close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об индексе линейной системы дифференциально-алгебраических уравнений с частными производными.

код для вставкиСкачать
Известия вузов. Математика
2014, № 4, c. 62–79
http://old.kpfu.ru/journals/izv_vuz/
e-mail: izvuz.matem@kpfu.ru
А.А. ЩЕГЛОВА, С.А. АНИЩУК
ОБ ИНДЕКСЕ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
Аннотация. Рассматривается линейная нестационарная система уравнений с частными производными первого порядка, не разрешенная относительно производных и тождественно вырожденная в области определения. Вводится понятие индекса неразрешенности как наименьшего из возможных порядков дифференциального оператора, преобразующего исходную систему к структурной форме, в которой разделены “дифференциальные” и “алгебраическая”
подсистемы. Подход не предполагает существования дифференциальных индексов по независимым переменным.
Ключевые слова: дифференциально-алгебраические уравнения, частные производные, индекс
неразрешенности, структурная форма.
УДК: 517.922 : 517.951
1. Введение
Рассматривается система уравнений
∂u
∂u
+ B(x, t)
+ C(x, t)u = f (x, t),
(1.1)
A(x, t)
∂x
∂t
где u ≡ u(x, t) — искомая, а f (x, t) — заданная n-мерная вектор-функции; A(x, t), B(x, t),
C(x, t) — заданные n × n-матрицы, определенные в области
U = {(x, t) : x ∈ X = [x0 , x1 ], t ∈ T = [t0 , t1 ]} ⊂ R2 .
Предполагается, что в (1.1) коэффициенты и правая часть имеют в U достаточное число
непрерывных частных производных по своим аргументам и
det A(x, t) = 0, det B(x, t) = 0 ∀(x, t) ∈ U.
(1.2)
Допускаются случаи вырождения матрицы C(x, t) как на всем множестве U, так и на некотором его подмножестве.
Системы вида (1.1) с условием (1.2) называются системами дифференциально-алгебраических уравнений (ДАУ) с частными производными.
ДАУ с частными производными возникают при моделировании различных процессов в
гидродинамике, физике атмосферы, физике плазмы, электронных схемах, наноэлектронике
и других областях [1]–[5].
Поступила 09.11.2012
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 13-01-00287) и программы Президиума Российской Академии наук (проект № 17.1).
62
ОБ ИНДЕКСЕ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
63
Одной из важнейших характеристик таких систем (как для анализа, так и для численного решения) является индекс. Величина индекса показывает меру неразрешенности системы
относительно производных. Условия существования индекса фактически определяют подход к исследованию вырожденной системы уравнений.
Попытки ввести понятие индекса ДАУ с частными производными предпринимались неоднократно (в частности, [6]–[9]). На настоящий момент общепринятого определения индекса
нет, что верно и в отношении систем обыкновенных дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производных, также называемых в литературе ДАУ.
В статье [6] определен индекс по возмущению для класса одномерных задач. В работе
[8] понятие дифференциального индекса, ранее введенное для нелинейных ДАУ [9], переносится на случай ДАУ с частными производными для получения условий согласования
начальных данных. В [7] используется аналог дифференциального индекса, который определяется как порядок дифференциального оператора, приводящего ДАУ к виду, разрешенному относительно производных. В [4] рассматриваются абстрактные ДАУ в банаховых
пространствах, индекс вводится на основе построения различных проекторов.
В данной работе определение индекса системы (1.1) базируется на развитии идеи о преобразовании ДАУ к виду, в котором разделены “дифференциальная” и “алгебраическая” части
[10]. В отличие от [7], [8] используемый подход не предполагает существования дифференциальных индексов по переменным x или t, а включает эти случаи в себя как частные. При
этом независимые переменные являются равноправными в смысле осуществляемых преобразований, а предположения допускают переменный ранг матричных коэффициентов. В
статье получены структурные формы для ДАУ (1.1), в условиях существования которых в
дальнейшем можно доказать теоремы о существовании решений этой системы.
2. Продолженная система и разрешающий минор
Пусть r и k — неотрицательные целые числа. Обозначим
M = (r + 1)(k + 1), N = 2(r + k) + rk + 3.
Системе (1.1) поставим в соответствие матрицы
⎞
⎞
⎞
⎛ [0]
⎛ [0]
⎛ [0]
Γu (x, t)
Γx (x, t)
Γt (x, t)
⎟
⎟
⎟
⎜ [1]
⎜ [1]
⎜ [1]
⎜Γu (x, t)⎟
⎜Γx (x, t)⎟
⎜Γt (x, t)⎟
⎟
⎟
⎟,
⎜
⎜
,
Γ
,
Γ
(x,
t)
=
(x,
t)
=
Γu(r,k)(x, t) = ⎜
x(r,k)
t(r,k)
..
..
..
⎟
⎟
⎟
⎜
⎜
⎜
.
.
.
⎠
⎠
⎠
⎝
⎝
⎝
[k]
[k]
Γu (x, t)
Γx (x, t)
[i]
[i]
[k]
Γt (x, t)
[i]
где (n(r + 1) × n)-матрицы Γu (x, t), Γx (x, t), Γt (x, t) вычисляются по формулам
r r ∂
∂
∂
∂
[0]
[0]
C, . . . ,
B, . . . ,
C , Γt = colon B,
B ,
Γu (x, t) = colon C,
∂x
∂x
∂x
∂x
r
r−1
1
∂
∂
r
∂
[0]
A+
C, . . . ,
A+
C ,
Γx = colon A,
∂x
1
∂x
∂x
1
Γu[i] (x, t) =
Здесь
i
j
=
i!
j!(i−j)!
∂ [i−1]
∂ [i−1]
∂ [i−1]
[i]
Γ
Γx , Γt = Γt
, Γ[i]
+ Γ[i−1]
, i = 1, k.
x =
u
∂t
∂t
∂t
— биномиальные коэффициенты.
64
А.А. ЩЕГЛОВА, С.А. АНИЩУК
Для случая r + k > 0 введем матрицу
⎞
⎛ [2]
[3]
[r+k+1]
Λ0 (x, t) Λ0 (x, t) . . . Λ0
(x, t)
⎟
⎜ [2]
[r+k+1]
⎜Λ1 (x, t) Λ[3]
(x, t)⎟
1 (x, t) . . . Λ1
⎟,
⎜
Λ(r,k) (x, t) = ⎜
..
..
..
..
⎟
.
.
.
.
⎠
⎝
[2]
[3]
[r+k+1]
(x, t)
Λk (x, t) Λk (x, t) . . . Λk
где
⎛ [s−d ,d ]
⎞
[s−(d +1),(d0 +1)]
[s−(d −1),d1 −1]
[s−d ,d ]
S0,q 0 0 S0,q 0
. . . S0,q 1
S0,q 1 1
⎜ [s−d0 ,d0 ]
[s−(d +1),(d0 +1)]
[s−(d −1),d1 −1]
[s−d ,d ] ⎟
⎜S1,q
S1,q 0
. . . S1,q 1
S1,q 1 1 ⎟
[s]
⎜
⎟,
Λq (x, t) = ⎜
..
..
..
..
⎟
⎝
⎠
.
.
...
.
.
[s−d0 ,d0 ]
[s−(d0 +1),(d0 +1)]
[s−(d1 −1),d1 −1]
[s−d1 ,d1 ]
Sr,q
. . . Sr,q
Sr,q
Sr,q
[s−d,d]
q = 0, k, s = 2, r + k + 1, d0 = max{0, s − r − 1}, d1 = min{s, k + 1}; а блоки Sp,q
находятся по рекуррентной формуле
i 1−i
∂
∂
[s−d,d]
[s−d−i,d+i−1]
[s−d,d]
(x, t) =
Sp−i,q+i−1 + Sp−i,q+i−1
, p = 0, r, d = d0 , d1 ,
Sp,q
∂x
∂t
в которой
1, p ≥ q;
i ≡ i(p, q) =
0, p < q,
[0,0]
[1,0]
(x, t)
(2.1)
[0,1]
S0,0 (x, t) = C(x, t), S0,0 (x, t) = A(x, t), S0,0 (x, t) = B(x, t);
[α,β]
[α,β]
S−1,q (x, t) = Sp,−1 (x, t) = O ∀α, β = 0, r + k + 1, ∀q = 0, k, ∀p = 0, r.
Определение 1. Систему M n алгебраических уравнений
F(r,k) (x, t, u, χ, η, ω1 , . . . , ωN −3 ) ≡ D(r,k) (x, t) colon (u, χ, η, ω1 , . . . , ωN −3 ) =
2
k
∂
∂
∂
f (x, t), . . . ,
f (x, t)
(2.2)
= colon f (x, t), f (x, t),
∂t
∂t
∂t
с независимыми переменными u, χ, η, ω1 , . . . , ωN −3 ∈ Rn будем называть (r, k)-продолженной системой по отношению к системе (1.1). При этом M n × N n-матрица коэффициентов
имеет вид
(2.3)
D(r,k) (x, t) = Γu(r,k)(x, t) Γx(r,k)(x, t) Γt(r,k) (x, t) Λ(r,k) (x, t) ,
∂ r
∂
в правой части f (x, t) = colon f (x, t), ∂x f (x, t), . . . , ∂x f (x, t) .
Фактически (r, k)-продолженная система строится следующим образом: сначала находится r-продолженная система по переменной x, которая представляет собой совокупность
системы (1.1) и ее r полных производных по x; затем (r, k)-продолженная система получается как результат добавления к r-продолженной системе по переменной x ее k полных
∂u
производных по t. При этом ∂u
∂x = χ, ∂t = η,
2
∂ r+k u
∂ u ∂2u ∂2u
,
,
, . . . , r k = colon (ω1 , ω2 , ω3 , . . . , ωN −3 )
colon
∂x2 ∂x∂t ∂t2
∂x ∂t
полагаются независимыми переменными.
Предположим, что при некоторых значениях r и k в матрице D(r,k) (x, t) найдется отличный от нуля в области U минор порядка M n, который включает в себя ρ, γ, ν и µ
ОБ ИНДЕКСЕ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
65
столбцов матриц Λ(r,k) (x, t), Γu(r,k) (x, t), Γx(r,k) (x, t) и Γt(r,k) (x, t) соответственно. Очевидно,
γ, ν, µ ≤ n, ρ ≤ (N − 3)n.
Будем строить этот минор следующим образом. В матрице Λ(r,k) (x, t) выберем максимальное число ρ линейно независимых столбцов, дополним их максимально возможным
числом ν линейно независимых столбцов матрицы Γx(r,k) (x, t). Выбранные ρ + ν столбцов дополним максимально возможным числом µ линейно независимых столбцов матрицы
Γt(r,k) (x, t) и, наконец, выберем γ = M n−ρ−ν−µ линейно независимых столбцов из матрицы
Γu(r,k) (x, t). В результате получим искомый минор, который будем называть разрешающим
минором. Линейная независимость здесь понимается для всех (x, t) ∈ U.
Введем множества
Lγ = {l1 , l2 , . . . , lγ } , Iν = {i1 , i2 , . . . , iν } , Jµ = {j1 , j2 , . . . , jµ } , Kρ = {κ1 , κ2 , . . . , κρ } ,
(2.4)
где Lγ , Iν , Jµ и Kρ состоят из номеров столбцов матриц Γu(r,k) (x, t), Γx(r,k)(x, t), Γt(r,k) (x, t)
и Λ(r,k) (x, t) соответственно, входящих в разрешающий минор.
Разобьем векторы
u = colon(u1 , u2 , . . . , un ),
η = colon(η1 , η2 , . . . , ηn ),
χ = colon(χ1 , χ2 , . . . , χn ),
W = colon(w1 , w2 , . . . , wN −3 )
(ui , χi , ηi , wi ∈ R) на подвекторы следующим образом:
u1
χ1
η1
W1
= u, Q2
= χ, Q3
= η, Q4
= W,
Q1
u2
χ2
η2
W2
(2.5)
где Qi (i = 1, 2, 3, 4) — матрицы перестановок строк;
u1 = colon(ul1 , ul2 , . . . , ulγ ),
ls ∈ Lγ ,
s = 1, γ;
χ1 = colon(χi1 , χi2 , . . . , χiν ),
is ∈ Iν ,
s = 1, ν;
η 1 = colon(ηj1 , ηj2 , . . . , ηjµ ),
js ∈ Jµ ,
s = 1, µ;
W 1 = colon(wκ1 , wκ2 , . . . , wκρ ), κs ∈ Kρ , s = 1, ρ.
3. Структурная форма
Лемма. Пусть A(x, t), B(x, t), C(x, t) ∈ Cr,k (U). Для того чтобы из системы (2.2) умножением слева на обратимую ∀(x, t) ∈ U M n × M n-матрицу с непрерывными в области U
коэффициентами можно было получить систему вида
u1 + H1,1 u2 + H1,2 χ2 + H1,3 η 2 = g1 (x, t),
(3.1)
χ1 + H2,1 u2 + H2,2 χ2 + H2,3 η 2 = g2 (x, t),
(3.2)
η 1 + H3,1 u2 + H3,2 χ2 + H3,3 η 2 = g3 (x, t),
(3.3)
W 1 + H4,1 u2 + H4,2 χ2 + H4,3 η 2 + H4,4 W 2 = g4 (x, t),
(3.4)
необходимо и достаточно выполнения условий:
1) в матрице D(r,k) (x, t) имеется разрешающий минор;
2) rank Λ(r,k) (x, t) = ρ = const 1 ∀(x, t) ∈ U.
1При r
= k = 0 блок Λ(r,k) (x, t) в матрице (2.3) отсутствует. В этом случае будем полагать
rank Λ(0,0) (x, t) ≡ 0.
66
А.А. ЩЕГЛОВА, С.А. АНИЩУК
В (3.1)–(3.4) Hi,j ≡ Hi,j (x, t) ∈ C(U) — некоторые матрицы соответствующих размеров;
g1 (x, t), g2 (x, t), g3 (x, t), g4 (x, t) ∈ C(U) — вектор-функции размерностей ν, µ, γ и ρ соответственно.
Доказательство. Необходимость. Запишем систему (3.1)–(3.4) в виде
D(r,k) (x, t) colon u1 , u2 , χ1 , χ2 , η 1 , η 2 , W 1 , W 2 = colon (g1 (x, t), g2 (x, t), g3 (x, t), g4 (x, t)) ,
(3.5)
где
D(r,k) (x, t) = A(r,k) (x, t)D(r,k) (x, t) diag{Q1 , Q2 , Q3 , Q4 } =
⎛
Eγ H1,1 O H1,2 O
⎜ O H2,1 Eν H2,2 O
=⎜
⎝ O H3,1 O H3,2 Eµ
O H4,1 O H4,2 O
H1,3
H2,3
H3,3
H4,3
⎞
⎟
Λ(r,k) ⎟
⎠ , (3.6)
⎛
⎞
O
O
⎜O
O ⎟
⎟,
Λ(r,k) (x, t) = A(r,k) (x, t)Λ(r,k) (x, t)Q4 = ⎜
⎝O
O ⎠
Eρ H4,4
(3.7)
A(r,k) (x, t) ∈ C(U) — обратимая ∀(x, t) ∈ U M n × M n-матрица, фигурирующая в формулировке леммы; Qi (i = 1, 2, 3, 4) — некоторые матрицы перестановок. В (3.6) матрицы,
разделенные вертикальными чертами, состоят из n, n, n и (N − 3)n столбцов соответственно. Поскольку при умножении на обратимые в области U матрицы ранги не меняются, из
представлений (3.6), (3.7) очевидным образом вытекает справедливость условий 1), 2).
Достаточность. Пусть M(r,k) (x, t) — матрица, определителем которой является разрешающий минор. Тогда в соответствии с условием 1) система (2.2) умножением cлева на
M−1
(r,k) (x, t) и заменой переменной (2.5) может быть преобразована к виду (3.5), (3.6), где
A(r,k) (x, t) = M−1
(r,k) (x, t) и
⎛
O
⎜O
−1
Λ(r,k) (x, t) = M(r,k) (x, t)Λ(r,k) (x, t)Q4 = ⎜
⎝O
Eρ
⎞
H1,4
H2,4 ⎟
⎟.
H3,4 ⎠
H4,4
Отсюда в силу условия 2) следует Hi,4 (x, t) ≡ O (i = 1, 2, 3) в области U.
Пусть в матрице D(r,k) (x, t) имеется разрешающий минор и, кроме того,
Jµ = {1, 2, . . . , n}.
Iν
(3.8)
Найдем множества
Iν = {i1 , i2 , . . . , iν } = Iν \ Lγ , Jµ = j1 , j2 , . . . , jµ = Jµ \ Iν \ Lγ .
= n.
По построению Lγ ∩ Iν ∩ Jµ = ∅ и в силу условия (3.8) γ + ν + µ
матрицу перестановок строк такую, что
Обозначим через Q
colon u(1) , u(2) , u(3) ,
u=Q
(3.9)
(3.10)
ОБ ИНДЕКСЕ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
67
где
u(1) = colon(ul1 , ul2 , . . . , ulγ ),
ls ∈ Lγ , s = 1, γ;
u(2) = colon(ui1 , ui2 , . . . , uiν ),
is ∈ Iν ,
s = 1, ν;
u(3) = colon(uj1 , uj2 , . . . , ujµ ), js ∈ Jµ ,
s = 1, µ
.
Векторы χ и η также разобьем на подвекторы соответствующих размерностей
colon η(1) , η(2) , η(3) .
colon χ(1) , χ(2) , χ(3) , η = Q
χ=Q
(3.11)
Используя (2.4) и (3.9), определим множества
Iν = Iν \ Iν = {i1 , i2 , . . . , iν },
Jµ = Jµ \ Jµ = {j1 , j2 , . . . , jµ }, Jˇµ̌ = Jµ \ Lγ = {j1 , j2 , . . . , jµ̌ }.
(3.12)
Теорема 1. Пусть A(x, t), B(x, t), C(x, t) ∈ Cr,k (U), выполнены предположения 1), 2) леммы и условие (3.8). Тогда из системы (2.2) можно выразить подсистему вида
u(1) + G1,1 u(2) + G1,2 u(3) + G1,3 χ(1) + G1,4 χ(3) + G1,5 η(1) + G1,6 η(2) = ϕ1 (x, t),
(3.13)
χ(2) + G2,1 u(2) + G2,2 u(3) + G2,3 χ(1) + G2,4 χ(3) + G2,5 η(1) + G2,6 η(2) = ϕ2 (x, t),
(3.14)
η(3) + G3,1 u(2) + G3,2 u(3) + G3,3 χ(1) + G3,4 χ(3) + G3,5 η(1) + G3,6 η(2) = ϕ3 (x, t),
(3.15)
где Gi,j ≡ Gi,j (x, t) ∈ C(U) — некоторые матрицы соответствующих размеров; ϕ1 (x, t),
-мерные функции соответственно.
ϕ2 (x, t), ϕ3 (x, t) ∈ C(U) — γ-, ν-, µ
Доказательство. По лемме (r, k)-продолженная система (2.2) обратимым преобразованием
может быть приведена к виду (3.1)–(3.4), при этом переменные связаны соотношениями
(2.5).
Определим матрицу
⎛
P(r,k)
Eγ
⎝
O
=
O
⎞
O O O O O
Oν Eν O O O ⎠ .
O O Oµ Eµ Oρ
(3.16)
Здесь индексы при нулевых матрицах показывают их размерность по столбцам; значения γ,
ν, ν, µ
иµ
определены в (2.4), (3.9), (3.12).
Сделаем в (3.1)–(3.4) замену переменных
u1
u2
⎛
⎛
⎛
⎞
⎞
⎞
u(1)
χ(1)
η(1)
χ1
η1
⎝
⎝
⎝
⎠
⎠
⎠
= Q−1
= Q−1
= Q−1
1 Q u(2) ,
2 Q χ(2) ,
3 Q η(2) ,
χ2
η2
u(3)
χ(3)
η(3)
(3.17)
— матрицы перестановок из (2.5) и (3.10), (3.11) соответственно.
где Qi (i = 1, 2, 3) и Q
Последующее умножение слева на матрицу P(r,k) даст искомую систему (3.13)–(3.15).
68
А.А. ЩЕГЛОВА, С.А. АНИЩУК
Перейдем от системы (3.13)–(3.15) к ДАУ с частными производными
∂
∂
∂
∂
u(1) + G1,4 u(3) + G1,5 u(1) + G1,6 u(2) = ϕ1 (x, t),
∂x
∂x
∂t
∂t
(3.18)
∂
∂
∂
∂
∂
u(2) + G2,1 u(2) + G2,2 u(3) + G2,3 u(1) + G2,4 u(3) + G2,5 u(1) + G2,6 u(2) = ϕ2 (x, t),
∂x
∂x
∂x
∂t
∂t
(3.19)
∂
∂
∂
∂
∂
u(3) + G3,1 u(2) + G3,2 u(3) + G3,3 u(1) + G3,4 u(3) + G3,5 u(1) + G3,6 u(2) = ϕ3 (x, t),
∂t
∂x
∂x
∂t
∂t
(3.20)
colon u(1) (x, t), u(2) (x, t), u(3) (x, t) , χ = ∂ u(x, t), η = ∂ u(x, t).
положив u = u(x, t) = Q
∂x
∂t
Очевидно, система (3.18)–(3.20) получена из (1.1) действием оператора
u(1) + G1,1 u(2) + G1,2 u(3) + G1,3
R=
k r
j=0 i=0
Ri,j (x, t)
∂ i+j
,
∂tj ∂xi
(3.21)
(Ri,j (x, t) ∈ C(U) — некоторые n × n-матрицы) такого, что для любой n-мерной функции
ξ(x, t) ∈ Cr+1,k+1 (U)
∂
∂
R A(x, t) ξ(x, t) + B(x, t) ξ(x, t) + C(x, t)ξ(x, t) =
∂x
∂t
⎛
⎞
⎞
⎛
G1,5 G1,6 O
G1,3 O G1,4
∂ ξ(x, t) + ⎝G2,5 G2,6 O ⎠ Q
∂ ξ(x, t)+
= ⎝G2,3 Eν G2,4 ⎠ Q
∂x
∂t
G3,3 O G3,4
G3,5 G3,6 Eµ
⎞
⎛
Eγ G1,1 G1,2
t), (3.22)
+ ⎝ O G2,1 G2,2 ⎠ Qξ(x,
O G3,1 G3,2
— матрица перестановок из (3.10), (3.11).
Q
Допустим, что выполнены все предположения теоремы 1. В подматрицах Γu(r,k)(x, t),
Γx(r,k)(x, t), Γt(r,k) (x, t) матрицы D(r,k) (x, t) (см. (2.3)) вычеркнем столбцы, не входящие в
разрешающий минор. В результате этого после соответствующей перестановки столбцов
получим (M n × (N − 2)n)-матрицу
⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎞
Eγ
Oγ
Oγ
...,Q
diag ⎝⎝Oν ⎠ , ⎝ Eν ⎠ , ⎝Oν ⎠ , E(N −3)n ⎠ . (3.23)
Υ(r,k)(x, t) = D(r,k) (x, t) diag Q,
Oµ
Oµ
Eµ
Здесь индексы при нулевых матрицах показывают их размерность по строкам.
Следствие 1. В условиях теоремы 1 в области U единственным образом определен оператор (3.21) с непрерывными коэффициентами Ri,j (x, t), обладающий свойством (3.22). При
этом матрицы Ri,j (x, t) находятся по формуле
R0,0 R1,0 . . . Rr,0 R0,1 R1,1 . . . Rr,1 . . . R0,k R1,k . . . Rr,k
=
−1
, (3.24)
= (En O . . . O )Υ
(r,k) (x, t) Υ(r,k) (x, t)Υ(r,k) (x, t)
где матрица Υ(r,k)(x, t) определена в (3.23).
ОБ ИНДЕКСЕ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
69
Доказательство. Непосредственно из теоремы 1 следует, что оператор (3.21) со свойством
(3.22) существует, причем с учетом (3.22), (3.23) коэффициенты этого оператора должны
обращать в тождество уравнение
R0,0 R1,0 . . . Rr,0 R0,1 R1,1 . . . Rr,1 . . . R0,k R1,k . . . Rr,k ×
× Υ(r,k) (x, t) = (En O . . . O ) , (x, t) ∈ U. (3.25)
Поскольку матрица D(r,k) (x, t) имеет разрешающий минор, то она полного ранга по строкам ∀(x, t) ∈ U. По построению матрица Υ(r,k) (x, t) обладает тем же свойством, в силу чего
решение уравнения (3.25) находится единственным образом по формуле (3.24).
Определение 2. Решением системы (1.1) называется n-мерная вектор-функция u(x, t) ∈
C1,1 (U), обращающая уравнение (1.1) в тождество при подстановке.
Из теоремы 1 очевидным образом вытекает
Следствие 2. Пусть в условиях теоремы 1 система (1.1) имеет решение u∗ (x, t)∈Cr+1,k+1 (U).
Тогда u∗ (x, t) является решением системы (3.18)–(3.20).
4. Частные случаи структурной формы
Для того чтобы доказать теорему о существовании решения ДАУ (1.1) в предположениях теоремы 1, необходимо по крайней мере, чтобы для системы (3.18)–(3.20) можно было
либо доказать, либо использовать уже имеющиеся теоремы существования. Очевидно, в общем случае последнее не представляется возможным. Поэтому на систему (2.2) приходится
накладывать дополнительные ограничения, например, такие, как в приведенных ниже теоремах.
Определим подвекторы
χ
= {χi1 , χi2 , . . . , χiν }, η = {ηj1 , ηj2 , . . . , ηjµ }, η̌ = {ηj1 , ηj2 , . . . , ηjµ̌ }
(4.1)
векторов χ и η, соответствующие множествам (3.12).
Теорема 2. Пусть выполнены все предположения теоремы 1. Для того чтобы система
(3.18)–(3.20) имела вид
∂
∂
u + G1,6 u(2) = ϕ1 (x, t),
(4.2)
∂x (3)
∂t
∂
∂
∂
u(2) + G2,1 u(2) + G2,2 u(3) + G2,4 u(3) + G2,6 u(2) = ϕ2 (x, t),
(4.3)
∂x
∂x
∂t
∂
∂
u(3) + G3,2 u(3) + G3,4 u(3) = ϕ3 (x, t)
(4.4)
∂t
∂x
(где Gi,j ≡ Gi,j (x, t) ∈ C(U) — некоторые матрицы соответствующих размеров; ϕ1 (x, t),
-мерные функции соответственно), необходимо и доϕ2 (x, t), ϕ3 (x, t) ∈ C(U) — γ-, ν-, µ
∈ Rn (j = 1, N − 3) выполнялись условия:
статочно,чтобы ∀(x, t) ∈ U, ∀χ, η, ωj ∂F(r,k) ∂F(r,k) ∂F(r,k)
Λ(r,k) = ν + µ
+ ρ,
1) rank
∂χ(1) ∂η(1)
∂ η̌
∂F(r,k) ∂F(r,k) ∂F(r,k) ∂F(r,k) ∂F(r,k)
Λ(r,k) = γ + ν + µ
+ ρ,
2) rank
∂u(1) ∂u(2) ∂χ1
∂η(1) ∂η(2)
где переменные u(1) , u(2) , χ(1) , χ1 , η(1) , η(2) , η̌ определены в (2.5), (3.10), (3.11), (4.1).
u(1) + G1,1 u(2) + G1,2 u(3) + G1,4
70
А.А. ЩЕГЛОВА, С.А. АНИЩУК
Доказательство. Достаточность. В условиях теоремы справедлива лемма, в соответствии
с которой система (2.2) может быть преобразована к виду (3.1)–(3.4). В (3.1)–(3.4) осуществим замену переменных (3.17). В результате (возможно после дополнительной перестановки некоторых строк) получим систему вида
x(r,k)(x, t) Γ
t(r,k) (x, t) Λ
(r,k) (x, t) colon (u, χ, η, ω1 , . . . , ωN −3 ) = f(x, t), (4.5)
u(r,k)(x, t) Γ
Γ
где f(x, t) ∈ C(U) — некоторая вектор-функция,
Γu(r,k) Γx(r,k) =
⎛
Eγ1 O
⎜ O Eγ2
⎜
⎜ O
O
⎜
⎜ O
O
⎜
⎜ O
O
⎜
⎜ O
O
⎜
O
=⎜
⎜ O
⎜ O
O
⎜
⎜ O
O
⎜
⎜ O
O
⎜
⎜ O
O
⎜
⎝ O
O
O
O
O
O
Eγ3
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
Eγ4
O
O
O
O
O
O
O
O
O
⎛
(r,k)
t(r,k) Λ
Γ
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
=⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
C1 C2
∗
∗
B11
B21
B31
B41
∗
∗∗
B51
B61
∗
∗∗
∗∗
B71
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
B12 O
B22 O
B32 O
B42 O
∗
O
∗
O
B52 O
B62 O
∗ Eµ1
∗
O
∗
O
B72 O
∗
O
Cj = Cj (x, t), Ai,j = Ai,j (x, t), Bi,j = Bi,j (x, t);
A11 O
A21 O
A31 O
A41 O
∗ Eν1
∗
O
A51 O
A61 O
∗
O
∗
O
∗
O
A71 O
∗
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
Eµ2
O
O
O
4
i=1
O
O
O
O
O
Eν2
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
Eµ3
O
O
γi = γ,
A12 O
A22 O
A32 O
A42 O
∗
O
∗
O
A52 Eν3
A62 O
∗
O
∗
O
∗
O
A72 O
∗
O
∗
O
∗
O
∗
O
∗
O
∗
O
∗
O
∗
O
∗
O
∗
O
∗
O
∗
O
B73 Eµ4
∗
O
4
i=1
νi = ν,
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
Eρ
4
i=1
O
O
O
O
O
O
O
Eν4
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟ , (4.6)
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟,
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
(4.7)
µi = µ. При этом в
x(r,k)(x, t), Γ
t(r,k) (x, t) блоки, стоящие на одинаковых местах, имеют
u(r,k) (x, t), Γ
матрицах Γ
одинаковые размеры, следовательно, γ2 = ν1 , γ3 = ν2 = µ1 , γ4 = µ2 , ν3 = µ3 .
∂F(r,k) ∂F(r,k) ∂F(r,k)
,
и
равны рангам матриц, состоящих
По построению ранги матриц
∂u(1)
∂χ(1)
∂η(1)
x(r,k) (x, t) и Γ
t(r,k) (x, t) соответ u(r,k) (x, t), Γ
из первых четырех блочных столбцов матриц Γ
ственно.
ОБ ИНДЕКСЕ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
71
∂F(r,k)
∂F(r,k)
и
равны соответственно рангам матриц,
∂u(2)
∂η(2)
t(r,k) (x, t).
u(r,k) (x, t) и Γ
состоящих из 5-го и 6-го блочных столбцов матриц Γ
∂F(r,k)
совпадает с рангом пятого блочного столбца матрицы
Наконец, ранг матрицы
∂ η̌
∂F(r,k)
t(r,k) (x, t), а ранг матрицы
равен рангу матрицы, состоящей из 2-го, 3-го, 5-го и 6-го
Γ
∂χ1
∂F
∂F(r,k)
x(r,k) (x, t). Таким образом, rank (r,k) = µ3 , rank
= ν.
блочных столбцов матрицы Γ
∂ η̌
∂χ1
Принимая во внимание вышесказанное, нетрудно убедиться, что условие 1) теоремы влечет за собой тождества
В свою очередь ранги матриц
Aij (x, t) ≡ O, Bij (x, t) ≡ O, i = 1, 7, j = 1, 2;
(4.8)
а из условия 2) следует
C1 (x, t) ≡ O, C2 (x, t) ≡ O, B73 (x, t) ≡ O.
(4.9)
С другой стороны, согласно доказательству теоремы 1 система (3.13)–(3.15) получена
из (3.1)–(3.4) с помощью замены переменных (3.17) и умножения слева на матрицу (3.16).
Поэтому в результате умножения системы (4.5) слева на матрицу (3.16), где ν = ν1 + ν2 ,
= µ1 + µ2 + µ3 , µ
= µ4 , получим систему (3.13)–(3.15). Таким образом,
ν = ν3 + ν4 , µ
тождества (4.8) означают, что в (3.13)–(3.15), а следовательно, в (3.18)–(3.20) Gi,j (x, t) ≡ O
(i = 1, 2, 3, j = 3, 5), а (4.9) гарантирует, что G3,1 (x, t) ≡ O, G3,6 (x, t) ≡ O. Тем самым
достаточность доказана.
С учетом рассуждений о равенстве рангов, приведенных при доказательстве достаточности, необходимость утверждения теоремы является непосредственным следствием того,
что матрица коэффициентов (4.6), (4.7) системы (4.5) с условиями (4.8), (4.9) получена из
D(r,k) (x, t) с помощью сохраняющего ранги преобразования.
Замечание 1. Потребовав выполнения дополнительных условий гиперболичности для уравнений (4.3) и (4.4), позволяющих использовать теоремы существования для гиперболических систем [11], можно доказать теорему существования решения краевой задачи для ДАУ
(4.2)–(4.4).
Теорема 3. Пусть выполнены все предположения теоремы 1. Для того чтобы система
(3.18)–(3.20) имела вид
∂
∂
u(3) + G1,6 u(2) = ϕ1 (x, t),
∂x
∂t
∂
∂
u(2) + G2,1 u(2) + G2,2 u(3) + G2,6 u(2) = ϕ2 (x, t),
∂x
∂t
∂
∂
u + G3,1 u(2) + G3,2 u(3) + G3,6 u(2) = ϕ3 (x, t),
∂t (3)
∂t
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие 1) теоремы 2 и
∂F(r,k) ∂F(r,k) ∂F(r,k) ∂F(r,k) ∂F(r,k)
Λ(r,k) = γ + ν + µ
+ρ
rank
∂u(1) ∂χ(1) ∂χ(3) ∂η(1)
∂ η̌
u(1) + G1,1 u(2) + G1,2 u(3) + G1,4
(4.10)
(4.11)
(4.12)
(4.13)
∀(x, t) ∈ U, ∀χ, η, ωj ∈ Rn (j = 1, N − 3).
Доказательство проводится аналогично доказательству теоремы 2 и поэтому опущено.
72
А.А. ЩЕГЛОВА, С.А. АНИЩУК
Замечание 2. Результат о существовании решения краевой задачи для ДАУ (4.10)–(4.12)
можно получить, используя теорему существования для гиперболической системы интегродифференциальных уравнений с частными производными из [7].
5. Индекс неразрешенности относительно производных
Определение 3. Пару (r, k) будем называть индексом системы (1.1), если r, k ≥ 0 — наименьшие целые значения, при которых выполнены предположения 1), 2) леммы и условие
(3.8).
Как следует из теоремы 1, индекс (r, k) — это пара минимально возможных r и k, при
которых из системы (2.2) можно выразить уравнения вида (3.13)–(3.15).
Для некоторого целого rx > 0 рассмотрим матрицы размеров n(rx + 1) × nrx
⎛ [2,0]
⎛ [1,1]
⎞
⎞
[3,0]
[r +1,0]
[2,1]
[r ,1]
S0,0 S0,0 . . . S0,0x
S0,0 S0,0 . . . S0,0x
⎜ [2,0]
⎜ [1,1]
[3,0]
[r +1,0] ⎟
[2,1]
[r ,1] ⎟
⎜S1,0 S1,0
⎜S1,0 S1,0
⎟
. . . S1,0x
. . . S1,0x ⎟
⎜
⎜
⎟
⎟
Λx(rx ,0) = ⎜ .
..
..
..
.. ⎟ ,
⎟ , Λt(rx ,0) = ⎜ ..
.
⎝ .
⎝ .
⎠
.
...
.
.
...
. ⎠
[2,0]
Srx ,0
[3,0]
Srx ,0
...
[r +1,0]
Srxx,0
[1,1]
Srx ,0
[2,1]
Srx ,0
...
[r ,1]
Srxx,0
[α,β]
где блоки Sp,0 (x, t) вычисляются по рекуррентной формуле (2.1) при r = rx , k = 0. Мат
рица Λx(rx ,0) (x, t) Λt(rx ,0) (x, t) может быть получена из Λ(rx ,0) (x, t) соответствующей перестановкой столбцов. Условно говоря, Λx(rx ,0) (x, t) и Λt(rx ,0) (x, t) — это матрицы частных
2
rx +1
rx +1
∂2u
, . . . , ∂∂xrx ∂tu
производных функции F(rx ,0) (см. (2.2)) по переменным ∂∂xu2 , . . . , ∂∂xrx +1u и ∂x∂t
соответственно.
Определение 4. Будем говорить, что система (1.1) имеет частный индекс неразрешенности rx по переменной x, если rx ≥ 0 — минимально возможное целое значение, при котором
выполнены условия:
1) rank Λx(rx ,0) (x, t) = ρx = const ∀(x, t) ∈ U,
2) в матрице Γu(rx ,0) (x, t) Γx(rx ,0) (x, t) Λx(rx ,0) (x, t) имеется отличный от нуля в области U минор порядка n(rx + 1), который включает в себя ρx столбцов матрицы Λx(rx ,0) (x, t)
и n столбцов матрицы Γx(rx ,0) (x, t).
Если коэффициенты, правая часть и искомая функция в системе (1.1) не зависят от t,
то определения 3 и 4 переходят в определение индекса неразрешенности ДАУ, введенное в
[10]. Из результатов статьи [12] следует, что в стационарном случае для существования у
ДАУ с частными производными индекса по переменной x необходимо и достаточно, чтобы
матричный пучок λA + C был регулярным, т.е. det (λA + C) ≡ 0.
Аналогичным образом можно сформулировать определение частного индекса kt по переменной t.
Определение 5. Будем говорить, что система (1.1) имеет частный индекс неразрешенности kt по переменной t, если kt ≥ 0 — минимально возможное целое значение, при котором
выполнены условия:
1) rank Λt(0,kt ) (x, t) = ρt = const ∀(x, t) ∈ U,
2) в матрице Γu(0,kt ) (x, t) Γt(0,kt ) (x, t) Λt(0,kt ) (x, t) имеется отличный от нуля в области U минор порядка n(kt + 1), который включает в себя ρt столбцов матрицы Λt(0,kt ) (x, t)
и n столбцов матрицы Γt(0,kt ) (x, t).
ОБ ИНДЕКСЕ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
⎛
[0,2]
[0,3]
S0,0 S0,0
⎜ [0,2]
[0,3]
⎜S0,1 S0,1
Mатрица Λt(0,kt ) (x, t) = ⎜
..
⎜ ..
⎝ .
.
[0,2]
[0,3]
S0,kt S0,kt
2
...
...
...
...
kt +1
73
⎞
[0,k +1]
S0,0 t
[0,k +1] ⎟
S0,1 t ⎟
⎟ содержит частные производные
..
⎟
⎠
.
[0,k +1]
S0,ktt
[0,β]
функции F(0,kt ) по переменным ∂∂t2u , . . . , ∂∂tkt +1u . Блоки S0,q (x, t) вычисляются по формуле (2.1) при r = 0, k = kt .
В условиях 1) определений 4 и 5 полагаем rank Λx(rx ,0) (x, t) = rank Λt(0,kt ) (x, t) ≡ 0 при
rx = kt = 0.
Теорема 4. Пусть
1) A(x, t), B(x, t), C(x, t), f (x, t) имеют в области U достаточное число непрерывных
частных производных по своим аргументам;
2) система (1.1) имеет частный индекс rx по x;
3) rank Λx(rx +i,0) (x, t) = rank Λx(rx ,0) (x, t) + in ∀(x, t) ∈ U, ∀i = 1, 2, . . . .
Если система (1.1) имеет индекс (r, k), то r ≤ rx .
Доказательство. Обозначим через Mrx (x, t) обратимую в области U матрицу, определителем которой является минор, фигурирующий в условии 2) определения 4.
Используя технику доказательства леммы, нетрудно показать, что при выполнении условий 1), 2) определения 4 матрица D(rx ,0) (x, t) умножением на M−1
rx (x, t) слева и на некоторую
матрицу перестановок столбцов diag Q2 , Q2 , Q2 , Q3 справа может быть приведена к виду
⎞
⎛
O
V1 (x, t) O O P1 (x, t)
Eγx ∗ O
⎜ O ∗ Eγx
O
V2 (x, t) O O P2 (x, t) ⎟
⎟
⎜
(5.1)
⎝ O ∗ O En−γx V3 (x, t) O O P3 (x, t) ⎠ ,
O ∗ O
O
∗
Eρx ∗
∗
где блочные матрицы, разделенные вертикальными чертами, состоят из n, n, n и 2nrx
столбцов соответственно;
⎞
⎛
O O P1 (x, t)
⎜ O O P2 (x, t) ⎟
−1
⎟
⎜
⎝ O O P3 (x, t) ⎠ = Mrx (x, t) Λx(rx ,0) (x, t) Λt(rx ,0) (x, t) Q4 ,
∗
Eρx ∗
Q4 — матрица перестановок столбцов.
Вид матрицы (5.1) позволяет утверждать, что в разрешающий минор матрицы D(r,k) (см.
(2.3)) обязательно войдут столбцы с номерами, соответствующими матрице Eρx . Поскольку
в сделанных предположениях неизвестна структура матриц Vj (x, t) и Pj (x, t) (j = 1, 2, 3),
то неизвестны и номера столбцов среди первых 3n столбцов матрицы D(r,k) (x, t), которые
войдут в разрешающий минор.
Предположим, что r > rx . Построим для (1.1) (rx + i, 0)-продолженную систему (i =
1, 2, . . . ). В силу условия 3) теоремы rank Λx(rx +i,0) (x, t) ≡ ρx + in = const и в матрице
Γu(rx +i,0) (x, t) Γx(rx +i,0) (x, t) Λx(rx +i,0) (x, t)
найдется отличный от нуля в области U минор порядка n(rx + i + 1), который будет состоять из ρx + in столбцов матрицы Λx(rx +i,0) (x, t) и n столбцов матрицы Γx(rx +i,0) (x, t). Это
означает, что соответствующая матрица D(rx +i,0) (x, t) умножением справа на некоторую
обратимую матрицу и перестановкой столбцов может быть преобразована к виду (5.1), где
74
А.А. ЩЕГЛОВА, С.А. АНИЩУК
вместо индекса ρx у единичной матрицы в последней блочной строке должен быть индекс
ρx +in. При этом размеры единичных матриц в первых трех блочных строках не изменятся.
Таким образом, любая (rx + i, 0)-продолженная система (i = 1, 2, . . . ) не дает никакой дополнительной информации о структуре разрешающего минора матрицы D(r,k) (x, t) помимо
той, которую предоставляет (rx , 0)-продолженная система. Таким образом, r ≤ rx .
Как следует из доказательства теоремы 4, определить, какие еще столбцы матрицы
D(r,k) (x, t) войдут в разрешающий минор (помимо столбцов с номерами, соответствующими
матрице Eρx из (5.1)), можно только строя для (rx , 0)-продолженной системы дифференциальные продолжения по переменной t. При этом сама (rx , 0)-продолженная система должна
рассматриваться как нулевое дифференциальное продолжение по t. Это означает, что если
в (5.1) матрицы
colon (V1 (x, t), V2 (x, t), V3 (x, t)) , colon (P1 (x, t), P2 (x, t), P3 (x, t))
имеют линейно независимые в U столбцы, то эти столбцы будут учтены при анализе дифференциальных продолжений по переменной t.
Однако система (1.1) может иметь индекс (r, k) и в том случае, когда она не имеет частных индексов ни по x, ни по t.
Пример. Cистема
0 0 ∂u(t, x)
0 0
0 1 ∂u(x, t)
+
+
u(t, x) = f (x, t)
1 0
0 1
0 0
∂x
∂t
уже имеет вид (3.18)–(3.20) и, следовательно,
индекс
(0, 0), но не имеет частных индексов,
поскольку пучки λA + C = 00 λ1 и λB + C = λ0 01 являются сингулярными.
Предположим, что система (1.1) не имеет частного индекса по переменной x. Рассмотрим
(i, 0)-продолженную систему
i
∂
∂
f (x, t), . . . ,
f (x, t) ,
D(i,0) (x, t) colon (x, t, u, χ, η, ω1 , . . . , ω2i ) = colon f (x, t),
∂x
∂x
где D(i,0) (x, t) = Γu(i,0) (x, t) Γx(i,0) (x, t) Γt(i,0) (x, t) Λ(i,0) (x, t) .
Выберем в матрице D(i,0) (x, t) максимальное число γi + νi + µi + ρi линейно независимых
для всех (x, t) ∈ U столбцов тем же способом, который был предложен для нахождения
разрешающего минора в разделе 2. При этом γi , νi , µi и ρi означают число линейно независимых столбцов, выбранных в матрицах Γu(i,0) (x, t), Γx(i,0) (x, t) Γt(i,0) (x, t) и Λ(i,0) (x, t)
соответственно.
Теорема 5. Пусть
1) A(x, t), B(x, t), C(x, t), f (x, t) имеют в области U достаточное число непрерывных
частных производных по своим аргументам;
2) существует r∗ ≥ 0 такое, что
γi = γ∗ = const, νi = ν∗ = const, µi = µ∗ = const ∀i = r∗ , r∗ + 1, . . . .
(5.2)
Если система (1.1) имеет индекс (r, k), то r ≤ r∗ .
Доказательство. Построим (r∗ , 0)-продолженную систему. В соответствии со сделанными
предположениями матрица коэффициентов D(r∗ ,0) (x, t) этой системы перестановкой столбцов и умножением слева на обратимую в области U матрицу может быть преобразована к
ОБ ИНДЕКСЕ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
виду
75
⎞
Eγ∗ ∗ O W1 (x, t) O V1 (x, t) O P1 (x, t)
⎜ O ∗ Eν∗ W2 (x, t) O V2 (x, t) O P2 (x, t) ⎟
⎟
⎜
⎜ O ∗ O W3 (x, t) Eµ∗ V3 (x, t) O P3 (x, t) ⎟ ,
(5.3)
⎟
⎜
⎝ O ∗ O W4 (x, t) O V4 (x, t) Eρ∗ P4 (x, t) ⎠
O ∗ O W5 (x, t) O V5 (x, t) O P5 (x, t)
где ρ∗ — максимально возможное число линейно независимых в области U столбцов матрицы Λ(r∗ ,0) (x, t); Wj , Vj , Pj (j = 1, 5) — некоторые матрицы соответствующих размеров;
блочные матрицы, разделенные вертикальными чертами, состоят из n, n, n и 2nr∗ столбцов
соответственно.
Очевидно, если при некоторых k и r ≥ r∗ система (1.1) имеет индекс (r, k), то в соответствии с алгоритмом построения в разрешающий минор матрицы D(r,k) (x, t) обязательно
войдут столбцы с номерами, соответствующими матрице Eρ∗ .
В силу условия 2) матрица коэффициентов (r∗ +i, 0)-продолженной системы (i = 1, 2, . . . )
D(r∗ +i,0) (x, t) будет обладать структурой (5.3), где величина ρ∗ c ростом i может увеличиваться, а значения γ∗ , ν∗ и µ∗ не изменятся. Таким образом, любая (r∗ + i, 0)-продолженная
система (i = 1, 2, . . . ) не дает никакой дополнительной информации о структуре разрешающего минора матрицы D(r,k) (x, t), кроме той, которую предоставляет (r∗ , 0)-продолженная
система. Таким образом, r ≤ r∗ .
⎛
Замечание 3. Если в условиях теоремы 5 система имеет частный индекс по переменной x,
то r∗ ≤ rx .
Построим для (1.1) (0, j)-продолженную систему. В соответствующей матрице коэффициентов D(0,j) (x, t) выберем максимальное число γj + νj + µj + ρj линейно независимых
∀(x, t) ∈ U столбцов по тому же правилу, что и в матрице D(i,0) (x, t) выше, где γj , νj , µj
и ρj означают число выбранных столбцов в матрицах Γu(0,j) (x, t), Γx(0,j) (x, t), Γt(0,j) (x, t) и
Λ(0,j) (x, t) соответственно.
Замечание 4. Так же, как в теореме 5, можно показать, что если система (1.1) имеет
индекс (r, k) в смысле определения 3, то k ≤ k∗ , где k∗ — минимально возможное значение,
при котором
γj = γ ∗ = const, νj = ν ∗ = const, µj = µ∗ = const ∀j = k∗ , k∗ + 1, . . . .
(5.4)
Следствие 3. Пусть
1) A(x, t), B(x, t), C(x, t), f (x, t) имеют в области U достаточное число непрерывных
частных производных по своим аргументам;
2) существуют r∗ , k∗ — минимальные значения, при которых выполнены условия (5.2),
(5.4).
Если система (1.1) имеет индекс (r, k), то r ≤ r∗ и k ≤ k∗ .
Доказательство. Для системы (1.1) построим (r, 0)-продолженную систему, т.е. r-продолженную систему по переменной x. Затем для полученной системы построим k-продолженную систему по переменной t. Таким образом, получим (r, k)-продолженную систему. При
этом по теореме 5 r ≤ r∗ .
Если же сначала построим для (1.1) k-продолженную систему по переменной t (при
этом в соответствии с замечанием 4 k ≤ k∗ ), а затем для полученной системы построим
r-продолженную систему по переменной x, то в силу предположения 1) таким образом построенные (r, k)-продолженные системы совпадут. Этот факт гарантирует справедливость
следствия.
76
А.А. ЩЕГЛОВА, С.А. АНИЩУК
Нетрудно убедиться, что для системы из примера 1 выполнены все предположения следствия 3 при r∗ = 0, k∗ = 0.
6. Модель теплообменника
Рассмотрим модель прямоточного теплообменника поверхностного типа [13], представляющего собой отдельную трубу, снаружи омываемую греющими газами, внутри которой
течет однофазный теплоноситель (вода). Пренебрегая слабым изменением плотности сред
по длине теплообменника, оба теплоносителя считаем несжимаемыми однофазными потоками. Течение предполагается одномерным, а перенос тепла в разделяющей потоки теплопроводной стенке в продольном направлении пренебрежительно малым по сравнению с
радиальным.
Математическая модель включает в себя следующие дифференциальные уравнения:
уравнение энергии для воды
ρw fw
∂iw
∂iw
+ Dw
+ qw = 0,
∂τ
∂x
(6.1)
уравнение теплового баланса для разделяющей стенки
Gm cm
∂θ
− qw + qg = 0,
∂τ
(6.2)
уравнение энергии для потока газов
ρg f g
∂ig
∂ig
+ Dg
+ qg = 0,
∂τ
∂x
(6.3)
где i — энтальпия потока, τ — температура потока, θ — температура стенки, ρ — плотность,
D — массовый расход, G — масса, c — теплоемкость, f — площадь сечения, индекс w
обозначает поток от стенки к воде, g — поток от газов к стенке,
ig
iw
− θ , qg = αg hg θ −
qw = αw hw
cw
cg
— удельные тепловые потоки, αw и αg — коэффициенты теплоотдачи.
В предположении fg ρg = 0 (что согласуется с режимом работы теплообменника) уравнения (6.1)–(6.3) можно записать в виде
A
∂u(x, t)
∂u(x, t)
+B
+ Cu(x, t) = 0,
∂x
∂t
(6.4)
где
A = diag{Dw , 0, Dg }, B = diag{ρw fw , Gm cm , 0},
⎞
⎛
−β1
0
β1 /cw
C = ⎝−β1 /cw β1 + β2 −β1 /cg ⎠
0
β2
β2 /cg
— постоянные матрицы, β1 = αw hw , β2 = αg hg , t = τ , u = colon (u1 , u2 , u3 ) = colon (iw , θ, ig ).
Поскольку пучки λA + C и λB + C регулярны, система (6.4) имеет частные индексы по
переменным x и t, причем rx > 0 и kt > 0 в силу вырожденности матриц A и B. Определим
величину частных индексов.
ОБ ИНДЕКСЕ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
Матрица Γu(1,0) | Γx(1,0) | Λx(1,0) имеет вид
⎛
0
−β1
Dw
0
0
0
⎜ β1 /cw
⎜ −β1 /cw β1 + β2 −β1 /cg
0
0
0
0
⎜
⎜
0
β2
−β2 /cg
0
0
0
Dg
⎜
⎜
0
β1 /cw
0
0
−β1
0
Dw
⎜
⎜
0
−β1 /cw β1 + β2 −β1 /cg 0
0
0
⎝
−β2 /cg 0
0
0
β2
0
0
77
⎞
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Dg
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟,
⎟
⎟
⎟
⎠
отсюда rank Λx(1,0) = 2 и имеется отличный от нуля минор 6-го порядка, выделенный пунктиром. В соответствии с определением 4 rx = 1.
Аналогично, поскольку
Γu(0,1) | Γt(0,1) | Λt(0,1) =
⎛
⎞
β1 /cw
0
−β1
0
fw ρw
0
0
0
0
⎜
⎟
⎜ −β1 /cw β1 + β2 −β1 /cg
0 ⎟
0
Gm cm
0
0
0
⎜
⎟
⎜
0 ⎟
0
β2
0
0
0
0
0
−β2 /cg
⎜
⎟
=⎜
0 ⎟,
0
0
β1 /cw
−β1
0
fw ρw
0
0
⎜
⎟
⎜
0 ⎟
−β1 /cw β1 + β2 −β1 /cg
0
Gm cm
0
0
0
⎝
⎠
0
0
β2
−β2 /cg
0
0
0
0
0
то rank Λt(0,1) = 2 и имеется не равный нулю минор 6-го порядка, выделенный пунктиром.
По определению 5 это означает kt = 1.
Нетрудно убедиться, что для любого i = 1, 2, . . . будут выполняться условия
rank Λx(1+i,0) = Λx(1,0) + in, rank Λt(0,1+i) = Λt(0,1) + in,
которые гарантируют оценки r ≤ 1, k ≤ 1 (см. теорему 4) при наличии у
индекса (r, k) в смысле определения 3.
Рассмотрим матрицу
D(0,0) = Γu(0,0) | Γx(0,0) | Γt(0,0) =
⎛
0
−β1
0
Dw
0 fw ρw
0
⎜ β1 /cw
/c
β
+
β
−β
/c
0
0
0
cm
−β
0
G
=⎜
1
w
1
2
1
g
m
⎝
0
β2
−β2 /cg
0
0
0
0
Dg
системы (6.4)
⎞
0 ⎟
0 ⎟
⎠ . (6.5)
0
Очевидно, в матрице D(0,0) имеется разрешающий минор, состоящий из трех выделенных пунктиром столбцов. Поскольку Iν = {1, 3}, Jµ = {2}, то условие (3.8) выполнено.
Следовательно, по определению 3 система (6.4) имеет индекс (0, 0).
Построив матрицы D(i,0) (i = 1, 2, . . . ) (их вид не приведен по причине громоздкости),
можно заметить, что в разрешающие миноры этих матриц всегда будут включены 1-й и
3-й столбцы матрицы Γx(i,0) , 2-й столбец матрицы Γt(i,0) , а все остальные ni столбцов разрешающего минора будут принадлежать матрице Λ(i,0) . Это означает (см. теорему 5), что
γ∗ = 0, ν∗ = 2, µ∗ = 1, r∗ = 0. Анализируя структуру матриц D(0,i) (i = 1, 2, . . . ), найдем,
что γ ∗ = 0, ν ∗ = 2, µ∗ = 1, k∗ = 0. Таким образом, полученная величина индекса системы
(6.4) согласуется с утверждением следствия 3.
78
А.А. ЩЕГЛОВА, С.А. АНИЩУК
Пусть M(0,0) — матрица, определителем которой является разрешающий минор. Умножив
, получим структурную форму (3.18)–(3.20) в виде
систему (6.4) слева на M−1
(0,0)
∂
∂x
u1 (x, t)
β1 /Dw cw
u1 (x, t)
−β1 /Dw
0
+
+
u2 (x, t)+
β2 /Dg
u3 (x, t)
0
−β2 /(Dg cg )
u3 (x, t)
fw ρw /Dw 0 ∂ u1 (x, t)
= 0, (6.6)
+
0
0 ∂t u3 (x, t)
β1
β1
∂u2 (x, t) β1 + β2
+
u2 (x, t) −
u1 (x, t) −
u3 (x, t) = 0,
(6.7)
∂t
Gm cm
Gm cw cm
Gm cg cm
где colon (u1 , u3 ) = u(2) (x, t), u2 = u(3) (x, t), при этом подсистема вида (3.18) отсутствует.
Проверим выполнение условий 1), 2) теоремы 2 и условия (4.13). Для этого найдем множества (2.4), (3.9) и (3.12), среди которых Iν и Jµ определены выше. Из структуры разрешающего минора матрицы (6.5) следует Lγ = ∅, Kρ = ∅. В соответствии с определениями
(3.9) и (3.12) очевидным образом получаем
Iν = Iν = {1, 3}, Jµ = Jµ = {2}, Iν = ∅, Jµ = ∅, Jˇµ̌ = ∅,
так что ν = 2, µ = 1, γ = ρ = ν = µ
= µ̌ = 0. Для системы (6.4) матрицы, фигурирующие
в (4.13) и предположении 1) теоремы 2, являются нулевыми, следовательно, эти условия
выполняются.
Матрица из условия 2) теоремы 2, имеет вид
⎞
⎛
0
Dw 0 fw ρw 0
β1 /cw
⎝−β1 /cw −β1 /cg 0
0
0
0⎠ ,
0
0
0
−β2 /cg 0 Dg
ее ранг, очевидно, равен 3, в то время как γ + ν + µ
+ ρ = 2. Таким образом, условие 2) теоремы 2 не имеет места. Тем не менее все достаточные предположения теоремы 3 выполнены,
и система (6.6), (6.7) имеет вид (4.11), (4.12).
Литература
[1] Демиденко Г.В., Успенский С.В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной (Научная книга, Новосибирск, 1998).
[2] Таиров Э.А., Запов В.В. Интегральная модель нелинейной динамики парогенерирующего канала на
основе аналитических решений, ВАНТ. Серия: Физика ядерных реакторов. 3, 14–20 (1991).
[3] Накоряков В.Е., Покусаев В.Г., Шрейбер И.Р. Распространение волн в газо- и паро-жидкостных средах
(Изд-во Института теплофизики, Новосибирск, 1983).
[4] Bodested M., Tischendorf C. PDAE models of integrated citcuits and index analysis, Math. Comput. Model.
Dyn. System 1 (13), 1–17 (2007).
[5] Bartel A. Partial differential-algebraic models in chip design — thermal and semiconductor problems (VDIVerlag, Düsseldorf, 2004).
[6] Campbell S.L., Marszalek W. ODE/DAE integrators and MOL problems, Z. Angew. Math. Mech. 76, Suppl. 1,
251–254 (1996).
[7] Гайдомак С.В., Чистяков В.Ф. О системах не типа Коши–Ковалевской индекса (1, k), Вычисл. технологии 2 (10), 45–59 (2005).
[8] Martinson W.S., Barton P.I. A differentiation index for partial differential-algebraic equations, SIAM J. Sci.
Comput. 6 (3), 2295–2315 (2000).
[9] Campbell S.L. Singular systems of differential equations (Pitman, San Francisco, 1982).
[10] Щеглова А.А. Существование решения начальной задачи для вырожденной линейной гибридной системы с переменными коэффициентами, Изв. вузов. Матем., № 9, 57–70 (2010).
[11] Годунов С.К. Уравнения математической физики (Наука, М., 1979).
ОБ ИНДЕКСЕ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
79
[12] Щеглова А.А. Стабилизируемость линейных алгебро-дифференциальных систем управления с одним
входом, Автоматика и телемеханика № 9, 33–56 (2010).
[13] Левин А.А. Выбор корректного усреднения в моделях с сосредоточенными параметрами, Системы
исследования в энергетике. (Изд-во ИСЭМ СО РАН, Иркутск, 2004).
А.А. Щеглова
заместитель директора по научной работе, старший научный сотрудник,
Институт динамики систем и теории управления СО РАН,
ул. Лермонтова, д. 134, г. Иркутск, 664033, Россия,
e-mail: shchegl@icc.ru
С.А. Анищук
аспирант, Институт динамики систем и теории управления СО РАН,
ул. Лермонтова, д. 134, г. Иркутск, 664033, Россия,
e-mail: anishukserg@gmail.com
A.A. Shcheglova and S.A. Anishchuk
An index of linear system of differential-algebraic system with partial derivatives
Abstract. We investigate time-varying linear differential algebraic equations with partial derivatives. We introduce the concept of unsolvability index as the least possible order of the differential
operator, which transforms the original system into the structural form with separated the “algebraic” and “differential” subsystems. The approach does not assume the existence of differential
indexes with respect to independent variables.
Keywords: partial differential algebraic equations, unsolvability index, structural form.
A.A. Shcheglova
Deputy Director for Science, Senior Researcher,
Institute for System Dynamics and Control Theory,
Siberian Branch of Russian Academy of Sciences,
134 Lermontov str., Irkutsk, 664033 Russia,
e-mail: shchegl@icc.ru
S.A. Anishchuk
Postgraduate,
Institute for System Dynamics and Control Theory,
Siberian Branch of Russian Academy of Sciences,
134 Lermontov str., Irkutsk, 664033 Russia,
e-mail: anishukserg@gmail.com
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
287 Кб
Теги
частными, уравнения, дифференциальной, линейной, система, производными, индексы, алгебраический
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа