close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об асимптотическом интегрировании систем дифференциальных уравнений второго порядка с негладкими коэффициентами.

код для вставкиСкачать
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. ќ17(214). Вып. 40 127
MSC 34E99
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКОМ ИНТЕГРИРОВАНИИ СИСТЕМ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
С НЕГЛАДКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Т.А. Сафонова
Северный (Арктический) федеральный университет им. М.В. Ломоносова,
пр. Морской, 26, Северодвинск, 164515, Россия, e-mail: tanya.strelkova@rambler.ru
Ключевые слова: дифференциальные уравнения, негладкие коэффициенты, вектор-
функции, матриц-функции.
Пусть выполняются следующие условия:
a) P (x) - невырожденная матриц-функция на полуоси R+ := [0; +?),
b) P ?1 (x) = (pij (x)) и Q(x) = (qij (x)) (i, j = 1, 2, . . . , n) - эрмитовы матриц-функции
порядка n, n ? N, определены и измеримы на R+ ,
c) R(x) = (rij (x)) (i, j = 1, 2, . . . , n) - комплекснозначная матриц-функции порядка n,
n ? N, определена и измерима на R+ ,
d) функции qij (x), pij (x), rij (x) локально суммируемы на R+ (qij , pij , rij ? L1loc (I)).
[1] [1]
[1]
Предполагая, что вектор-функции y = (y1 , y2 , . . . , yn )t и y [1] = (y1 , y2 , . . . , yn )t :=
P (y ? ? Ry) (t - символ транспонирования) уже определены и являются локально абсолютно непрерывными на R+ , рассмотрим однородное симметрическое дифференциальное уравнение второго порядка с матричными коэффициентами
?(y [1] )? ? R? y [1] + Qy = 0,
(1)
(1)
x ? R+ .
(1)
(1)
Пусть далее матрицы P1 = (pij ), Q1 = (qij ) и R1 = (rij ) обладают теми же свойствами, что и матрицы P , Q и R, а вектор-функции y, y [1] := P1 (y ? ? R1 y) определены
и y, y [1] ? ACloc (R+ ).
Рассмотрим второе дифференциальное уравнение второго порядка
?(y [1] )? ? (R1 )? y [1] + Q1 y = 0,
x ? R+
(2)
и через T обозначим фундаментальную матрицу системы решений этого уравнения,
[1]
столбцы которой имею вид (uj , uj )t (j = 1, 2, . . . , 2n), где uj - линейно независимые
векторные решения уравнения (2) (квазипроизводные определяются посредством матриц P1 и R1 ).
Работа посвящена установлению достаточных условий на коэффициенты матриц
P , Q, R, P1 , Q1 , R1 и фундаментальную матрицу T систему решений уравнения (2),
обеспечивающих асимптотическую близость решений уравнений (1) и (2) при x ? +?.
Справедлива следующая теорема.
128 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. ќ17(214). Вып. 40
Теорема 1. Пусть матрицы P , Q, R, P1 , Q1 , R1 и T таковы, что
(
) ?+?
?1 R ? R1 P ?1 ? P1?1
T
T
?
?
< +?.
Q ? Q1 ?R + R1
(3)
0
Тогда для любых комплексных чисел ?1 , ?2 , . . . , ?2n уравнение (1) имеет решение ?(x),
удовлетворяющее условиям:
?(x) =
2n
?
[?j + aj (x)]uj (x) и ?[1] =
j=1
2n
?
[?j + aj (x)](uj )[1] (x),
j=1
где aj (x) ? 0 при x ? +? (j=1,2,. . . ,2n), а ||.|| означает сумму абсолютных величин
всех элементов матрицы (первая квазипроизводная вектор-функции ? определяется
посредством матриц P и R, а вектор-функций uj - посредством матриц P1 и R1 ).
В качестве примера рассмотрим случай n = 2.
Пусть P1 = I , R1 = ?1 (x), Q1 = ??12 (x), где I - единичная матрица второго порядка,
а вещественная, симметрическая матрица ?1 (x) имеет вид:
?
?
x?+1
x?+1
?? ? + 1 ? + 1 ?
?.
?1 (x) = ?
? x?+1
x?+1 ?
?
?+1
?+1
(? > 2, 0 < ? < ?).
Пусть далее, P = I , R = ?(x), Q = ?? 2 (x), где ?(x) = (sij )(x) - вещественная, симметрическая матрица второго порядка, квадраты элементов которой локально
суммируемы на полуоси (s2ij ? L1loc (R+ )); xn (n = 0, 1, . . .) - возрастающая последовательность положительных чисел таких, что x0 = 0, lim xn = +?. Выберем проn?+?
извольную точку ?k ? [xk ; xk+1 ) и определим элементы sij (x) матрицы ?(x), полагая:
? ?+1
k
, s12 (x) = s21 (x) =
s11 (x) = s22 (x) = ? ?+1
Тогда, если сходятся ряды
+?
?
k=1
x?k+1 (xk+1
? xk ) < +?,
2
?k?+1
?+1
при x ? [xk , xk+1 ).
+?
?
x2?+1
k+1
k=1
(x?k + x?k )1/2
(xk+1 ? xk )2 < +?,
то матрицы ?(x) и ?1 (x) удовлетворяют условию (3) теоремы 1 (более подробно см. [1]
и [2]).
Автор выражает благодарность проф. Мирзоеву К.А. за постановку задачи и полезные обсуждения.
Работа выполнена при поддержке РФФИ, гранты ќ 11-01-00790-а и ќ 12-01-31491мол а, и Минобрнауки РФ, грант ќ 1.5711.2011.
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. ќ17(214). Вып. 40 129
Литература
1. Сафонова Т.А. Асимптотическое интегрирование систем квазидифференциальных уравнений второго порядка // Математические заметки. 2011. 89, Вып.6. С.951-953.
2. Мирзоев К.А., Сафонова Т.А. Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля с негладкими
потенциалами в пространстве вектор-функций // Уфимский математический журнал. 2011. 3, ќ3. С.105-119.
ABOUT ASYMPTOTIC INTEGRATION
OF DIFFERENTIAL EQUATIONS SYSTEM
OF SECOND ORDER WITH NOT SMOOTH COEFFICIENTS
T.A. Safonova
Severny Federalny University,
Morskoi Av., 26, Severodvinsk, 164515, Россия, e-mail: tanya.strelkova@rambler.ru
Кey words: dierential equations, nondierential coecients, vector-function, matrix-
functions.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа