ) называется гладкое многообразие MnA , снабженное максимальным атласом An карт h : U ! U0 An с A-гладкими преобразованиями координат h h; 1 (см., напр.,
[24], [3], [14]). Из (2) следует, что A-гладкие отображения h h; 1 сохраняют канонические
In-слоения на An , поэтому всякому идеалу I A соответствует слоение FI на многообразии
MnA , которое также называется каноническим In -слоением. Каноническое An-слоение на MnA ,
соответствующее максимальному идеалу A, обозначается символом F . Естественная структура
n-мерного A-гладкого многообразия возникает на расслоении Вейля T A Mn A-скоростей [9],
[14], [4] на гладком вещественном n-мерном многообразии Mn . Пусть A и B | две алгебры
Вейля, MnA | A-гладкое многообразие, а WkB | B-гладкое многообразие. Под морфизмом из
MnA в WkB подразумевается пара ('; f ), состоящая из унитального гомоморфизма алгебр Вейля
' : A ! B и гладкого отображения f : MnA ! WkB такого, что TX f удовлетворяет условию
TX f (v) = '()TX f (v) для всех X 2 MnA и v 2 TX MnA. Конечномерные гладкие многообразия
над алгебрами Вейля вместе с описанными выше морфизмами образуют категорию, которая
обозначается через Aloc;Man.
Из (2) следует, что A-гладкий диффеоморфизм : (0q );1 (U ) An ! An , где U | отn
n , сохраняет каноническое A
крытое подмножество
в
R
-слоение на An . Предположим, что n
отображает слой A = (0q );1 (0) на себя, тогда ограничение на An имеет вид
Yi =
q
X
'i X p ;
jpj=0
'ip 2 A; 'i0 = Y i0 2 A:
p
(3)
Множество всех диффеоморфизмов An ! An вида (3) образует группу Ли Dn (A), называемую
A-аффинной дифференциальной
группой [25]. Таким образом, каждый слой канонического An слоения на MnA обладает естественной структурой (X; G)-многообразия в смысле У. Терстона
[15] для X = An и G = Dn (A). Для простоты (An ; Dn (A))-многообразия называются также
An-многообразиями.
Из (2) также следует, что для любого идеала I A A-гладкий диффеоморфизм :
(0q );1 (U ) An ! An сохраняет каноническое In-слоение на An (см. подробнее в [14]) и, таким
образом, каждый слой канонического In -слоения F I на MnA обладает естественной структурой
(In ; Dn (I))-многообразия, где Dn (I) | группа Ли диффеоморфизмов : In 3 fX i g ! fY i g 2 In
вида
Y i =
q
X
i p
p X ;
jpj=0
i
p2
A;
i
0
90
= Y i0 2 I; det( ji ) 2= A:
(4)
Для краткости будем называть (In ; Dn (I))-многообразия In -многообразиями.
f!X
(X; G)-многообразие M называется полным, если развертывающее отображение D : M
n
A
является накрытием [15], [18]. Каноническое I -слоение на Mn называется полным, если его
слои являются полными In -многообразиями. Многообразие MnA называется полным, если его
каноническое An -слоение является полным.
Пусть p p | прямая сумма двух экземпляров канонического эпиморфизма p : A ! A =
A=I, а : A 3 X 7! (X; X ) 2 A A | диагональное вложение. Алгебра Вейля Ab I определяется как обратный образ диагонали (A) A A по отношению к эпиморфизму p p.
Образ (A) алгебры A при диагональном вложении : A ! A A содержится в Ab I . Пусть
b : A ! Ab I | соответствующее вложение алгебры A в Ab I . Имеет место следующая точная
последовательность:
p
i A
b I ;!
0 ;! I I ;!
A ! 0:
(5)
Пусть pk (k = 1; 2) | проекция алгебры A A на k-е прямое слагаемое, а ik | вложение идеала
I алгебры A в I I как k-го прямого слагаемого. Для простоты композицию pk i : Ab I ! A отображения pk и вложения i : Ab I ! A A будем обозначать одним символом pk . Аналогично композиция i ik : I ! Ab I , где i | вложение из точной последовательности (5), будет обозначаться
символом ik . Теми же символами pk и ik будем обозначать соответствующие отображения модулей pk : Ab nI ! An и ik : In ! Ab nI . Вложение b : A ! Ab I позволяет рассматривать алгебру A как
подалгебру в Ab I . Посредством b : An ! Ab nI будем также обозначать естественное продолжение
b nI . Тогда A-гладкое отображение
b An ) A
вложения b : A ! Ab I . Будем отождествлять An с (
k
: U ! A , задаваемое уравнениями (2), можно единственным образом продолжить до Ab I b U ) = . Отображение b имеет
гладкого отображения b : p;1 1 (U ) Ab nI ! Ab kI такого, что b j (
вид
q 1 D p 'bi X
bp
(6)
Y i = 'bi +
pX ;
p
!
Dx
jpj=1
где 'bi = b 'i p1 : p;1 1 (U ) ! Ab I , fXb i g 2 p;1 1 (U ) An .
В случае, когда отображение задается сложным выражением, его продолжение будем
обозначать через b .
Пусть MnA | A-гладкое многообразие и fh : U MnA ! U0 An g2A | An -атлас на MnA ,
определяющий его A-гладкую структуру. Преобразования координат h h; 1 имеют вид (2). С
каноническим In -слоением MnA естественно ассоциируется расслоение I : OIV (MnA ) ! MnA со
стандартным слоем In , структурной группой Dn (I) и атласом
fH : I;1 (U) ! U0 Ing2A ;
(7)
функции склейки которого имеют вид H H;1 = (h h; 1 ) b . По построению многообразие
OIV (MnA ) обладает естественной структурой n-мерного Ab I-гладкого многообразия. Расслоение
I : OIV (MnA ) ! MnA называется каноническим соприкасающимся
In-расслоением многообразия
MnA [14]. Для канонического соприкасающегося An -расслоения многообразия MnA будем использовать обозначение : OV (MnA ) ! MnA .
Всякое n-мерное Ab I -гладкое многообразие обладает двумя каноническими In -слоениями F1I
и F2I , которые соответствуют вложениям i1 и i2 идеала I в алгебру Ab I . В терминах локальных
Ab I-координат
fXb i g слоение FkI задается уравнениями pk (Xb i ) = const. Слои канонического InI
слоения F2 на OIV (MnA ) являются слоями проекции I . Расслоение I : OIV (MnA ) ! MnA является
слоеным расслоением [17], [26] по отношению к каноническому In -слоению F I на MnA , и слоение
F1I является поднятым слоением по отношению к слоению F I. При проекции I слой поднятого
91
слоения F1I накрывает соответствующий слой слоения F I . Слоение F1I задает плоскую частичную связность [26] ;VI в расслоении I : OIV (MnA ) ! MnA (связность вдоль слоев слоения F I ),
горизонтальное распределение которой определяется уравнениями dX2i = 0. Параллельное перенесение в связности ;VI вдоль слоевой кривой на MnA определяет накрывающие кривые e,
расположенные в слоях поднятого слоения.
3. Псевдогруппа голономии многообразия
MnA
Пусть LAX0 | слой канонического An -слоения F на MnA , проходящий через точку X0 , а
: [0; 1] ! LAX0 | путь, соединяющий X0 с X1 2 LAX0 . Из уравнений (2) следует, что аналогично
случаю (X; G)-многообразий фиксированная An -карта (U; h : U ! U 0 An ) на MnA может быть
распространена вдоль , в результате чего возникает An -карта (W; h ), W 3 X1 , называемая
распространением An -карты (U; h) вдоль . Росток отображения h в X1 зависит только от
гомотопического класса пути в слое LAX0 .
Рассмотрим слой LIX0 канонического In -слоения F I на многообразии MnA , проходящий через
X0 , и An-карту (U; h) такую, что U 3 X0 , а h(X0 ) = 0. Распространяя карту (U; h) вдоль петли
: [0; 1] ! LIX0 с началом и концом в точке X0 , получаем новую An -карту (W; h ), область
определения которой W содержит точку X0 . Росток IX0 ( ) = IX0 h ( ) композиции h h;1 при
0 2 An определен вдоль всего подмодуля An An и зависит только от гомотопического класса
пути . Если 1 и 2 | две петли в слое LIX0 , имеющие начало и конец в точке X0 , и 3 = 2 1 ,
то IX0 (3 ) = IX0 (2 ) IX0 (1 ). Таким образом, возникает гомоморфизм
IX0 : 1 (LIX0 ; X0 ) 3 [ ] 7! IX0 ( ) 2 Di A (An ; In )
из фундаментальной группы 1 (LIX0 ; X0 ) слоя LIX0 в группу Di A (An ; In ) ростков A-диффеоморфизмов вида p;1(V ) An ! p;1 (V 0 ) An , которые отображают подмодуль In в себя, где
p : An ! A n | проекция, индуцированная каноническим эпиморфизмом p : A ! A = A=I, а
V и V 0 | окрестности нуля в A n . Гомоморфизм IX0 называется представлением I-голономии
многообразия MnA в точке X0 . Гомоморфизм X0 = AX0 называется представлением голономии многообразия MnA в точке X0 . Представление голономии X0 определяет
представление
A
голономии слоения F в точке X0 и представление голономии слоя LX0 , рассматриваемого как
(An ; Dn (A))-многообразие [14], [4].
Росток A-диффеоморфизма 2 Di A (An ; In ), заданный уравнениями вида (2), определяет
росток 2 Di A (An ; 0), имеющий уравнения
q 1 D p 'i X
p
Y i = 'i +
pX ;
p
!
Dx
jpj=1
где 'i = 'i +I | функции, значениями которых являются классы вычетов соответствующих значений функций 'i по модулю идеала I. Пусть pI : Di A (An ; In ) ! Di A (An ; 0) | гомоморфизм,
относящий ростку росток , а rI : Di A (An ; In ) ! Dn (I) | гомоморфизм, относящий ростку
его ограничение j In . Нетрудно заметить, что Il X0 = rI IX0 | представление голономии
слоя LIX0 , рассматриваемого как (In ; Dn (I))-многообразие, а Itr X0 = pI IX0 | представление
голономии слоения F I для X0 .
Если алгебра A является полупрямой суммой A = A I, то группа Ли Dn (I) представляет
собой полупрямое произведение Dn (I) = De n (I) Dn (I) подгруппы Ли De n (I), состоящей из диффеоморфизмов вида (4), удовлетворяющих условиям pi 2 A, 0i = 0, и нормальной подгруппы
Dn(I), определяемой соотношениями ji = ji , pi 2 I при jpj 6= 1. Пусть I : Dn (I) ! De n(I) |
92
канонический эпиморфизм. Композиция
eIl X0 = I Il X0 : 1 (LIX0 ; X0 ) ! De n (I)
называется представлением De n (I)-голономии слоя LIX0 в точке X0 . Нетрудно заметить [14], [4],
что представление De n (I)-голономии определяется представлением голономии Itr X0 , более точно,
eIl X0 = rI iI Itr X0 :
(8)
q 1 D p 'i X
i
p
=' +
pX ;
p
!
Dx
jpj=1
(9)
Пусть (M; F ) | гладкое многообразие со слоением, а W | погруженная трансверсаль в
(M; F ). Скольжение локальных трансверсалей вдоль слоевых путей определяет псевдогруппу
голономии слоения F на W [17]. В случае, когда алгебра A является полупрямой суммой A =
A I подалгебры A = A=IAи идеала I, аналогичную псевдогруппу можно определить для Iголономии многообразия Mn . Напомним, что всякая алгебра Вейля A является полупрямой
суммой A = R A. Другим примером представления алгебры Вейля в виде полупрямой суммы
может служить
следующее разложение тензорного произведения двух алгебр Вейля: B A =
B (B A).
В дальнейшем предполагается, что рассматриваемая алгебра Вейля A является полупрямой
суммой идеала I и подалгебры A = A=I, а p : An ! An , n = 1; : : : , | канонический эпиморфизм.
В этом случае имеется функтор A-продолжения E I из категории конечномерных A-гладких
многообразий в категорию конечномерных A-гладких многообразий [14]. Для произвольного
A-гладкого отображения : U An ! Ak , имеющего вид (2)
Yi
отображение E I () : p;1 (U ) An ! Ak задается уравнениями
Y i = 'i +
q 1
X
Dp 'i X p :
p
jpj=1 p! Dx
(10)
Пусть MnA | A-гладкое многообразие с атласом f(U ; h : U ! U 0 )g2A . На дизъюнктном
объединении открытых подмножеств p;1 (U 0 ) = U 0 In An по всем 2 A можно ввести
отношение эквивалентности, полагая X 2 p;1 (U 0 ) и Y 2 p;1(U 0 ) эквивалентными, если Y =
E I(h h; 1 )(X ). Пусть
G
E I (MnA ) = p;1(U 0)= 2A
| фактор-множество и g : p;1 (U 0 ) ! E I (MnA ) | ограничение канонической проекции. Атлас
(g (U 0 In ); h ), где h : g (U 0 In ) ! U 0 In | отображение, обратное к g , задает на E I (MnA )
структуру n-мерного A-гладкого многообразия. Естественная проекция p : E I (MnA ) ! MnA определяет локально тривиальное расслоение со стандартным слоем In . Множество точек с нулевыми координатами представляет собой корректно определенное подмногообразие в E I (MnA ), называемое нулевым сечением в E I (MnA ). Вложение i : MnA ! E I (MnA ) многообразия MnA на нулевое
сечение в E I (MnA ) является морфизмом в категории Aloc;Man [14]. В дальнейшем мы будем
отождествлять MnA с i(MnA ) E I (MnA ). A-гладкое отображение E I () : E I (MnA ) ! E I (WkA ),
соответствующее A-гладкому отображению : MnA ! WkA , однозначно определяется A
продолжениями локальных координатных представлений (9) отображения . В случае I = A
функтор A-продолжения E A естественно эквивалентен функтору Вейля T A .
93
Если алгебра A является полупрямой суммой A = A I, то алгебра Ab I является полупрямой
суммой Ab I = A (I I). Вложение i : A ! A индуцирует вложения ik : A ! Ab I , k = 1; 2, такие,
что pk ik = id, p1 i2 = p2 i1 = p.
Теорема 1. Пусть A | алгебра Вейля, являющаяся полупрямой суммой A = A I подалгебры A и идеала I, MnA | A-гладкое многообразие, каноническое In -слоение F I которого
является полным, а (i : A ! A, ' : WkA ! MnA ) | морфизм в категории Aloc;Man. Тогда
существует единственное A-гладкое отображение
'I : E I(WkA) ! MnA ;
ограничение которого на WkA совпадает с '. Если, кроме того, k = n и ' : WnA ! MnA |
отображение, трансверсальное к слоям слоения F I , то 'I | локальный A-диффеоморфизм.
Доказательство. Относя точке X 2 MnA с координатами X i в An;-карте
(U; h) точку
b
b X i ) в соответствующей A
b n -карте (I 1 (U ); H ) из атласа
X 2 OIV MnA с координатами Xb i = (
(7) на OIV (MnA ), получим корректно определенное сечение : MnA ! OIV (MnA ). Пара (b ; )
представляет собой морфизм в категории Aloc;Man.
Морфизм (i; ') однозначно продолжается до морфизма (i2 : A ! Ab I ; 'O : E I (WkA ) !
OIV (MnA )) такого, что 'O jWkA = ' и коммутативна диаграмма
E I (WkA)
?x
py?i
WkA
O
' OV (M A )
;!
I n
?x
'
;!
Iy?
MnA :
(11)
Если в терминах локальных координат на многообразиях WkA и MnA отображение ' задается
уравнениями
q 1 D p 'i X
i
i
p
Y =' +
p! Dxp X ;
jpj=1
то в терминах индуцированных локальных координат на E I (WkA ) и OIV (MnA ) отображение 'O
задается уравнениями
q 1 D p 'i q
p i ;
X
p ; Y i0 = 'i + X 1 D ' X
p;
Y1i = 'i +
X
2
p
p
p
!
Dx
p
!
Dx
jpj=1
jpj=1
где Y1i = p1 (Yb i ), Y2i = p2 (Yb i ).
Гомотопический группоид I (MnA ) In -слоения F I на MnA представляет собой множество
гомотопических классов слоевых путей : [0; 1] ! MnA [27]. Пусть 1 : I (MnA ) ! MnA |
отображение, относящее гомотопическому классу [ ] точку (1). Рассмотрим слой LIX0 слоения
F I, проходящий через X0 2 MnA , и непрерывный путь : [0; 1] ! LIX0 , соединяющий X0 с
X1 2 LIX0 . Пусть (U; h : U ! U 0 An ) | An-карта на MnA такая, что U 3 X0 , а U 0 | простое
открытое множество [17] для канонических слоений на An . Рассмотрим Ab nI -карту (I;1 (U ); H )
на расслоении OIV (MnA ), индуцированную картой (U; h), и положим HX0 = pr2 H jI;1 (X0 ) :
I;1 (X0 ) ! In, где pr2 | проекция U 0 In на In (см. (7)). Рассмотрим также (In; Dn (I))-карту
(U \ LIX0 ; hIX0 ) на слое LIX0 , индуцированную картой (U; h). Поскольку преобразования координат
на слое LIX0 представляют собой полиномиальные отображения, то отображение hIX0 может быть
распространено вдоль пути [18]. Относя классу [ ] 2 I (MnA ) точку DI ([ ]) = HX;01 (hIX0 (X1 )) 2
OIV MnA , получим отображение
DI : I(MnA ) ! OIV (MnA );
94
называемое развертывающим отображением слоения F I [14]. Отображение DI является локальным гомеоморфизмом. Поскольку слоение F I полно, это отображение является диффеоморфизмом, что позволяет перенести структуру Ab I -гладкого многообразия с OIV (MnA ) на I (MnA ).
Используя развертывающее отображение DI , получим проекцию 1 DI;1 : OIV (MnA ) ! MnA . Пара
(p2 ; 1 DI;1 ) представляет собой морфизм в категории Aloc;Man. Композиция 'I = 1 DI;1 'O :
E I(WkA ) ! MnA является A-гладким отображением. Поскольку диаграмма (11) коммутативна,
то 'I jWkA = 1 DI;1 'O i = 1 DI;1 ' = id ' = '. Единственность отображения 'I
следует из (2) и того, что его ограничение на WkA совпадает с '.
Если ' : WnA ! MnA трансверсально к слоям слоения F I , то 'O | погружение и, следовательно, 'I | локальный диффеоморфизм.
Пусть теперь ' : WnA ! MnA | морфизм в категории Aloc;Man, трансверсальный к слоям
слоения F I и ;W | псевдогруппа голономии слоения F I на погруженной трансверсали WnA [17],
[27]. Скольжение локальных трансверсалей вдоль слоевого пути : [0; 1] ! LIX0 такого, что
(0); (1) 2 '(WnA ), определяет локальный A-диффеоморфизм : V ! U , принадлежащий ;W .
Параллельное перенесение в частичной плоской связности ;VI в расслоении OIV (MnA ) определяет
A-диффеоморфизм
e : p;1 (V ) E I (WnA) ! p;1 (U ) E I (WnA):
(12)
Определение. Псевдогруппа ;(') локальных A-диффеоморфизмов многообразия E I(WnA),
порождаемая A-диффеоморфизмами вида (12), называется псевдогруппой I-голономии многообразия MnA для трансверсального морфизма ' : WnA ! MnA .
Псевдогруппа ;(') определяет представления I-голономии IX для всех X 2 '(WnA ).
Теорема 2. Пусть A | алгебра Вейля, являющаяся полупрямой суммой A = A I подалгебры A и идеала I, MnA | A-гладкое многообразие, каноническое In -слоение F I которого
является полным, а (i : A ! A; ' : WnA ! MnA ) | морфизм в категории Aloc;Man, трансверсальный к слоям слоения F I и такой, что '(WnA ) пересекает все слои слоения F I . Тогда MnA
A-диффеоморфно многообразию
E I(WnA)=;(').
В частности, если MnA | полное A-гладкое многообразие, а ' : Wn ! MnA | погружение
полной трансверсали для канонического An -слоения F , то MnA A-диффеоморфно многообразию
T A Wn=;(').
Доказательство. По теореме 1 отображение 'I = 1 DI;1 'O :;E1 I(WVnA ) !A MnA является
локальным A-диффеоморфизмом. Поскольку слоями проекции 1 DI : OI (Mn ) ! MnA являются слои поднятого слоения, то 'I e = 'I , где отображение e определяется формулой (12).
Следовательно, A-гладкое многообразие E I (WnA )=;(') A-диффеоморфно MnA .
Следующие две теоремы обобщают результаты из [20], касающиеся многообразий с интегрируемыми почти касательными структурами.
Теорема 3. Пусть A | алгебра Вейля, являющаяся полупрямой суммой A = A I подалгебры A и идеала I, а MnA | A-гладкое многообразие, каноническое In-слоение F I которого является полным, имеет односвязные слои и образовано слоями некоторой субмерсии
p : MnA ! MnA, представляющей собой морфизм в категории Aloc;Man. Тогда многообразие
MnA A-диффеоморфно многообразию E I (MnA ).
В частности, если каноническое An -слоение F на полном A-гладком многообразии MnA
образовано слоями субмерсии p : MnA ! Mn с односвязными слоями, то многообразие MnA
A-диффеоморфно расслоению Вейля T AMn.
95
Доказательство. Рассмотрим композиционный ряд Жордана{Гельдера алгебры A [28]
A A = I1 I2 Ik Im Im+1 = 0;
где Ik = I, а Ia =Ia+1 , a = 1; : : : ; m, m = dim A, | одномерные алгебры с нулевым умножением.
Выберем в алгебре A базис fe0 = 1A ; ea g, a = 1; : : : ; m, такой, что ea 2 Ia , ea 62 Ia+1 и eb 2 Ia \ A,
если a k;1. Этот базис определяет отображение e : A 3 X 7! fx0 ; xa g 2 Rm+1 , где X = x0 +xa ea
| разложение элемента X 2 A по базису fe0 ; ea g. Отображение e индуцирует отображение
en : An 3 X i 7! fxi0 ; xia g 2 Rn(m+1) , которое позволяет ассоциировать со всякой An -картой h на
MnA карту en h.
Рассмотрим An -карту (U; h : U ! U 0 An ) на MnA такую, что en (U 0 ) | открытый координатный параллелепипед в Rn(m+1) . Пусть U = p(U ) MnA , U 0 = p(U 0 ) An , а LIX |
слой слоения F I , проходящий через X 2 U . An -карта (U; h) может быть распространена вдоль
LIX таким образом, что область ее определения будет содержать произвольно выбранную точку Y 2 LIX . В результате получим A-диффеоморфизм h : p;1 (U ) ! U 0 In . Следовательно,
субмерсия p : MnA ! MnA определяет локально тривиальное расслоение. Это расслоение допускает гладкое сечение ([29], гл. I, теорема 5.7) s : MnA ! MnA , которое по теореме 1 может быть
продолжено до A-диффеоморфизма
sI = 1 DI;1 sO : E I(MnA ) ! MnA: (13)
Теорема 4. Пусть A | алгебра Вейля, являющаяся полупрямой суммой A = A I подалгебры A и идеала I, а MnA | A-гладкое многообразие, каноническое In-слоение F I которого
полно и образовано слоями субмерсии p : MnA ! MnA , представляющей собой морфизм в категории Aloc;Man и допускающей сечение s : MnA ! MnA . Тогда существует A-гладкое накрытие
c : E I (MnA ) ! MnA. При этом слой слоения F I на MnA изоморфен In=G, где G | дискретная
подгруппа в Dn (I).
В частности, если каноническое An -слоение F на полном A-гладком многообразии MnA образовано слоями субмерсии p : MnA ! Mn , допускающей сечение s : Mn ! MnA , то существует
A-гладкое накрытие c : T AMn ! MnA .
Доказательство. Действительно, отображение sI : E I(MnA ) ! MnA , nопределенное композицией (13), является A-гладким накрытием, т. к. область определения A -карты (U; h), рассматривавшейся в доказательстве теоремы 3, правильно накрывается отображением sI .
Поскольку представление голономии Itr X0 тривиально, из (8) следует, что представление
De n(I)-голономии eIl X0 также тривиально. Следовательно, представление голономии Il X0 слоя
LIX0 , рассматриваемого как In -многообразие, имеет вид
Il X0 : 1 (LIX0 ; X0 ) ! Dn(I)
(14)
и, следовательно, LIX0 = In =G, где G | образ фундаментальной группы 1 (LIX0 ; X0 ) слоя LIX0
при гомоморфизме (14).
Литература
1. Широков А.П. Геометрия касательных расслоений и пространства над алгебрами // Итоги
науки и техн. Пробл. геометрии. { М.: ВИНИТИ, 1981. { T. 12. { C. 61{95.
2. Vishnevskii V.V. Integrable anor structures and their plural interpretations // J. of Math. Sci.
{ 2002. { V. 108. { Є 2. { P. 151{187.
3. Шурыгин В.В. Многообразия над алгебрами и их применение в геометрии расслоений струй
// УМН. { 1993. { T. 48. { Bып. 2. { C. 75{106.
96
4. Shurygin V.V. Smooth manifolds over local algebras and Weil bundles // J. Math. Sci. { 2002. {
V. 108. { Є 2. { P. 249{294.
5. Kobayashi S. Manifolds over function algebras and mapping spaces // T^ohoku Math. J. { 1989. {
V. 41. { Є 2. { P. 263{282.
6. Kriegl A., Michor P.W. Product preserving functors of innite dimensional manifolds // Arch.
Math. { 1996. { V. 32. { Є 4. { P. 289{306.
7. Vassiliou E., Papatriantallou M.H. Connections on A-frame bundles // Sci. Math. Japon. { 2001.
{ V. 54. { Є 1. { P. 29{38.
8. Weil A. Theorie des points proches sur les varietetes dierentiables // Colloque internat. centre
nat. rech. sci. { Strasbourg, 1953. { V. 52. { P. 111{117.
9. Kolar I., Michor P.W., Slovak J. Natural Operations in Dierential Geometry. { Springer, 1993.
{ 434 p.
10. Patterson L.-N. Connexions and prolongations // Canad. J. Math. { 1975. { V. 27. { Є 4. {
P. 766{791.
11. Morimoto A. Prolongation of connections to bundles of innitely near points // J. Dierent. Geom.
{ 1976. { V. 11. { Є 4. { P. 479{498.
12. Султанов А.Я. Продолжения тензорных полей и связностей на расслоения Вейля // Изв.
вузов. Математика. { 1999. { Є 9. { C. 81{90.
13. Mu~noz J., Rodriguez J., Muriel F.J. Weil bundles and jet spaces // Czech. Math. J. { 2000. {
V. 550. { Є 4. { P. 721{748.
14. Shurygin V.V. The structure of smooth mappings over Weil algebras and the category of manifolds
over algebras // Lobachevskii J. Math. { 1999. { V. 5. { P. 29{55.
15. Thurston W.P. The Geometry and Topology of 3-manifolds. { Princeton Univ. Lect. Notes,
1978/1979.
16. Малахальцев М.А. (X; G)-слоения // Изв. вузов. Математика. { 1996. { Є 7. { С. 55{65.
17. Molino P. Riemannian Foliations. { Birkhauser, 1988. { 339 p.
18. Апанасов Б.Н. Геометрия дискретных групп и многообразий. { М.: Наука, 1991. { 432 с.
19. Brickell F., Clark R.S. Integrable almost tangent structures // J. Dierent. Geom. { 1974. { V. 9.
{ Є 4. { P. 557{563.
20. Crampin M., Thompson G. Ane bundles and integrable almost tangent structures // Math. Proc.
Cambridge Phil. Soc. { 1985. { V. 98. { P. 61{71.
21. De Filippo S., Landi G., Marmo G., Vilasi G. Tensor elds dening a tangent bundle structure //
Ann. Inst. H. Poincare. { 1989. { V. 50. { Є 2. { P. 205{218.
22. Thompson G., Schwardmann U. Almost tangent and cotangent structures in the large // Trans.
Amer. Math. Soc. { 1991. { V. 327. { Є 1. { P. 313{327.
23. Малахальцев М.А. Структуры многообразия над алгеброй дуальных чисел на торе // Тр.
геометрич. семин. { Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1994. { Вып. 22. { С. 47{62.
24. Vanzura J. On the geometry and topology of manifolds over algebras // Weiterbildungszentr. Math.
Kybern. und Rechentechn. Sect. Math. { 1978. { V. 28. { P. 133{136.
25. Шурыгин В.В. Расслоения струй как многообразия над алгебрами // Итоги науки и техн.
Пробл. геометрии. { М.: ВИНИТИ, 1987. { T. 19. { C. 3{22.
26. Kamber F.W., Tondeur Ph. Foliated Bundles and Characteristic Classes // Lect. Notes Math. {
Springer, 1975. { V. 493. { 208 p.
27. Reinhart B.L. Dierential Geometry of Foliations. { Springer, 1983. { 195 p.
28. Пирс Р. Ассоциативные алгебры. { М.: Мир, 1986. { 544 с.
29. Kobayashi S., Nomizu K. Foundations of Dierential Geometry. V. 1. { Intersci. Publ., 1963. {
329 p.
Казанский государственный
университет
Поступила
21.04.2003
97
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
237 Кб
Теги
вейля, над, полный, строение, многообразие, алгебрами
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа