close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О топологических свойствах технологического множества в динамической модели Леонтьева с непрерывным временем.

код для вставкиСкачать
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 20, вып. 5, 2015
Если X есть или открытое в Π множество, содержащее Σ -произведение всех пространств Xj с центром в некоторой точке произведения Π , или само X является таким Σ -произведением, то ограничение на X любой проекции prα является открытым и
сюръективным отображением. Кроме того, пространство со счетной сетью наследственно
сепарабельно и тихоновское произведение счетной системы пространств со счетной сетью
является пространством со счетной сетью. Поэтому получаем
Q
С л е д с т в и е 2. Пусть все сомножители тихоновского произведения Π = {Xj : j ∈
∈ J} являются пространствами со счетной сетью, а подмножество X этого произведения есть или открытое в Π множество, содержащее Σ -произведение всех пространств Xj с центром в некоторой точке произведения Π , или само является таким
Σ -произведением, то верны утверждения 1.-4. теоремы 4.
Поступила в редакцию 22 мая 2015 г.
Bludova I.V. ON SPACES WITH DIRECTED SYSTEMS OF OPEN MAPS
If a topological space X has a countably directed system L of open maps fα onto hereditarily
separable spaces Xα , α ∈ A , and L has some natural properties, then 1. any system λ of L -cylinder
subsets in X (i. e. sets of the form fα−1 M such that M ⊂ Xα , α ∈ A ) and any system λ of unions
of Gδ -subsets in X contains a countable subsystem µ of λ , that is dense in λ (i.e. the closures of
the unions of the systems µ and λ coincide), 2. any maps f of X onto a separable metric space may
be «passed through» one of maps fα (i.e. f is the composition of this fα and a map of Xα ). These
results allow to obtain correspondent results for Tychonoff products of hereditarily separable spaces and
for subspaces of Tychonoff products of spaces with a countable nets.
Key words: countably directed system of open onto maps of a topological space; Tychonoff product;
Σ -product; hereditarily separable space; space with a countable net; Gδ -(Suslin property).
Блудова Ирина Валентиновна, Московский государственный технический университет имени
Н.Э. Баумана, г. Москва, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент
кафедры «Основы математики и информатики» СУНЦ 1, e-mail: irina-bludova@yandex.ru
Bludova Irina Valentinovna, Bauman Moscow State Technical University, Moscow, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Fundamentals of Mathematics
and Computer Science Department, e-mail: irina-bludova@yandex.ru
УДК 517
О ТОПОЛОГИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО
МНОЖЕСТВА В ДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ЛЕОНТЬЕВА С
НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ
c
О.М. Божинская, Н.Г. Павлова
Ключевые слова:линейные управляемые системы; множество достижимости.
В работе исследуется вопрос о топологических свойствах технологического множества
в динамической модели Леонтьева с непрерывным временем, в которой управлением
служит функция непроизводственного потребления. Получены необходимые условия
замкнутости технологического множества.
1071
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 20, вып. 5, 2015
В настоящей работе изучаются топологические свойства технологического множества в
динамической модели Леонтьева с непрерывным временем. Коэффициенты матрицы прямых затрат в динамической модели включают прямые материальные затраты, возмещение
выбытия и ремонт основных фондов, а зависимость размера капиталовложений от валового выпуска выражается в форме линейного акселератора Харрода. В исследуемой модели
управлением служит функция непроизводственного потребления, принимающая значения
в конечнопорожденном выпуклом конусе. Модель может быть применима для исследования поведения экономической системы на длительных временных интервалах при условии
отсутствия технического прогресса.
В изучаемой модели производственный процесс описывается с помощью технологического множества. Технологическим множеством называется множество всех технологически допустимых векторов чистых выпусков продукции. Одним из важных (с экономической
точки зрения) свойств технологического множества является его замкнутость, т.е. возможность применения «крайних» режимов производства. В данной работе получены необходимые условия замкнутости технологического множества в открытой динамической модели
Леонтьева с непрерывным временем.
Формализуем поставленную задачу. Рассмотрим объект, поведение которого описывается линейной системой обыкновенных дифференциальных уравнений
ẋ = Ax + Bu, t ∈ [0, T ],
(1)
x(0) = 0.
(2)
с начальным условием
Здесь x = (x1 , x2 , . . . , xn )∗ ∈ Rn — n -мерный вектор фазового состояния системы, u =
= (u1 , u2 , . . . , um )∗ ∈ Rm — m -мерный вектор управления, A — матрица n × n , а B —
матрица n × m . Здесь и далее знак «*» означает транспонирование.
Допустимым управлением будем называть всякую существенно ограниченную функцию
u(t), t ∈ [0, T ] , для которой u(t) ∈ K для п. в. t , K — выпуклый конечнопорождённый
конус, т. е.
(
)
k
X
m
m
λi ui , λi > 0, ui ∈ R , i = 1, k .
K= v∈R :v=
i=1
Здесь ui — заданные векторы из Rm , причем ui 6= 0̄ ∀i = 1, k.
Множеством достижимости DT в момент времени T назовем множество всех точек
из фазового пространства Rn , в которые можно перейти на отрезке времени [0; T ] из
точки x(0) = 0 по решениям системы уравнений (1) при всех возможных допустимых
управлениях u(·) :
˙ ∈ [0; T ],
DT = {y ∈ Rn : ∃u(·) ∈ L∞ [0; T ], u(t) ∈ K ∀t
y = x(T ), где x(·)—решение (1), (2), соответствующее u(·)}.
Определим матрицы:
Bi = Ai−1 B, i = 1, n.
(3)
Следующая теорема дает условия, гарантирующие открытость множества DT \{0} .
Т е о р е м а 1 [1]. Пусть для любого i ∈ {1, 2, . . . , k}
rang{B1 ui , B2 ui . . . , Bn ui } = n.
1072
(4)
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 20, вып. 5, 2015
Тогда множество DT \{0} является открытым.
Открытая динамическая модель Леонтьева описывается системой межотраслевых балансовых соотношений (см. [2])
x = Ãx + B̃ ẋ + u, t ∈ [0, T ],
(5)
x(0) = 0.
(6)
с начальным условием
Здесь x = (x1 , x2 , . . . , xn )∗ ∈ Rn — n -мерный вектор валовых выпусков отраслей, u =
= (u1 , u2 , . . . , un )∗ ∈ Rn — n -мерный вектор управления (вектор непроизводственного
потребления), Ã — матрица ( n × n ) прямых затрат, а B̃ — матрица ( n × n ) прироста
основных производственных фондов.
Матрица Ã = (ãij ) , i, j = 1, n , является продуктивной. Считаем также, что матрица
B̃ является диагональной: B̃ = diag{b̃1 , b̃2 , . . . , b̃n } , b̃i > 0 , i = 1, n , т. е. прирост выпуска
каждого вида продукции пропорционален капитальным вложениям в его производство.
Допустимой функцией непроизводственного потребления (допустимым управлением)
будем называть всякую существенно ограниченную функцию u(t), t ∈ [0, T ] , для которой
u(t) ∈ Rn+ для п. в. t .
Технологическим множеством в момент времени T является множество
n
o
PT = (−Ãy; y) y ∈ DT ,
(7)
где DT — множество достижимости, т. е. множество всех возможных векторов валовых
выпусков, которые можно получить на отрезке времени [0; T ] для модели (5), (6) при всех
возможных допустимых функциях непроизводственного потребления.
Для получения основных результатов применим теорему 1 к модели (5), (6). Заметим,
что задача (5), (6) эквивалентна
ẋ = Ax + Bu, t ∈ [0, T ],
x(0) = 0,
(8)
где A = B̃ −1 (E − Ã) , B = −B̃ −1 , E — единичная матрица порядка n .
Тогда матрицы (3) для исследуемой модели имеют вид
B1 = −B̃ −1 = (b1ij ), i, j = 1, n,
(9)
b1ii = −b̃−1
i , i = 1, n; b1ij = 0, i 6= j, i, j = 1, n;
B2 = B̃ −1 (Ã − E)B̃ −1 = (b2ij ), i, j = 1, n,
(10)
2 B3 = B̃ −1 (E − Ã)
−B̃ −1 = −B̃ −1 (Ã − E)B2 = (b3ij ), i, j = 1, n,
(11)
2
−1
b2ii = b̃−1
(ãii − 1), i = 1, n; b2ij = b̃−1
i
i b̃j ãij , i 6= j, i, j = 1, n;
b3ij =
−1
−b̃−1
i b̃j
n
X
b̃−1
k aik akj i, j = 1, n,
k=1
aii = ãii − 1, i = 1, n, aij = ãij , i 6= j, i, j = 1, n;
r−1 Br = B̃ −1 (E − Ã)
−B̃ −1 = −B̃ −1 (Ã − E)Br−1 = (brij ), i, j = 1, n, r = 4, n,
(12)
1073
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 20, вып. 5, 2015
brij =
−1
(−1)r b̃−1
i b̃j
r
X
Y
Y
b̃−1
kl
kl =1 l=1,r−2
l=1,r−2
akl akl+1 aik1 akr−2 j , i, j = 1, n,
l=1,r−3
aii = ãii − 1, i = 1, n, aij = ãij , i 6= j, i, j = 1, n.
Заметим также, что для рассматриваемой задачи
u1 = (1, 0, . . . , 0), u2 = (0, 1, . . . , 0), . . . , un = (0, 0, . . . , 1).
(13)
Тогда в силу (9) и (13) имеем
∗
, i = 1, n;
,
0,
.
.
.
,
0
B1 ui = −b̃−1
i
(14)
∗
−1
−1 −1
−1 −1
, i = 1, n,
B2 ui = b̃−1
b̃
a
,
b̃
b̃
a
,
.
.
.
,
b̃
b̃
a
1i
2i
ni
n i
1 i
2 i
(15)
в силу (10) и (13)
где
aii = ãii − 1, i = 1, n, aij = ãij , i 6= j, i, j = 1, n;
в силу (11) и (13)

−1
−b̃−1
1 b̃i
n
P
b̃−1
k a1k aki

k=1

n
P

−1
−1
 −b̃2 b̃i
b̃−1
k a2k aki

B3 ui = 
k=1

...

n
P

−1
−b̃−1
b̃
b̃−1
n i
k ank aki
k=1
где





 , i = 1, n,




(16)
aii = ãii − 1, i = 1, n, aij = ãij , i 6= j, i, j = 1, n;
в силу (12) и (13)

−1
(−1)r b̃−1
1 b̃i





−1
 (−1)r b̃−1
2 b̃i

Br ui = 




 (−1)r b̃−1 b̃−1

n i
где
r
P
Q
kl =1 l=1,r−2
l=1,r−2
r
P
Q
kl =1 l=1,r−2
l=1,r−2
r
P
Q
b̃−1
kl
b̃−1
kl
...
kl =1 l=1,r−2
l=1,r−2
b̃−1
kl
Q
akl akl+1 a1k1 akr−2 i
l=1,r−3
Q
akl akl+1 a2k1 akr−2 i
l=1,r−3
Q
l=1,r−3
akl akl+1 ank1 akr−2 i








 , i = 1, n, r = 4, n, (17)






aii = ãii − 1, i = 1, n, aij = ãij , i 6= j, i, j = 1, n.
Отсюда получаем необходимые условия замкнутости технологического множества в рассматриваемой модели.
1074
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 20, вып. 5, 2015
Т е о р е м а 2. Пусть в модели (5), (6) технологическое множество PT замкнуто.
Тогда выполнены следующие условия
∃ i = 1, n, ∃αj ∈ R, j = 2, n :
+
n
P
r=4
∀s = 2, n
−1
αr b̃−1
s b̃i
−1
α2 b̃−1
s b̃i asi
r
P
+
Q
kl =1 l=1,r−2
l=1,r−2
j=2
n
P
−1
α3 b̃−1
s b̃i
b̃−1
kl
Q
n
P
αj2 6= 0,
k=1
b̃−1
k ask aki +
(18)
akl akl+1 ask1 akr−2 i = 0,
l=1,r−3
где aii = ãii − 1, i = 1, n, aij = ãij , i 6= j, i, j = 1, n .
Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу (7) из замкнутости технологического множества PT
следует замкнутость множества достижимости DT . Тогда в силу теоремы 1 имеем
∃ i = 1, n : rang{B1 ui , B2 ui . . . , Bn ui } < n.
(19)
Из (14) следует, что условие (19) эквивалентно следующему
∃ i = 1, n : rang{B2 ui . . . , Bn ui } < n − 1.
(20)
В свою очередь условие (20) выполняется тогда и только тогда, когда
∃ i = 1, n, ∃αj ∈ R, j = 2, n :
n
X
j=2
αj2 6= 0,
n
X
αj Bj ui = 0.
(21)
j=2
В силу (15) – (17) имеем

−1
b̃−1
1 b̃i a1i

 −1 −1
n
X
 b̃ b̃ a2i
2 i
αj Bj ui = α2 

...

j=2

−1
b̃−1
n b̃i ani

−1
(−1)r b̃−1
1 b̃i





−1
n
(−1)r b̃−1
X 
2 b̃i

αr 
+

r=4



 (−1)r b̃−1 b̃−1

n i
r
P


n
P
b̃−1
k a1k aki

k=1


n
P


−1
−1
−1


 + α3  −b̃2 b̃i k=1 b̃k a2k aki




...


n
P

−1
b̃k−1 ank aki
−b̃−1
b̃
n i
k=1
Q
kl =1 l=1,r−2
l=1,r−2
r
P
Q
kl =1 l=1,r−2
l=1,r−2
r
P
−1
−b̃−1
1 b̃i
Q
b̃−1
kl
b̃−1
kl
...
kl =1 l=1,r−2
l=1,r−2
b̃−1
kl
Q





+




akl akl+1 a1k1 akr−2 i
l=1,r−3
Q
akl akl+1 a2k1 akr−2 i
l=1,r−3
Q
l=1,r−3
akl akl+1 ank1 akr−2 i








.






Отсюда и из (21) следует утверждение теоремы. 2
Для случая n = 2 и n = 3 условия (18) имеют более простой вид.
Рассмотрим двухсекторную модель экономики
u1
ẋ1
b̃1 0
x1
ã11 ã12
x1
, t ∈ [0, T ],
+
+
=
u2
ẋ2
x2
ã21 ã22
x2
0 b̃2
(22)
1075
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 20, вып. 5, 2015
с начальным условием
x1 (0) = x2 (0) = 0.
(23)
Заметим, что задача (22), (23) эквивалентна следующей
−1
−1
u1
b̃1
0
x1
1 − ã11 −ã12
b̃1
0
ẋ1
, t ∈ [0, T ],
−
=
u2
x2
−ã21 1 − ã22
ẋ2
0 b̃−1
0 b̃−1
2
2
x1 (0) = x2 (0) = 0.
Тогда для рассматриваемой задачи
B1 = −
B2 =
b̃−1
0
1
0 b̃−1
2
,
−1
b̃−1
0
ã11 − 1
ã12
b̃1
0
1
=
ã21
ã22 − 1
0 b̃−1
0 b̃−1
2
2
 2

−1
b̃−1
(ã11 − 1)
b̃−1
1
1 b̃2 ã12
.
2
=
−1
−1
(ã
−
1)
b̃
b̃−1
b̃
ã
22
21
2
1 2
В силу того, что u1 = (1, 0)∗ , u2 = (0, 1)∗ имеем
0
−b̃−1
1
,
, B1 u2 =
B1 u1 =
−b̃−1
0
2
B2 u1 =
!
2
(ã11 − 1)
b̃−1
1
−1
b̃−1
1 b̃2 ã21
, B2 u2 =
Таким образом,
rang {B1 u1 , B2 u1 } =
rang {B1 u2 , B2 u2 } =
−1
b̃−1
1 b̃2 ã12
2
b̃−1
(ã22 − 1)
2
!
.
1, ã21 = 0,
2, ã21 6= 0,
1, ã12 = 0,
2, ã12 6= 0.
Отсюда и из теоремы 1 следует утверждение теоремы 3.
Т е о р е м а 3. Пусть в двухсекторной модели (22), (23) технологическое множество
PT замкнуто. Тогда ã12 ã21 = 0 .
Рассмотрим трехсекторную модель экономики
x = Ãx + B̃ ẋ + u, t ∈ [0, T ],
(24)
x(0) = 0.
(25)
с начальным условием
Здесь x = (x1 , x2 , x3 )∗ ∈ R3 , u = (u1 , u2 , u3 )∗ ∈ R3 , Ã , B̃ — матрицы размера ( 3 × 3 ).
Для модели (24), (25) имеем
u1 = (1, 0, 0), u2 = (0, 1, 0)∗ , u3 = (0, 0, 1),

b̃−1
0
0
1
B1 = −  0 b̃−1
0 ,
2
0
0 b̃−1
3

1076
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 20, вып. 5, 2015
 

B2 = 


 b̃−1
1
b̃−1
1
2
(ã11 − 1)
−1
b̃−1
2 b̃1 ã21
−1
b̃−1
3 b̃1 ã31
2 P
3
b̃−1
k a1k ak1

k=1

3
 −1 −1 P
b̃−1
B3 = − 
k a2k ak1
 b̃2 b̃1
k=1


3
−1 P −1
b̃k a3k ak1
b̃−1
3 b̃1
k=1
где
−1
b̃−1
1 b̃2 ã12
2
(ã22 −
b̃−1
2
−1
b̃−1
3 b̃2 ã32
1)
−1
b̃−1
2 b̃3 ã23
2
b̃−1
(ã33 −
3
k=1
3
P
k=1
1)


,



b̃−1
a
a
1k k3 
k
k=1

3

−1 −1 P −1
b̃2 b̃3
b̃k a2k ak3 
,
k=1

2 P

3
−1
−1
b̃k a3k ak3
b̃3
3
−1 P −1
b̃k a1k ak2
b̃−1
1 b̃2
k=1
2 P
3
b̃−1
b̃−1
2
k a2k ak2
−1
b̃−1
3 b̃2

−1
b̃−1
1 b̃3 ã13
−1
b̃−1
1 b̃3
b̃−1
k a3k ak2
3
P
k=1
aii = ãii − 1, i = 1, 3, aij = ãij , i 6= j, i, j = 1, 3.
Тогда для модели (24), (25)






0
0
−b̃−1
1
 , B1 u3 =  0  ,
B1 u1 =  0  , B1 u2 =  −b̃−1
2
0
−b̃−1
0
3
(26)
 2



b̃−1
b̃−1
ã12
1
2
b̃−1
(ã
−
1)
11
 1 −1 −1

 −1 2

B2 u1 = 
,
B
u
=

 b̃2
(ã22 − 1)  ,
2
2
b̃ b̃ ã21
2
1
−1
b̃−1
3 b̃1 ã31


−1
b̃−1
3 b̃2 ã32
−1
b̃−1
1 b̃3 ã13
−1
−1


B2 u3 =  b̃2 b̃3 ã23
,
2
−1
(ã33 − 1)
b̃3


2 P
3
3
−1 −1 P −1
−1
−1
−
b̃
b̃
b̃k a1k ak2
−
b̃
b̃
a
a
1k
k1
1 2
1
k



k=1
k=1



3
3
 2 P


−1 −1 P −1
 , B3 u2 =  − b̃−1
b̃−1
−
b̃
b̃
b̃
a
a
B3 u1 = 
2k
k1
2
2 1
k a2k ak2
k



k=1
k=1






3
3
−1 −1 P −1
−1 P −1
−
b̃
b̃
b̃k a3k ak2
−b̃−1
b̃
b̃
a
a
3k
k1
3 2
3 1
k
k=1
k=1


3
−1 −1 P −1
−
b̃
b̃
b̃k a1k ak3 
1 3

k=1


3


−1 −1 P −1

b̃k a2k ak3 
B3 u3 =  −b̃2 b̃3
,

 k=1


3
2 P
− b̃−1
b̃−1
a
a
3k
k3
3
k

(27)




,



(28)
k=1
aii = ãii − 1, i = 1, 3, aij = ãij , i 6= j, i, j = 1, 3.
Из (26) следует, что для любого i = 1, 3
rang {B1 ui , B2 ui , B3 ui } = rang {B2 ui , B3 ui } + 1.
В то же время, вследствие (27) и (28), ∀i = 1, 3 rang {B2 ui , B3 ui } = 2 тогда и только тогда,
когда
3
3
X
X
a2i
b̃−1
a
a
=
6
a
b̃−1
3i
3k ki
k
k a2k aki , i = 1, 3.
k=1
k=1
1077
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 20, вып. 5, 2015
Отсюда из теоремы 1 следует утверждение теоремы 4.
Т е о р е м а 4. Пусть в трехсекторной модели (24), (25) технологическое множество
PT замкнуто. Тогда существует такое i = 1, 3 , что
a2i
3
X
k=1
b̃−1
k a3k aki = a3i
3
X
b̃−1
k a2k aki ,
k=1
где
aii = ãii − 1, i = 1, 3, aij = ãij , i 6= j, i, j = 1, 3.
ЛИТЕРАТУРА
1. Арутюнов А.В., Павлова Н.Г. О топологических свойствах множества достижимости линейных систем // Дифференциальные уравнения. 2004. Т. 40. № 2. С. 1564–1566.
2. Батищева С.Э., Каданэр Э.Д., Симонов П.М. Экономико-математическое моделирование. П.: ПГУ,
2010.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда
фундаментальных исследований (проект № 15-01-04601).
Поступила в редакцию 26 мая 2015 г.
Bozhinskaya O.M., Pavlova N.G. TOPOLOGICAL PROPERTIES OF THE TECHNOLOGICAL
SET IN LEONTIEV DYNAMIC MODEL WITH CONTINUOUS TIME
Topological properties of the technological set in Leontiev dynamical model with continuous time
are analyzed. The function of non-production consumption is taken as a control. Necessary conditions of
closedness of technological set are given.
Key words: linear controlled system; set of attainability.
Божинская Ольга Михайловна, Российский университет дружбы народов, г. Москва, Российская
Федерация, аспирант кафедры нелинейного анализа и оптимизации, e-mail: ymnitsa2008@yandex.ru
Bozhinskaya Olga Mikhailovna, Peoples’ Friendship University of Russia, Moscow, the Russian Federation, Post-graduate Student of the Department of Nonlinear Analysis and Optimization, e-mail:
ymnitsa2008@yandex.ru
Павлова Наталья Геннадьевна, Российский университет дружбы народов, г. Москва, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры нелинейного анализа и
оптимизации, e-mail: natasharussia@mail.ru
Pavlova Natalia Gennadievna, Peoples’ Friendship University of Russia, Moscow, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Department of Nonlinear
Analysis and Optimization, e-mail: natasharussia@mail.ru
1078
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа