close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об обращении многомерных сингулярных интегральных уравнений i рода.

код для вставкиСкачать
2003
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 10 (497)
УДК 517.968
Р.Т. ВАЛЕЕВА, Б.Г. ГАБДУЛХАЕВ
ОБ ОБРАЩЕНИИ МНОГОМЕРНЫХ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ I РОДА
Введение
В данной статье на основе теории двойных рядов Фурье исследуются свойства двумерных
слабосингулярных и сингулярных интегральных уравнений I рода
Z1Z1
ln j ; tj ln j ; j '(; )d d = f (t; ); ;1 6 t; 6 1;
p
(0.1)
G('; t; ) 12
;1 ;1 (1 ; 2 )(1 ; 2 )
Z1Z1
'(; )d d
p
S ('; t; ) 12
= f (t; ); ;1 < t; < 1;
(0.2)
2
;1 ;1 (1 ; )(1 ; 2 )( ; t)( ; )
Z 2 Z 2
1
I (x; s; ) 42
ctg ;2 s ctg ;2 x(; )d d =
0
0
= y(s; ); ;1 < s; < 1;
(0.3)
Z 2 Z 2 H (x; s; ) 12
ln sin ;2 s ln sin ;2 x(; )d d =
0
0
= y(s; ); ;1 < s; < 1;
(0.4)
и некоторых их обобщений. Здесь f (t; ) и y(s; ) | известные, а '(t; ) и x(s; ) | искомые
функции из определяемых ниже функциональных пространств, причем слабосингулярные интегралы понимаются как несобственные, а сингулярные | в смысле главного значения по Коши{
Лебегу [1].
Трудность решения указанных уравнений (особенно непрерывного обращения операторов G,
S , I , H ) связана в первую очередь с их некорректностью [2] в известных пространствах функций, а также с их сингулярностью и многомерностью. Вкратце причина некорректности заключается в следующем: решения уравнений (0.1) и (0.4) неустойчивы относительно исходных
данных, а решение уравнения (0.2) не единственно; уравнение (0.3) разрешимо не всегда, а при
выполнении условий его разрешимости решение не единственно.
С использованием работ [3]{[5] ниже
а) задача решения уравнений (0.1){(0.4) ставится корректно по Адамару путем соответствующего подбора пространств правых частей F = ff g, Y = fyg и зависящих от них пространств
искомых элементов = f'g, X = fxg;
б) предлагаются явные представления решений этих уравнений в терминах двумерных рядов
Фурье;
в) вычисляются нормы операторов G, S , I , H и обратных к ним в ряде функциональных
пространств.
Следует отметить, что к уравнениям вида (0.1){(0.4) приводит значительное число теоретических и прикладных задач (см., напр., [6]{[11] и библиографию в них). Поэтому для их решения
к настоящему времени разработаны различные точные и приближенные методы (см., напр., [3],
[4], [8]{[19] и библиографию в них). Однако, в отличие от известных результатов, ниже для
13
исследования уравнений (0.1){(0.4) впервые используется теория двойных рядов Фурье по многочленам Чебышева I и II родов и теория двойных тригонометрических рядов. Это позволило
получить ряд завершенных результатов по точным методам решения указанных уравнений и
их естественных обобщений, которые могут быть использованы также при построении и исследовании приближенных методов их решения.
1. Уравнения I рода с разностными логарифмическими ядрами
Для формулировки и последующего доказательства основных результатов понадобятся следующие обозначения.
Для любой функции '(t; ) 2 L1 [;1; 1; ;1; 1] = L[;1; 1]2 введем коэффициенты Фурье{
Чебышева
Z1Z1
4
'(t; )Tk (t)Tj ( ) dt d
TT
p
ckj (') = 2
(k + 1; j + 1 2 N );
;1 ;1 (1 ; t2 )(1 ; 2 )
Z1Z1q
4
UU
c (') =
(1 ; t2 )(1 ; 2 )'(t; )U (t)U ( )dt d (k + 1; j + 1 2 N );
kj
2
k
1 ; t2 '(t; )U (t)T ( )dt d
k;1
j
;1 ;1 1 ; 2
Z1Z1s
1 ; 2 '(t; )T (t)U ( )dt d
4
cTk;jU;1 (') = 2
k
j ;1
;1 ;1 1 ; t2
4
cUT
k;1;j (') = 2
где
k
;1 ;1
Z Z s
1
1
(k; j + 1 2 N );
(k + 1; j 2 N );
t ; ;1 6 t 6 1;
Tn (t) = cos n arccos t; Un (t) = sin(np+ 1) arccos
2
1;t
| полиномы Чебышева соответственно I и II родов степени n (n + 1 2 N ).
Обозначим через = L2 (; [;1; 1]2 ) = L2 () = L2 (1 2 ) пространство квадратично-суммируемых по Лебегу на [;1; 1; ;1; 1] = [;1; 1]2 функций с весом (t; ) = 1 (t)2 ( ), где 1 (t) =
(1 ; t2 );1=2 , 2 ( ) = 1 ( ), и с обычной нормой
k'k =
Z 1 Z 1
;1 ;1
(t; )j'(t; )j2 dt d
1=2
; ' 2 :
Положим = (t; ) = 1 (t)2 ( ), 1 (t) = ;1 1 (t), 2 ( ) = ;2 1 ( ), ;1 6 t; 6 1, и обозначим
через F W21;1;2() пространство таких функций f (t; ) 2 L2 () = L2 (1 2 ), что существуют
обобщенные производные по Соболеву
@f (t; ) 2 L ( ); @f (t; ) 2 L ( ); @ 2 f (t; ) 2 L ( ):
@t
2 1 2
2 1 2
@
2 1 2
@t@
Введем норму в пространстве F по формуле (см. также замечание 1.1)
kf kF = kf k2L () + kft0k2L ( ) + kf0 k2L ( ) + kft00 k2L () 1=2 :
Теорема 1.1.
(0:1)
'(t; ) 2 L2()
1
;1;2
f (t; ) 2 W2 ()
1
1
TT
X
X
' (t; ) = c00 (f ) + 1
kcT T (f )T (t) + 1
jcT T (f )T ( ) +
2
Уравнение
вой части
2
1 2
2
1 2
2
имеет единственное решение
при любой пра-
, причем
4 ln2 2
2 ln 2 k=1
k0
k
2 ln 2 j=1
+
1 X
1
X
k=1 j =1
14
oj
j
kjcTkjT (f )Tk (t)Tj ( ); ;1 6 t; 6 1: (1.1)
'(t; ) 2 уравнения (0:1) справедливо также представление
1
1
TT
X
X
' (t; ) = c00 (') + 1
cUT (f 0)T (t) + 1
cT U (f 0 )T ( ) +
Для решения
4 ln2 2
2 ln 2 k=1 k;1;0
t
1 X
1
X
+
2 ln 2 j=1
k
k=1 j =1
o;j ;1
j
00
cUU
;1 6 t; 6 1; f 2 F: (1.2)
k;1;j ;1 (ft )Tk (t)Tj ( );
Функции '(t; ) 2 L2 () и f (t; ) 2 W21;1;2 () можно представить в виде
сумм сходящихся в пространствах и F рядов Фурье:
Доказательство.
'(t; ) =
f (t; ) =
1 0X
10
X
k=0 j =0
cTkjT (')Tk (t)Tj ( ) 1 0X
10
X
k=0 j =0
cTkjT (f )Tk (t)Tj ( ) 1
P
1 X
1
X
k=0 j =0
1 X
1
X
k=0 j =0
kj Tk (t)Tj ( );
(1.3)
kj Tk (t)Tj ( );
(1.4)
где (здесь и далее) штрих у знака суммы 0 r означает, что соответствующее слагаемое при
r=0
r = 0 следует разделить на 2, причем
8 TT
c00 (') при k = j = 0;
>
>
>
>
>
4
>
>
> TT
>
>
c
>
< k0 (') при k 2 N и j = 0;
()
kj = > 2
T
T
>
>
c0j (') при k = 0 и j 2 N ;
>
>
>
>
>
>
> 2
>
:cT T (') при k 2 N и j 2 N ;
kj
аналогично определяются коэффициенты kj для функции f 2 F .
Из соотношений (0.1), (1.3) и (1.4) находим
G('; t; ) =
1 X
1
X
k=0 j =0
kj GfTk ()Tj (); t; g =
1 X
1
X
k=0 j =0
kj Tk (t)Tj ( );
где ' 2 L2 () и ;1 6 t; 6 1. Известно, что для любых r = 0; 1; : : :
Z1
1
J (Tr (); s) lnpj ; s2j Tr ()d = r Tr (s); ;1 6 s 6 1;
;1 1 ; r = f; ln 2 при r = 0; ; 1r при r = 1; 2; : : : g:
Поэтому в силу (0.1) для любых k + 1 2 N и j + 1 2 N имеем
G(Tk ()Tj (); t; ) = J (Tk (); t)J (Tj (); ) = k j Tk (t)Tj ( );
где ;1 6 t; 6 1. Из (1.5){(1.8) находим уравнение
G('; t; ) =
1 X
1
X
k=0 j =0
k j kj Tk (t)Tj ( ) =
где ;1 6 t; 6 1. Из (1.9) следует
1 X
1
X
k=0 j =0
kj Tk (t)Tj ( );
kj = kj ; k + 1 2 N ; j + 1 2 N :
k j
15
(1.5)
(1.6)
(1.7)
(1.8)
(1.9)
(1.10)
Поэтому уравнение (0.1) разрешимо при любых f 2 F и решение его можно представить в виде
' (t; ) =
1 X
1
X
k=0 j =0
kj Tk (t)Tj ( ) =
1 X
1
X
kj T (t)T ( );
k j
k=0 j =0 k j
(1.11)
причем единственность решения легко доказывается методом от противного.
Из соотношений (1.3){(1.11) следует представление (1.1). Формула (1.2) следует из (1.1) с
учетом того факта, что для любой функции f 2 F легко доказать, что при любых k 2 N и j 2 N
cTk0T (f ) =
0
00
cUT
cT0;jU;1 (f0 ) T T
cUU
k;1;0 (ft )
k;1;j ;1 (ft )
TT
;
c
(
f
)
=
;
c
(
f
)
=
: 0j
kj
k
j
kj
G:!F
Теорема 1.2. Оператор
непрерывно обратим, а для операторов
G и G;1 спра-
ведливы оценки
а) kGk!F 6 2; б) kG;1 kF ! 6 log2 e:
(1.12)
Найдем норму функции ' 2 в пространстве = L2 (). Из (1.3) с
помощью свойств полиномов Чебышева I рода находим
Доказательство.
k'k2L () =
2
2
Z 1 Z 1 X
1 X
1
dt d
p
=
T
(
t
)
T
(
)
kj k
j
(1
;
t2)(1 ; 2)
;1 ;1 k=0 j=0
Z1
Z1
1 X
1 X
1 X
1
X
=
kj k0 j0 Tkp(t)Tk0 (2t) dt Tjp( )Tj0 (2 ) d
1;t
1;
;1
;1
k=0 j =0 k0 =0 j 0 =0
1 X
1 X
1 X
1
X
=
где, как известно,
rr0 =
8
>
>
<0
Z1
Tr (ps)Tr0 (s)ds = >
1 ; s2
;1
>
:
2
Поэтому в силу (1.13) имеем
k'k2
L2 ()
=
1 X
1
X
k=0 j =0
jkj
j2
kk jj
= 2 j
00
j2 +
k=0 j =0 k0 =0 j 0 =0
=
kj k0 j0 kk0 jj0 ; (1.13)
при r 6= r0 ;
при r = r0 = 0;
при r = r0 2 N :
1
1
1 X
1
2X
2X
2 X
2
2
jkj j2 :
2 jk0 j + 2 j0j j + 4
j =1
k=1
k=1 j =1
Отсюда с учетом () для любой функции ' 2 находим
k'k2
L2 ()
1 0X
10
2X
=
jcT T (')j2 :
4
k=0 j =0
kj
(1.14)
Аналогично для любой функции f 2 F имеем
1 0X
10
2X
kf k2L () = 4
2
k=0 j =0
16
jcTkjT (f )j2 :
(1.15)
Теперь вычислим нормы kft0 kL2 (1 2 ) , kf0 kL2 (1 2 ) и kft00 kL2 () для f 2 F . Из (1.4) находим
1 X
1
@f (t; ) = X
k U (t)T ( ) 2 L ( );
(1.16)
kj k;1
j
2 1 2
@t
k=1 j =0
1 X
1
@f (t; ) = X
jkj Tk (t)Uj;1 ( ) 2 L2(1 2);
@
k=0 j =1
1 X
1
@ 2 f (t; ) = X
kjkj Uk;1 (t)Uj;1 ( ) 2 L2(1 2);
@t@
k=1 j =1
(1.17)
(1.18)
где ;1 6 t; 6 1. Из (1.16) с учетом свойств полиномов Чебышева I и II родов получаем
Z1Z1s
1 ; t2 jf 0 (t; )j2 dt d =
kft0k2L2(1 2 ) =
;1 ;1 1 ; 2 t
Z1Z1s
1 X
1 X
1 X
1
X
=
k=1 j =0 k0 =1 j 0 =0
kk0 kj k0 j0
;1 ;1
1 ; t2 U (t)T ( )U 0 (t)T 0 ( )dt d =
k ;1
j
1 ; 2 k;1 j
=
где jj0 определены выше, а
kk0 =
Z1
Поэтому
kft0k2L ( ) =
2
1 2
;1
p
1 ; s2 Uk;1 (s)Uk0 ;1 (s)ds =
1 X
1
X
k2jkj j2kk jj
k=1 j =0
аналогично с помощью (1.17) получаем
1 X
1
X
j 2 jkj j2 kk jj
L2 (1 2 ) =
k=0 j =1
kf 0 k2
1
2X
8
<0
:
2
1 X
1 X
1 X
1
X
k=1 j =0 k0 =1 j 0 =0
kk0 kj k0 j0 kk0 jj0 ;
при k 6= k0 ;
при k = k0 2 N :
1 X
1
X
k2jkj j2 ;
k=1 j =1
(1.160 )
1
1 X
1
2X
X
1
2
2
2
2
= 2
j j0j j + 2
j jkj j :
(1.170 )
= 2
k=1
k2 jk0 j2 + 12
j =1
k=1 j =1
Из (1.18) с учетом свойств многочленов Чебышева II рода находим
kft00 k2L () =
2
Z1Z1q
;1 ;1
(1 ; t2 )(1 ; 2 )jft00 (t; )j2 dt d =
=
Поскольку
1 X
1 X
1 X
1
X
k=1
j =1 k0 =1 j 0 =1
8 TT
c00 (f )
>
>
>
>
>
4
>
>
> TT
>
>
c
>
< k0 (f )
1 X
1
2X
k2j 2 jkj j2 :
k=1 j =1
kjk0 j 0 kj k0 j0 kj k0 j0 = 4
(1.180 )
при k = j = 0;
при k 2 N и j = 0;
kj = > 2
>
>
cT0jT (f ) при k = 0 и j 2 N ;
>
>
>
>
>
2
>
>
>
:cT T (f ) при k 2 N и j 2 N ;
kj
17
()
то из (1.160 ), (1.170 ) и (1.180 ) получаем соответственно
1
1 X
1
2 X
X
kft0k2L2(1 2 ) = 4 21 k2jcTk0T (f )j2 +
k2jcTkjT (f )j2 ;
k=1
k=1 j =1
X
1
1 X
1
2
X
1
0
2
2
TT
2
2
TT
2
kf kL2(1 2 ) = 4 2 j jc0j (f )j +
j jckj (f )j ;
j =1
k=1 j =1
1 X
1
2X
k2 j 2 jcTkjT (f )j2:
k=1 j =1
kft00 k2L () = 4
2
(1.19)
(1.20)
(1.21)
Из соотношений (1.15), (1.19){(1.21) следует
1
1
2 jcT T (f )j2 1 X
X
2
kf kF = 4 00 4 + 2 (1 + k2 )jcTk0T (f )j2 + 12 (1 + j 2 )jcT0jT (f )j2 +
j =1
k=1
+
1 X
1
X
k=1 j =1
(1 + k2 + j 2 + k2 j 2 )jcTkjT (f )j2 ; f 2 F:
(1.22)
Для любой функции ' 2 имеем G' 2 F . Поэтому из (1.22) и (1.14) с учетом соотношений
cTkjT (G') = k j cTkjT ('), k + 1 2 N , j + 1 2 N , находим
1
2 2
2X
2
2
kG'kF = 4 40 jcT00T (')j2 + 20 1 +k2k jcTk0T (')j2 +
k=1
1
1
1
2
2
X
X
X
1 + k2 + j 2 + k2 j 2 jcT T (')j2 :
+ 20 1 +j 2 j jcT0jT (')j2 +
(1.23)
kj
k2 j 2
j =1
k=1 j =1
Из (1.14) и (1.23) получим неравенства
20k'k2 6 kG'k2F 6 4k'k2 ; ' 2 :
(1.24)
Из (1.24) и (1.7) c учетом теоремы 1 следуют оценки (1.12).
Из теории операторных уравнений, приводящихся к уравнениям II рода [20], и из теорем 1.1
и 1.2 следует
Теорема 1.3. Пусть T : ! F | вполне непрерывный оператор, а однородное уравнение
A' G' + T' = 0 имеет в пространстве лишь тривиальное решение. Тогда оператор
A = G + T : ! F имеет непрерывный обратный.
Из принципа сжатых отображений [20] и из теоремы 1.2 легко выводятся следующие теоремы.
Теорема 1.4. Если линейный оператор T : ! F удовлетворяет условию kT k!F < ln 2,
то уравнение
A' G' + T' = f (' 2 ; f 2 F )
(0:10 )
имеет единственное решение ' 2 при любой правой части f 2 F , причем
k' k 6 ln 2 ;kfkkTFk :
!F
0
Теорема 1.5. В условиях теоремы 1:4 единственное решение ' 2 уравнения (0:1 ) можно найти как предел итерационной последовательности
'i = G;1f ; G;1T'i;1 (i = 1; 2; : : : )
18
при любом начальном приближении
'0 2 , причем погрешность i-го приближения
может
быть оценена неравенствами
i
k' ; 'i k 6 qi k' ; '0 k 6 1 q; q k'1 ; '0k (i = 1; 2; : : : );
если же начальное приближение выбирается по формуле
'0 = G;1f , то и неравенством
i+1
k' ; 'i k 6 1q; q klnf 2k (i = 1; 2; : : : ); q = kT k!F = ln 2 < 1:
Введем норму в пространстве F по формуле
1
1 X
1
X
X
1
TT
2
TT
2
2
jjc (f )j +
jkjckj (f )j ; f 2 F:
kf kF =
2 ln2 2 j=1 0j
k=1 j =1
Тогда из сказанного выше следует, что формулы (1.12) принимают вид
kGk!F = kG;1kF ! = 1:
В этом случае в теоремах 1.4 и 1.5 следует положить q = kT k!F < 1:
Замечание 1.1.
1
2 cT00T (f ) 2+ 1 X
TT
2
4 2 ln2 2 2 ln2 2 k=1 jkck0 (f )j +
2. Уравнения I рода с ядрами Коши
Pассмотрим применение результатов п. 1 к исследованию сингулярного интегрального уравнения I рода с ядрами Коши (0.2), где f 2 L2 () | известная, а ' 2 L2 () | искомая функции,
причем весовые функции (t; ) = 1 (t)2 ( ) и (t; ) = 1 (t)2 ( ) определены выше.
Решение уравнения (0.2) будем искать в пространстве функций L2 (), удовлетворяющих
условиям
cTk0T (') = cT0jT (') = 0 (k + 1 2 N ; j 2 N ):
(2.1)
В связи с этим введем пространства F = L2 () и
= L2 () = f' 2 L2 () : cTk0T (') = cT0jT (') = 0; k + 1 2 N ; j 2 N g
с обычными весовыми L2 -нормами соответственно. Тогда для уравнения (0.2) справедливы следующие теоремы.
Теорема 2.1. Уравнение (0:2) имеет единственное решение ' 2 при любой правой части
f 2 F , причем
' (t; ) =
Теорема 2.2. Оператор
1 X
1
X
k=1 j =1
cUU
;1 < t; < 1:
k;1;j ;1 (f )Tk (t)Tj ( );
(2.2)
S : L2() ! L2() непрерывно обратим и
kS k!F = kS ;1kF ! = 1:
теорем 2.1 и 2.2 будем вести по схеме доказательства теорем 1.1 и 1.2.
Функции ' 2 L2 () и f 2 L2 () представим в виде рядов
Доказательства
'(t; ) =
f (t; ) =
1 X
1
X
k=1 j =1
1 X
1
X
k=1 j =1
' 2 ;
(2.3)
cUU
k;1;j ;1 (f )Uk;1 (t)Uj ;1 ( ); f 2 F:
(2.4)
cTkjT (')Tk (t)Tj ( );
19
Тогда сингулярное уравнение (0.2), (2.1) эквивалентно уравнению
1 X
1
X
k=1 j =1
cTkjT (')S (Tk ()Tj (); t; ) =
1 X
1
X
k=1 j =1
cUU
k;1;j ;1 (f )Uk;1 (t)Uj ;1 ( ):
(2.5)
Поскольку S (Tk ( )Tj (); t; ) = S0 (Tk ( ); t)S0 (Tj (); ), где, как известно,
Z1
1
Tr (p)d = U (s); r 2 N ; ;1 6 s 6 1;
S0(Tr (); s) r;1
;1 ( ; s) 1 ; 2
то уравнение (2.5) принимает вид
1 X
1
X
k=1 j =1
cTkjT (')Uk;1 (t)Uj;1 ( ) =
1 X
1
X
k=1 j =1
cUU
k;1;j ;1 (f )Uk;1 (t)Uj ;1 ( );
где ;1 < t; < 1. Отсюда находим
cTkjT (') = cUU
k 2 N; j 2 N:
k;1;j ;1 (f );
Из соотношений (2.1), (2.4){(2.7) следует утверждение теоремы 2.1.
Из (2.3), (2.4) и (2.6) по аналогии с (1.14) и (1.21) находим
1 X
1
2X
kS'k2L () = 4
2
k=1 j =1
1 X
1
2X
jcTkjT (')j2 = 4
k=1 j =1
(2.6)
(2.7)
2
2
jcUU
k;1;j ;1 (f )j = kf kL () :
2
Отсюда и из теоремы 2.1 получим равенства
kS'kL2 () = k'kL 2() ; kS ;1 f kL 2() = kf kL2() (' 2 ; f 2 F );
а из них | утверждение теоремы 2.2. По аналогии с теоремами 1.3{1.5, но на основе теорем 2.1 и 2.2, доказываются теоремы 2.3{
2.5.
Теорема 2.3. Пусть V : L2 () ! L2 ( ) | вполне непрерывный оператор. Если уравнение
S' + V ' = 0 имеет в L2 () лишь тривиальное решение, то оператор B S + V : L2 () ! L2()
непрерывно обратим.
V : L2() ! L2 () удовлетворяет
kV k 6 p < 1, то оператор B S + V : L2 () ! L2() непрерывно обратим и
kB ;1kL2 ()!L 2() 6 (1 ; p);1:
Теорема 2.4. Если
линейный
оператор
условию
2:4 единственное решение ' 2 L2 () уравнения
B ('; t; ) S ('; t; ) + V ('; t; ) = f (t; ); ;1 < t; < 1;
(0:20 )
Теорема 2.5. В условиях теоремы
можно найти как предел в
L2() итерационной последовательности
'i = S ;1f ; S ;1 V 'i;1 (i = 1; 2; : : : )
при любом начальном приближении
лы
'0 2 L2 (). При этом погрешность приближенной форму-
'(t; ) 'i (t; ) может быть оценена неравенствами
i
k' ; 'i kL2() 6 pik' ; '0kL2 () 6 1 p; p k'1 ; '0 kL2() (i = 1; 2; : : : );
20
если же начальное приближение выбирается по формуле
'0 = S ;1f , то
i+1
k' ; 'i kL () 6 p 1k;f kpL () (i = 1; 2; : : : ):
2
2
3. Периодические сингулярные уравнения I рода
Результаты, аналогичные приведенным выше, справедливы также для двумерных периодических сингулярных интегральных уравнений I рода; в этом случае удобным аппаратом исследования является теория двойных тригонометрических рядов. Проиллюстрируем сказанное
применительно к интегральным уравнениям (0.3) и (0.4).
Обозначим через L2 = L2 [0; 2]2 пространство квадратично суммируемых в [0; 2]2 =
[0; 2; 0; 2] функций с нормой
1=2
Z 2 Z 2
1
2
jx(; )j d d ; x 2 L2:
kxkL2 = 42
0
0
Положим
L2 = fx 2 L2 : ck0 (x) = c0j (x) = 0; k = 0; 1; : : : ; j = 1; 2; : : : g;
где
Z 2 Z 2
ckj (') = 41 2
'(; )e;i(k+j) d d (k; j = 0; 1; : : : )
0
0
| коэффициенты Фурье в комплексной форме функции ' 2 L2 .
Теорема 3.1. Уравнение (0:3) имеет единственное решение x (s; ) 2 L2 при любой правой
части y (s; ) 2 L2 , причем
x(s; ) = ;
где
;1 < s; < 1
Следствие.
1
X
1
X
k=;1 j =;1
sgn k sgn j ckj (y)ei(ks+j) = I (y; s; );
(3.1)
и
sgn r = f1 при r > 0; 0 при r = 0; ;1 при r < 0g:
Оператор I : L2 ! L2 непрерывно обратим и
kI kL 2 !L 2 = kI ;1 kL 2!L 2 = 1; I 2 = E:
Доказательство.
(3.2)
Функции x; y 2 L2 представим в виде рядов
x(s; ) =
y(s; ) =
Поскольку
1
X
1
X
k=;1 j =;1
k6=0 j 6=0
1
X
1
X
k=;1 j =;1
k6=0 j 6=0
ckj (x)ei(ks+j) ;
(3.3)
ckj (y)ei(ks+j) :
(3.4)
1 Z 2 eir ctg ; s d = ieirs sgn r (r = 0; 1; : : : );
2 0
2
то в силу (3.3){(3.4) уравнение (0.3) эквивалентно уравнению
Ix = ;
1
X
1
X
k=;1 j =;1
sgn k sgn j ckj (x)e
i(ks+j)
21
=
1
X
1
X
k=;1 j =;1
k6=0 j 6=0
ckj (y)ei(ks+j) :
(3.5)
;1;:::
Поскольку система функций fei(ks+j) gjk=0
=0;1;::: линейно независима и полна в пространстве L2 ,
то из (3.5) получаем ckj (x) = ;ckj (y) sgn k sgn j (k; j = 1; 2; : : : ). Отсюда и из (3.3) следует
первая часть формул (3.1). По аналогии с первой частью формул (3.5) для любой функции
y 2 L2 имеем
Iy = ;
1
X
1
X
k=;1 j =;1
sgn k sgn j ckj (y)ei(ks+j) :
(3.6)
Из (3.6) и сказанного выше следует вторая часть формул (3.1).
Из (0.3) и (3.5) с помощью формулы Парсеваля находим
kIxk2
L2
=
1
X
1
X
k=;1 j =;1
k6=0 j 6=0
jckj
(x)j2
=
1
X
1
X
k=;1 j =;1
k6=0 j 6=0
jckj (y)j2 = kyk2L ;
где x; y 2 L2 . Отсюда и из (3.1) следуют равенства
2
kIxkL = kxkL ; kI ;1 ykL = kykL (x; y 2 L2);
а из них | утверждение следствия, в том числе формулы (3.2). 2
2
2
2
Из теоремы 3.1 (особенно из хода ее доказательства) видно, что уравнение (0.3) разрешимо в
пространстве L2 тогда и только тогда, когда y 2 L2 , т. е. его правая часть y 2 L2 удовлетворяет
условиям
ck0 (y) = c0j (y) = 0 (k = 0; 1; : : : ; j = 1; 2; : : : ):
(3.7)
При их выполнении решение x (s; ) 2 L2 уравнения (0.3) представимо в виде
x(s; ) = 00 +
1
X
k=;1
k6=0
k0 eiks +
1
X
j =;1
j 6=0
0j eij + x(s; );
(3.8)
где функция x (s; ) определена в (3.1), а k0 (k = 0; 1; : : : ) и 0j (j = 1; 2; : : : ) | произ
вольные постоянные. Если же ищем решение в пространстве L2 , то для этих постоянных имеем
k0 = ck0 (x) = 0; 0j = c0j (y) = 0 (k = 0; 1; : : : ; j = 1; 2; : : : );
(3.9)
а тогда x (s; ) = x (s; ).
Таким образом, при невыполнении любого из условий как (3.7), так и (3.9) задача решения
уравнения (0.3) поставлена некорректно [2]. В этом случае, следуя [11], наряду с (0.3) рассмотрим уравнение
I (x; s; ) = y(s; ) ; (s; ) y0(s; );
(3.10)
где (s; ) | произвольная функция из L2 . Выберем ее так, чтобы функция y0 2 L2 , а следовательно, уравнение (3.10) было разрешимым. Тогда
(s; ) = c00(y) +
1
X
k=;1
k6=0
ck0 (y)eiks +
1
X
j =;1
j 6=0
c0j (y)eij :
(3.11)
Решение уравнения (3.10), (3.11) в силу (3.8) представляется в виде
x0 (s; ) = 00 +
1
X
k=;1
k6=0
k0 e +
iks
1
X
j =;1
j 6=0
0j e ;
ij
22
1
X
1
X
k=;1 j =;1
sgn k sgn j ckj (y0 )ei(ks+j) ; (3.12)
где kj { произвольные постоянные такие, что x0 (s; ) 2 L2 . Если же решение x0 2 L2 уравнения
(3.10), (3.11) ищем в пространстве L2 , то в силу (3.1), (3.12) и (3.9) находим
x0(s; ) = ;
1
X
1
X
k=;1 j =;1
Замечание 3.1.
sgn k sgn j ckj (y0 )ei(ks+j) =
= I (y0 ; s; ) = I (y; s; ) ; I ( ; s; ) = I (y; s; ) = x (s; ):
В силу теоремы 3.1 и ее следствия для уравнения
Ax Ix + Rx = y (x; y 2 Z );
где R : Z ! Z | линейный оператор, а Z = L2 или же L2 , справедливы утверждения, аналогичные теоремам 2.3{2.5.
Далее, введем пространство 2-периодических функций
Y = fy(s; ) 2 L2 : 9ys0 ; y0 ; ys00 2 L2g W21;1;2[0; 2]2
с нормой
2
1
X
kykY = 4c00ln(2y2) + 4 ln12 2
jkck0 (y)j2 +
k=;1
1=2
1
1 X
1
X
X
+ 12
j
jc0j (y)j2 +
j
kjckj (y)j2 ; y 2 Y: (3.13)
4 ln 2 j=;1
k=;1 j =;1
Норма в Y , введенная по формуле (3.13), эквивалентна любой другой норме, в которой пространство Y полно, в частности, эквивалентна таким нормам
kykY = kykL + kys0 kL + ky0 kL + kys00 kL ;
y 2 Y;
kykY = fkyk2L + kys0 k2L + ky0 k2L + kys00 k2L g1=2 ; y 2 Y:
Теорема 3.2.
(0:4)
x(s; ) 2 L2 X
1
;1;2
y(s; ) 2 W2 Y
1
X
x(s; ) = c00 (y) + 1
kc (y)eiks +
2
2
2
Уравнение
2
2
2
2
2
имеет единственное решение
правой части
(3.14)
(3.15)
при любой
, причем
4 ln2 2
2 ln 2 k=;1
k0
1
1 X
1
X
X
+ 2 ln1 2
jc0j (y)eij +
kjckj (y)ei(ks+j) : (3.16)
j =;1
k=;1 j =;1
Оператор H : X ! Y непрерывно обратим, причем
kH kX !Y = kH ;1kY !X = 1:
Доказательство. Представляя функции x 2 X и y 2 Y в виде рядов
Следствие.
x(s; ) =
1
X
1
X
k=;1 j =;1
ckj (x)ei(ks+j) ; y(s; ) =
1
X
1
X
k=;1 j =;1
ckj (y)ei(ks+j)
и используя известные соотношения
Z 2 ;
t
1
; ln sin 2 eir d = r eirt (r = 0; 1; : : : );
0
r = f2 ln 2 при r = 0; j1rj при r = 1; 2; : : : g;
23
(3.17)
(3.18)
(3.19)
уравнение (0.4) запишем в эквивалентном виде
Hx 1
X
1
X
k=;1 j =;1
k j ckj (x)ei(ks+j) =
1
X
1
X
k=;1 j =;1
ckj (y)ei(ks+j) :
(3.20)
;1
Отсюда с учетом свойств системы функций fei(ks+j) gjk==;1
;1;1 находим
ckj (x) = ckj (y) (k; j = 0; 1; : : : ):
(3.21)
k j
Из (3.18){(3.21) получим решение уравнения (0.4)
1 X
1 c (y)
X
kj
x(s; ) =
ei(ks+j) = H ;1(y; s; );
k=;1 j =;1
(3.22)
k j
причем единственность легко доказывается методом от противного. Из (3.22) и (3.19) следует
представление (3.16). Поэтому для любой функции y 2 Y из (3.22), (3.13) и (3.19) с помощью
равенства Парсеваля имеем
1
1 X
1 c (y) 2 c (y) 2
X
X
;
1
2
kj = 00 + 1
kH ykX =
jkck0 (y)j2 +
22
4 ln2 2 4
ln
k
j
k=;1
k=;1 j =;1
1
1
1
X
X
X
+ 12
j
jc0j (y)j2 +
j
kjckj (y)j2 = kyk2Y :
4 ln 2 j=;1
k=;1 j =;1
Отсюда и из (3.16) получим формулы
kH ;1 ykX = kykY ; y 2 Y ; kHxkY = kxkX ; x 2 X;
а из них | соотношения (3.17).
Следует отметить, что если норма в пространстве Y выбирается по любой из формул (3.14)
или (3.15), то соотношения (3.17) уже не верны, вместо них имеем лишь
kH kX !Y 6 const < 1; kH ;1 kY !X 6 const < 1:
Для полноты доказательства осталось показать сходимость использованных рядов, что так
или иначе связано со сходимостью ряда из (3.13) для любой функции y 2 Y . Поскольку здесь
00 принадлежат L2 , то
функции y, ys0 , y0 , ys
0
0
00
c (y) = ck0 (ys) ; c (y) = c0j (y ) ; c (y) = ckj (ys )
k0
0j
i2kj
для любых k; j = 1; 2; : : : Отсюда и из (3.13) для любой функции y 2 Y получим
1
1
X
X
c00 (y ) 2
1
1
0
2
2
+
jc (y )j +
jc (y0 )j2 +
kyk =
Y
+
1
X
ik
4 ln2 2 1
X
k=;1 j =;1
ij
4 ln2 2 k=;1
k0
kj
4 ln2 2 j=;1
s
0j
jckj (ys00 )j2 6 kyk2L + kys0 k2L + ky0 k2L + kys00 k2L < 1: 2
2
2
2
В силу теоремы 3.2 и ее следствия для полного уравнения I рода
Ax Hx + Rx = y (x 2 X; y 2 Y );
(0.40 )
где R : X ! Y есть линейный оператор, справедливы утверждения, аналогичные теоремам
1.3{1.5 и 2.3{2.5.
Замечание 3.2.
24
Литература
1. Michlin S.G., Prodorf S. Singulare Intergaloperatoren. { Berlin: Akademic-Verlag, 1980. { 514 S.
2. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. { М.: Наука, 1979. {
286 с.
3. Габдулхаев Б.Г. Прямые методы решения сингулярных интегральных уравнений I рода. {
Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1994. { 288 с.
4. Габдулхаев Б.Г. Численный анализ сингулярных интегральных уравнений. Избранные главы. { Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1995. { 230 с.
5. Валеева Р.Т. Об обращении одного слабосингулярного интегрального оператора // Тр. Матем. центра им. Н.И. Лобачевского. Актуальные проблемы математики и механики. { Казань: Изд-во \Унипресс", 2000. { T. 5. { С. 44{46.
6. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. { М.: Наука, 1977. { 640 с.
7. Жижиашвили Л.В. Некоторые вопросы тригонометрических рядов Фурье и их сопряженных. { Тбилиси: Изд-во Тбил. ун-та, 1993. { 414 с.
8. Габдулхаев Б.Г. Конечномерные аппроксимации сингулярных интегралов и прямые методы
решения особых интегральных и интегродифференциальных уравнений // Итоги науки и
техн. Матем. анализ. { М.: Изд-во ВИНИТИ АН СССР, 1980. { Вып. 18. { С. 251{307.
9. Prodorf S. Plenary Lectures // Z. angew. Math. und Mech. { 1989. { Bd. 69. { Є 4. { P. 5{13.
10. Лифанов И.К., Тыртышников Е.Е. Теплицевы матрицы и сингулярные интегральные уравнения // Вычисл. процессы и системы. { М.: Наука, 1990. { Вып. 7. { С. 94{273.
11. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. {
М.: ТОО \Янус", 1995. { 520 с.
12. Шешко М.А. Двумерные сингулярные интегральные уравнения первого рода с ядрами Коши
// Дифференц. уравнения. { 1981. { Т. 17. { Є 8. { С. 1518{1521.
13. Шешко М.А. Интегральные уравнения, содержащие кратные интегралы с ядрами Коши //
Дифференц. уравнения. { 1986. { Т. 22. { Є 3. { С. 523{538.
14. Афендикова Н.Г. О численном решении сингулярных интегральных уравнений: Дис. : : :
канд. физ.-матем. наук. { М., 1986. { 99 с.
15. Хайруллина А.М. Приближенное решение многомерных сингулярных интегральных уравнений: Дис. : : : канд. физ.-матем. наук. { Казань, 1987. { 127 с.
16. Полянская Т.С. Численные методы решения некоторых классов сингулярных интегральных
уравнений с одномерными и кратными интегралами типа Коши и Гильберта: Дис. : : :
канд. физ.-матем. наук. { М., 1988. { 137 с.
17. Сурай Л.А. Прямые методы решения интегральных уравнений первого рода с логарифмической особенностью: Дис. : : : канд. физ.-матем. наук. { Казань, 1994. { 131 с.
18. Валеева Р.Т. Аппроксимативные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений первого рода: Дис. : : : канд. физ.-матем. наук. { Казань, 1995. { 108 с.
19. Аюпова Е.Ф. Прямые методы решения сингулярных интегральных уравнений первого рода:
Дис. : : : канд. физ.-матем. наук. { Казань, 2000. { 112 с.
20. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ в нормированных пространствах.
{ М.: Физматгиз, 1959. { 684 с.
Казанский государственный
Поступила
16.10.2002
университет
25
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
212 Кб
Теги
рода, уравнения, интегральная, обращение, многомерная, сингулярных
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа