close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об алгоритме численного решения уравнений одной нелинейно-дисперсионной модели мелкой воды.

код для вставкиСкачать
Вычислительные технологии
Том 1, № 3, 1996
ОБ АЛГОРИТМЕ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ
УРАВНЕНИЙ ОДНОЙ
НЕЛИНЕЙНО-ДИСПЕРСИОННОЙ МОДЕЛИ
МЕЛКОЙ ВОДЫ∗†
В. Б. Барахнин, Г. С. Хакимзянов
Институт вычислительных технологий СО РАН
Новосибирск, Россия
Рассматривается конечно-разностный алгоритм для моделирования поверхностных волн в рамках одной нелинейно-дисперсионной модели. Отличительной чертой
алгоритма является выделение в исходных уравнениях эллиптической и гиперболической частей. Для решения полученного эллиптического уравнения построена конечноразностная схема с самосопряженным и положительно определенным оператором,
оценены границы спектра этого оператора.
1. Введение
Двумерные (плановые) модели мелкой воды находят широкое применение при моделировании движений жидкости со свободной поверхностью. В последнее время неуклонно
возрастает интерес к разработке алгоритмов расчета таких течений на криволинейных сетках, приспосабливающихся к сложной форме берега и зависящих от решения. Эти сетки
позволяют получать результаты достаточной точности даже при небольшом числе узлов с
существенной экономией компьютерной памяти и времени счета. Высокая точность достигается благодаря увеличению концентрации узлов сетки в зонах расположения особенностей исследуемого явления. Кроме того, такие сетки имеют преимущества по сравнению с
равномерными ввиду более простой реализации краевых условий на границах, имеющих
сложную форму. Распространение поверхностных волн представляет собой существенно
нестационарный процесс, поэтому адаптивные сетки, отслеживающие особенности решения, должны быть подвижными. К сожалению, в расчетах по моделям мелкой воды адаптивные сетки применяются до сих пор весьма редко.
В численных исследованиях наиболее часто используемой приближенной моделью является модель мелкой воды первого приближения. Недостатком модели является то, что
она дает достоверные результаты лишь для волн малой амплитуды. Работы [9, 12, 14, 16,
17, 19, 21, 24] посвящены исследованию нелинейно-дисперсионных моделей и алгоритмов,
∗
c В. Б. Барахнин, Г. С. Хакимзянов, 1996.
°
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований,
грант №97-01-00819.
†
5
В. Б. Барахнин, Г. С. Хакимзянов
6
основанных на этих моделях. Из множества нелинейно-дисперсионных моделей (см., напр.,
[1, 2, 6, 18, 20, 22]) особый интерес вызывает модель Железняка — Пелиновского, так как
при ее получении не используется предположение о малости амплитуды волн. Эта модель
представляет собой систему нелинейных уравнений относительно возвышения свободной
поверхности и скорости. Получается она путем разложения основных гидродинамических
функций в ряд по параметру дисперсии β = (h0 /L)2 и параметру нелинейности α = a0 /h0 ,
подстановкой этого разложения в трехмерные уравнения, описывающие потенциальные
течения жидкости со свободной границей, и последующим отбрасыванием членов порядка
O(β 2 ) с сохранением членов порядка O(αm β) (см., напр., [10]). Здесь L — характерный
размер по горизонтали, h0 , a0 — соответственно характерные глубина и амплитуда. Вывод, изучение и применение этой модели даны в [5, 7, 8]. Ее одномерный аналог получен
также в работе [23].
Численная реализация многих нелинейно-дисперсионных моделей осложняется наличием в соответствующих уравнениях производных высокого порядка искомых функций,
например смешанных производных по времени и пространственным переменным. Поэтому в настоящее время при построении разностных схем для нелинейно-дисперсионных
уравнений предпочтение отдается алгоритмам, основанным на решении эллиптических и
гиперболических уравнений, получаемых тем или иным способом из исходных дифференциальных уравнений. Эта идея применялась, например, в работах [9, 12, 16, 21]. Численная
реализация таких алгоритмов сводится к тому, что на каждом временно́м шаге сначала
решают эллиптические уравнения, а потом — неоднородную гиперболическую систему
с правой частью, зависящей только от производных по пространственным переменным.
Такой подход позволяет строить эффективные алгоритмы, так как для решения эллиптических и гиперболических уравнений имеются хорошо зарекомендовавшие себя численные
методы.
В настоящей работе для модели Железняка — Пелиновского введена новая зависимая
переменная — ускорение, так что возникает система уравнений относительно скорости и
возвышения, причем правая часть этой системы не зависит от производных по времени и
третьих производных от основных функций (в одномерном случае указанный подход описан нами в [16]). Для численного решения полученных уравнений на подвижных адаптивных сетках, подстраивающихся под сложную геометрию области и особенности решения,
разработан конечно-разностный метод второго порядка точности с автоматически настраиваемой аппроксимационной вязкостью. Задача Неймана для эллиптического уравнения
решается с помощью конечно-разностной схемы типа “косой крест"с самосопряженным и
положительно определенным оператором.
2. Математическая постановка
Рассматривается течение идеальной несжимаемой жидкости в ограниченном бассейне конечной глубины. Декартова система координат Ox1 x2 z выбирается так, что уравнение
свободной поверхности покоящейся жидкости имеет вид z = 0, при этом z = −h(x1 , x2 ) —
функция, описывающая рельеф дна. Двумерные (плановые) течения жидкости со свободной поверхностью в рамках нелинейно-дисперсионной модели Железняка — Пелиновского
описываются следующей системой уравнений для безразмерных переменных:
Ht + div(Hu) = 0,
ut + (u · ∇)u + ∇η = D,
(1.1)
АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНО-ДИСПЕРСИОННЫХ УРАВНЕНИЙ
где
1
D= ∇
H
µ
H2
H3
R1 +
R2
3
2
¶
R1 = (div u)t + (u · ∇)div u − (div u)2 ,
− ∇h
µ
7
¶
H
R1 + R2 ,
2
R2 = ut · ∇h + (u · ∇)(u · ∇h),
Ω = Ω(t) — меняющаяся, вообще говоря, со временем односвязная ограниченная область
в плоскости декартовых координат x1 , x2 , uα (x1 , x2 , t) — декартовы компоненты вектора
скорости u (α = 1, 2), η(x1 , x2 , t) — возвышение поверхности над невозмущенным уровнем,
H = η + h — полная глубина. Обезразмеривание проводилось по формулам
p
p
x̃α = xα h0 , η̃ = ηh0 , H̃ = Hh0 , ũα = uα gh0 , t̃ = t h0 /g,
где h0 — характерная глубина, g — ускорение свободного падения, символом “∼"обозначены
размерные величины.
С целью выделения эллиптической части преобразуем уравнения движения, заметив,
что
³ ∂u ´
¡
¢2
div[(u · ∇)u] = (u · ∇)div u + div u − 2 det
,
∂x
где
³ ∂u ´ ∂u ∂u
∂u1 ∂u2
2
1
− 2 1.
=
det
1
2
∂x
∂x ∂x
∂x ∂x
С учетом этого
³ ∂u ´
¡
¢
, R2 = d · ∇h + u · (u · ∇)∇h .
(1.2)
R1 = div d − 2(div u)2 + 2 det
∂x
Здесь d — ускорение частиц жидкости, d = ut + (u · ∇)u.
Переписав уравнения движения системы (1.1) в виде d = D − ∇η, получим
¶
µ
¶
µ 3
1
H
H2
H
d= ∇
R1 +
R2 − ∇h
R1 + R2 − ∇η.
H
3
2
2
С учетом равенства
1
−∇η = −∇H + ∇h = − ∇
H
имеем
µ
H2
2
¶
+ ∇h
Hd = ∇ϕ − ∇hψ,
где
ϕ=
H3
H2
H2
R1 +
R2 −
,
3
2
2
Тем самым
ψ=
(1.3)
H2
R1 + HR2 − H.
2
−6ϕ + 4Hψ + H 2
12ϕ − 6Hψ
,
R
=
.
2
H3
H2
Используя равенства (1.2) и (1.3), мы получим систему уравнений для неизвестных ϕ и ψ:
¶
µ
³ ∂u ´ 12ϕ − 6Hψ
∇ϕ ∇hψ
−
,
− 2(div u)2 + 2 det
=
div
H
H
∂x
H3
¶
µ
¡
¢ −6ϕ + 4Hψ + H 2
∇ϕ ψ∇h
· ∇h + u · (u · ∇)∇h =
−
.
(1.4)
H
H
H2
R1 =
В. Б. Барахнин, Г. С. Хакимзянов
8
Из второго уравнения системы (1.4) следует, что
¡
¢
H ∇h · ∇ϕ + 6ϕ + H 2 u · (u · ∇)∇h − H 2
ψ=
,
Hr
где r = (∇h)2 + 4. Подставляя выражение для ψ в первое уравнение системы (1.4), после
очевидных преобразований получим уравнение для ϕ:
µ
¶ µ
µ
¶
¶
∇ϕ ∇h ∇h · ∇ϕ
12 r − 3
∇h
div
− 6div
+ 3
ϕ = F,
(1.5)
−
H
H
r
H 2r
H
r
где
F = div
µ¡
¡
¢
¢ ¶
¡
¢
³ ∂u ´
u · (u · ∇)∇h − 1 ∇h
6 u · (u · ∇)∇h − 1
−
+ 2(div u)2 − 2 det
.
r
H
r
∂x
Предполагая, что H(x1 , x2 , t) ≥ H0 > 0, нетрудно показать, что уравнение (1.5) является
эллиптическим.
С учетом (1.3) уравнения системы (1.1) запишутся в виде
Ht + div(Hu) = 0,
1
(∇ϕ − ∇hψ).
(1.6)
H
Итак, решение системы (1.1) свелось к решению эллиптического уравнения (1.5) и
системы (1.6), правая часть которой не содержит производных по времени.
Уравнения (1.6) можно записать и в дивергентной форме:
ut + (u · ∇)u =
∂V ∂F1 ∂F2
+
+
= G,
∂t
∂x1
∂x2
x = (x1 , x2 ) ∈ Ω.
(1.7)
Здесь







0
Hu2
Hu1
H
V =  Hu1  , F1 =  Hu21  , F2 =  Hu1 u2  , G =  ϕx1 − ψhx1  .
ϕx2 − ψhx2
Hu22
Hu1 u2
Hu2

Рассматриваемые уравнения дополняются начальными и краевыми условиями. Например,
на непроницаемых неподвижных участках Γ0 имеем
¯
¯
(1.8)
u · n ¯¯ = 0,
Γ0
где n — единичный вектор внешней нормали к границе.
Для уравнения (1.5) также необходимы краевые условия. Легко показать, что
¯
¯
d · n ¯¯ = κ (u · u),
(1.9)
Γ0
где κ — знакоопределенная кривизна границы. Знак кривизны определяется следующим
образом. Параметризуем границу области так, чтобы при движении в направлении возрастания параметра область оставалась слева. Будем считать кривизну положительной или
АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНО-ДИСПЕРСИОННЫХ УРАВНЕНИЙ
9
отрицательной в зависимости от того, вращается ли касательный вектор l при указанном
движении по часовой или против часовой стрелки соответственно.
Из формул (1.3) и (1.9) имеем следующее краевое условие на функцию ϕ:
¡
¢
µ
¶¯
∂ϕ ∂h H ∇h · ∇ϕ + 6ϕ ¯¯
∂h Hu · (u · ∇)∇h − H
−
+ κH (u · u).
(1.10)
¯ = ∂n
∂n ∂n
Hr
r
Γ0
В частном случае, когда функция h, описывающая рельеф дна, удовлетворяет на Γ0 равенству ∇h = −|∇h|n, для уравнения (1.5) возникает третья краевая задача с граничным
условием
µ
¶¯
´
¯
¡
¢
H³
∂ϕ 3|∇h|
+
ϕ ¯¯ =
|∇h| − (u · ∇)(u · ∇h) + 1 + 4κ (u · u) .
∂n
2H
4
Γ0
Если же дно плоское и горизонтальное, h ≡ 1, то краевое условие (1.10) запишется в виде
условия Неймана
¯
∂ϕ ¯¯
= κH (u · u).
(1.11)
∂n ¯Γ0
Уравнение (1.5) примет в этом случае более простой вид:
∂ ³ 1 ∂ϕ ´
3
∂ ³ 1 ∂ϕ ´
+
− 3 ϕ = F,
1
1
2
2
∂x H ∂x
∂x H ∂x
H
где
³ ∂u ´
3
2
+
.
F = 2(div u) − 2 det
∂x
2H
(1.12)
3. Постановка задачи в криволинейных координатах
Пусть преобразование координат
t = τ,
xα = xα (q 1 , q 2 , τ ),
α = 1, 2
(2.1)
является достаточно гладким, взаимно-однозначным и невырожденным (для определенности, с положительным якобианом), причем область Ω(t) при этом преобразовании является
образом единичного квадрата Q = (0; 1) × (0; 1). В новых координатах система (1.7) имеет
вид
∂V ∂F1 ∂F2
+ 1 + 2 = G, q = (q 1 , q 2 ) ∈ Q,
(2.2)
∂t
∂q
∂q
где


0
¶
¶
µ
µ




 ∂ϕ
∂h ∂x2
∂h ∂x2 
∂ϕ
Hv α J
HJ


−ψ 1
−
−ψ 2

∂q ∂q 2
∂q 2
∂q ∂q 1 
V = Hu1 J  , Fα = Hu1 v α J  , G =  ∂q 1
,
 µ

¶
¶
µ
α
Hu2 v J
Hu2 J

∂ϕ
∂h ∂x1
∂h ∂x1 
∂ϕ
−
−ψ 1
+
−ψ 2
∂q 1
∂q ∂q 2
∂q 2
∂q ∂q 1
dq α
— контравариантные компоненты вектора
J — якобиан преобразования (2.1), v α =
dt
скорости:
¶
¶
µ
µ
∂x2 ∂q α
∂q α
(−1)α+β ∂x3−β
∂x1 ∂q α
α
+
u
−
,
=
.
v = u1 −
2
∂t ∂x1
∂t ∂x2
∂xβ
J
∂q 3−α
В. Б. Барахнин, Г. С. Хакимзянов
10
Нам потребуется также недивергентная форма записи уравнений (2.2):
∂v
∂v
∂v
+ A1 1 + A2 2 = f ,
∂t
∂q
∂q
где

H
v =  u1  ,
u2



∂q α
∂q α
H
1
∂x
∂x2  ,
α
v
0 
0
vα
(2.3)
vα H

Aα =  0
0
f=
1
G.
HJ
Наконец, уравнение (1.5) для расчета ϕ записывается в криволинейных координатах следующим образом:
здесь
∂ ³ ∂ϕ
∂ϕ ´
∂ϕ ´
∂ ³ ∂ϕ
k
+
k
− k0 ϕ = F J,
+
k
+
k
11
12
12
22
∂q 1
∂q 1
∂q 2
∂q 2
∂q 1
∂q 2
(2.4)
Ã
!
Ã
!
αβ
αγ βδ
J
∂h
J
ḡ
ḡ
ḡ
∂h
∂h
∂
12J r − 3
kαβ =
,
ḡ αβ −
, k0 = 6 α
+ 3
γ
δ
2
β
H
r ∂q ∂q
∂q
H r ∂q
H
r
Ã
!
¶
µ
³ ∂u ´
2
s αβ ∂h
1 ∂
2 ∂
∂q α
6s
α
−
F =
J
ḡ
+
J
v
−
det
,
−
J ∂q α r
∂q β
Hr J 2 ∂q α
∂t
J
∂q
!
Ã
Ã
!
γ
α
∂
∂h
∂h
∂q
∂h
∂q
(−1)α+β
αβ
g3−α, 3−β ,
r = ḡ αβ α β + 4, s = uβ v α −
−
1,
ḡ
=
∂q ∂q
∂t ∂q α ∂q γ ∂xβ
J2
gαβ — ковариантные компоненты метрического тензора; во всех формулах по повторяющимся индексам ведется суммирование.
В криволинейных координатах условие непротекания (1.8) примет вид
¯
¯
v α ¯qα =0 = v α ¯qα =1 = 0.
Отсюда сразу следует, что
¯
¯
Fα ¯qα =0 = Fα ¯qα =1 = 0.
4. Конечно-разностный алгоритм
Для численного решения уравнений (2.2), (2.4) замыкание области Q (квадрат Q) покрывается прямоугольной сеткой Qh с количеством узлов Nα по направлению оси Oq α и
шагами hα = 1/(Nα − 1).
Алгоритм расчета на произвольном шаге по времени с номером n состоит в следующем.
Сначала решается конечно-разностное уравнение для нахождения функции ϕ, аппроксимирующее уравнение эллиптического типа (2.4), причем ϕ вычисляется в целочисленных
узлах сетки. Для решения системы (2.2) нами использовалась явная конечно-разностная
схема предиктор—корректор с автоматически настраиваемой аппроксимационной вязкостью. На шаге предиктор этой схемы аппроксимируется недивергентная форма системы
(2.2), то есть система (2.3), правая часть которой содержит уже найденные значения ϕ и ψ.
После этого вновь численно решается уравнение (2.4) с использованием величин H, u1 , u2 ,
АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНО-ДИСПЕРСИОННЫХ УРАВНЕНИЙ
11
вычисленных на предикторе. Значения ϕ ищутся в узлах сетки и используются в правой
части уравнений шага корректор, аппроксимирующих дивергентную систему (2.2).
Схема предиктор—корректор описана в нашей работе [15], поэтому здесь мы опишем
лишь схему, использованную для численного решения эллиптического уравнения (2.4).
Конечно-разностное уравнение получено на основе интегроинтерполяционного метода.
Рис. 1. Контур интегрирования и шаблон разностной схемы.
Проинтегрируем уравнение (2.4) по прямоугольнику ABCD (рис. 1), стороны которого
параллельны координатным осям вычислительной области Q и делят расстояния между
соседними узлами пополам. Имеем
¶
¶
¶
Zµ
Zµ
Zµ
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
2
2
k11 1 + k12 2 dq +
k21 1 + k22 2 dq 1 −
k11 1 + k12 2 dq −
∂q
∂q
∂q
∂q
∂q
∂q
(AD)
(BC)
−
Z µ
∂ϕ
∂ϕ
k21 1 + k22 2
∂q
∂q
(AB)
(DC)
¶
1
dq −
ZZ
ABCD
1
2
k0 ϕ dq dq =
ZZ
F J dq 1 dq 2 .
(3.1)
ABCD
Коэффициенты kαβ вычисляются в центрах ячеек сетки — в точках qi1 +1/2, i2 +1/2 . Для
подсчета интегралов в (3.1) по сторонам прямоугольника ABCD применяется формула
трапеций. Тогда из (3.1) получим следующее разностное уравнение во внутреннем узле
qi1 ,i2 :
Λϕi1 , i2 ≡ (Dq1 F1 + Dq2 F2 − k0 )ϕi1 , i2 = (F J)i1 , i2 ,
(3.2)
где правая часть аппроксимируется с помощью центральных разностей. Здесь
Dq1 f (qi1 +1/2, i2 +1/2 ) =
fi1 +1, i2 +1 + fi1 +1, i2 − fi1 , i2 +1 − fi1 , i2
,
2h1
fi1 +1, i2 +1 + fi1 , i2 +1 − fi1 +1, i2 − fi1 , i2
,
2h2
¡
¢
F1 f (qi1 +1/2, i2 +1/2 ) = k11 Dq1 f + k12 Dq2 f (qi1 +1/2, i2 +1/2 ),
¡
¢
F2 f (qi1 +1/2, i2 +1/2 ) = k12 Dq1 f + k22 Dq2 f (qi1 +1/2, i2 +1/2 ),
Dq2 f (qi1 +1/2, i2 +1/2 ) =
Dq1 F1 (N ) + Dq1 F1 (S)
Dq2 F2 (E) + Dq2 F2 (W )
,
.
Dq2 F2 (qi1 , i2 ) =
2
2
Далее будем рассматривать случай плоского горизонтального дна, h ≡ 1.
Dq1 F1 (qi1 , i2 ) =
В. Б. Барахнин, Г. С. Хакимзянов
12
Рис. 2. Нумерация типов узлов.
Рис. 3. Контур интегрирования и шаблон на
нижней границе.
Опишем аппроксимацию граничного условия Неймана (1.11). Заметим, что на нижней
¢
1 ¡ 2
xq1 , −x1q1 . На этой границе выполняется
границе вычислительной области n = √
g11
равенство
2
1
¡ ∂ϕ x1q2
¡ ∂ϕ x2q2
∂ϕ
1³
∂ϕ xq1 ¢
∂ϕ xq1 ¢´
∂ϕ
1
2
k12 1 + k22 2 =
− 2
+ 2
+ xq 1 − 1
=
− xq 1
∂q
∂q
H
∂q 1 J
∂q J
∂q J
∂q J
√
´
g11 ∂ϕ √
1³
1 ∂ϕ
2 ∂ϕ
(3.3)
=
= g11 κ1 (u · u),
− xq 1 1 + x q 1 2 = −
H
∂x
∂x
H ∂n
где, согласно формуле подсчета кривизны [11],
κ1 =
x2q1 q1 x1q1 − x1q1 q1 x2q1
3/2
g11
.
На верхней границе области Q также имеет место равенство вида (3.3). Наконец, для левой
и правой границы области Q получим следующую формулу:
k11
∂ϕ
∂ϕ
√
+ k12 2 = g22 κ2 (u · u),
1
∂q
∂q
где
κ2 =
x1q2 q2 x2q2 − x2q2 q2 x1q2
3/2
g22
(3.4)
.
Приведем конечно-разностные уравнения в граничных узлах, разбив множество узлов
на типы в зависимости от положения узла на сетке (рис. 2). Шаблон и контур интегрирования для узлов, принадлежащих нижней границе (тип 2), изображены на рис. 3. Рассматривая интегралы вида (3.1) и используя равенства (3.3) и (3.4), получим следующие
разностные уравнения (черта над оператором Fα означает, что берется среднее арифметическое значений оператора в двух соседних ячейках; k0 берется из центров ближайших
ячеек).
Тип 1:
Λϕ1,i2 ≡
¢
¡2√
2
g22 κ2 (u · u) 1,i2 .
F1 ϕ(E) + Dq2 F2 ϕ(E) − k0 ϕ1,i2 = (F J)1,i2 +
h1
h1
(3.5)
АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНО-ДИСПЕРСИОННЫХ УРАВНЕНИЙ
13
Тип 2:
Λϕi1 ,1 ≡ Dq1 F1 ϕ(N ) +
Тип 3:
ΛϕN1 ,i2 ≡ −
Тип 4:
(3.6)
¢
¡2√
2
g22 κ2 (u · u) N1 ,i2 . (3.7)
F1 ϕ(W ) + Dq2 F2 ϕ(W ) − k0 ϕN1 ,i2 = (F J)N1 ,i2 −
h1
h1
Λϕi1 ,N2 ≡ Dq1 F1 ϕ(S) −
Тип 5:
¡2√
¢
2
F2 ϕ(N ) − k0 ϕi1 ,1 = (F J)i1 ,1 +
g11 κ1 (u · u) i1 ,1 .
h2
h2
¢
¡2√
2
g11 κ1 (u · u) i1 ,N2 .
F2 ϕ(S) − k0 ϕi1 ,N2 = (F J)i1 ,N2 −
h2
h2
2
2
F1 ϕ(C) + F2 ϕ(C) − k0 ϕ1,1 =
h1
h2
¢
¢
¡2√
¡2√
g22 κ2 (u · u) 1,1 +
g11 κ1 (u · u) 1,1 .
= (F J)1,1 +
h1
h2
(3.8)
Λϕ1,1 ≡
Тип 6:
2
2
F1 ϕ(D) + F2 ϕ(D) − k0 ϕN1 ,1 =
h1
h2
¢
¢
¡2√
¡2√
g22 κ2 (u · u) N1 ,1 +
g11 κ1 (u · u) N1 ,1 .
= (F J)N1 ,1 −
h1
h2
(3.9)
ΛϕN1 ,1 ≡ −
Тип 7:
2
2
F1 ϕ(A) − F2 ϕ(A) − k0 ϕN1 ,N2 =
h1
h2
¡2√
¢
¢
¡2√
−
g22 κ2 (u · u) N1 ,N2 −
g11 κ1 (u · u) N1 ,N2 .
h1
h2
(3.10)
ΛϕN1 ,N2 ≡ −
= (F J)N1 ,N2
Тип 8:
2
2
F1 ϕ(B) − F2 ϕ(B) − k0 ϕ1,N2 =
h1
h2
¡2√
¢
¢
¡2√
+
g22 κ2 (u · u) 1,N2 −
g11 κ1 (u · u) 1,N2 .
h1
h2
(3.11)
Λϕ1,N2 ≡
= (F J)1,N2
(3.12)
Таким образом, формулы (3.2), (3.5)—(3.12) полностью определяют оператор Λ и систему конечно-разностных уравнений
Λϕi1 ,i2 = Pi1 ,i2 ,
iα = 1, ..., Nα .
(3.13)
Коэффициенты этих уравнений приведены в [3]. Нетрудно убедиться, что для оператора
Лапласа, аппроксимируемого на квадратной сетке, описанная схема переходит в схему
“косой крест".
Докажем самосопряженность и положительную определенность оператора A = −Λ.
Оператор A действует из M -пространства сеточных функций, заданных на сетке Qh , в
M . Введем в M скалярное произведение:
(ϕ, ψ) = h1 h2
N
2 −1
1 −1 N
X
X
(ϕψ)i1 ,i2
i1 =2 i2 =2
N
2 −1
X
1
(ϕψ)1,i2 +
+ h1 h2
2
i =2
2
В. Б. Барахнин, Г. С. Хакимзянов
14
N
N
N
1 −1
2 −1
1 −1
X
X
X
1
1
1
+ h1 h2
(ϕψ)i1 ,1 + h1 h2
(ϕψ)N1 ,i2 + h1 h2
(ϕψ)i1 ,N2 +
2
2
2
i =2
i =2
i =2
1
2
1
1
1
1
1
+ h1 h2 (ϕψ)1,1 + h1 h2 (ϕψ)N1 ,1 + h1 h2 (ϕψ)N1 ,N2 + h1 h2 (ϕψ)1,N2 .
4
4
4
4
Пусть f ∈ M . Определим f˜ ∈ M так: f˜i1 ,i2 = fi1 ,i2 (k0 )i1 ,i2 . Имеет место следующее утверждение.
Лемма 3.1. Для любых функций ϕ, ψ из пространства M имеет место равенство
(Aϕ, ψ) = h1 h2
N
2 −1
1 −1 N
X
X
i1 =1 i2 =1
¡
¢
F1 ϕDq1 ψ + F2 ϕDq2 ψ (qi1 +1/2,i2 +1/2 ) + (ϕ̃, ψ).
(3.14)
Доказательство. Преобразуем слагаемые, входящие в выражение (Aϕ, ψ). Преобразование зависит от типа узла, к которому относится соответствующее слагаемое.
Рассматривая выражение (3.2), используемое в узлах типа 0 и взятое со знаком “−",
подробно запишем преобразование тех слагаемых скалярного произведения, в которые
входит сомножитель Dq1 F1 ϕ:
−h1 h2
N
2 −1
1 −1 N
X
X
(Dq1 F1 ϕ ψ)i1 ,i2 =
i1 =2 i2 =2
N1 −1 N
2 −1
X
¡
h1 h2 X
− F1 ϕ(qi1 +1/2,i2 +1/2 )ψi1 ,i2 +
2h1 i =2 i =2
2
1
¢
+F1 ϕ(qi1 −1/2,i2 +1/2 )ψi1 ,i2 − F1 ϕ(qi1 +1/2,i2 −1/2 )ψi1 ,i2 + F1 ϕ(qi1 −1/2,i2 −1/2 )ψi1 ,i2 =
N
N1 −1 N
2 −1
1 −2 N
2 −1
X
X
X
h1 h2 ³ X
=
F1 ϕ(qi1 +1/2,i2 +1/2 )ψi1 ,i2 +
−
F1 ϕ(qi01 +1/2,i2 +1/2 )ψi01 +1,i2 −
2h1
0
i =2 i =2
i =2
1
−
= h1 h2
N
2 −2
1 −1 N
X
X
+
i1 =2
F1 ϕ(qi1 +1/2,i02 +1/2 )ψi1 ,i02 +1 +
i1 =2 i02 =1
N
1 −2 N
2 −2
X
X
i1 =2 i2 =2
N
1 −2
X
i1 =1
2
¡
i01 =1 i02 =1
N
1 −2
X
i1 =2
´
F1 ϕ(qi01 +1/2,i02 +1/2 )ψi01 +1,i02 +1 =
N2 −2
¡
¢
h1 h2 ³ X
F1 ϕ(q1+1/2,i2 +1/2 ) ψ1+1,i2 +1 + ψ1+1,i2 +
F1 ϕDq1 ψ (qi1 +1/2,i2 +1/2 ) +
2h1 i =2
¢
2
¡
¢
F1 ϕ(qi1 +1/2,1+1/2 ) ψi1 +1,1+1 − ψi1 ,1+1 +
+
N
1 −2 N
2 −2
X
X
2
N
2 −2
X
i2 =2
¡
¢
F1 ϕ(qN1 −1/2,i2 +1/2 ) − ψN1 −1,i2 +1 − ψN1 −1,i2 +
¡
¢
F1 ϕ(qi1 +1/2,N2 −1/2 ) ψi1 +1,N2 −1 − ψi1 ,N2 −1 + F1 ϕ(q1+1/2,1+1/2 )ψ1+1,1+1 −
´
−F1 ϕ(qN1 −1/2,1+1/2 )ψN1 −1,1+1 − F1 ϕ(qN1 −1/2,N2 −1/2 )ψN1 −1,N2 −1 + F1 ϕ(q1+1/2,N2 −1/2 )ψ1+1,N2 −1 .
Осуществив аналогичные преобразования для выражения
−h1 h2
N
2 −1
1 −1 N
X
X
(Dq2 F2 ϕ ψ)i1 ,i2 ,
i1 =2 i2 =2
полностью определим вклад узлов типа 0 в скалярное произведение (Aϕ, ψ).
АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНО-ДИСПЕРСИОННЫХ УРАВНЕНИЙ
15
Тип 0:
h1 h2
N
2 −1
1 −1 N
X
X
(Aϕ ψ)i1 ,i2 = h1 h2
i1 =2 i2 =2
i1 =2 i2 =2
+
N
2 −2
1 −2 N
X
X
¡
¢
F1 ϕDq1 ψ + F2 ϕDq2 ψ (qi1 +1/2,i2 +1/2 )+
N2 −2
1 −2
¡
¢
¡
¢ NX
h1 h2 ³ X
F1 ϕ(qi1 +1/2,1+1/2 ) ψi1 +1,1+1 −ψi1 ,1+1 +
F1 ϕ(q1+1/2,i2 +1/2 ) ψ1+1,i2 +1 +ψ1+1,i2 +
2h1 i =2
i =2
1
2
+
N
2 −2
X
i2 =2
+
¡
¢
F1 ϕ(qN1 −1/2,i2 +1/2 ) − ψN1 −1,i2 +1 − ψN1 −1,i2 +
N
1 −2
X
i1 =2
¡
¢
F1 ϕ(qi1 +1/2,N2 −1/2 ) ψi1 +1,N2 −1 − ψi1 ,N2 −1 +
+F1 ϕ(q1+1/2,1+1/2 )ψ1+1,1+1 − F1 ϕ(qN1 −1/2,1+1/2 )ψN1 −1,1+1 −
´
−F1 ϕ(qN1 −1/2,N2 −1/2 )ψN1 −1,N2 −1 + F1 ϕ(q1+1/2,N2 −1/2 )ψ1+1,N2 −1 +
N2 −2
1 −2
¡
¢
¡
¢ NX
h1 h2 ³ X
F2 ϕ(qi1 +1/2,1+1/2 ) ψi1 +1,1+1 +ψi1 ,1+1 +
F2 ϕ(q1+1/2,i2 +1/2 ) ψ1+1,i2 +1 −ψ1+1,i2 +
+
2h2 i =2
i =2
1
2
+
N
2 −2
X
i2 =2
+
N
1 −2
X
i1 =2
¡
¢
F2 ϕ(qN1 −1/2,i2 +1/2 ) ψN1 −1,i2 +1 − ψN1 −1,i2 +
¡
¢
F2 ϕ(qi1 +1/2,N2 −1/2 ) − ψi1 +1,N2 −1 − ψi1 ,N2 −1 +
+F2 ϕ(q1+1/2,1+1/2 )ψ1+1,1+1 + F2 ϕ(qN1 −1/2,1+1/2 )ψN1 −1,1+1 − F2 ϕ(qN1 −1/2,N2 −1/2 )ψN1 −1,N2 −1 −
´
−F2 ϕ(q1+1/2,N2 −1/2 )ψ1+1,N2 −1 + h1 h2
N
2 −1
1 −1 N
X
X
(ϕ̃ ψ)i1 ,i2 .
(3.15)
i1 =2 i2 =2
Для других типов узлов будем иметь следующие равенства.
Тип 1:
N2 −1
N2 −2
¡
¢
h1 h2 X
h1 h2 ³ X
(Aϕ ψ)1,i2 =
F1 ϕ(q1+1/2,i2 +1/2 ) −ψ1,i2 +1 −ψ1,i2 −F1 ϕ(q1+1/2,1+1/2 )ψ1,1+1 −
2 i =2
2h1 i =2
2
2
−F1 ϕ(q1+1/2,N2 −1/2 )ψ1,N2 −1
´
N2 −2
¡
¢
h1 h2 ³ X
+
F2 ϕ(q1+1/2,i2 +1/2 ) ψ1,i2 +1 − ψ1,i2 +
2h2 i =2
2
+F2 ϕ(q1+1/2,1+1/2 )ψ1,1+1 − F2 ϕ(q1+1/2,N2 −1/2 )ψ1,N2 −1
Тип 2:
´
N2 −1
h1 h2 X
(ϕ̃ ψ)1,i2 .
+
2 i =2
(3.16)
2
N1 −1
N1 −2
¡
¢
h1 h2 ³ X
h1 h2 X
(Aϕ ψ)i1 ,1 =
F1 ϕ(qi1 +1/2,1+1/2 ) ψi1 +1,1 − ψi1 ,1 + F1 ϕ(q1+1/2,1+1/2 )ψ1+1,1 −
2 i =2
2h1 i =2
1
1
В. Б. Барахнин, Г. С. Хакимзянов
16
−F1 ϕ(qN1 −1/2,1+1/2 )ψN1 −1,1
´
N1 −2
¡
¢
h1 h2 ³ X
+
F2 ϕ(qi1 +1/2,1+1/2 ) − ψi1 +1,1 − ψi1 ,1 −
2h2 i =2
1
−F2 ϕ(q1+1/2,1+1/2 )ψ1+1,1 − F2 ϕ(qN1 −1/2,1+1/2 )ψN1 −1,1
Тип 3:
´
N1 −1
h1 h2 X
(ϕ̃ ψ)i1 ,1 .
+
2 i =2
(3.17)
1
N2 −1
h1 h2 X
(Aϕ ψ)N1 ,i2 =
2 i =2
2
N2 −2
¡
¢
h1 h2 ³ X
F1 ϕ(qN1 −1/2,i2 +1/2 ) ψN1 ,i2 +1 + ψN1 ,i2 + F1 ϕ(qN1 −1/2,1+1/2 )ψN1 ,1+1 +
=
2h1 i =2
2
2 −2
´ h h ³ NX
¡
¢
1 2
+F1 ϕ(qN1 −1/2,N2 −1/2 )ψN1 ,N2 −1 +
F2 ϕ(qN1 −1/2,i2 +1/2 ) ψN1 ,i2 +1 − ψN1 ,i2 +
2h2 i =2
2
+F2 ϕ(qN1 −1/2,1+1/2 )ψN1 ,1+1 − F2 ϕ(qN1 −1/2,N2 −1/2 )ψN1 ,N2 −1
Тип 4:
´
N2 −1
h1 h2 X
(ϕ̃ ψ)N1 ,i2 .
+
2 i =2
(3.18)
2
N1 −1
h1 h2 X
(Aϕ ψ)i1 ,N2 =
2 i =2
1
N1 −2
¡
¢
h1 h2 ³ X
=
F1 ϕ(qi1 +1/2,N2 −1/2 ) ψi1 +1,N2 − ψi1 ,N2 − F1 ϕ(qN1 −1/2,N2 −1/2 )ψN1 −1,N2 +
2h1 i =2
1
1 −2
´ h h ³ NX
¡
¢
1 2
+F1 ϕ(q1+1/2,N2 −1/2 )ψ1+1,N2 +
F2 ϕ(qi1 +1/2,N2 −1/2 ) ψi1 +1,N2 + ψi1 ,N2 +
2h2 i =2
1
+F2 ϕ(qN1 −1/2,N2 −1/2 )ψN1 −1,N2 + F2 ϕ(q1+1/2,N2 −1/2 )ψ1+1,N2
Тип 5:
´
N1 −1
h1 h2 X
(ϕ̃ ψ)i1 ,N2 .
+
2 i =2
(3.19)
1
h1 h2
h1 h2
h1 h2
h1 h2
(Aϕ ψ)1,1 = −
F1 ϕ(q1+1/2,1+1/2 )ψ1,1 −
F2 ϕ(q1+1/2,1+1/2 )ψ1,1 +
(ϕ̃ ψ)1,1 .
4
2h1
2h2
4
(3.20)
Тип 6:
h1 h2
h1 h2
h1 h2
h1 h2
(Aϕ ψ)N1 ,1 =
(ϕ̃ ψ)N1 ,1 .
F1 ϕ(qN1 −1/2,1+1/2 )ψN1 ,1 −
F2 ϕ(qN1 −1/2,1+1/2 )ψN1 ,1 +
4
2h1
2h2
4
(3.21)
Тип 7:
h1 h2
(Aϕ ψ)N1 ,N2 =
4
h1 h2
h1 h2
h1 h2
F1 ϕ(qN1 −1/2,N2 −1/2 )ψN1 ,N2 +
F2 ϕ(qN1 −1/2,N2 −1/2 )ψN1 ,N2 +
(ϕ̃ ψ)N1 ,N2 . (3.22)
=
2h1
2h2
4
АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНО-ДИСПЕРСИОННЫХ УРАВНЕНИЙ
17
Тип 8:
h1 h2
(Aϕ ψ)1,N2 =
4
h1 h2
h1 h2
h1 h2
=−
(ϕ̃ ψ)1,N2 .
(3.23)
F1 ϕ(q1+1/2,N2 −1/2 )ψ1,N2 +
F2 ϕ(q1+1/2,N2 −1/2 )ψ1,N2 +
2h1
2h2
4
Складывая равенства (3.15)–(3.23) и приводя подобные слагаемые в правой части, получим требуемое равенство (3.14).
Лемма 3.2. Для любых функций ϕ, ψ из пространства M имеет место равенство
¢
¢
¡
¡
F1 ϕDq1 ψ + F2 ϕDq2 ψ (qi1 +1/2,i2 +1/2 )= F1 ψDq1 ϕ + F2 ψDq2 ϕ (qi1 +1/2,i2 +1/2 ).
Доказательство. Из определения операторов Fα имеем
¢
¡
F1 ϕDq1 ψ + F2 ϕDq2 ψ (qi1 +1/2,i2 +1/2 ) =
¢
¡
= (k11 Dq1 ϕ + k12 Dq2 ϕ)Dq1 ψ + (k12 Dq1 ϕ + k22 Dq2 ϕ)Dq2 ψ (qi1 +1/2,i2 +1/2 ) =
¢
¡
= (k11 Dq1 ψ + k12 Dq2 ψ)Dq1 ϕ + (k12 Dq1 ψ + k22 Dq2 ψ)Dq2 ϕ (qi1 +1/2,i2 +1/2 ) =
¢
¡
= F1 ψDq1 ϕ + F2 ψDq2 ϕ (qi1 +1/2,i2 +1/2 ).
Теорема 3.1. Оператор A является самосопряженным и положительно определенным в пространстве M , причем имеет место оценка
d1 (ϕ, ϕ) ≤ (Aϕ, ϕ) ≤ (c2 l + d2 )(ϕ, ϕ),
где
µ
¶
3J
4 4
d2 = max 3 , l = max
,
,
h21 h22
q∈Q H
p
2
k11 + k22 + (k11 − k22 )2 + 4k12
.
c2 = max
2
q∈Q
3J
d1 = min 3 ,
q∈Q H
Доказательство. Согласно леммам 3.1 и 3.2
(Aϕ, ψ) = h1 h2
N
2 −1
1 −1 N
X
X
i1 =1 i2 =1
= h1 h2
N
2 −1
1 −1 N
X
X
i1 =1 i2 =1
¡
¡
¢
F1 ϕDq1 ψ + F2 ϕDq2 ψ (qi1 +1/2,i2 +1/2 ) + (ϕ̃, ψ) =
¢
F1 ψDq1 ϕ + F2 ψDq2 ϕ (qi1 +1/2,i2 +1/2 ) + (ψ̃, ϕ) = (Aψ, ϕ),
что доказывает самосопряженность оператора.
Рассмотрим в области Q дифференциальный оператор
µ
¶
2
X
∂
∂
L=
kαβ β .
α
∂q
∂q
α,β=1
Нетрудно показать, что для произвольных ζ1 , ζ2 имеет место оценка
c1 (ζ12
+
ζ22 )
≤
2
X
α,β=1
kαβ ζα ζβ ≤ c2 (ζ12 + ζ22 ),
В. Б. Барахнин, Г. С. Хакимзянов
18
√
√
k11 + k22 − D
k11 + k22 + D
2
где c1 = min
, c2 = max
, D = (k11 − k22 )2 + 4k12
. Если в Q
2
2
q∈Q
q∈Q
2
выполняются неравенства k11 > 0, k11 k22 > k12
, то L является равномерно эллиптическим
оператором и выполняется неравенство c1 > 0.
Используя определения операторов Fα , имеем
(Aϕ, ϕ) = h1 h2
N
2 −1
1 −1 N
X
X
i1 =1 i2 =1
= h1 h2
¡
¢
F1 ϕDq1 ϕ + F2 ϕDq2 ϕ (qi1 +1/2,i2 +1/2 ) + (ϕ̃, ϕ) =
N
2 −1 ³
1 −1 N
X
X
i1 =1 i2 =1
´
(k11 Dq1 ϕ+k12 Dq2 ϕ)Dq1 ϕ+(k12 Dq1 ϕ+k22 Dq2 ϕ)Dq2 ϕ (qi1 +1/2,i2 +1/2 )+(ϕ̃, ϕ),
откуда следует, что
c1 h1 h2
N
2 −1 ³
1 −1 N
X
X
i1 =1 i2 =1
≤ c2 h1 h2
´
(Dq1 ϕ)2 + (Dq2 ϕ)2 (qi1 +1/2,i2 +1/2 ) + d1 (ϕ, ϕ) ≤ (Aϕ, ϕ) ≤
N
2 −1 ³
1 −1 N
X
X
i1 =1 i2 =1
´
(Dq1 ϕ)2 + (Dq2 ϕ)2 (qi1 +1/2,i2 +1/2 ) + d2 (ϕ, ϕ).
Рассмотрим в области Q следующую задачу Неймана:
¯
∂ϕ ¯¯
−∆ϕ = 0,
¯ = 0.
∂n ¯
(3.24)
Γ
Аппроксимируем эту задачу на прямоугольной сетке с шагами h1 и h2 с помощью конечноразностного оператора B, получаемого из оператора A путем замены коэффициентов на
постоянные: k11 = k22 = 1, k12 = 0, k0 = 0. Очевидно,
(Bϕ, ϕ) = h1 h2
N
2 −1 ³
1 −1 N
X
X
i1 =1 i2 =1
´
(Dq1 ϕ)2 + (Dq2 ϕ)2 (qi1 +1/2,i2 +1/2 ).
Собственные значения оператора B имеют вид
λn1 ,n2 =
1
1
(1 − cos πh1 n1 )(1 + cos πh2 n2 ) + 2 (1 + cos πh1 n1 )(1 − cos πh2 n2 ),
2
h1
h2
где nα = 0, . . . , Nα − 1, при этом
λmin = 0,
λmax = l = max
µ
¶
4 4
,
,
h21 h22
то есть
0 ≤ (Bϕ, ϕ) ≤ l (ϕ, ϕ).
Таким образом, мы можем записать неравенство (3.24) в виде
c1 (Bϕ, ϕ) + d1 (ϕ, ϕ) ≤ (Aϕ, ϕ) ≤ c2 (Bϕ, ϕ) + d2 (ϕ, ϕ)
АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНО-ДИСПЕРСИОННЫХ УРАВНЕНИЙ
19
и, окончательно,
d1 (ϕ, ϕ) ≤ (Aϕ, ϕ) ≤ (c2 l + d2 )(ϕ, ϕ),
что и требовалось доказать.
Разработанный алгоритм был применен для численного исследования процесса взаимодействия уединенной волны с плоской вертикальной стенкой, расположенной под некоторым углом к фронту волны, а также для моделирование течения, возникающего при
разрушении дамбы, перегораживающей водоем [3]. Полученные результаты сравнивались
с результатами расчетов по модели мелкой воды первого приближения и по модели потенциальных течений [4, 13, 15]. На основании проведенного сравнения можно сделать
вывод о том, что разработанный алгоритм решения нелинейно-дисперсионных уравнений
в достаточной мере продемонстрировал свою работоспособность, надежность и экономичность.
Список литературы
[1] Алешков Ю. З. Теория взаимодействия волн с преградами. ЛГУ, Л., 1990.
[2] Базденков С. В., Морозов Н. И., Погуцце О. Р. Дисперсионные эффекты в двумерной гидродинамике. Докл. АН СССР, 293, 1987, 819–822.
[3] Барахнин В. Б., Хакимзянов Г. С. Численная реализация условий непротекания
для одной нелинейно-дисперсионной модели мелкой воды. Актуальные проблемы современной математики, НИИ МИОО НГУ, Новосибирск, 3, 1997, 3–13.
[4] Барахнин В. Б., Хакимзянов Г. С., Чубаров Л. Б., Шкуропацкий Д. А. Некоторые проблемы численного моделирования волновых режимов в огражденных акваториях. В “Вычислительные технологии”, ИВТ СО РАН, Новосибирск, 1, №2, 1996,
3–25.
[5] Вольцингер Н. Е., Клеванный К. А., Пелиновский Е. Н. Длинноволновая динамика прибрежной зоны. Гидрометеоиздат, Л., 1989.
[6] Дорфман А. А., Яговдик Г. И. Уравнения приближенной нелинейно-дисперсионной теории длинных гравитационных волн, возбуждаемых перемещениями дна и распространяющихся в бассейне переменной глубины. Числен. методы мех. сплошной
среды, 8, №1, 1977, 36–48.
[7] Железняк М. И. Воздействие длинных волн на сплошные вертикальные преграды.
В “Накат цунами на берег”, ИПФ АН СССР, Горький, 1985, 122–139.
[8] Железняк М. И., Пелиновский Е. Н. Физико-математические модели наката цунами на берег. Там же, 8–33.
[9] Марчук Ан. Г., Чубаров Л. Б., Шокин Ю. И. Численное моделирование волн цунами. Наука, Новосибирск, 1983.
[10] Овсянников Л. В., Макаренко Н. И., Налимов В. И. и др. Нелинейные проблемы теории поверхностных и внутренних волн. Наука, Новосибирск, 1985.
20
В. Б. Барахнин, Г. С. Хакимзянов
[11] Погорелов А. В. Дифференциальная геометрия. Наука, М., 1974.
[12] Федотова З. И. О свойствах разностных схем для длинноволновых приближений
уравнений гидродинамики. В “Вычислительные технологии”, ИВТ СО РАН, Новосибирск, 2, №7, 1993, 237–249.
[13] Хакимзянов Г. С. О численном моделировании на адаптивных сетках трехмерных
течений жидкости с поверхностными волнами. В “Тр. Всесоюзн. совещ. по числ. мет.
волн. гидродин”, Ростов-на-Дону, 1990, ВЦ СО АН СССР, Красноярск, 1991, 103–108.
[14] Шокин Ю. И., Чубаров Л. Б., Марчук Ан. Г., Симонов К. В. Вычислительный
эксперимент в проблеме цунами. Наука, Новосибирск, 1989.
[15] Barakhnin V. B., Khakimzyanov G. S. Adaptive-grid numerical solution of onedimensional and two-dimensional problems for the shallow-water equations. In “Advanced
Mathematics: Comput. and Appl. Proc. of AMCA-95”, Novosibirsk, 1995, 144–153.
[16] Barakhnin V. B., Khakimzyanov G. S. On the application of adaptive grids to the
numerical solution of one-dimensional problems in the shallow-water theory. Russ. J.
Numer. Anal. Math. Modelling, 10, №5, 1995, 373–391.
[17] Eilbek J. C., McGuire G. R. Numerical study of the regularized long-wave equations,
I. Numerical methods. J. Comput. Phys. 19, №1, 1975, 43–57.
[18] Ertekin R. C., Webster W. C., Wehausen J. V. Waves caused by a moving
disturbance in a shallow channal of finite width. J. Fluid Mech., 169, 1986, 275–292.
[19] Fedotova Z. I., Pashkova V. Yu. On the numerical modelling of the dynamics of
weakly nonlinear waves with dispersion. Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling, 10, №5,
1995, 407–424.
[20] Green A. E., Naghdi P. M. A derivation of propagation in water of variable depth J.
Fluid Mech., 71, 1976, 237–246.
[21] Kompaniets L. A. Analysis of difference algorithms for nonlinear dispersive shallow water
models. Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling, 11, №3, 1996, 205–221.
[22] Peregrine D. H. Long waves on a beach. J. Fluid Mech., 27, pt. 4, 1967, 815–827.
[23] Seabra-Santos F. T., Renouard D. P., Temperville A. M. Numerical and
experimental study of the transformation of a solitary wave over a shelf or isolated obstacle.
J. Fluid Mech., 176, 1987, 117–134.
[24] Shokin Yu. I., Khakimzyanov G. S., Chubarov L. B. New potentialities of
computational experiment in tsunami problem. In “Proc. of the Int. Tsunami Symp.,
TSUNAMI’93”, Wakayama, Japan, August 23–25, 1993, 277–284.
Поступила в редакцию 15 сентября 1996 г.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
236 Кб
Теги
нелинейные, решение, уравнения, алгоритм, одной, дисперсионных, воды, модель, мелкой, численного
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа