close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об аналитическом продолжении гипергеометрического ряда преобразованием Эйлера-Кноппа.

код для вставкиСкачать
УДК 517.537.3
Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2009, вып. 3
ОБ АНАЛИТИЧЕСКОМ ПРОДОЛЖЕНИИ
ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОГО РЯДА
ПРЕОБРАЗОВАНИЕМ ЭЙЛЕРА—КНОППА
М. М. Кабардов
С.-Петербургский государственный университет,
аспирант мат.-мех. ф-та, kabardov@bk.ru
1. Введение
Для суммирования слабосходящихся рядов принято исходный ряд заменять другим,
сходящимся к той же сумме быстрее. Такие преобразования получили популярность со
времен Эйлера. Метод суммирования (E, 1), который он применял, получил развитие у
многих исследователей. Одним из первых обобщений было нелинейное преобразование
!
k
∞
∞ X
1 X
z
k
Ê
ak z
=
∆k a0 ,
1−z
1−z
k=0
k=0
где ∆k — оператор конечной разности порядка k. Метод (E, 1) получается из последнего
при z = −1. Дальнейшее обобщение этого преобразования приводит к методу Эйлера—
Кноппа, который мы исследуем ниже. Метод Эйлера—Кноппа состоит на самом деле в
дробно-линейном отображении исходного степенного ряда и может быть сформулирован в более общем виде следующим образом.
Пусть задана функция ζ(y), голоморфная в некоторой окрестности начала координат, P
и пусть ζ(0) = 0. Тогда функция ζ m (y) может быть разложена в ряд
∞
m
ζ (y)
ckm y k . Обобщенным преобразованием Эйлера—Кноппа степенного ряP∞= k=m
k
да k=1 ak z будем называть ряд
!
∞
∞
k
X
X
k
EK
ak z
=
Ak y(z) ,
(1)
k=1
Pk
k=1
где Ak = m=1 ckm am , y(z) — функция, обратная к ζ(y) в окрестности начала координат. Метод Эйлера—Кноппа (см. ниже теорему 1) получается при ζ(y) = y/(1 + py).
Обобщение (E, q)-метода, приведенное в работах [1, 2], получается из преобразования
(1) при y → 1, причем при формулировке обобщения метода (E, q) предполагаются
дополнительно голоморфность функции ζ(y) в замыкании единичного круга и условие ζ(1) = 1. Обычный метод (E, q) получается при ζ(y) = y/(1 + q − qy), y → 1. С
преобразованием Эйлера и его обобщениями можно ознакомиться, например, в работах [1–4]. Далее мы подробнее рассмотрим преобразование Эйлера—Кноппа и задачу
аналитического продолжения обобщенного гипергеометрического ряда.
c
24
М. М. Кабардов, 2009
2. Преобразование Эйлера—Кноппа
Справедлива [3] следующая
Теорема 1 (Эйлер—Кнопп). Пусть дана последовательность {ak , k = 0, 1, 2, . . .} и
Ak (p) =
Тогда
k X
k
(−p)k−j aj ,
j
j=0
∞
X
ak z k =
k=0
∞
X
k=0
Ak (p)
k = 0, 1, 2, . . .
zk
(1 − pz)k+1
(2)
(3)
для всех значений z и p, при которых элементы сумм существуют и ряды сходятся.
Эта теорема не дает ответа на вопрос, при каких значениях параметра p из сходимости исходного ряда следует сходимость преобразованного. Также неизвестно, какой ряд
предпочтительнее для вычисления в пересечении их областей сходимости. А так как
данное преобразование мы будем использовать для ускорения сходимости степенного
ряда, необходимо описать множество M значений параметра p, при которых область
сходимости преобразованного ряда содержит круг сходимости исходного. При этом мы
будем говорить, что преобразование (3) регулярно. Заметим, это понятие шире рассматриваемого обычно в теории суммирования рядов.
1/k
Пусть A(p) = lim |Ak (p)|
k→∞
определяется неравенством
. Тогда область сходимости преобразованного ряда
z < 1.
A(p) 1 − pz (4)
Для дальнейшегонам понадобится
1
P∞
Лемма. A(p) = max − p, где zj — особые точки функции ϕ(z) = k=0 ak z k .
j
zj
Доказательство. В самом деле, записав преобразованный ряд в виде
∞
1X
1
Ak (p)
,
z
(1/z − p)k+1
k=0
мы видим, что (A(p))−1 есть радиус круга сходимости в плоскости (w) при отображении
w = z/(1 − pz). Также ясно, что
1
,
A(p) = min j
1/zj − p откуда следует утверждение леммы. С учетом леммы неравенство (4) преобразуется к виду
1
z < 1.
max − p j
zj
1 − pz Обозначим t = 1/z и запишем наше неравенство в виде |t−p| > A(p). В плоскости (t)
оно определяет внешность круга с центром в точке p, содержащего все особые точки
25
tj = 1/zj . Чем меньше радиус этого круга, тем больше площадь соответствующего
круга в плоскости (z).
P∞
Исходный ряд k=0 ak z k сходится в круге |z| < |z
|, где z0 — ближайшая к началу
P0∞
координат особая точка ϕ(z). Преобразованный ряд k=0 Ak (p)z k (1 − p z)−k−1 сходится в «круге» |p − 1/z| > A(p).
Нужно найти значения p , при которых {|1/z − p| > A(p)} ⊃ {|z| < |z0 |}, или, что
то же самое, {|1/z − p| ≤ A(p)} ⊂ {1/|z| ≤ 1/|z0 |}. Очевидно, это те значения, которые
определяются из неравенства
1
A(p) + |p| ≤
.
(5)
|z0 |
Если p = 0, то A(p) = 1/|z0 |, поэтому это неравенство определяет непустое
множество.
P
Пусть t0 = arg max |tj |, tj = 1/zj , zj — особенности функции ϕ(z) = ∞
a
zk.
k
k=0
j
Задачу отыскания множества M решает
Теорема 2. Суммирование Эйлера—Кноппа с параметром p регулярно тогда и только
тогда, когда выполнено условие
|p| + A(p) = |t0 | .
Доказательство. Достаточность условия следует из определяющего неравенства (5)
для множества M . Остается показать, что на множестве M неравенство |p| + A(p) < |t0 |
не имеет места.
k
В работе [5] было установлено, что если p ∈ M , то |ak | = O (|p| + A(p)) . Отсюда
следует, что
|ak |
= C < ∞.
(6)
lim
k→∞ (|p| + A(p))k
Учитывая равенство lim |ak |1/k = |t0 |, из (6) получаем, что
k→∞
|t0 |k
=C.
k→∞ (|p| + A(p))k
(7)
lim
Из (7) следует, что неравенство |p| + A(p) < |t0 | на M не выполняется, так как его
следствие C = ∞ противоречит неравенству (6). Отсюда и из неравенства (5) следует
доказываемое утверждение. Фактически мы доказали также, что функция ηϕ (p) = |p| + A(p) достигает абсолютного минимума на M , т. е.
M = p| inf ηϕ (q) = ηϕ (p) .
q
3. Аналитическое продолжение гипергеометрического ряда
В качестве примера применения преобразования Эйлера—Кноппа рассмотрим один
метод аналитического продолжения обобщенной гипергеометрической функции
n Fn−1 (a; b; z) =
∞
∞
X
X
(a1 )k . . . (an )k z k
=
λk z k ,
(b1 )k . . . (bn−1 )k k!
k=0
k=0
bj 6= 0, −1, . . . ,
где (c)k — символ Похгаммера, (c)k = Γ(c + k)/Γ(c). Этот ряд сходится внутри круга
|z| < 1, а на его границе имеет особенность в точке z = 1. Аналитически продолжая
26
его, получаем функцию n Fn−1 (a; b; z), голоморфную в плоскости (z) с разрезом вдоль
положительной полуоси от точки z = 1 до z = ∞.
В плоскости (t) (при отображении t = 1/z) образом круга сходимости служит круг
|t| > 1. Особые точки гипергеометрической функции переходят в точки t = 0 и t = 1.
A(p)
Следовательно, M = [0, 1/2], pопт = arg min |1−p|
= 1/2 и A(pопт ) = 1/2.
p∈M
Чтобы найти подмножество круга сходимости исходного ряда, на котором сходимость улучшается
P при преобразовании, определим коэффициент сходимости произвольного ряда
gn как величину
KC = lim |gn |1/n .
n→∞
Очевидно, чем меньше KC, тем быстрее ряд сходится.
Ряд
X
zk
Ak (pопт )
(1 − pопт z)k+1
k=0
сходится в полуплоскости Re z < 1, которая, очевидно, содержит круг {|z| < 1} сходимости исходного ряда. Далее, так как lim |λk |1/k = 1, коэффициент сходимости
k→∞
исходного ряда (KCисх ) в точке z ∈ {|z| < 1} равен |z|. Коэффициент сходимости
преобразованного ряда (KCпр ) в той же точке z равен (при p = pопт = 1/2)
KCпр = A(p)
|z|
|z|
=
.
|1 − pz|
|2 − z|
В круге {|z| < 1} выполнено неравенство |2 − z| > 1, и поэтому
KCпр =
|z|
< |z| = KCисх .
|2 − z|
Значит, в круге сходимости исходного ряда имеем ускорение сходимости в |2 − z| раз.
Пусть теперь задана точка z ′ 6∈ [1, +∞) и требуется выбрать параметр pопт = pопт (z ′ )
так, чтобы преобразованный по Эйлеру—Кноппу ряд сходился возможно быстрее, т. е.
нужно найти
z′ .
pопт = arg min A(p) 1 − pz ′ В данном случае A(p) = max(|p|, |p − 1|). Далее, ясно, что точки t = 0 и t = 1
принадлежат окружности ∂K(pопт , A(pопт )), т. е. |p − 1| = |p| (или Re p = 1/2). Таким
образом, pопт есть решение задачи
z′ pz ′ .
pопт = arg min A(p) = arg min 1 − pz ′ |p−1|=|p| 1 − pz ′ Так как точка z ′ фиксирована, можно решать эквивалентную задачу
qопт = arg max |z ′ − q| при условии |q − 1| = 1 ,
а затем вычислить pопт = 1/qопт .
27
(z)
z’
1
qopt
|q−1|=1
Рис. 1. К нахождению параметра qопт (z ′ ).
Из рис. 1 видно, что решение qопт лежит на прямой, проходящей через точки z ′ и 1,
и из двух точек пересечения этой прямой и окружности |q − 1| = 1 точка qопт , наиболее
отдаленная от z ′ . Аналитически решение находится по формуле
pопт =
При этом
KCпр
1
qопт
−1
1 − z′
= 1+
.
|1 − z ′ |
z′ |z ′ |
=
= A(p) .
′
1 − pz
1 + |1 − z ′ |
Найдем область сходимости преобразованного ряда при таком выборе параметра.
Оно определяется из неравенства
z < 1.
A(p) (8)
1 − pz При p = pопт (z ′ ) = 1/qопт (z ′ ) получаем, что
z z
.
A(p) =
1 − pz
qопт − z Неравенство (8) принимает вид |z| < |qопт − z|. Последнее определяет полуплоскость,
граничная прямая которой перпендикулярна отрезку [0, qопт ] и проходит через его середину qопт /2 (см. рис. 2).
Очевидно, преобразование Эйлера—Кноппа гипергеометрического ряда при таком
выборе параметра p регулярно, только если z ′ ∈ (−∞, 1), а тогда pопт (z ′ ) = 1/2, что
совпадает с найденным ранее.
28
(z)
z’
1
q
opt
|z|=|qopt(z’)−z|
Рис. 2. Полуплоскость сходимости преобразованного ряда при p = pопт (z ′ ).
Пусть z принадлежит пересечению (обозначим его K ′ ) единичного круга {|z| < 1}
и полуплоскости |z| < |qопт (z ′ ) − z|. Тогда
z z
,
KCпр = A(p) =
′
1 − pz
qопт (z ) − z и ускорение сходимости получается в пересечении множества K ′ с областью, определяемой неравенством |qопт (z ′ ) − z| > 1. На рис. 2 область K ′ ∩ {z| |qопт (z ′ ) − z| > 1}
заштрихована.
Аналогичная задача выбора параметра дробно-линейного отображения для аналитического продолжения ряда n Fn−1 (a; b; z) решена Скороходовым [6] в следующей постановке.
Задача P. Для фиксированной точки z0 6= 0, 1 найти из некоторого семейства областей Gγ такой параметр γопт (z0 ), соответствующую ему область G∗ и конформное
отображение z = z(ω) единичного круга |ω| < 1 на область G∗ , что для прообраза ω0
точки z0 верно
γопт (z0 ) = arg min |ω0 (γ; z0 )| .
γ
Далее, рассматривая семейство дробно-линейных отображений
ω
z(ω) = (γ − 1)
,
γ−ω
Скороходов находит γопт (z0 ) = −(1 − z0 )/|1 − z0 |, получая для преобразованного ряда
скорость сходимости геометрического ряда со знаменателем
|z0 |
.
1 + |1 − z0 |
Там же рассмотрены и другие способы аналитического продолжения гипергеометрического ряда.
29
Литература
1. Харди Г. Г. Расходящиеся ряды. М., 2006. 504 с.
2. Niethammer W. Numerical application of Euler’s series transformation and its generalizations
// Numer. Math. 1980. Vol. 34. P. 271–283.
3. Gabutti B., Lyness J. N. Some generalizations of the Euler—Knopp transformation // Numer.
Math. 1986. Vol. 48. P. 199–220.
4. Wynn P. A note on the generalized Euler transformation // The Comp. J. 1970. Vol. 14, N 4.
P. 437–441.
5. Кабардов М. М. О применении метода суммирования Эйлера—Кноппа к ряду Лагерра
// Методы вычислений. Вып. 22. СПб., 2008. C. 77–81.
6. Скороходов С. Л. Методы аналитического продолжения обобщенных гипергеометрических функций p Fp−1 (a1 , . . . , ap ; b1 , . . . , bp−1 ; z) // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. 2004.
Т. 44. № 7. C. 1164–1186.
Статья поступила в редакцию 12 марта 2009 г.
30
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
283 Кб
Теги
аналитическая, продолжение, эйлера, кноппа, преобразование, ряда, гипергеометрической
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа