close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О хрупком разрушении твёрдых тел при образовании «Узкого» изолированного дефекта.

код для вставкиСкачать
Научный журнал КубГАУ, №111(07), 2015 года
1
УДК 539.3
UDC 539.3
01.00.00 Физико-математические науки
Physics and mathematical sciences
О ХРУПКОМ РАЗРУШЕНИИ ТВЁРДЫХ ТЕЛ
ПРИ ОБРАЗОВАНИИ «УЗКОГО» ИЗОЛИРОВАННОГО ДЕФЕКТА
ABOUT FRAGILE FRACTURE OF SOLIDS IN
THE FORMATION OF A "NARROW" ISOLATED DEFECT
Дунаев Владислав Игоревич
д-р физ.-мат. наук, профессор
Dunaev Vladislav Igorevich
Dr.Sci.Phys. and Math., professor
Георгияди Владимир Георгиевич
аспирант
Georgiyadi Vladimir Georgievich
postgraduate student
Попов Валерий Васильевич
канд. тех. наук, доцент
Popov Valeriy Vasilevich
Cand.Tech.Sci., associate professor
Тугуз Тимур Казбекович
ассистент
Кубанский государственный технологический университет, Краснодар, Россия
Tuguz Timur Kazbekovich
assistant
Kuban State University of Technology, Krasnodar,
Russia
В работе получен макроскопический критерий
хрупкого разрушения (предельная кривая) при образовании изолированного дефекта в форме
«узкой» выточки, когда конформное отображение
внешности единичного круга на плоскость с дефектом в форме выточки задаётся отрезком степенного ряда. Показано, что в этом случае предельная кривая имеет вид, идентичный случаю,
когда дефект задаётся «узким» эллипсом. При этом
трещина так же ориентирована либо вдоль сжимающего напряжения, либо перпендикулярно растягивающему напряжению. Отсюда можно полагать,
что форма и геометрические свойства достаточно
«узкого» дефекта не влияют на величины критических нагрузок, необходимых для начала его распространения
We obtain a macroscopic criterion of fragile fracture
(limit curve) when creating an isolated defect in the
form of “narrow” undercut, when conformal mapping
of the exterior of a unit circle on the plane with deeffect in the form of a recess defined by cut fiber-foam
series. It is shown that in this case, the limit curve has
the form identical to the case when the defect is set to
"narrow" ellipse. The same crack oriented along either
the compressive stress or tensile perpendicular stress.
From here, we can suggest that the shape and geometric properties of a sufficiently "narrow" defect do not
affect the values of the critical loads required to start
its distribution
Ключевые слова: ХРУПКОЕ РАЗРУШЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ, РАЗВИТИЕ ИЗОЛИРОВАННЫХ
ДЕФЕКТОВ
Keywords : BRITTLE FRACTURE MATERIALS,
DEVELOPMENT OF ISOLATED DEFECTS
Введение.
В работе [1] рассматривается задача о хрупком разрушении пластины под действием главных напряжений P1 и P2 при образовании в ней
изолированного дефекта в форме «узкой» выточки с полуосями a, b(a ) ,
b << a . При этом конформное отображение внешности единичного круга
на плоскость с дефектом в форме выточки определяется дробнорациональной функцией. Макроскопический критерий хрупкого разрушения (предельная кривая), а так же ориентация такой формы изолированноhttp://ej.kubagro.ru/2015/07/pdf/69.pdf
Научный журнал КубГАУ, №111(07), 2015 года
2
го дефекта идентичны случаю, рассмотренному в работах [2-3], где в качестве модели дефекта принимается «узкий» эллипс.
В настоящей работе получена предельная кривая при образовании
дефекта в форме выточки, когда конформное отображение внешности единичного круга на плоскость с дефектом в форме выточки задаётся отрезком степенного ряда. В этом случае задача о вычислении высвобождающейся внутренней энергии, входящей в условие хрупкого разрушения [2-3]
эффективно решается, следуя подходу, изложенному в работе [4]. При
этом вычисление высвобождающейся внутренней энергии приводит к более простым выкладкам, чем в случае [1], а предельная кривая имеет вид,
идентичный [1-3] и аналогично определяется ориентация трещины. Отсюда можно полагать, что форма и геометрические свойства «достаточно узкого» изолированного дефекта не влияют (в рамках предложенной модели)
на величины критических нагрузок, необходимых для его развития.
1. Постановка задачи.
Пусть тело, занимающее односвязную область до образования в нём
изолированного
дефекта,
находится
в
однородном
напряжённо-
деформированном состоянии под действием главных напряжений P1 и P2 .
Будем считать, что при образовании дефекта тело деформируется теми же
напряжениями, приложенными вдали от дефекта (теоретически на бесконечности).
Рассмотрим плоскость D, ослабленную криволинейным отверстием с
контуром Σ , когда на бесконечности действуют во взаимноперпендикулярных направлениях напряжения P1 и P2 , и напряжение P1 составляет с
осью ox угол α . При этом на контуре дефекта Σ внешние напряжения
равны нулю. В плоскоских задачах теории упругости компоненты тензора
http://ej.kubagro.ru/2015/07/pdf/69.pdf
Научный журнал КубГАУ, №111(07), 2015 года
3
напряжений и вектора перемещений определяются двумя функциями ϕ ( z )
и ψ ( z ) комплексного переменного z и их производными [5]:
σ 11 + σ 22 = 2[ϕ ′( z ) + ϕ ′( z )]
σ 22 − σ 11 + 2iσ 12 = 2[z ϕ ′′( z ) + ϕ ′( z )]
2 µ (u1 + iu 2 ) = χϕ ( z ) − zϕ ′( z ) − ψ ( z )
(1.1)
где 2 µ = E (1 − ν ) , χ = 3 − 4ν для плоской деформации и χ = (3 − ν ) (1 + ν )
для плоского напряжённого состояния, E- модуль упругости, ν - коэффициент Пуассона.
Задача об определении напряжённо-деформированного состояния
плоскости D сводится [5] к нахождению функций ϕ1 ( z ) и ψ 1 ( z ) (комплексных потенциалов) удовлетворяющих условиям
ϕ1 (z ) + zϕ1′ (z ) + ψ 1 (z ) = 0, z ∈ Σ
(1.2)
или в сопряжённой форме
ϕ1 ( z ) + z ϕ1′ ( z ) + ψ 1 ( z ), z ∈ Σ
(1.3)
и функции ϕ1 ( z ) и ψ 1 ( z ) имеют вид [3]:
ϕ1 (z ) = Гz + ϕ 0 (z )
ψ 1 (z ) = Г ′z + ψ 0 ( z )
здесь Г =
(1.4)
1
(P1 + P2 ) , Г ′ = − 1 (P1 − P2 )e − 2iα , ϕ 0 (z ) , ψ 0 (z )- голоморфные в
4
2
области D функции, включая и бесконечно удалённую точку.
2. Вычисление комплексных потенциалов.
Рассмотрим случай когда конформное отображение является отрезком
степенного ряда. Тогда

ω (ξ ) = R ξ +

N
∑c ξ
l
l =1
1− l 


Здесь R -параметр, независящий от переменной ξ .
http://ej.kubagro.ru/2015/07/pdf/69.pdf
(2.1)
Научный журнал КубГАУ, №111(07), 2015 года
4
Если на контуре Σ имеются угловые точки возврата, в решении возникает особенность, которую можно целиком отнести к функции ψ (ξ ) [67]. (Функция ψ (ξ ) имеет соответствующие угловым точкам контура Σ полюса 1-го порядка в точках единичной окружности ξ = 1 ). Поскольку
функция ω (ξ ) определена выражением (1.5), комплексные потенциалы
ϕ1 (ξ ) и ψ 1 (ξ ) , задаваемые равенством (1.4) можно представить в виде [67]:
ϕ1 (ξ ) = RГξ +
N
∑a ξ
ψ 1 (ξ ) = RГ ′ξ +
1− l
l
l =1
∞
∑b ξ
(2.2)
1− l
l
l =1
ϕ1 (ξ ) = RГξ + ϕ 0 (ξ )
ψ 1 (ξ ) = RГ ′ξ + ψ 0 (ξ )
(2.3)
Из граничного условия (2.2) следует равенство
ψ 1 (σ )ω ′(σ ) = −ϕ1 (σ )ω ′(σ ) − ω (σ )ϕ1′ (σ )
(2.4)
Подставляя в равенство (2.4) выражение (2.2) и приравнивая коэффициенты при одинаковых положительных степенях σ в обеих частях равенства,
с учётом условия ψ 10 (∞ ) = 0 (b1 = 0 ) [5], получаем систему линейных алгебраических уравнений для нахождения коэффициентов al , определяющих функцию ϕ1 (ξ )
ap +
N−p
∑ (1 − l )c a
l l+ p
l =1
 0,
Здесь D p = 
− RГ ′
+
N−p
∑ (1 − l )c
l + p al
+ RГc p = D p
(2.5)
l =1
p≠2
p=2
p = 1, K , N
Функцию ψ 1 (ξ ) можно найти и не прибегая к сравнению коэффициентов перед одинаковыми степенями σ (см., например, [7]).
http://ej.kubagro.ru/2015/07/pdf/69.pdf
Научный журнал КубГАУ, №111(07), 2015 года
5
Умножая обе части равенства (2.5) на
1
1
, где ξ точка вне
2πi σ − ξ
единичной окружности ω и интегрируя это соотношение по ω получаем:
1
1
ω ′(ξ )ψ 1 (ξ ) = −ϕ1  ω ′(ξ ) − ω  ϕ1′ (ξ )
ξ 
ξ 
откуда
 1  ω (ξ ) ′
ψ 1 (ξ ) = −ϕ1   −
ϕ1 (ξ )
 ξ  ω ′(ξ )
3. Вычисление интегралов внутренней энергии.
Покажем, что полученное решение может быть использовано для эффективного вычисления интегралов внутренней энергии
W = U − γΣ =
1
σ ij(0 )ui(1)n j ds + α 0T0 k1 ui(1)δ ij n j ds − γΣ , i, j , = 1,2
2Σ
Σ
∫
∫
(3.1)
Входящих в энергетическое условие хрупкого разрушения [1-3]
dW
=0
da
(3.2)
В выражении (3.1) W = U − γΣ - полная энергия тела при образовании в
нём новой поверхности Σ (и площади Σ ), U = U ( 0 ) − U (1) - высвобождающаяся внутренняя энергия, U ( 0 ) и U (1) - внутренняя энергия тела без дефекта и с дефектом соответственно, γΣ - внутренняя энергия, затраченная на
образование новой поверхности дефекта
Σ, σ ij( 0) - компоненты тензора
напряжений в пластине без дефекта, n j -компоненты вектора внешней
нормали к области, ограниченной контуром Σ, ui(1) - компоненты вектора
напряжения в пластине с дефектом, α 0 -линейный коэффициент теплового
расширения,
T0 -
абсолютная
http://ej.kubagro.ru/2015/07/pdf/69.pdf
температура,
δ ij -символ
Кронекера,
Научный журнал КубГАУ, №111(07), 2015 года
6
k1 = E (1 − ν ) - для плоского напряжённого состояния,
k1 = E (1 − 2ν ) -для
плоской деформации, E - модуль упругости, ν - коэффициент Пуассона.
Первое слагаемое в выражении (3.1) представляет потенциальную составляющую, а второе энтропийную составляющую высвобождающейся
внутренней энергии.
Используя равенства (1.1) и граничное условие (1.2), (1.3) комплексное представление интегралов (3.1) имеет вид [1-3]
U =−
−

χ + 1 1
Re (ϕ1 ( z )[z ϕ 0′′( z ) + ψ 0′ ( z )] − ϕ1 ( z ) ϕ 0′ ( z ) + ϕ 0′ ( z ) )dz  −
4µ
 i Σ

[
∫

α 0T0 k1 (χ + 1) 
Rei ϕ1 ( z )dz 
2µ
 Σ

]
(3.3)
∫
C учётом функций ϕ 0 ( z ) = Гz , ψ 0 ( z ) = Г ′z , определяющих однородное
напряжённо-деформированное состояние пластинки без дефекта, из выражения (3.3) получим
U =−

χ + 1 
Rei (2 Г ϕ1 ( z ) − Г ′ϕ1 ( z ))dz  −
4µ
 Σ

∫

α T k (χ + 1) 
− 0 0 1
Rei ϕ1 ( z )dz 
2µ
 Σ

(3.4)
∫
Заметим, что для вычисления высвобождающейся внутренней энергии
U по формуле (3.4) достаточно определить функцию ϕ1 ( z ) из решения за-
дачи о бесконечной плоскости, ослабленной отверстием, когда на бесконечности заданы напряжения P1 и P2 , а контур отверстия свободен от
внешних напряжений.
Пусть функция z = ω (ξ ) - конформное отображает внешность единичного круга Ω на внешность контура Σ . Переходя в интегралах (3.4) к новой переменной, получаем:
http://ej.kubagro.ru/2015/07/pdf/69.pdf
Научный журнал КубГАУ, №111(07), 2015 года
U =−
7

χ + 1 
Rei (2 Г ϕ1 (σ ) − Г ′ϕ1 (σ ))ω ′(σ )dσ  −
4µ
 Ω

∫

α T k (χ + 1) 
Rei ϕ1 (σ )ω ′(σ )dσ 
− 0 0 1
2µ
 Ω

(3.5)
∫
Здесь σ = eiΘ , 0 ≤ Θ ≤ 2π - производная точка единичной окружности Ω .
Если отображение z = ω (ξ ) задаётся отрезком степенного ряда (2.1) то с
учётом выражения (2.4) имеем:
ϕ1 (σ ) = RГσ +
ϕ1 (σ ) = RГ
1
σ

ω ′(σ ) = R 1 −

N
∑a σ
+
1− l
l
l =1
N
∑a σ
l −1
(3. 6)
l
l =1
N −1

lcl +1σ − (l +1) 
l =1

∑
Из выражений (3.6) следует, что подынтегральные функции в интегралах (3.5) регулярны в области σ ≤ 1 , как функции комплексной переменной σ , за исключением полюса в точке σ = 0 . Поэтому интегралы (3.5)
могут быть вычислены при помощи вычетов. Подставляя равенства (3.6) в
выражение (3.5) и, вычисляя интегралы внутренней энергии, получаем:
(χ + 1)π Re Г ′R(a
U =−
2µ


N −1




)
−
RГc
−
2
ГR
RГ
−
l
a
c
2
2
l +1 l +1   −


l =1

∑

α 0T0 k1 (χ + 1)π   N −1
−
Re R lal +1cl +1 − RГ 
µ
  l =1

(3.7)
∑
Коэффициенты al , определяющие функцию ϕ1 (σ ) , входящие в выражение для внутренней энергии (3.7) находятся из решения системы линейных алгебраических уравнений (2.6).
Пусть параметрическое уравнение контура Σ имеет вид:
http://ej.kubagro.ru/2015/07/pdf/69.pdf
Научный журнал КубГАУ, №111(07), 2015 года
8
t


x = R (2 − t )cosθ + cos 3θ 
3


t


y = R t sin θ − sin 3θ 
3


где 0 ≤ θ ≤ 2π ; t =
(3.8)
3ε
a
b
; R = (2 + ε ) ; ε = ;
2+ε
4
a
a, b –характерные размеры дефекта.
Рис.1
Функция, конформно отображающая внешность единичной окружности на внешность контура (3.8) имеет вид:

t 1
ω = R ξ + (1 − t ) + 3 
ξ 3ξ 

1
(3.9)
Поскольку выражение (3.9) является отрезком степенного ряда, коэффициенты al для функции
ϕ1 (ξ ) = RГξ +
N
∑a ξ
1− l
l
l =1
находятся из решения системы (2.5). С учётом выражения (3.9)
http://ej.kubagro.ru/2015/07/pdf/69.pdf
Научный журнал КубГАУ, №111(07), 2015 года
9
c1 = 0 , c2 = 1 − t , c3 = 0 , c4 =
t
3
(3.10)
Решая систему (2.5) находим
a1 = 0
a2 = −
a3 = 0
a4 = −
[
R
2
3tГ ′ + 9 Г ′ + (1 − t )(3 + t ) Г
2
9−t
]
(3.11)
Rt
Г
3
Подставляя выражения (3.10), (3.11) в формулу (3.7) получим:
U = U (a, ε (a ), α (a )) =
{[
(χ + 1)π
=
3
a2
4
P12 2(2 + ε ) − 2ε (2 + ε ) + 6ε 3 (2 + ε ) + 3ε 4 −
512µ 1 + ε
(
)
]
− 8 1 − ε 2 (2 + ε ) cos 2α + ε (2 + ε ) cos 4α −
[
2
4
− 2 P1 P2 2ε (2 + ε ) − 6ε 3 (2 + ε ) − 3ε 4 + ε (2 + ε ) cos 4α
3
[
3
]
+ P22 2(2 + ε ) − 2ε (2 + ε ) + 6ε 3 (2 + ε ) + 3ε 4 +
(
+ 81− ε
+
[
3
4
2
)(2 + ε )
2
]}
(3.12)
cos 2α + ε (2 + ε ) cos 4α +
4
α 0T0 k1 (χ + 1)π a 2
4
3
P1 (2 + ε ) − 2ε (2 + ε ) + 7ε 3 (2 + ε ) +
128µ
1+ ε
{[
(
)
]
+ 3ε 4 − 4 1 − ε 2 (2 + ε ) cos 2α +
2
(
)
+ P2 (2 + ε ) − 2ε (2 + ε ) + 7ε 3 (2 + ε ) + 3ε 4 + 4 1 − ε 2 (2 + ε ) cos 2α
4
3
2
]}
Пологая в равенстве (3.12) ε = 1 , получаем выражение (3.7) для высвобождающейся внутренней энергии при образовании изолированного внутреннего дефекта в виде математического разреза [1-3].
Очевидно, что в этом случае высвобождающаяся внутренняя энергия
вычисляется значительно проще, чем в случае [1], и выражение (3.12) по
сравнению с аналогичным выражением [1] имеет более простой вид.
http://ej.kubagro.ru/2015/07/pdf/69.pdf
Научный журнал КубГАУ, №111(07), 2015 года
10
4. Макроскопический критерий хрупкого разрушения при образовании изолированного дефекта в виде выточки.
Состояние тела, при котором распространение дефекта (трещины)
возможно, называется предельным состоянием равновесия, а условие
наступления такого предельного состояния называют макроскопическим
критерием разрушения. В случае однократного статического нагружения
это энергетическое условие (3.2). При дополнительных предположениях о
форме и расположении дефекта из условия (3.2) следует макроскопический
критерий хрупкого разрушения в виде:
F (P1 , P2 , E ,ν , T0 , α 0 , a∗ ) = 0
(4.1)
который представляет предельную кривую в пространстве главных напряжений P1 и P2 , определяющую все те комбинации пределов прочности,
при которых возможно распространение дефекта с характеризующим его
размером a∗ .
Дифференцируя выражения (3.12) по a в соответствии с условием
(3.2) при ε 2 << 1 , получаем:
dW (χ + 1)π  2  2((4 − 9ε ) + b′(1 + 3ε )) ε + b′(1 + 3ε )
=
a  P1 
+
cos 4α −
da
64µ
1 + 2ε
1 + 2ε
 
− 4a
ε
1 + 2ε


α ′ sin 4α − 2((4 − 3b′ε ) cos 2α − 4aα ′ sin 2α ) −
ε
 2(ε + b′(1 + 3ε )) ε + b′(1 + 3ε )

− 2 P1 P2 
+
cos 4α − 4a
α ′ sin 4α  +
1 + 2ε
1 + 2ε
1 + 2ε


 2((4 − 9ε ) + b′(1 + 3ε )) ε + b′(1 + 3ε )
+ P22 
+
cos 4α −
1 + 2ε
1 + 2ε

− 4a
ε
1 + 2ε


α ′ sin 4α + 2((4 − 3b′ε ) cos 2α − 4aα ′ sin 2α )  +
http://ej.kubagro.ru/2015/07/pdf/69.pdf
(4.2)
Научный журнал КубГАУ, №111(07), 2015 года
+
11
α 0T0 k1 (χ + 1)π
a{P1 [4 − (4 − 3b′ε ) cos 2α + 4aα ′ sin 2α ] +
16µ
P2 [4 − (4 − 3b′ε ) cos 2α + 4aα ′ sin 2α ]} −
d
(γ (a )Σ(a )) = 0
da
В силу изотропии [1-3] необходимо потребовать выполнение условия


3
4


α ′a sin 2α = 1 − εb′  cos 2α
(4.3)
С учётом равенства (4.3) после преобразований запишем условие
(4.2) в виде:
P12 + P22 −
−2
2(ε + b′(1 + 3ε )) + (ε + b′(1 + 3ε )) cos 4α − 4aε sin 4αα ′
P1 P2 +
2((4 − 9ε ) + b′(1 + 3ε )) + (ε + b′(1 + 3ε )) cos 4α − 4aε sin 4αα ′
+
1 + 2ε
×
2((4 − 9ε ) + b′(1 + 3ε )) + (ε + b′(1 + 3ε )) cos 4α − 4aε sin 4αα ′
(4.4)

256µ γ 
× 16α 0T0 k1 (P1 + P2 ) −
=0
(
)
χ
π
+
1
a


здесь Σ(a ) ≅ 4a ; γ (a ) ≡ γ = const .
Тогда при a = a∗ = const из выражений (4.4) получим макроскопический критерий хрупкого разрушения (1.1) (предельную кривую) в пространстве главных напряжений P1 и P2 при однократном статическом
нагружении:
P12 + P22 − 2ν ∗ P1 P2 +


36ε
×
+ 1 − ν ∗ +
(4.5

2((4 − 9ε ) + b′(1 + 3ε )) + (ε + b′(1 + 3ε )) cos 4α − 4aε sin 4αα ′ a = a∗ 

)

32µ γ 
 = 0
×  2α 0T0 k1 (P1 + P2 ) −
(
+
1
)
a
χ
π

∗
здесь обозначено
http://ej.kubagro.ru/2015/07/pdf/69.pdf
Научный журнал КубГАУ, №111(07), 2015 года
ν (a ) =
12
2(ε + b′(1 + 3ε )) + (ε + b′(1 + 3ε )) cos 4α − 4aε sin 4αα ′
2((4 − 9ε ) + b′(1 + 3ε )) + (ε + b′(1 + 3ε )) cos 4α − 4aε sin 4αα ′
ν ∗ = ν (a∗ )
Условие (4.3) при b′ε << 1 имеет вид
α ′a sin 2α = cos 2α
(4.6)
Выражение (4.6) совпадает условием, полученным в работах [1-3].
Из равенства (4.6) следует, что независимо от комбинации критических
напряжений P1 и P2 , соответствующих точкам, лежащим на кривой разрушения (4.5) трещина всегда будет ориентирована или перпендикулярно к
линии действия растягивающего напряжения или вдоль сжимающего
напряжения, т.е. величина α (a∗ ) всегда принимает одно из двух значений
либо 0, либо
π
2
[1-3].
Оценим выражение
36ε
2((4 − 9ε ) + b′(1 + 3ε )) + (ε + b′(1 + 3ε )) cos 4α − 4aε sin 4αα ′
(4.7)
При a = a∗ выражение (4.7) имеет вид
36ε
8 − 17ε + 3b′ + 9b′ε
Пусть b′ ≥ 0 , т.е. трещина раскрывается при развитии. Выражение
8 − 17ε + 3b′ + 9b′ε ≥ 0 при ε <
8
.
17
Тогда
0≤
36ε
36ε
≤
8 − 17ε + 3b′ + 9b′ε 8 − 17ε
(4.8)
В силу оценки (4.8) критерий (4.5) с точностью до величин порядка ε имеет вид:
P12 + P22 − 2ν ∗ P1 P2 + 2α 0T0 k1 (1 − ν ∗ )(P1 + P2 ) −
http://ej.kubagro.ru/2015/07/pdf/69.pdf
32µ (1 − ν ∗ ) γ
(χ + 1)π a∗
(4.9)
Научный журнал КубГАУ, №111(07), 2015 года
Из выражения (4.5) находим, что при ε <
13
8
, 0 ≤ ν ∗ ≤ 1.
17
При одних и тех же значениях величины ν ∗ выражение (4.9) совпадает с
критерием, полученным в работах [1-3].
При таком предположении геометрические свойства и форма «достаточно узкого» дефекта не влияют на величины критических нагрузок, необходимых для начала его развития.
Литература
1. Дунаев В.И., Георгияди В.Г., Молдаванов С.Ю., Лозовой С.Б. Макроскопический критерий хрупкого разрушения при образовании изолированной раскрывающейся
трещины. // Экологический вестник научных центров ЧЭС. 2013 №3. С. 38-45.
2. Дунаев И.М., Дунаев В.И. Об энергетическом условии разрушения твёрдых
тел. // Доклады РАН. 2000 Т.372. №1. С. 43-45.
3. Дунаев И.М., Дунаев В.И. Энергетическое условие разрушения твёрдых тел. //
Механика твёрдого тела. М.: 2003. №6. с. 69-81.
4. Дунаев В.И. Об одном методе вычисления высвобождающейся внутренней
энергии при образовании изолированного дефекта. // Экологический вестник научных
центров ЧЭС. 2008 №1. С. 14-19.
5. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории
упругости. М.: Наука, 1966. 707 с.
6. Белоносов С.М. Основные плоские статические задачи для односвязных и
двухсвязных областей. Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962. 231 с.
7. Каминский А.А. Хрупкое разрушение вблизи отверстий. Киев: Наукова думка, 1982. 157 с.
References
1. Dunaev V.I., Georgijadi V.G., Moldavanov S.Ju., Lozovoj S.B. Makroskopicheskij
kriterij hrupkogo razrushenija pri obrazovanii izolirovannoj raskryvajushhejsja treshhiny. //
Jekologicheskij vestnik nauchnyh centrov ChJeS. 2013 №3. S. 38-45.
2. Dunaev I.M., Dunaev V.I. Ob jenergeticheskom uslovii razrushenija tvjordyh tel. //
Doklady RAN. 2000 T.372. №1. S. 43-45.
3. Dunaev I.M., Dunaev V.I. Jenergeticheskoe uslovie razrushenija tvjordyh tel. //
Mehanika tvjordogo tela. M.: 2003. №6. s. 69-81.
4. Dunaev V.I. Ob odnom metode vychislenija vysvobozhdajushhejsja vnutrennej
jenergii pri obrazovanii izolirovannogo defekta. // Jekologicheskij vestnik nauchnyh centrov
ChJeS. 2008 №1. S. 14-19.
5. Mushelishvili N.I. Nekotorye osnovnye zadachi matematicheskoj teorii uprugosti.
M.: Nauka, 1966. 707 s.
6. Belonosov S.M. Osnovnye ploskie staticheskie zadachi dlja odnosvjaznyh i
dvuhsvjaznyh oblastej. Novosibirsk: Izd-vo SO AN SSSR, 1962. 231 s.
7. Kaminskij A.A. Hrupkoe razrushenie vblizi otverstij. Kiev: Naukova dumka, 1982.
157 s.
http://ej.kubagro.ru/2015/07/pdf/69.pdf
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
208 Кб
Теги
твёрдые, дефекты, хрупкое, разрушение, тел, образования, изолированности, узкого
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа