close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О тождествах пространств линейных преобразований над бесконечным полем.

код для вставкиСкачать
О тождествах пространств линейных преобразований . . .
УДК 512.554.33
А.В. Кислицин
О тождествах пространств линейных
преобразований над бесконечным полем
A.V. Kislitsin
On Identities of Spaces of Linear
Transformations over Innite Field
В данной работе построен пример линейной
алгебры A, обладающей конечным базисом
тождеств (как алгебры), которая является
бесконечно базируемой, если ее рассматривать как векторное пространство. Векторное
пространство A представляет собой прямую
сумму двух векторных пространств, каждое из
которых имеет конечный базис тождеств.
The author constructs the example of linear algebra A that have nite identity basis. If A is
considered as vector space, it is innitively based
algebra.
The space A is a direct sum of two vector
subspaces each of which has the nite basis of
identities.
Ключевые слова: тождество, слабое тожде-
Key words: identity, weak identity, identity
basis, nitely based algebra, innitely based algebra.
В 1976 г. С. В. Полин [1] для любого конечного поля P построил пример конечной неассоциативной линейной P -алгебры, удовлетворяющей тождеству x(yz ) = 0, не имеющей конечного базиса тождеств. Этот результат показывает,
что теорема Львова-Крузе о конечной базируемости тождеств конечного ассоциативного кольца не выполняется для произвольного (неассоциативного) кольца (линейной алгебры над конечным полем). В 1977 г. Ю. Н. Мальцевым и
В. А. Парфеновым был приведен пример неассоциативной пятимерной алгебры над полем нулевой характеристики, с указанием ее бесконечного неприводимого базиса тождеств [2]. Позже,
в 1978 г. И. В. Львовым был построен пример
шестимерной неассоциативной бесконечно базируемой алгебры V = V ? E , где V { конечномерное векторное пространство; E ? EndF V ;
F { некоторое поле [3]. Он также установил связь между базисами тождеств пространства E и алгебры V . В 1989 г. И.М. Исаев
доказал, что многообразие, порожденное неассоциативной пятимерной алгеброй V = V ? E
(здесь V = hv1 , v2 iP { векторное пространство,
E = he11 , e12 , e22 iP ? EndP V , P { конечное
поле), удовлетворяющей тождеству x(yz ) = 0,
является существенно бесконечно базируемым
[4]. В [5] для любого конечного поля P строится
линейная P -алгебра, не имеющая независимого
базиса тождеств.
Введем основные определения, используемые в работе. Пусть F { некоторое поле;
~ { алгебра R, рассматриваR { F -алгебра; R
емая как векторное пространство над полем
F ; F [X ] { свободная ассоциативная алгебра
от множества образующих X ; G ? F [X ] { некоторое непустое подмножество. Многочлен
f (x1 , x2 , . . . , xn ) ? F [X ] называется тождеством алгебры R, если f (a1 , a2 , . . . , an ) = 0
при всех a1 , a2 , . . . , an ? R. Пусть далее
= {?1 , ?2 , . . . , ?t } { множество операций,
производных от операций алгебры R, Re 6= ? {
подмножество R, замкнутое относительно операций (например, = {+, [ ], ╖?} { множество
операций алгебры Ли; = {+, ?, ╖?} { операции
йордановой алгебры). Скажем, что полином
f (x1 , x2 , . . . , xn ) ? F [X ] { слабое тождество
пары (R, Re), если f обращается в нуль в алгебре R при подстановке вместо переменных
e.
x1 , x2 , . . . , xn любых элементов из алгебры R
В том случае, когда это не вызывает недоразумений, будем говорить, что некоторый полином f
является тождеством векторного пространства
~ , если f { слабое тождество пары (R, R
~ ). Пусть
R
F [X ] { алгебра, порожденная образующими
множества X относительно операций . Тогда
идеал I / F [X ] называется слабым вербальным
идеалом, если из того что f (x1 , x2 , . . . , xk ) ? I
следует, что f (y1 , y2 , . . . , yk ) ? I при всех
ство, базис тождеств, конечно базируемая алгебра, бесконечно базируемая алгебра.
37
МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
y1 , y2 , . . . , yk ? F [X ] .
Будем говорить, что
слабое тождество g(x1 , x2 , . . . , xk ) пары (R, R~ )
является следствием слабых тождеств fi =
fi (z1 , z2 , . . . , zli ), i = 1, 2, . . . , t, если g ле-
жит в слабом вербальном идеале, содержащем
f1 , f2 , . . . , ft .
Через T (G) обозначим T -идеал алгебры
F [X ], порожденный множеством G, а через
L(G) { идеал F [X ], который порожден множеством полиномов, полученных из полиномов G
только линейными заменами переменных. Скажем, что множество полиномов G ? F [X ] называется базисом тождеств алгебры R (пространства R~ ), если все тождества R (соответственно R~ ) следуют из конечной совокупности
G. Если все тождества алгебры R следуют из некоторой конечной совокупности тождеств этой
алгебры, то алгебру R называют конечно базируемой (или короче, КБ-алгеброй). В противном случае говорят, что R { не конечно базируема или бесконечно базируема (коротко: НКБалгебра). Аналогичную терминологию будем
применять к векторным пространствам.
В связи с рассмотрением некоторыми авторами слабых тождеств (например, в [6]) особый интерес представляет поиск базисов тождеств алгебр, рассматриваемых как векторные пространства, поскольку тождества таких структур в некотором смысле "самые слабые" (так как новых
производных операций в этом случае не возникает). Оказывается, если в конструкции линейной
алгебры "отказаться" от операции умножения
(т. е. допускать в тождествах лишь линейные
замены переменных) и рассматривать алгебру
как векторное пространство над полем, то полученная структура может оказаться бесконечно
базируемой, даже если она обладала конечным
базисом тождеств, будучи алгеброй. В настоящей работе приведен пример конечно базируемой алгебры, являющейся бесконечно базируемым векторным пространством. Построенный
пример является прямой суммой двух антиизоморфных алгебр, каждая из которых, рассматриваемая как векторное пространство, имеет
конечный базис тождеств.
пространства R~ и g = 0 { некоторое тождество
~ . Тогда g = 0 следует из G как тождество проR
странства R~ , т. е. g ? L(G). Но вместе с этим
g = 0 { тождество R, и g = 0 следует из G, как
тождество алгебры R, т. е. g ? T (G). Таким
образом, T (G) = L(G).
Пусть теперь T (G) = L(G) и пусть g = 0 {
произвольное тождество в R. Тогда g = 0 следует из G как тождество алгебры R. Получаем,
что g ? T (G) = L(G), т. е. g ? L(G). Таким
образом, g = 0 следует из G как тождество пространства R~ , т. е. G { базис тождеств R~ .
Лемма доказана.
Лемма 2. Пусть F { бесконечное поле,
R { F -алгебра. Если для всех x1 , x2 , . . . , xd ? R
выполняется f (X ) = f (x1 , x2 , . . . , xd ) = 0, где
f (x1 , x2 , . . . , xd ) ? F [x1 , x2 , . . . , xd ] и degx =
l, то
P в R справедливы тождества fi (X ) =
? (X ) = 0 для любого 1 ? i ? l.
k
degxk ?(X )=i
Доказательство. Пусть f (X ) = f1 (X ) +
f2 (X )+ ╖ ╖ ╖ + fl (X ), где degxk fj (X ) = j , 1 ? j ? l.
Сделаем замену xk ? ?xk , ? ? F . Получим
f (X ) = ?f1 (X ) + ?2 f2 (X ) + ╖ ╖ ╖ + ?l fl (X ).
Теперь сделаем замены ? ? ?1 , ? ?
?2 , . . . , ? ? ?l , где ?i ? F , ?i =
6 ?j при i =
6 j.
Получим систему равенств, которая в матричной форме записывается следующим образом:
=?0, где
?
?
?
?1 ?21 . . . ?l1
f1 (X )
? ?2 ?22 . . . ?l2 ?
?f2 (X )?
?
?
?
=?
?. . . . . . . . . . . .? и = ? . . . ?.
fl (X )
?l ?2l . . . ?ll
Матрица имеетQопределитель Вандермонда: || = ?1 ?2 . . . ?l (?i ? ?j ) 6= 0. Следоваi>j
тельно, она обратима. Умножив обе части равенства = 0 на ?1 слева, будем иметь E =
= 0, т. е. f1 (X ) = f2 (X ) = ╖ ╖ ╖ = fl (X ) = 0.
Лемма доказана.
Замечание. Из леммы 2 следует, что если
основное поле бесконечно, то все тождества
некоторой алгебры над этим полем можно считать однородными.
Пусть F { бесконечное поле,
Некоторые вспомогательные утверждения. Сформулируем и докажем две следующие
A1
=
Лемма 1. Пусть R { некоторая F -алгебра,
{ алгебра R, рассматриваемая как векторное пространство над полем F . Если G { базис тождеств алгебры R, то G является базисом тождеств пространства R~ тогда и только тогда, когда L(G) = T (G).
Доказательство. Пусть G { базис тождеств
A2
=
леммы.
~
R
38
╜╡
a
b
╜╡
a
b
0
0
╢
╛
|a, b ? F
0 0
╢
,
╛
|a, b ? F
и A = A1 ? A2 { F -алгебры; A~ 1 , A~ 2 и A~ { алгебры A1 , A2 и A соответственно, рассматриваемые как векторные пространства над полем
F . Исследуем вопрос конечной базируемости тождеств указанных алгебр и пространств.
О тождествах пространств линейных преобразований . . .
Основные результаты.
Теорема.
Векторное пространство
над полем F является НКБпространством с базисом тождеств
~=A
~1 ? A
~2
A
{x[y, u]v, [x, y ][u, v ],
[x, y]z1 z2 . . . zm [u, v]|m = 1, 2, 3, . . . }.
T ([x, y ]z ) = L([x, y ]z ),
При этом алгебра A конечно базируема с базисом тождеств {x[y, u]v, [x, y][u, v]}.
Рассмотрим многочлены
[x, y]z
(1)
x[y, z ]
(2)
[x, y][u, v]
(3)
x[y, u]v
(4)
[x, y]z1 z2 . . . zm [u, v], m = 1, 2, 3, . . .
(5)
Предложение 1. Полином (1) образует базис тождеств пространства A~ 1 .
Доказательство.
Пусть M1
=
varh[x, y]z = 0i, A1 = var A1 . Докажем, что
A1 ? M1 .
Легко видеть, что e12 A1 = 0, и, если x, y ?
A1 , то [x, y ] = ?e12 , ? ? F . Таким образом, любая алгебра из A1 удовлетворяет тождеству (1),
т. е. A1 ? M1 .
Докажем обратное включение.
?(X )
= ?(x1 , x2 , . . . , xn ) =
P Пусть
?
?
?
ai xi1 1 xi2 2 . . . xi
= 0, где ai ? F { произвольное тождество A1 . Учитывая (1), его можно
переписать как
i
i
in
n
?(X ) = ?(x1 , x2 , . . . , xn ) =
X
? (i) ? (i)
? (i)
bi x1 1 x2 2 . . . x
bk . . . x?nn (i) xkk
= 0,
Из леммы 2 следует, что ?(X ) = 0 можно
считать однородным. Тогда, поскольку (1) { тождество A1 , то в алгебре A1 выполняется соотношение
k?{1,2,...,n}
ak x?11 x2?2 . . . x
bk . . . x?nn x?kk
= 0.
Сделав подстановки xi ? e11 (i
=
1, 2, . . . , t ? 1, t + 1, . . . , n), xt ? e11 + e12 для некоторого t ? {1, 2, . . . , n}, получим at e12 = 0, откуда следует, что at = 0, т. е. все ak будут равны
нулю. Таким образом, коэффициенты при всех
одночленах ?(X ) равны нулю, т. е.
?(x1 , x2 , . . . , xn ) ? 0
т. е. в силу леммы 1 тождество (1) образует базис тождеств векторного пространства A~ 1 .
Предложение доказано.
Аналогично доказывается утверждение для
антиизоморфного случая. А именно, справедливо следующее
Предложение 2. Полином (2) образует базис тождеств пространства A~ 2 .
Доказательство теоремы. Рассмотрим
многообразия алгебр M = varhx[y, u]v =
[x, y][u, v] = 0i и A = var A.
Непосредственной проверкой можно убедиться, что если x, y, u, v ? A, то [x, y] =
(?1 e12 , ?2 e21 ), ?1 , ?2 ? F , и [x, y][u, v] = 0, а также A[x, y]A = 0. Таким образом, любая алгебра
из A удовлетворяет тождествам (3) и (4), т. е.
A ? M.
Докажем обратное включение.
? (X )
= ?(x1 , x2 , . . . , xn ) =
P Пусть
?
?
?
ai xi1 1 xi2 2 . . . xi
= 0, где ai ? F { произвольное тождество A. Из леммы 2 следует, что
? (X ) = 0 можно считать однородным. Поскольку A = A1 ? A2 , то ?(X ) = 0 также является
тождеством алгебр A1 и A2 . Рассмотрим следующие случаи в зависимости от количества и
степени переменных, входящих в ?(X ).
Случай 1. n = 1.
В этом случае ?(X ) = ?(x1 ) = ax?11 = 0, т. е.
для всех x1 ? A выполняется соотношение
i
i
is
s
ax?11
k ? {1, 2, . . . , n}.
X
Следовательно, M1 ? A1 , и окончательно получаем A1 = M1 . Это означает, что {[x, y]z} {
базис тождеств алгебры A1 . Учитывая соотношение [xy, z ] = x[y, z ] + [x, z ]y и антисимметричность коммутатора, получим, что
(mod T ([x, y]z )).
39
= 0,
из которого после подстановки x1 ? e11 следует,
что a = 0.
Случай 2.
n = 2, degx1 ? (X ) = ?1 ? 1,
degx2 ?(X ) = ?2 ? 1.
По модулю тождества (4): ?(X ) =
? (x1 , x2 ) = ax1 x?22 x?11 ?1 + bx2 x?11 x?22 ?1 + cx?11 x?22 +
dx?22 x?11 = 0, т. е. для всех x1 , x2 ? A выполняется
ax1 x?22 x?11 ?1 + bx2 x?11 x?22 ?1 +
cx?11 x?22
+ dx?22 x?11 = 0.
Далее, поскольку (3) является тождеством в
A, для всех x, y, u, v ? A имеем xyuv = xyvu +
yxuv ? yxvu. Подставляя в это соотношение
МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
x ? x1 , y ? x?22 ?1 , u ? x2 , v ? x1?1 ?1 ,
получим,
используя (4):
x1 x?22 x?11 ?1 = x?11 x?22 + x?22 x?11 + x2?2 ?1 x?11 x2 .
Таким образом, можно считать, что для всех
x1 , x2 ? A имеет место соотношение
bx2 x?11 x?22 ?1 + cx1?1 x2?2 + dx?22 x?11 = 0.
Подставив x1 ? e11 + e12 , x2 ? e11 , получим
de12 = 0, т. е. d = 0. Таким образом,
bx2 x?11 x?22 ?1 + cx1?1 x?22 = 0.
Далее подставим x1 ? e11 + e21 , x2 ? e11
и получим ce21 = 0, откуда следует, что c = 0.
Получаем, что
bx2 x?11 x?22 ?1 = 0.
После подстановки x1 ? e11 , x2 ? e11 получим, что be11 = 0 и b = 0. Другими словами
? (x1 , x2 ) ? 0 (mod T (x[y, u]v, [x, y ][u, v ])).
Случай 3. n ? 3, degx ?(X ) = ?i ? 1.
Применяя (4), можно утверждать, что для всех
x1 , x2 , . . . , xn ? A выполняется
i
X
k,l?{1,2,...,n}
k6=l
X
m?{1,2,...,n}
akl x?kk x?11 x2?2 . . . x
bk . . . x
bl . . . x?nn x?l l +
bm xm x?11 x?22 . . . x
bm . . . x?nn x?mm ?1
= 0.
Поскольку для всех x, y, u, v ? A справедливо
соотношение xyuv = xyvu + yxuv ? yxvu, то подставим x ? xt , y ? x?11 , u ? x?22 x?33 . . . xbt . . . x?n ,
v ? x?t ?1 (при t 6= 1 и t 6= n) в предположении,
что ?t ? 2 (в противном случае нет смысла рассматривать вторую сумму). Учитывая, что (4) {
тождество в A, получим
n
t
xt x?11 x?22 . . . x
bt . . . x?nn x?t t ?1 =
x?t t x?11 x?22 . . . x?nn + x1?1 x?22 . . . x?nn x?t t ?
x?11 x?22 . . . x?t t . . . x?nn .
Если же t = 1, то, сделав замены x ? x1 ,
y ? x?22 , u ? x?33 x?44 . . . x?nn , v ? x1?1 ?1 , получим
x1 x?22 . . . x?nn x?11 ?1 = x1?1 x2?2 . . . x?nn +
x?22 x?33 . . . x?nn x?11 ? x?22 x?11 x?33 . . . x?nn .
При t = n подставим в исходное соотношение x ? xn , y ? x1?1 , u ? x?22 x?33 . . . x?n?11 ,
v ? x?n ?1 . Будем иметь
n?
n
?n?1 ?n ?1
xn x?11 x?22 . . . xn?
1 xn
?n?1
x?nn x?11 x?22 . . . xn?
1
=
+ x?11 x?22 . . . x?n
Таким образом, можно предположить, что
для всех x1 , x2 , . . . , xn ? A выполняется:
X
k,l?{1,2,...,n}
k6=l
akl x?kk x?11 x?22 . . . x
bk . . . x
bl . . . x?nn x?l l
= 0.
Далее, заменяя в (3) x ? xr , y ? x1 ,
u ? x?11 ?1 x?22 . . . x?r 1 ?1 . . . x?s s ?1 . . . x?nn , v ? xs
(r 6= 1, s 6= n), получим:
xr x?11 x?22 . . . x?r r ?1 . . . x?s s ?1 . . . x?nn xs =
xr x?11 x?22 . . . x?r r ?1 . . . x?nn +
x?11 x?22 . . . x?s s ?1 . . . x?nn xs ? x?11 x?22 . . . x?nn .
Таким образом, мы можем считать, что для
всех x1 , x2 , . . . , xn ? A имеет место следующее
соотношение:
ax?11 x?22 . . . x?nn +
X
bk xk x?11 x?22 . . . x?kk ?1 . . . x?nn +
k?{2,3,...,n}
X
cl x?11 x?22 . . . x?l l ?1 . . . x?nn xl = 0
l?{1,2,...,n?1}
Выполнив подстановку xt ? e11 + e12 для
некоторого t ? {1, 2, . . . , n ? 1}, xi ? e11 (i =
1, 2, . . . , t? 1, t +1, . . . , n), получим, что ct e12 = 0,
откуда следует, что ct = 0, т. е. все cl будут равны нулю. Будем иметь:
ax?11 x?22 . . . x?nn +
X
bk xk x?11 x?22 . . . x?kk ?1 . . . x?nn
k?{2,3,...,n}
= 0.
Теперь подставим xt ? e11 + e21 для некоторого t ? {2, 3, . . . , n}, xi ? e11 (i 6= t). Получим:
bt e12 = 0 и bt = 0, т. е. все bk будут равны нулю.
Тогда имеет место следующее равенство:
ax?11 x?22 . . . x?nn
= 0,
и после подстановки xi ? e11 , i = 1, 2, . . . , n, получим, что ae11 = 0 и a = 0. Таким образом,
? (x1 , x2 , . . . , xn ) ? 0
(mod T (x[y, u]v, [x, y][u, v])).
Следовательно, M ? A, и окончательно получаем M = A. Тогда {x[y, u]v, [x, y][u, v]} { базис тождеств алгебры A.
?
?1 ?2
?n ?n?1
x1 x2 . . . xn xn?1 .
n
40
О тождествах пространств линейных преобразований . . .
Далее из соотношения [xy, z ] = x[y, z ] +
[x, z ]y и антисимметричности коммутатора следует, что
T ([x, y ][u, v ], x[y, u]v, [x, y ]z1 , z2 , . . . , zm [u, v ]) =
L([x, y ][u, v ], x[y, u]v, [x, y ]z1 , z2 , . . . , zm [u, v ]),
m = 1, 2, . . . ,
откуда по лемме 1 получим, что полиномы (3){(5) образуют базис тождеств векторного пространства A~ .
Докажем теперь, что векторное пространство A~ является НКБ-пространством.
Пусть Gl =
{[x, y ][u, v ], x[y, u]v, [x, y ]z1 z2 . . . zm [u, v ]|m
=
1, 2, . . . , l} и gl+1 = [x, y]z1 z2 . . . zl+1 [u, v]. Предположим, что все тождества пространства A~
следуют из некоторой конечной совокупности
тождеств {f1 , f2 , . . . , ft }. Тогда f1 ? L(Gk1 ),
f2 ? L(Gk2 ), . . . , ft ? L(Gk ). Пусть k =
max{k1 , k2 , . . . , kt }. Тогда f1 , f2 , . . . , ft ? L(Gk )
и, поскольку gk+1 = 0 { тождество A~ , то
gk+1 ? L(Gk ). Другими словами, полином
gk+1 = 0 следует из множества полиномов
~ =
Gk . Рассмотрим векторное пространство V
ha, b1 , b2 , . . . , bk+3 iF , вложимое в алгебру V =
ha, b1 , b2 , . . . , bk+3 iF с определяющими соотношениями a2 = abi1 bi2 . . . bi a = bi abj = [bi , bj ] = 0,
m ? k + 2. Легко видеть, что все полиномы из
Gk являются тождествами в этом пространстве.
Однако, выполнив подстановку x ? a, v ? a,
y ? b1 , u ? b2 , zi ? bi+2 , i = 1, 2, . . . , k + 1,
получим, что gk+1 = ab1 b2 . . . bk+3 a 6= 0. Значит,
gk+1 = 0 не следует из тождеств множества Gk .
Полученное противоречие показывает, что A~ {
НКБ-пространство.
Теорема доказана.
Некоторые следствия. В работе [3] рассматривался вопрос конечной базируемости тождеств алгебры V = V ? E (V { векторное пространство, E ? EndF V , F { поле) из многообраt
m
зия varhx(yz ) = 0i. Ненулевые произведения алгебры V задаются правилом (v1 + e1 )(v2 + e2 ) =
v1 e2 (v1 e2 { результат действия преобразования
e2 ? E на вектор v1 ? V ). В частности, в [3]
доказано, что некоторое множество ассоциативных полиномов G = {g1 , g2 , . . . } является базисом тождеств векторного пространства E тогда и только тогда, когда множество неассоциативных полиномов zG = {zg1 , zg2 , . . . } (расстановка скобок { правонормированная) образует
базис тождеств алгебры V = V ? E . Из этого
следует, что неассоциативная линейная алгебра
V = V ? E имеет конечный базис тождеств тогда и только тогда, когда векторное пространство E имеет конечный базис тождеств.
Положим V = hv1 , v2 , v3 , v4 iF , E =
he11 , e12 , e33 , e43 iF ?
= A~ = A~ 1 ? A~ 2 . Определим на
V умножение, при котором все ненулевые произведения базисных элементов задаются правилом
vi eij = vj . Легко видеть, что определенная таким образом алгебра V = V ? A~ принадлежит
многообразию varhx(yz ) = 0i.
Таким образом, из доказанной теоремы и работы [3] вытекает
Следствие. Неассоциативная алгебра V =
~ , где V = hv1 , v2 , v3 , v4 iF и A
~ = A
~1 ? A
~2
V ?A
является НКБ-алгеброй с базисом тождеств
{x(yz ), z [x, y ][u, v ], zx[y, u]v,
z [x, y ]z1 z2 . . . zk [u, v ]|k
= 1, 2, . . . }
(расстановка скобок в словах, где это не указано, предполагается правонормированной ).
Автор выражает глубокую благодарность
своему научному руководителю доценту
И.М. Исаеву за постановку задачи, помощь при
написании работы и тщательное вычитывание
текста, а также профессору Ю.Н. Мальцеву за ценные советы, замечания и постоянное
внимание к работе.
Библиографический список
1. Полин С.В. О тождествах конечных алгебр
// Сибирский математический журнал. {
1976. { Т. XVII, № 6.
2. Мальцев Ю.Н., Парфенов В.А. Пример
неассоциативной алгебры, не допускающей
конечного базиса тождеств // Сибирский
математический журнал. { 1977. { Т. XVIII,
№ 6.
3. Львов И.В. Конечномерные алгебры с бесконечными базисами тождеств // Сибирский математический журнал. { 1978. {
Т. XIX, №1.
41
4. Исаев И.М. Существенно бесконечно базируемые многообразия алгебр // Сибирский
математический журнал. { 1989. { Т. 30, № 6.
5. Isaev I.M. Finite algebras with no independent basis of identities // Algebra Universalis.
{ 1997. { Vol. 37.
6. Размыслов Ю.П. О конечной базируемости
тождеств матричной алгебры второго порядка над полем характеристики нуль // Алгебра и логика. { 1973. { Т. 12, № 1.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
224 Кб
Теги
поле, над, пространство, линейный, бесконечный, преобразование, тождества
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа