close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О структуре централизатора элементов единичной слоговой длины в группах Артина с древесной структурой.

код для вставкиСкачать
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОНИК
Том 11 Выпуск 2 (2010)
УДК 519.4
О СТУКТУЕ ЦЕНТАЛИЗАТОА
ЭЛЕМЕНТОВ ЕДИНИЧНОЙ СЛООВОЙ
ДЛИНЫ В УППАХ АТИНА С
ДЕВЕСНОЙ СТУКТУОЙ
О. Ю. Платонова (г. Новомосковск)
Пусть G - конечно порожденная группа Артина с копредставлением
G = ha1 , a2 , ..., an ; hai aj imij = haj ai imji i , где hai aj imij = ai aj ai ... - слово длины
mij , состоящее из mij чередующихся букв ai и aj , i 6= j , mij - число, соответствующее симметрической матрице Кокстера, mij ? 2при i 6= j .
Каждой конечно порожденной группе Артина G соответствует конечный
гра ?? , между вершинами которого и образующими группы можно установить
соответствие такое, что если ai и aj являются вершинами ребра e, то ребру
соответствует соотношение вида hai aj imij = haj ai imji группы.
В грае ?? можно выделить максимальное дерево-гра ?, ? ? ?? .
Будем говорить, что группа Артина G? имеет древесную структуру, если
между вершинами конечного дерева - граа ? и образующими группы можно
установить соответствие такое, что если ai и aj являются вершинами ребра e,
то ребру соответствует соотношение вида hai aj imij = haj ai imji .То есть максимальное дерево-гра ? соответствует группе, имеющей древесную структуру.
Тогда группа G? отображается с помощью гомоморизма ? на группу G,
т. е. ? : G? ?? G.
Пусть ai и aj вершины некоторого ребра e дерева граа ?. руппа, порожденная образующими ai и aj , имеет копредставление
Gij = hai , aj ; hai aj imij = haj ai imji i .
Обозначим через Rij множество всех нетривиальных слов, циклически приведенных в свободной группе и равных единице в группе Gij . Тогда копредставление группы Gij запишем через Gij = hai , aj ; Rij i. Пусть группа G порождена
более чем двумя образующими.
Тогда группа Артина с древесной структурой может быть задана представлением G = ha1 , a2 , ..., an ; Ri , R = ?Rij . ассмотрим свободную группу
n
Q
?
F =
hai i, пусть w ? F , обозначим через | w | длину, а через k w k- слоговую
i=1
длину слова w в группе F .
74
О. Ю. ПЛАТОНОВА
Пусть произвольное слово w не равно единице в свободной группе F и равно единице в G. Тогда на основании теоремы ван Кампена, слово w является
граничной меткой связной односвязной диаграммы над R.
Введем следующие преобразования диаграммы (*):
1) Пусть области D1 , D2 пересекаются по ребру ?(?D1 ? ?D2 ), имеющей слоговую длину k ?(?D1 ? ?D2 ) k> 1 и если k ?(?D1 ? ?D2 ) k= 1 и ?(?D1 ) ? Gab ,
?(?D2 ) ? Gab , тогда, стирая это ребро, объединяем D1 и D2 в одну область
D . Если метка полученной области D равна единице в свободной группе F , то
удалив эту область, склеиваем ее границу.
2) Если две области D1 , D2 , где ?(?D1 ) ? Gab , ?(?D2 ) ? Gab , имеют общую
вершину, то, разъединив эту вершину, они объединяются в одну область D и,
если метка полученной области D равна единице в свободной группе F , то
удалив эту область, склеиваем ее границу. Если же метка не равна единице, но
сократима, то проводим сокращения.
1. Назовем внутреннюю точку v
d(v) ? 3 и все ребра, исходящие
Определение
особой точкой, если
диаграммы специально
из нее, являются сте-
пенями одного образующего.
Определение
2.
Внутренняя точка диаграммы, не являющаяся специаль-
но особой и имеющая степень не менее 3, называется "особой" .
Определение
i(D)
3.
D назовем деновской, если i(D) < 12 d(D), где
ребер, d(D) число ребер в граничном цикле для D .
Область
- число внутренних
4. Область с граничным контуром e?e?1 ? , склеенная по ребиз R назовем S ? i областью.
Определение
ру
e
и с меткой
ассмотрим произвольное слово w ? G, G - группа Артина с древесной
структурой. Пусть произвольное слово w не равно единице в свободной группе
F и равно единице в G. Тогда на основании теоремы ван Кампена, слово w
является меткой связной односвязной диаграммы M над R. ассмотрим граничную область D карты M . Обозначим через ? внешнюю границу диаграммы
M . Если D является деновской областью, то k ?D ? ? k>k ?D\(?D ? ?) k. Удаление деновской области D диаграммы M , то есть удаление ее граничного пути,
называется деновским сокращением диаграммы M или R- сокращением. Будем
говорить, что M является R- приведенной, если она не содержит деновских
областей.
Определение
R
5.
Слово
w ? G, G
- группа Артина с древесной структу-
F и не содержит подслово s, являющееся подсловом некоторого соотношения r, r = s·t, где
ksk > 12 krk. Назовем w циклически R - приведенным, если все его циклические
перестановки являются R - приведенными словами.
рой, называется
- приведенным, если
w
свободно приведено в
О СТУКТУЕ ЦЕНТАЛИЗАТОА ЭЛЕМЕНТОВ...
75
1. [4? Пусть связная односвязная R-диаграмма M с граничной
w , где w не равно единице в свободной группе F и равно единице в G, не
содержит S ?i областей, тогда она и не содержит внутренней особой точки.
Теорема
меткой
2. [4? Пусть связная односвязная R-диаграмма M с граничной
w ? G, не равной единице в свободной группе F и равной единице в
содержит S ? i областей, но содержит конечное число специально осо-
Теорема
меткой
G,
не
бых точек, тогда на внешнюю границу выходят как минимум три деновские
области;
Теорема
3.
[4? Связная односвязная
R
- диаграмма
M
не содержит
области;
Следствие
меткой
w,
1.
[4? Пусть связная односвязная диаграмма
где слово
свободной группе
F,
w
M
S ?i
с граничной
- циклически приведенное слово, не равное единице в
и равное единице в
G,
не содержит специально особых
точек, то она не содержит и особых внутренних точек.
Из теорем 1,2 и следствия 1 следует, что диаграмма M является однослойной.
Теорема
4.
[4? В группе Артина с древесной структурой разрешима про-
блема равенства слов.
5.
Теорема
G - конечно порожденная группа Артина с дреv и w , слоговая длина каждого из которых равна
G, сопряжены тогда и только тогда, когда суще-
[4? Пусть
весной структурой. Слова
единице в группе Артина
ствует ломанная, состоящая из ребер дерева-граа, которая соединяет вершины, соответствующие данным образующим группы, и каждому из ребер
выделенного пути соответствует соотношение с нечетным числом Кокстера.
Теорема
6.
[4? В группе Артина с древесной структурой разрешима про-
блема сопряженности слов.
7. [3? руппа Артина Gij при mij = 2k + 1изоморна
= y i, а при mij = 2k - группе ht, x; txt?1 = xk i.
Теорема
2k+1
hx, y; x
группе
2
m
m
1. [3? Пусть Gij = hai , aj ; hai aj i ij = haj ai i ji i - группа Артина
и слово w ? Gij циклически несократимо в свободной группе, имеет слоговую
длину, равную 2mij и равно единице в Gij . Тогда при mij = 2k + 1 имеет вид
?m ?1
m
ai ...a?1
a) ai aj ai ...ai aj
j , либо
?m
m ?1 ?1
б) ai aj ai ...ai aj ai ...aj
, либо им обратные;
а при mij = 2k , k > 1
?m ?1
m
а') ai aj ...ai aj ai
aj ...a?1
j , либо
?m
m ?1
б') ai aj ...ai aj ai ...aj
, либо им обратные, m ? {Z\{0}}.
Лемма
76
О. Ю. ПЛАТОНОВА
S
6. Поддиаграмма ? = ni=1 Di образует "полосу" в R-приве? ?
денной диаграмме M с граничным циклом ?M = ? ?? , где ? есть путь A B , ??
A? A?1 B1? B ? , AB = ?? ? ? , A1 B1 = ?? ? ? (ис.1), если
Определение
1.
?i, i = 1, ..., n ? 1 : ?Di ? ?Di+1 = ei
2.
?i, i = 1, ..., n : ?Di ? ? = ?i
3.
| ?D1 ? ? |=| ?D1 \(?D1 ? ?) |
4.
?j, j = 2, ..., n ? 1 :| ?Dj ? ? | +2 =| ?Dj \(?Dj ? ?)|.
где
и
?i
где
ei
- ребро;
- связный путь, причем
| ?i |? 1;
| ?Dn ? ? |=| ?Dn \(?Dn ? ?) |;
В слове w есть R-сокращение, если в приведенной диаграмме M , граничной
меткой которой является слово w , содержится полоса. При этом подслово ?(AB)
слова w , соответствующее пути ? заменяется словом ?(AA1 B1 B) в приведенной
диаграмме M .
A
A?
B
Dn
D1
A1
A?1
7.
2.
где
±1
x, y ? {a±1
i , aj }
Теорема
u называется циклически R - несократимым, если
?
перестановка u не содержит R - сокращения.
M - связная односвязная R, R приведенная кольцевая
Gij , ?, ? -граничные циклы M и ?(?) = xp . Тогда ?(?) =
[3? Пусть
диаграмма над группой
yp,
- сокращение
Слово
любая его циклическая
Лемма
B?1
B1
ис.1 R
Определение
B?
8.
[5? руппа Артина с древесной структурой свободна от кру-
чения.
Лемма
3.
[6? Существует алгоритм, строящий по любому циклически
несократимому в свободной группе и не равному 1 в группе
чески
R, R
, - несократимое слово
w0 ,
сопряженное с
w
G
слову
в группе
w
цикли-
G.
9. [6? Существует алгоритм, строящий по любому несократимому слову w сопряженное с ним или с его квадратом в группе Артина с
древесной структурой слово w0 , любая степень которого R, R - несократима.
Теорема
8. Область D назовем областью первого
где d(D) = k?D ? ?k + k?D ? ?k + 2 .
Определение
?k = k?D ? ?k
,
типа, если
k?D ?
О СТУКТУЕ ЦЕНТАЛИЗАТОА ЭЛЕМЕНТОВ...
77
О
О1
ис.2 R
Определение
2 = k?D ? ?k
, где
Определение
?k = k?D ? ?k + 2
Кольцевые диаграммы
9. Область D назовем областью
d(D) = k?D ? ?k + k?D ? ?k + 2.
10.
, где
второго типа,
D назовем областью третьего
d(D) = k?D ? ?k + k?D ? ?k + 2 .
Область
k?D ? ?k +
типа,
k?D ?
ассмотрим связную кольцевую приведенную R - диаграмму M сопряженности слов v и w . Пусть ?(?) = w, ?(?) = v , где ? - внешняя граница диаграммы
M , а ? - внутренняя.
Предположим, что диаграмма состоит из областей первого типа и одной
области второго (или третьего) типа. Тогда kvk = kwk + 2 , или наоборот
kwk = kvk + 2. В этом случае переход с помощью сопряжения от слова с большей слоговой длиной к слову с меньшей слоговой длиной назовем кольцевым
сокращением.
Определение
Артина
G
11.
Циклически
R
и
R
- несократимое слово
w
в группе
назовем тупиковым, если к нему нельзя применить кольцевое со-
кращение.
4. [7?? Пусть w, v - тупиковые слова из G и пусть w, v сопряжены
в G. Тогда kwk = kvk и никакое слово u ? G такое, что kuk < kvk не сопряжено
с v.
Лемма
Лемма
5.
[7? Пусть
G
- конечно порожденная группа Артина с древесной
A, |A| < ?. И пусть w ? G, w ? R
и R - несократимое слово не равное единице в G. Слово w равно некоторому
слову v ? Gj , где Gj - параболическая подгруппа группы G с множеством
образующих Aj , |Aj | > 1, Aj ? A . Тогда w - слово на образующих Aj .
структурой, с множеством образующих
Лемма
6.
[7? Пусть
G
- конечно порожденная группа Артина с древес-
ной структурой, с множеством образующих A, |A| < ? . И пусть w ? G,
kwk > 1, w - циклически R и R - несократимое, тупиковое слово не равное
единице в G . Слово w сопряжено некоторому слову v ? Gj , то есть суще?1
ствует слово z ? G такое, что z
wz = v , Gj - параболическая подгруппа
группы G с множеством образующих Aj , |Aj | > 1, Aj ? A. Тогда w, z - слова
на образующих Aj , CG (w) = CGj (w) где CG (w) - централизатор элемента w в
группе G, CGj (w)- централизатор элемента w в параболической подгруппе Gj .
78
О. Ю. ПЛАТОНОВА
Теорема
10.
[7? В группе Артина с древесной структурой разрешима
проблема степенной сопряженности, т. е. существует алгоритм, позволяющий для любых двух слов
числа
m
и
n,
и элемент
z
w, v ? G
установить существуют ли натуральные
такие, что
z ?1 w m z = v n .
Каждому образующему группы Артина G соответствует вершина в связном
дереве-грае. Заиксируем вершину, соответствующую некоторому образующему ai группы Артина G. Выделим в дереве - грае все возможные связные
пути с началом в вершине ai . Обозначим через ? (i, j) связный путь, соединяющий в грае вершину ai с вершиной aj . Тогда ? (i, j) = e1 e2 ...et , где es - ребро в
дерево - грае, s = 1, t, t < ?.
ассмотрим два пути ? (i, j) и ? (j, k), и определим для них операцию умножения следующим образом: пусть ? (i, j) = e1 e2 ...et и ? (j, k) = et+1 et+2 ...er , причем
?(et ) = aj = ?(et+1 ), тогда ? (i, j) ? ? (j, k) = ? (i, k), где ? (i, k) - связный путь,
соединяющий вершины ai , ak , такой, что ? (i, k) = e1 e2 ...et et+1 ...er .
Определим для пути ? (i, j) = e1 e2 ...et обратный путь: ? ?1 (i, j) = ? (j, i) =
?1 ?1
?1
et et?1 ...e?1
2 e1 .
Каждому ребру es в деревo-грае соответствет число mij симметрической
матрицы Кокстера для данной группы. Если число mij нечетно, то образующие,
соответствующие вершинам ребра es , сопряжены в группе Артина Gij . Если
mij четно, то образующие, соответствующие вершинам ребра es не сопряжены
в Gij . При этом каждый образующий сопряжен с самим собой частью определяющего соотношения, соответсвующего данному ребру. Действительно, пусть
?(es ) = ai , ?(es ) = aj , ребру es соответствует соотношение hai aj imij = haj ai imji .
Тогда, если число mij нечетно, то образующий ai переходит в образующий aj
при помощи сопряжения словом z ? Gij четной слоговой длины kzk = mij ? 1,
причем z имеет вид z = aj ai ...ai . Если же mij четно, то образующий ai переходит в ai при помощи сопряжения словом z ? Gij нечетной слоговой длины
kzk = mij ? 1, причем z имеет вид z = aj ai ...aj . Каждому ребру es в деревограе, имеющему нечетное число mij , поставим в соответствие ?(es ) = z =
aj ai ...ai , z ? Gij , kzk = mij ? 1, а ребру с четным mij поставим в соответствие
?(es ) = z q = (aj ai ...aj )q , z ? Gij , kzk = mij ? 1, q ? Z .
Обозначим E - множество ребер граа T , Z ? - множество слов из подгрупп
вида Gij , слоговая длина которых равна mij ? 1.
ассмотрим множество P связных подпутей вида ? (i, j) с началом в вершине
ai таких, что если ? (i, j) = e1 e2 ...et , t ? 2, то ребрам es , s = 1, t ? 1 соответствуют
нечетные числы матрицы Кокстера mij , а ребру et - четное. Если длина пути
? (i, j) равна единице, то есть ? (i, j) = e1 , то путь ? (i, j) будет принадлежать
множеству P лишь в том случае, если ребру e1 соответствует четное число
Кокстера mij . Таким образом, множеству P принадлежат минимальные пути
? (i, j).
Определение
12.
ебро
ei
дерево - граа назовем замыкающим ребром
некоторого пути, если ему соответствует четное число Кокстера.
О СТУКТУЕ ЦЕНТАЛИЗАТОА ЭЛЕМЕНТОВ...
79
азобьем каждый путь ? (i, j) = e1 e2 ...et из множества P , длина которого
больше единицы на два подпути следующим образом: ? (i, x) - подпуть, соединяющий вершины ai и ax , состоящий из ребер ? (i, x) = e1 e2 ...et?1 , каждому из
которых соответствует нечетное число Кокстера; ? (x, j) - подпуть, состоящий из
одного замыкающего ребра et , которому соответствует четное число Кокстера.
Множеству P принадлежат все связные минимальные пути ? (i, j), исходящие из одной вершины, при этом последнее ребро каждого пути является замыкающим. Таким образом, все пути, принадлежащие множеству P , образуют дерево - гра Te. Подвергнем гра Te следующему преобразованию:
пусть es - замыкающее ребро некоторого пути дерева - граа Te такое, что
?(es ) = ai , ?(es ) = aj . Положим ?(es ) = ai , ребро es переобозначим eij , а путь,
соответствующий ребру es , через ? (i, j, i). Применим данное преобразование ко
всем замыкающим ребрам дерева - граа Te. В результате получим новый связный гра T , в котором каждая "ветка"заканчивается "петлей".
Каждому пути ? (i, j) из множества P такому, что |? (i, j)| > 1 поставим в
соответствие путь ?ij = ? (i, x) ? ? (x, j, x) ? ? (x, i). Если |? (i, j)| = 1, то ?ij =
? (i, j, i). Ясно, что каждый подпуть ?ij также связен, при этом ?(?ij ) = ?(?ij ) =
ai . Множество всех таких путей ?ij обозначим через P? .
Определим умножение на множестве E ребер, следующим образом: пусть es
и es+1 ребра, принадлежащие грау T такие, что ?(es ) = ?(es+1 ), тогда можно
рассматривать произведение ребер es и es+1 как связный путь. Пусть ? (i, j) =
e1 e2 ...et - связный путь, где ребрам e1 e2 ...et?1 соответствуют нечетные числа
mij , а ребру et - четное mij , тогда ?(? (i, j)) = ?(e1 e2 ...et ) = ?(e1 )?(e2 )...?(et ) =
z1 z2 ...ztq , где ?(es ) = zs , s = 1, t ? 1, ?(et ) = ztq , q ? Z . При этом ?(? (j, i)) =
zt?q ...z1?1 .
ассмотрим
?1 ?1
?(?ij ) = ?(? (i, x)? (x, j, x)? (x, i)) = ?(e1 e2 ...et?1 ex,j e?1
t?1 ...e2 e1 ) =
q ?1
= z1 z2 ...zt?1 zxj
zt?1 ...z2?1 z1?1 ,
если |? (i, j)| > 1; и ?(?ij ) = ?(? (i, j, i)) = ?(eij ) = zijq , если |? (i, j)| = 1. Таким образом, каждому пути ?ij из множества P? в группе Артина G будет соответствоq ?1
вать циклически сократимое слово вида zer = z1 z2 ...zt?1 zxj
zt?1 ...z2?1 z1?1 , где каждые zi принадлежат подгруппе вида Gij , zxj ? Gxj , kzi k = mij ?1,kzxj k = mxj ?1,
q ? Z , i = 1, t ? 1. Множество слов вида zer обозначим Zr , r < ?.
Определение
13.
zer ? Zr назовем количество ребер
через kz
er k.
Слоговой длиной слова
соответствующего пути
?ij ,
и обозначим
В соответствии с этим определением, если путь ?ij состоит из t ребер, то слоговая длина kzer k = t. С другой стороны каждому пути ?ij соответствует подслово из подгруппы Gij . Таким образом, слоговая длина слова zer равна количеству
q ?1
его подслов из подгрупп Gij . Например, если zer = z1 z2 ...zt?1 zxj
zt?1 ...z2?1 z1?1 , то
kzer k = 2(t ? 1) + 1 = 2t ? 1.
80
О. Ю. ПЛАТОНОВА
Лемма
7.
Пусть
ze1 , ze2 , ..., zen ? Zr , kze1 ze2 ...zen k > ke
zi k, i = 1, n, n ? 2
Пусть n = 2.
Случай 1. kz
e1 k = 1, kze2 k = 1. Тогда слову ze1 соответствует путь ?ij , а слову
ze2 - путь ?ik , причем каждый из путей состоит из одного замыкающего ребра,
?(?ij ) = ?(?ik ) = ai . Тогда слово ze1 имеет вид ze1 = (aj ai ...aj )q1 , а слово ze2 =
(ak ai ...ak )q2 , q1 , q2 ? Z .
ассмотрим произведение ze1 ze2 = (aj ai ...aj )q1 ?1 aj ai ...aj ak ai ...ak (ak ai ...ak )q2 ?1 .
Слова ze1 и ze2 являются R - несократимыми, так как длина каждого из них не
превосходит половины определяющего соотношения. Предположим, что сокращение возможно на стыке слов. Тогда в представлении группы должно быть
соотношение, содержащее образующие aj и ak , что невозможно, так как в этом
случае в дерево-грае выделится петля. По этой же причине к слову ze1 ze2 не
применимо R - сокращение.
Случай 2. kz
e1 k > 1, kze2 k > 1. Тогда слову ze1 соответствует путь ?ij , а слову
ze2 - путь ?ik . Если пути ?ij , ?ik не имеют общих точек кроме вершины ai , то проводим рассуждения, аналогичные случаю 1, то есть произведение ze1 ze2 является
R, R - несократимым. При этом kze1 ze2 k = kze1 k + kze2 k.
Предположим теперь, что пути ?ij и ?ik имеют общий подпуть ? (i, b) = e1 ...el ,
?1 ?1
?1 ?1
|? (i, b)| < 12 min{|?ij |, |?ik |}. Пусть ?ij = e1 e2 ...el el+1 ...et?1 exj e?1
t?1 ...el+1 el ...e2 e1 ,
?1 ?1
?1 ?1
?ik = e1 e2 ...el el+1 ...es?1 eyk e?1
s?1 ...el+1 el ...e2 e1 . Тогда произведение ?ij ?ik после
сокращения будет иметь вид:
Доказательство.
?1
?1
?1 ?1
?1 ?1
?ij ?ik = e1 e2 ...el el+1 ...et?1 exj e?1
t?1 ...el+1 el+1 ...es?1 eyk es?1 ...el+1 el ...e2 e1
Полученный путь является связным и несократимым.
Теперь рассмотрим произведение слов ze1 ze2 :
q1 ?1
?1 ?1
ze1 = z1 z2 ...zl zl+1 ...zt?1 zxj
zt?1 ...zl+1
zl ...z2?1 z1?1 ,
?1 ?1
?1 ?1
ze2 = z1 z2 ...zl z l+1 ...z s?1 z qyk2 z ?1
s?1 ...z l+1 zl ...z2 z1 ,
q1 ?1
?1
?1 ?1
?1 ?1
ze1 ze2 = z1 z2 ...zl zl+1 ...zt?1 zxj
zt?1 ...zl+1
z l+1 ...z s?1 z qyk2 z ?1
s?1 ...z l+1 zl ...z2 z1
Слова ze1 , ze2 являются R, R - несократимыми, так как состоят из подслов,
принадлежащих подгруппам вида Gij , длины которых меньше половины определяющих соотношений. После проведения свободных сокращений в слове ze1 ze2
R, R- сокращения могут быть только на стыке слов, но вследствие рассуждений, аналогичных случаю 1, можно заключить, что полученное слово R, R несократимо.
Таким образом, kze1 ze2 k > ke
zi k, i = 1, 2.
Далеее по индукции можно показать, что kze1 ze2 ...zen k > ke
zi k, i = 1, n, n ? 2.
Теорема
11.
G - конечно порожденная группа Артина с древесной
w ? G такое, что kwk = 1, то есть w = asi , i = 1, n. Тогда
элемента w есть подгруппа вида C(w) = hz
e1 , ze2 , ..., zel , ai i, где
Пусть
структурой; слово
централизатор
zer
слова вида:
О СТУКТУЕ ЦЕНТАЛИЗАТОА ЭЛЕМЕНТОВ...
81
q ?1
zer = z1 z2 ...zt?1 z0r
zt?1 ...z2?1 z1?1
(1)
q
zk ? Gij , подслово z0r
соответствует
1, kz0r k = msl ? 1, q ? Z , k = 1, t ? 1.
где
замыкающему ребру и
kzk k = mij ?
Доказательство. Множество P? состоит из путей ?ij = ? (i, x) ? ? (x, j, x) ?
? (x, i), ?(?ij ) = ?(?ij ) = ai . Так как путь ? (i, x) состоит из ребер, каждому
из которых соответствует нечетное число Кокстера, то по теореме 3 образующий ai сопряжен с образующим ax . Пути ? (x, j, x) соответствует замыкающее
ребро, значит образующий ax переходит в себя. Путь ? (x, i) = ? ?1 (i, x), следовательно, образующий ax переходит в образующий ai . Таким образом, слово,
соответствующее пути ?ij , переводит образующий ai в себя. ассмотрим диаграмму M сопряженности asi и asi , состоящая из S ? i областей, |M| = 2t ? 1,
?(?) = ?(?) = asi , где ?, ? - внутренняя и внешняя границы соответственно.
Обозначим ? = ?1 , ?2 , ..., ?2t?1 - внутренние границы областей D1 , D2 , ..., D2t?1
соответственно, а ? = ?1 , ?2 , ..., ?2t?1 - внешние контуры этих областей. Каждой
S ? i области диаграммы M соответствует ребро дерево - граа группы G.
A22
m1
ai1
A21
A12
A11
At1
At2
s
D2t-1
Dt
ai
D2 D1 ai1s-m1
...
...
ax s
axs
ис.3
Диаграмма сопряженности
ais
asi
и
asi .
1. ассмотрим путь ? (i, x) = ? (i, i1 ) ? ? (i1 , i2 ) ? ... ? ? (it?2 , x), где каждому
? (ik , ik+1 ), k = 1, t ? 2 соответствует ребро дерева - граа с нечетным числом
Кокстера.
Путь ? (i, i1 ) содержит ребро e1 с нечетным mii1 , которому соответствует S ?i
область D1 диаграммы M (рис.3), ?(?1 ) = asi , ?(?1) = asi1 (лемма 3). ассмотрим
82
О. Ю. ПЛАТОНОВА
определяющее соотношение для mii1 : asi ai1 ai ...ai1 ai = ai1 ai ...ai asi1 , z1 = ai1 ai ...ai ,
?m1
s
1 s
1 ?1 s
1
тогда z1?1 asi z1 = asi1 , z1?1 asi z1 = am
, a?m
z1 ai z1 am
i1 ai1 ai1
i1
i1 = ai1 . Таким образом,
образующий ai переходит в образующий ai1 при помощи сопряжения словом
m1
1
z1? = z1 am
i1 . Cлово z1 ai1 соответствует пути A11 A12 ? A12 A21 в диаграмме M , где
m1 ? Z .
Проводим аналогичные рассуждения для путей ? (i1 , i2 ), ..., ? (it?2 , x), получаем ai1 ? ai2 , ai2 ? ai3 ,..., ait?2 ? ax , при этом любые два образующие aik?1
k
и aik сопряжены словом zk? = zk am
ik , являющимся меткой пути A(k?1)1 A(k?1)2 ?
A(k?1)2 Ak1 .
Таким образом, пути ? (i, x), переводящим образующий ai в ax , соответствует
m2
mx
1
подслово вида z1 am
i1 z2 ai2 ...zt?1 ax , где mi ? Z, mx ? Z, i = 1, t ? 2.
2. Путь ? (x, j, x) содержит ребро с четным числом Кокстера mit x , которому соответствует S ? i область Dt диаграммы M , ?(?t ) = ?(?t ) = asx . ассмотрим определяющее соотношение для mit x : ait ax ...ait ax = ax ait ax ...ait , тогда
| {z }
| {z }
z0q
q s
a?s
x z0 ax ,
m?
?m?
ax x z0?q asx z0q ax x
z0
z0
=
откуда
=
где q ? Z . Значит образующий ax
?m?
переходит в себя при помощи сопряжения словом z0? = z0q ax x , которому соответствует путь At1 At2 ? At2 A(t+1)1 в диаграмме M .
3. Путь ? (x, i) = ? ?1 (i, x), следовательно, проводя аналогичные рассуждения
как и на 1 шаге, образующий ax сопряжен с ai словом
?m?
asx ,
?m?2 ?1 ?m?1 ?1
z2 ai1 z1 , m?i
?1
zt?1
at?2t?2 ...ai2
? Z, i = 1, t ? 1.
Таким образом, слова asi и asi сопряжены словом
?m?2 ?1 ?m?1 ?1
z2 ai1 z1 ,
?
m2
mx q ?mx ?1
1
z ? = z1 am
zt?1 ...ai2
i1 z2 ai2 ...zt?1 ax z0 ax
(2)
являющимся меткой пути ?(z ? ) = ?(A11 A12 ? A12 A21 ? ... ? A(t?1)2 At1 ? ... ?
A(2t?1)1 A(2t?1)2 ), где mi ? Z, mx ? Z, m?i ? Z, m?x ? Z, i = 1, t ? 1 в диаграмме M .
?1
Проведем следующие преобразования, сделаем вставку членов zt?1
zt?1 и
?1
zt?1 zt?1 в (2), получим:
?
?m?
?m?
q
m2
?1 ?mx ?1
mx ?1
1
z ? = z1 am
zt?1 ...ai2 2 z2?1 ai1 1 z1?1 . Учитыi1 z2 ai2 ...zt?1 ax zt?1 zt?1 z0 zt?1 zt?1 ax
?1 mx
x
вая, что zt?1
ax zt?1 = am
t?2 , получим
m
?m?
+m
?m?
?m?
?m?
m2
x
t?2
?1
?1
1
z ? = z1 am
zt?1 z0q zt?1
at?2t?2 x zt?2
...ai2 2 z2?1 ai1 1 z1?1 .
i1 z2 ai2 ...zt?2 at?2
Вставляя последовательно члены вида zi?1 zi и zi zi?1 , i = t ? 2, 1, получим в
?(m? +m? +...+m?t?2 +m?x )
m +m +...+mt?2 +mx
?1
итоге z ? = ai 1 2
z1 z2 ...zt?1 z0q zt?1
...z2?1 z1?1 ai 1 2
. Тогда,
s ?
? s
учитывая ai z = z ai , имеем
s+
ai
P
mi
?
?1
z1 z2 ...zt?1 z0q zt?1
...z2?1 z1?1 ai
P
m?i
P
= ai
mi
?
?1
z1 z2 ...zt?1 z0q zt?1
...z2?1 z1?1 ai
. Так как централизатору принадлежит ai , то принадлежит и
q ?1
zer = z1 z2 ...zt?1 z0r
zt?1 ...z2?1 z1?1 .
P
m?i +s
О СТУКТУЕ ЦЕНТАЛИЗАТОА ЭЛЕМЕНТОВ...
83
Заметим, что диаграмма M сопряженности слов asi и asi примет вид такой,
что, если ei и ei+1 - два последовательных ребра, соответствующие S ?i областям
Di и Di+1 , то ?(ei ) = ?(ei+1 ), i = 1, t ? 1.
Покажем теперь, что произвольное слово, принадлежащее централизатору
слова единичной слоговой длины представимо в виде (1).
Пусть w = asi , z ? C(w), то есть выполнено равенство zasi z ?1 = asi .
Поставим в соответствие слову z путь p = e1 e2 ...et , где e1 , e2 , ..., et - ребра
дерево-граа. Заметим, каждому ребру ek , у которого ?(ek ) = ah , ?(ek ) = af ,
имеющему нечетное число mhf , соответствует слово вида zk = af ah ...ah . При
этом ?(p) = ?(e1 ) = ?(p) = ?(et ) = ai . Среди ребер e1 , e2 , ..., et есть хотя бы одно
ребро ek четным числом Кокстера (так как в противном случае выделится
петля в дерево-грае), которому соответствует слово вида zkq , q ? Z .
Если длина пути p = 1, то, очевидно, что слово z имеет требуемый вид. Пусть
|p| = t и пусть ei - ребро, которому соответствует четное число Кокстера. Тогда
?1
преобразуем путь p следующим образом: p = e1 e2 ...ei (e?1
i?1 ...e1 e1 e2 ...ei?1 )ei+1 ...et ,
?1
где e?1
i?1 ...e1 - кратчайший путь до вершины, соответствующей образующему ai ,
не содержащий взаимно обратных ребер. В результате данных преобразований
получим путь p0 , который будет иметь вид:
?1
p0 = (e1 e2 ...ei e?1
i?1 ...e1 )e1 ...ei?1 ei+1 ...et .
?1
При этом ?(e1 e2 ...ei e?1
e1 , где ze1 имеет требуемый вид. ассмотрим
i?1 ...e1 ) = z
путь p1 = e1 e2 ...ei?1 ei+1 ...et , при этом |p1 | < |p|. Таким образом, из индуктивного
предположения о том, что ?(p1 ) имеет требуемый вид, следует, что слово ?(p) =
z представимо в виде (1).
Обозначим через Cw (w) централизатор элемента w , полученный из C(w)
вычеркиванием порождающих слова w .
8.
G - конечно порожденная группа Артина с древесной
s
структурой; слово w ? G такое, что kwk = 1, w = a , C(w) - централизатор
элемента w . Тогда группа Cw (w) является свободным произведением цикличеl
Q
ских групп и C(w) = hai Ч Cw (w), где Cw (w) =
?hzer i.
Лемма
Пусть
r=1
Доказательство леммы следует непосредственно из теоремы 10.
СПИСОК ЦИТИОВАННОЙ ЛИТЕАТУЫ
[1? Appel K., Shupp P. Artin groups and innite Coxeter groups // Invenf.Math.
1983. V.72. P. 201 220.
[2? Линдон ., Шупп П. Комбинаторная теория групп. М: Мир,1980.
[3? Безверхний В. Н. ешение обобщенной сопряженности слов в группах Артина большого типа // Фундаментальная и прикладная математика.1999.
Т. 5. ќ1. С. 1 38.
84
О. Ю. ПЛАТОНОВА
[4? Безверхний В. Н., Карпова О. Ю. Проблемы равенства и сопряженности
слов в группах Артина с древесной структурой // Известия Тулу. Сер.
Математика. Механика. Инорматика. 2006г. Т. 12. Вып. 1. С. 67 82.
[5? Безверхний В. Н., Карпова О. Ю. О кручении в группах Артина с древесной структурой // Известия Тулу. Естественные науки. 2008. Вып. 2. С.
6 17.
[6? Безверхний В. Н., Карпова О. Ю. Проблема вхождения в циклическую
подгруппу в группах Артина с древесной структурой. // Чебышевский
сборник. Тула: ТПУ, 2008. T. 9. Вып. 1(25). С. 30 50.
[7? Безверхний В. Н., Карпова О. Ю. ешение проблемы степенной сопряженности в группах Артина с древесной структурой // Известия Тулу.
Естественные науки. Вып. 3. Тула: Изд-во Тулу, 2008г. C. 42 59.
Новомосковский илиал НИХТУ им. Д.И. Менделеева.
Поступило 13.10.2010
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
297 Кб
Теги
слоговое, структура, длина, древесно, элементов, группа, единичного, централизатора, артина
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа