close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О точных значениях n-поперечников некоторых классов функций в весовом пространстве Бергмана.

код для вставкиСкачать
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН
2010, том 53, №6
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
М.С.Саидусайнов
О ТОЧНЫХ ЗНАЧЕНИЯХ n-ПОПЕРЕЧНИКОВ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ
ФУНКЦИЙ В ВЕСОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ БЕРГМАНА B2
Хорогский государственный университет им. М.Назаршоева
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 14.04.2010 г.)
В статье найдены точные значения аппроксимационных n -поперечников классов аналитических в единичном круге функций в весовом пространстве Бергмана B2 .
Ключевые слова: интеграл Лебега – весовая функция – модуль непрерывности m -го порядка – наилучшее приближение – n -поперечники.
1. Пусть  — множество натуральных чисел,      {0} ,   – множество положительных чисел вещественной оси.
Говорят [1], что аналитическая в единичном круге функция

f ( z )   ck z k z   eit 0    10  t  2
(1)
k 0
принадлежит весовому пространству Бергмана Bq 1  q   , если
f
Bq 
 1

 2
1 2

0 0
1 q

 (  )  f (  e )  d  dt   

it
q
где  (  ) – неотрицательная суммируемая весовая функция, и интеграл понимается в смысле Лебега.
Обозначим через fa( r ) ( z)( z  1r ) производную r -го порядка аналитической функции f ( z ) по аргументу t комплексного переменного z   exp(it ) , то есть
def
f a(1) ( z ) 
f ( z ) df ( z ) z

  f ( z )  zi
t
dz t
и при r  2 производную f a( r ) ( z ) определим рекуррентным равенством
f a( r )   f a( r 1) ( z ) 
(1)
a
Адрес для корреспонденции: Саидусайнов Муким Саидусайнович. Республика Таджикистан, 736000, г.Хорог,
ул.Ленина, 28, Хорогский государственный университет. E-mail: smuqim@list.ru
420
Математика
М.С.Саидусайнов
Под Bq( r) понимаем класс аналитических в круге  z  1 функций f ( z ) , для которых
f a( r ) ( z )  Bq .
Через
def
En ( f ) Bq   inf





f  pn 1

Bq 
 pn 1 ( z )  n 1 


(2)
обозначим наилучшее приближение f ( z)  Bq подпространством n1 – алгебраических комплексных полиномов степени  n  1 , а через
m ( f  h) B   sup tm f
2
t  h
Bq 
 sup
m
 (1)
mk
t  h k  0
 m   i (  kt ) 

  f   e

k
Bq 
(3)
обозначим модуль непрерывности m -го порядка в пространстве Bq , 1  q   . Для оценки наилучших приближений (2) функций f ( z)  Bq наряду с (3), используют усредненную характеристику гладкости (см.,напр. [2],[3])
t




 m

0

1 s

t
s
1

m ( f  t ) s 
  mh f (  ei ) dh1dhm  t  0

L

s
t

0

где h  (h1 h2  hm ) mh  1h1  1hm  h j f  f (  h j )  f () .
Для аналитических функций f ( z )  B2(r) вводим в рассмотрение экстремальную характеристику следующего вида
mnr  p (t )  sup
f B2( r)
f  const
2m  2  n r En 1 ( f ) B2
1 p
 t p (r )

  m ( f a   n)d 
0


где m n  r     p    1  r  p  20  t    n .
Имеет место следующая
Теорема 1. Пусть m n  r    1  r  p  2 и 0  t    n . Тогда справедливо равенство
 t  sin   mp  2 
mnr  p (t )    1 

  
 0 
1 p

Следствие 1. В условиях теоремы 1 справедливы равенства
mnr 2 m (t )   t  Si (t ) 
421
m 2

Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2010, том 53, №6
t

где Si (t )   1 sin  d – интегральный синус. В частности,
0
m 2

2
  
m  n  r  2  m    
 
 2     Si (  2) 
2. Прежде чем привести другие результаты, нам понадобятся следующие определения и обозначения. Если M – некоторый выпуклый центрально-симметричный компакт в пространстве B2 ,
то через bn (M B2 )dn (M B2 )d n (M B2 ) n (M B2 ) и (M B2 ) соответственно обозначим
бернштейновский,
колмогоровский,
гельфандовский,
линейный
и
проекционный
n -поперечники. Указанные поперечники связаны соотношениями
bn (M B2 )  d n (M B2 )  dn (M B2 )   n (M B2 )  (M B2 )
Пусть
(t )t  0 – произвольная непрерывная возрастающая функция, (0)  0 . Через
Wa ()  Wa (m r )m r   , обозначим класс функций f ( z)  B2 для которых при любых t  0
выполняется неравенство
1 p
 t p (r )

  m ( f a  )d 
0

 (t )
Следуя работе С.Б.Вакарчука [4], через t обозначим величину аргумента x  (0) функции
sin x  x , при которой она достигает своего наименьшего значения. Очевидно, что t есть наименьший из положительных корней уравнения x  x(4 49  t  4 51) .
При этом полагаем


sin t
sin x
 sin x 



если0  x  t 1 
еслиx  t  
1 
  1 
x  
x
t



Теорема 2. Пусть m n  . Если при любых t  (0) мажоранта  удовлетворяет условию
m

 (t )
  sin  

   1 
 d 
 (  n)  0 
  
1 2
1 2
m
t n
  sin  

   1 
 d  
  
 0 
(4)
то справедливы равенства
 Wa () B

n 

2 
2
m 2
n
 r 1 2
  sin t  m 
   1 
 dt 
t  
 0 
422
1 2
 
   
n
(5)
Математика
М.С.Саидусайнов
где  n () — любой из вышеперечисленных n -поперечников. При этом множество мажорант, удовлетворяющих условию (4), не пусто. Этому условию удовлетворяет, например, функция
 (t )  t
 2
 где   

m
 sin t 
0 1  t  dt 
Поступило 15.04.2010 г.
Л И Т Е РАТ У РА
1.
2.
3.
4.
Шабозов.М.Ш. – Докл. РАН, 2007, т.412, 4, с.466-469.
Руновский К.В. – Матем.сборник, 1984, т.185, 8, с.81-102.
Стороженко Э.А., Кропов В.Г., Освальд П. – Матем.сборник, 1975, т.98, 140, с.395-415.
Вакарчук С.Б. – Мат.заметки, 2005, т.78, 5, с.792-796.
М.С.Саидусайнов
ДАР БОРАИ ЌИМАТИ АНИЌИ n-ЌУТРЊОИ БАЪЗЕ СИНФИ ФУНКСИЯЊО
ДАР ФАЗОИ ВАЗНДОРИ БЕРГМАН B2
Донишгоњи давлатии Хоруѓ ба номи М.Назаршоев
Дар маќола ќимати аниќи n -ќутрњои аппроксиматсионї барои баъзе синфи функсияњои
дар давраи воњидї аналитикї дар фазои вазндори Бергман ёфта шудаанд.
Калимањои калидї: интеграли Лебег – функсияњои вазндор – модули бефосилагии тартиби m -ум –
наздиккунии бењтарин – n -ќутрњо.
M.S.Saidusainov
ON THE EXACT VALUE OF n-WIDTHS OF SOME CLASSES OF FUNCTIONS
IN THE WEIGHTED BERGMAN SPACE B2
M.Nazarshoev Khorog State University
In article were founded the exact values of n -approximation widths for some class of analytical in
the unit circle functions in the weighted Bergman space.
Key words: Lebegue integral – modulus of continuity of m order – best approximation – n -widths.
423
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
306 Кб
Теги
классов, значения, пространство, поперечников, бергман, функции, некоторые, весовой, точных
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа