close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О тождествах и квазитождествах алгебр многообразия b 1 1.

код для вставкиСкачать
42
Библиографический список
1. Штерн А. И. Квазипредставления и псевдопредставления //
Функц. анализ и его прил. 1991. Т. 25, № 2.
2. Файзиев В. А. Об устойчивости одного функционального уравнения
на группах // Успехи мат. наук. 1993. Т. 48, № 1.
3. Григорчук Р. И. Ограниченные когомологии групповых конструкций // Мат. заметки. 1996. Т. 59, № 4.
4. Бардаков В. Г. О ширине вербальных подгрупп некоторых свободных конструкций // Алгебра и логика. 1997. Т. 36, № 5.
5. Каган Д. З. Псевдохарактеры на аномальных произведениях локально индикабельных групп // Фундаментальная и прикладная матем.
2006. Т. 12, вып. 3.
6. Каган Д. З. Псевдохарактеры на свободных группах, инвариантные
относительно некоторых типов эндоморфизмов // Фундаментальная и
прикладная матем. 2012. Т. 17, № 2.
7. Добрынина И. В., Каган Д. З. О ширине вербальных подгрупп в
некоторых классах групп // Чебышевский сборник. 2015. Т. 16, вып. 4.
8. Бродский С. Д. Уравнения над группами и группы с одним определяющим соотношением // Сибирский матем. журнал. 1984. Т. 25, № 2.
О ТОЖДЕСТВАХ И КВАЗИТОЖДЕСТВАХ
АЛГЕБР МНОГООБРАЗИЯ B1,1
В. К. Карташов (г. Волгоград)
E-mail: kartashovvk@yandex.ru
Через B1,1 обозначается многообразие алгебр с двумя унарными операциями f и g, определяемое тождеством f g(x) = x.
Алгебры этого многообразия рассматривались в работах [1–4]. Очевидно, что многообразие B1,1 вклчает в себя многообразие A1,1 унарных
алгебр с двумя операциями f и g, заданное тождествами
f g(x) = gf (x) = x.
К настоящему времени получено значительное количество результатов об алгебрах многообразия A1,1 , имеющих окончательный характер
([1, 3, 4]).
В этой заметке установлено, что B1,1 является покрытием для A1,1 в
решетке всех многообразий алгебр с двумя унарными операциями.
43
В дальнейшем N означает множество неотрицательных целых чисел
и N0 = N ∪ {0}.
Очевидно, что на любой алгебре многообразия B1,1 истинны следующие тождества
1) f k g m+k (x) = g m (x), k, m ∈ N0 ;
2) f k+m g k (x) = f m (x), k, m ∈ N0 ;
3) g s f s g s (x) = x, s ∈ N0 ;
4) (gf )k (x) = gf (x), k ∈ N.
Пусть i, k ∈ N0 и i ≤ k. Обозначим через Qi,k квазитождество вида
(∀x)(g k u(x) = x → g i f i (x) = x),
где u(x) – произвольный терм сигнатуры {f, g}.
Теорема. Любое квазитождество вида Qi,k истинно на каждой алгебре многообразия B1,1 .
Нетрудно также проверить что квазитождество
(∀x)(g n (x) = x → f n (x) = x)(n ∈ N0 )
истинно на любой алгебре многообразия B1,1 .
Напомним [5], что бициклической полугруппой называется полугруппа S(f, g) с двумя порождающими элементами f и g и определяющим
соотношением f g = e, где e – единица полугруппы.
Очевидно, что любой полигон над бициклической полугруппой можно
интерпретировать как алгебру многообразия B1,1 .
Следствие. Квазитождества вида Qi,k истинны на любом полигоне
над бициклической полугруппой и, в частности, – на самой полугруппе
S(f, g).
В работе также найдены условия, при которых решетка ConA конгруэнций произвольной алгебры A многообразия B1,1 является цепью,
модулярной либо дистрибутивной.
Библиографический список
1. Бощенко А. П. Решетки конгруэнций унарных алгебр с двумя операциями f и g, удовлетворяющими тождеству g(f (x)) = x. Деп. в ВИНИТИ 20.04.98. Волгоград, 1998. № 1220-В98.
2. Акатаев А. А., Смирнов Д. М. Решетки подмногообразий многообразий алгебр // Алгебра и логика. 1968. Т. 7, № 1.
44
3. Горбунов В. А. Покрытия в решетке квазимногообразий и независимая аксиоматизируемость // Алгебра и логика. 1977. Т. 16, № 5.
4. Карташов В. К. Характеризация решетки квазимногообразий алгебр A1,1 // Алгебраические системы : межвуз. сб. Волгоград, 1989.
5. Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп : в 2
т. М. : Мир, 1972. Т.1.
О РЕШЕТКАХ ТОПОЛОГИЙ ПОЛИГОНОВ
НАД ПОЛУГРУППАМИ ПРАВЫХ И ЛЕВЫХ НУЛЕЙ
А. В. Карташова (г. Волгоград)
E-mail: kartashovaan@yandex.ru
Левым полигоном над полугруппой S (или просто полигоном) называется множество X, на котором задано действие полугруппы S, т.е.
задано отображение S × X → X, (s, x) 7→ sx, удовлетворяющее условию
(ts)x = t(sx) при s, t ∈ S, x ∈ X.
Полигоны над полугруппами образуют широкий класс алгебраических объектов, которые изучались многими авторами с различных точек
зрения (см., например, [1–3]).
Полугруппой правых (левых) нулей называется полугруппа S, удовлетворяющая тождеству st = t(st = s) для любых s, t ∈ S.
В [4] изучались решётки конгруэнций полигона над полугруппой правых или левых нулей.
Пусть X – полигон над полугруппой S и σ – некоторая топология на
множестве X. Будем говорить, что σ – топология данного полигона, если
для любых s ∈ S и U ∈ σ множество {x|sx ∈ U } ∈ σ.
Нетрудно показать, что множество =(X) всех топологий полигона X
является решеткой по включению.
Теорема 1. Пусть X – полигон над полугруппой S правых нулей и sx 6=
tx для некоторых s, t ∈ S и x ∈ X. Тогда решетка =(X) топологий
этого полигона немодулярна и не является решеткой с дополнениями.
Отсюда, в силу [5, теорема 9],получаем
Следствие. Решетка =(X) топологий полигона X над полугруппой S
правых нулей является решеткой с дополнениями тогда и только тогда, когда sx = tx для всех s, t ∈ S и x ∈ X.
Теорема 2. Пусть S – полугруппа правых или левых нулей. Тогда решетка =(X) топологий произвольного полигона X над полугруппой S
модулярна в том и только том случае, когда |X| ≤ 2.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
280 Кб
Теги
алгебра, многообразие, квазитождествах, тождества
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа