close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О структуре множества периодов периодических решений некоторых нелинейных эволюционных систем дифференциальных уравнений на многомерной сфере.

код для вставкиСкачать
2005
ВЕСТНИК НОВГОРОДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
№30
УДК 517.954
Данг Хань Хой
О СТРУКТУРЕ МНОЖЕСТВА ПЕРИОДОВ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
НЕКОТОРЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭВОЛЮЦИОННЫХ СИСТЕМ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ НА МНОГОМЕРНОЙ СФЕРЕ
In this paper the periodic solutions of some nonlinear evolution systems of different equations over
multidimensional sphere are studied. The obtained results are useful for investigation of radiation spectrum for
quantum systems with spherical symmetry.
В предыдущих работах (см. [1,2]) было обнаружено, что при исследовании задачи о
периодических решениях некоторых уравнений с частными производными множество периодов, для которых имеет место единственность периодического решения, обладает сложной структурой. В настоящей статье аналогичный вопрос о структуре множества периодов
рассматривается для другого класса уравнений.
Обозначим Х = S n — сфера в R n +1 ; S n = {x ∈ R n +1 , x = 1}, n ≥ 2, с римановой метрикой, индуцированной евклидовой структурой на R n +1 .
Пусть
ξ = ⊕np =0 ξ p = ⊕np =0 Λ p (T * X ) ⊗ C
есть комплексифицированное кокасательное расслоение многообразия Х; С ∞ ( ξ), H k ( ξ) —
пространство гладких дифференциальных форм и пространство Соболева дифференциальных форм над Х соответственно (см. [3]). Через Δ будем обозначать оператор Лапласа. Известно (см. [3,4] ), что Δ — эллиптический дифференциальный оператор второго порядка
на Х. Собственные значения оператора Лапласа в пространстве функций на сфере известны
(см. [5]), они имеют вид λ k = k ( k + n − 1), k = 0,1,2,... Аналогичный результат верен и для
пространства дифференциальных форм.
Теорема 1. На сфере S n все собственные значения оператора Δ в пространстве гладких дифференциальных форм задаются формулой λ k = k ( k + n − 1), k = 0,1,2,...
Доказательство этой теоремы имеется в [6]. Мы не указываем здесь собственные
формы, соответствующие собственным значениям оператора Δ на S n , как и размерности
собственных подпространств, для нас существенно только то, что эти размерности конечны
(т.е. собственные числа оператора Δ имеют конечную кратность).
На сфере S n рассмотрим задачу о периодических решениях уравнения
1∂
Lu = ( − Δ + 1)⎛⎜
− aΔ − λ ⎞⎟u ( x, t ) = εH (u ), a ≠ 0, λ ∈ R, i 2 = −1
(1)
⎝ i ∂t
⎠
с условием периодичности по t
(2)
u t = 0 = u t =b ,
где u( x, t ) — комплексная форма на сфере с коэффициентами, зависящими от t ∈ [0, b];
a ≠ 0, λ — заданные вещественные числа; H — линейный или нелинейный оператор, удовлетворяющий условию Липшица с постоянной h. Заметим, что уравнение (1) можно переписать в виде следующего нелинейного уравнения типа Шредингера:
⎛ 1 ∂ − aΔ − λ ⎞u = ε(−Δ + 1) −1 H (u ),
⎜
⎟
⎝ i ∂t
⎠
и задача (1), (2) имеет потенциальные приложения при исследовании периодических режи-
58
2005
ВЕСТНИК НОВГОРОДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
№30
мов различных квантово-механических систем со сферической симметрией. При этом множество допустимых периодов, свойства которого и изучаются в работе, соответствует спектру излучения системы.
1∂
− aΔ − λ ⎞⎟ задана на пространстве дифференциСчитаем, что операция (−Δ + 1)⎛⎜
⎝ i ∂t
⎠
альных форм u( x, t ) ∈ С ∞ ([0, b], С ∞ ( ξ )), таких, что u
t = 0 = u t =b .
Обозначим через L замыка-
~
~
1∂
− aΔ − λ ⎞⎟ в H = L2 ([0, b], H 0 ( ξ )). Итак, элемент u ∈ H принадние операции (−Δ + 1)⎛⎜
⎝ i ∂t
⎠
лежит области определения D(L) оператора L, если существует последовательность
{u j } ⊂ С ∞ ([0, b], С ∞ ( ξ )), u t =0 = u t =b , такая, что lim u j = u , lim Lu j = Lu в Н~ .
1∂
− aΔ − λ ⎞⎟ на гильбертоЛемма 1. Собственные значения оператора L = (−Δ + 1)⎛⎜
⎝ i ∂t
⎠
~
0
вом пространстве H = L2 ([0, b], H ( ξ )) имеют вид
~
2mπ
λ km = ( k ( k + n − 1) + 1)⎛⎜
+ ak ( k + n − 1)λ ⎞⎟ = ( k ( k + n − 1) + 1)( λ m − λ ),
⎝ b
⎠
где
2mπ
2mπ
+ ak ( k + n − 1) =
+ λk0. .
b
b
Соответствующие собственные формы еkjm , j ∈ J k = {1,2,..., j k }, m ∈ Z , k = 0,1,2,..., образуют
~
ортонормированный базис в H . Область определения оператора L есть
2
2
~
D( L ) = u =
u kjm ekjm
λ km u kjm < ∞,
u kjm < ∞ .
λ km =
{ ∑
Заметим, что lim
k →∞
∑
∑
}
λ km
ab
иррационально, то множе= 1. Поэтому, если
2π ⎛
ab 2 ⎞
2π
+
m
k
⎜
⎟
2π ⎠
b ⎝
ство {λ km } всюду плотно на вещественной оси. Если λ km ≠ λ, то обратный оператор L−1
существует, но не ограничен. Его выражение имеет вид
v kjm
L−1v( x, t ) =
ekjm ,
( k ( k + n − 1) + 1)( λ km − λ )
∑
где vkjm — коэффициенты Фурье ряда v( x, t ) =
∑
v kjm ekjm . В дальнейшем будем
k =0,1,...,m∈Z , j∈J k
считать, что числа a, λ фиксированы, и все величины, зависящие от этих чисел, считаются
постоянными, λ ≠ λ km ∀k = 0,1,...; m ∈ Z .
Для положительных чисел σ и C через Аσ (С ) обозначим множество таких положительных чисел b, для которых при всех целых m и k ≠ 0 выполнено неравенство
C
2 mπ
+ λ k 0 − λ = λ km − λ ≥ 1+ σ .
(3)
b
k
Как видно из определения, множества Аσ (С ) увеличиваются при уменьшении C и при увеличении σ. Поэтому в дальнейшем для получения утверждений о непустоте такого множества или его части возникает требование, чтобы C было достаточно малым, а σ — достаточно большим. Через Аσ обозначим объединение по С > 0 множеств Аσ (С ).
Если неравенство (3) выполнено для некоторого b при всех m и k ≠ 0, то оно выполнено и при m = 0, откуда получаем необходимое условие непустоты множества Аσ (С ) :
59
2005
ВЕСТНИК НОВГОРОДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
№30
C ≤ k 1+ σ λ k 0 − λ = k 1+ σ ak ( k + n − 1) − λ ∀k ≠ 0.
λ ≠ λ km
ak ( k + n − 1) ≠ λ.
Из
условия
следует,
что
Величина
ak ( k + n − 1) − λ = λ k 0 − λ (при k ≠ 0 ) принимает наименьшее значение при некотором положительном целом k 0 ≠ 0. Обозначим d = min λ k 0 − λ > 0. В дальнейшем будем считать,
k =1, 2,...
что число C достаточно малое в том смысле, что выполнено неравенство С < d . Обратим
внимание на то, что величины d и k 0 не зависят от b. Верна следующая теорема.
Теорема 2. Пусть оператор L задан выражением (1), λ ≠ λ km ∀k = 0,1,...; m ∈ Z и для
числа b выполнено неравенство (3) при некотором σ, удовлетворяющем условию 0 < σ ≤ 1,
т.е. b ∈ Аσ (С ). Тогда оператор L−1 ограничен и для его нормы имеет место оценка
L−1 ≤
1
δ
2
+
1
С2
,
(4)
где
2mπ
−λ.
m
b
Следствие 1. Если для некоторого значения b выполнены условия теоремы 1, то при
всех ε, удовлетворяющих неравенству
δ = δ(b ) = min
−1
⎛
1
1 ⎞
ε < ⎜⎜ h 2 + 2 ⎟⎟ ,
(5)
С ⎠
⎝ δ
существует, и притом единственное, периодическое решение уравнения (1) с периодом b.
Пусть С (b) есть наибольшая из постоянных С , при котором неравенство (3) выполнено. Заметим, что введенная выше величина δ также зависит от b. Если λ ≠ 0, то для почти
всех b имеем δ(b) > 0. Отсюда получаем
Следствие 2. Если λ ≠ 0, то для почти всех b существует ε (b) > 0, такое, что при ус-
ловии ε < ε(b) существует единственное периодическое решение уравнения (1). При этом
−1
⎛
1
1 ⎞
ε(b ) < ⎜⎜ h 2 + 2 ⎟⎟ .
С ⎠
⎝ δ
Однако если уравнение (1) и величина параметра ε фиксированы, то следует выяснить, для каких значений b выполнено неравенство (5) и, в частности, существуют ли такие
значения. Обозначим через B(β), β > 0, множество, состоящее из чисел b > 0, для которых
выполнено неравенство
1 ⎫
⎧ 1
βh 2 max⎨
,
⎬ ≤ 1.
⎩ δ(b ) C (b ) ⎭
Таким образом, при ε < β уравнение (1) имеет единственное периодическое решение с периодом b. Тогда основной вопрос следующий: при каких условиях множество B (β) не пусто и какова структура этого множества? Ответ на этот вопрос содержится в приведенной
ниже теореме.
Но сначала изучим свойства множества Аσ (С ). Напомним, что мы предполагаем вы-
полненным условие С < d .
π
и является
С
замкнутым в R + нигде не плотным множеством, инвариантным относительно отображений
Теорема 3. Множество Аσ (С ) принадлежит отрезку [0, р1 ], где р1 =
60
2005
b→
ВЕСТНИК НОВГОРОДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
№30
b
для всех натуральных n.
n
Для заданного отрезка [ p, p + l ] длины l > 0 и p ≥ 0 мера Лебега множества
Аσ (С ) ∩ [ p, p + l ] положительна при условии C <
l
, где число S 0 ( r ) задано форS0 ( p + l )
мулой
π
S 0 ( r ) = cr ⎛⎜ r + ⎞⎟, c = const,
⎝
d⎠
и для этой меры выполнена оценка снизу
μ([ p, p + l ] ∩ Аσ (С )) ≥ l − CS 0 ( p + l ) > 0.
Для отрезка [0, l ] всегда μ([0, l ] ∩ Аσ (С )) > 0. . При достаточно малых l0 ,0 < l ≤ l0
верна оценка
σ
⎞
⎛
μ([0, l ] ∩ Аσ (С )) ≥ l ⎜1 − СDl 2 ⎟, D = const.
⎟
⎜
⎠
⎝
Следствие 3. Множество Аσ является множеством полной меры, т.е. его дополнение
на полупрямой R + является множеством нулевой меры.
В оценку (4) нормы оператора (1) входит величина δ, также зависящая от b. Пусть
К > 0 и В1 ( К ) есть множество, состоящее из тех b, для которых выполнено неравенство
К
≤ 1.
δ
2π ⎤
⎛
Лемма 2. Если 3К > λ, то множество В1 ( К ) является полуинтервалом ⎜ 0,
.
⎝ λ + К ⎥⎦
Если 3К ≤ λ, то множество В1 ( К ) представляет собой объединение полуинтервала
2π ⎤
⎛
⎡ 2nπ 2( n + 1)π ⎤
. и конечного числа непересекающихся отрезков вида ⎢
,
,
⎜ 0,
⎥
λ
+
К
⎝
⎦
⎣ λ − К λ + К ⎥⎦
1≤ n ≤
λ −K
.
2K
Обозначим К = h 2 . Сформулируем теперь основной результат.
Теорема 4. Для достаточно малых β мера множества В(β ) положительна, это множе-
n +1 ⎤
λ − βK
⎡ n
,
, 0≤n≤
, и являетство принадлежит объединению отрезков I n = ⎢
⎥
2βK
⎣ λ − βK λ + βK ⎦
ся нигде не плотным множеством, инвариантным относительно отображений
b
b → , n = 1,2,...
n
Таким образом, в работе описана структура множества допустимых периодов, при
которых задача (1), (2) имеет единственное решение. Полученные результаты позволяют
описывать спектральные характеристики различных квантовых систем, обладающих сферической симметрией.
Пользуясь случаем, автор выражает свою искреннюю благодарность проф.
А.Б.Антоневичу и проф. Е.Ю.Панову за внимание к работе.
61
2005
1.
2.
3.
4.
5.
6.
ВЕСТНИК НОВГОРОДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
№30
Данг Хань Хой // Тез. докл. Междунар. конф. «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы». М.,
2004. С.48.
Данг Хань Хой. // Тез. докл. Междунар. конф. «Математические идеи П.Л.Чебышева и их приложения к
современным проблемам естествознания». Обнинск, 2004. С.36.
Пале Р. Семинар по теореме Атьи-Зингера об индексе. М.: Мир., 1970. С.69-79.
Фам Нгок Тхао // Дифф. уравнения. 1969. Т.5. №1. С.186-198.
Шубин М.А. Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория. М.: Наука, 1978. С.163.
Данг Хань Хой // Proceeding of conference «Differential еquations» of University of Hanoi, Faculty of Mathematics, Mechanics and Informatics. Hanoi, 1987. P.5-13.
62
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа