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О сумме значений функции делителей по числам лежащим в арифметических прогрессиях с разностью специального вида.

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12 ??????? ?????????
?????: ??????????. ??????. 2013. ?12(155). ???. 31
MSC 11D45
? ????? ???????? ??????? ????????? ?? ??????,
??????? ? ?????????????? ???????????
? ????????? ???????????? ????
?.?. ??????-?????????
Ф?????????╗,
??. ??????, 66, ????????, ????. ???., ??????
?????????. ???????? ?????? ????????? ??????????????? ??????? ??? ????? ????????
??????? ?k (n) ?? ??????, ??????? ? ?????????????? ?????????? ? ?????????, ??????????
??????? ????????? ??????.
????????
??????????.
?????: ??????? ?????????, ??????? ????????? ?????, ?????? ????
1. ????????. ????? x > 1 ? ???????????? ???????????? ????? ? D = p1 p2 . . . pr , ???
1
p1 , . . . , pr ? ??????? ????? ?????, ??? pj ? x 9 , j = 1, 2, . . . , r, ?????? xr ? D 3 . ??? ?????
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?????????? ?????? ????????? ??????????????? ??????? ??? ?????
X
S=
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1
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? ?????? ?????????? k ? D ?????? ????????? ??????????? ??? S ???????????, ???
??? ??? ???? ????????? ?k (n) ?????????? ????? ???????, ? ?????????? ? ????? ??????.
???? D ? ???????????? ??????????? ?????, ?? ??????????????? ??????? ??? S ???????? ???? ? ??????, ????? D ?????? ? ?????? x ?? ?????, ??? ?????????????? [2]. ? 1979
???? ?.?. ??????? [3] ??????? ??????????????? ??????? ??? S ??? ?????????????
3
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8
, ??? p0 ? ????????????? ???????? ??????? ?????.
k ? 2 ? D = pm
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??????, ??????? ? ?????????????? ?????????? ? ??????? ??????, ????? ???????? ???????? ??????? ????????? ??????.
????? ????? ? ?????? L ?????????? ln x. ???????? ??????????? ?????? ???????? ????????? ???????.
1
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x
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L
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n? lmod D
?????: ??????????. ??????. 2013. ?12(155). ???. 31 13
??????? ?????????
??? Qk?1 (z) ? ????????? ??????? k ? 1 ?? ?????????? z, ? ?????????? ? O(и) ???????
?????? ?? C.
2. ??????????????? ???????????. ??? ?????????????? ???? ??????? ??? ??????????? ????????? ????.
?
????? 1. ????? ??? ???????? D ? x1?? , x ? x1 ? x1? 2 , 0 < ? < 1/2 ???????????
????????? ???????????
X
x ? x1
?k (n) ?
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D
x ?n?x ,
1
n? lmodD
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?????????????? ??. ? [4, c.30].
????? 2. ????? k, l ? ?????????. ????? ????? ???????????
X
l
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a<n?b
?????????????? ??. ? ?????? ?.?. ????????????? [5].
????? 3 [?????? ???????????]. ????? ? ? ??????????? ???????? ?? ?????? D.
????? ??????????? ??????
X
?
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n?x
?????????????? ??. ? [6, c.123].
????? 4. ????? ? ? ??????????? ???????? ?? ?????? D. ????? ??? N < N ? ? 2N
??????????? ????????? ???????????
X
?(n) ? cN 1?? ,
N ?n?N ?
??? ? ?????????, ? ? ?????????? ?????????.
?????????????? ??. ? [1].
3. ?????????????? ???????. ???????? ??????????? ??????? ?k (n) ?????
X
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n1 n2 ...nk ? lmodD ,
n1 n2 ...nk ?x
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???????? ?????????? ???????????? ?? ?????? ?????????? ?? L ??????????? ????
(Nj , 2Nj ]. ?????????????? ????? ????????? ????? S ?????????? ?? Lk ???? S1 ????:
X
X
X
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n1 n2 ...nk ? lmodD ,
n1 n2 ...nk ?x
14 ??????? ?????????
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?????: ??????????. ??????. 2013. ?12(155). ???. 31
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X
X
X
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N <n ?2N
N <n ?2N
N <n ?2N
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k
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X
X
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N2 <n2 ?2N2
Nk <nk ?2Nk
n1 n2 ...nk ?x ,
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X
X
X
1 X
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?(n1 )
?(n2 ) и и и
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N <n ?2N
N <n ?2N
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k
k
n1 n2 ...nk ?x
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??????????? ???????? ????? ???????, ???
N1 ? N2 ? Nr+1 ? N3 ? Nr+2 . . . ,
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N1 V ? U ? V,
1
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(u), ?k?r
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n2 n3 . . . nr = u ,
nr+1 nr+2 . . . nk = v ,
??? Ni < ni ? 2Ni , i = 2, 3, . . . , k .
?????? ????? R ? ??????? ?????? ? ????????? x1?? /D.
2
1. ????? ??????? D > x1?? N1?1 , ?? ???? N1 > x 3 ?? . ????? N2 . . . Nk ? xN1?1 ? Dx? .
?? ????? ??????????? ?????
X
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N1 <n1 ?2N1 ,
n1 ?x(n2 ...nk )?1
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?????: ??????????. ??????. 2013. ?12(155). ???. 31 15
??????? ?????????
2. ?????????? ?????? U ? x? . ?? ?????? ??????????? ?????? ?????
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,
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??? D ? x 3 ?? ? ??????? 3? = ?.
3. ????? ?????? U > x? . ???????? ???????? (N1 , 2N1 ] ?? LA ???????????:
(N1 , N1 (1 + L?A )] ? (N1 (1 + L?A ), N1 (1 + 2L?A )] ? и и и ? (N1 (1 + (n ? 1)L?A ), N1 (1 + nL?A )].
? ?????????? ????????????? ???????????? ?? ?????? ???? ??????????? ???????
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n2 n3 . . . nk = n,
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???????? ??????? ???????????? nn1 ? x ?? ??????? nN ? ? x ? ?????? ???????????? ??? ???? ?????? R?
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N ? <n1 ?N ? (1+L?A )
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n? ln?1
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??? ?????? ?????????? ????? ??????? ?????????? ???????? ????? 1, ? ??? ??????????
????? ??????? ?????????? ? ?? ?? ?????, ??????? ? ??? D = 1:
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x
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D
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R = R?? + O
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U < n2 . . . nr , m2 . . . mr ? Uv .
?????? ?????? ?1 . ???????????? ???????? mi ?? ?????????? (Ni , 2Ni ], ???????
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U ? x 4 . ? ??????????, ???????,
??? ????? ????? ???????????
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U < n2 . . . nr , m2 . . . mr ? Uv .
i = 2, 3, . . . , r .
?????? ???????? ?3 . ??????????? ???????? mi ?? ?????????? (Ni , 2Ni ]. ????? ?????
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S=
Qk?1 (ln x) + O
L
.
?(D)
D
??????????
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3. ??????? ?.?. ????? ???????? ??????? ????????? ? ?????????????? ??????????? ?
?????????, ?????? ??????? ???????? ????????? ????? // ????. ?? ????, ????? ??????????????. ? 1979. ? 43,?4. ? C.892-908.
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1961. ? 208 ?.
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ON THE SUM ?k (n) ON NUMBERS LYING IN ARITHMETICAL
PROGRESSIONS WITH DIFFERENCE OF A SPECIAL TYPE
M.S. German-Evtushenko
"OOOYandex",
Lenin St., 66, Balashikha, Moscow region, Russia
Abstract. The asymptotic formula of the sum of function ?k (n) values on numbers lying in
arithmetical progressions with truly composite di?erences is obtained.
Key words: function of factors, truly composite numbers, estimation of character sums.
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суммы, прогрессия, арифметических, разность, вида, специальное, делителей, функции, значение, лежащие, числа
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