close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об одной вариационной задаче теории мультипликативного интеграла.

код для вставкиСкачать
УДК 517.9
ББК 22.161.6
К 59
Козлов В.А.
Кандидат физико-математических наук, доцент, зав. кафедрой математического анализа математического факультета Армавирской государственной педагогической академии, e-mail:
shagin196@yandex.ru
Кумшаев Е.Н.
Преподаватель кафедры математического анализа математического факультета Армавирской
государственной педагогической академии, тел. (8613) 74-76-49
Паланджянц Л.Ж.
Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики и системного
анализа Майкопского государственного технологического университета, тел. (8772) 57-03-53, email: levonmgtu@rambler.ru
Об одной вариационной задаче теории мультипликативного интеграла
(Рецензирована)
Аннотация
Рассматривается решение одной вариационной задачи теории мультипликативного интеграла.
Ключевые слова: криволинейный мультипликативный интеграл, вариация.
Kozlov V.A.
Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Head of Mathematical Analysis Department
of Mathematical Faculty, Armavir State Pedagogical Academy, e-mail: shagin196@ yandex.ru
Kumshaev E.N.
Lecturer of Mathematical Analysis Department of Mathematical Faculty, Armavir State Pedagogical
Academy, ph. (8613) 74-76-49
Palandzhyants L.Zh.
Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of Higher Mathematics and System Analysis
Department of Maikop State University of Technology, ph. (8772) 57-03-53, e-mail:
levonmgtu@rambler.ru
On a variation task of the theory of the multiplicative integral
Abstract
This paper considers the solution of a variation problem of the theory of the multiplicative integral.
Keywords: curvilinear multiplicative integral, variation.
Впервые задачу о вариации криволинейного мультипликативного интеграла
сформулировал О.В. Мантуров [1]. При этом более подробно была рассмотрена задача
о кривизне криволинейного мультипликативного интеграла. В предположении о том,
что кривизна зависит от некоторой функции одной переменной, предлагалось найти
условия на эту функцию, при которых кривизна становилась нулевой. В случае квадратных матриц второго порядка формулировалась вариационная задача на минимум
скалярного функционала.
Рассмотрим криволинейный мультипликативный интеграл вдоль кривой γ в области D ⊂ R 2 с параметризацией x = x(t ), y = y (t ) [1]:
∪
∫γ E + P( x, y, u)dx + Q( x, y, u )dy ,
(1)
где P ( x, y, u ) и Q( x, y, u ) – непрерывно дифференцируемые n × n -матричные функции от трех переменных, а u = u ( x, y ) – неизвестная скалярная функция от двух пере-
менных x и y .
K ( P, Q) = Qx + Qu u x − Py − Pu u y + PQ − QP – кривизна интеграла (1).
Кривизна K криволинейного мультипликативного интеграла представляет собой матричную функцию переменных x , y и u .
Сформулируем две задачи, связанные с нулевой кривизной криволинейного мультипликативного интеграла (1).
1. Найти функцию u ( x, y ) , для которой кривизна интеграла (1) будет нулевой
матрицей. При этом условие K = 0 является дифференциальным уравнением в частных производных с матричными коэффициентами относительно неизвестной функции
u ( x, y ) .
2. Предположим, что P ( x, y, u ) = ( pij ) и Q ( x, y, u ) = (qij ) – непрерывно дифференцируемые 2× 2 -матричные функции от трех переменных
K = (kij ) , где kij = qijx + qiju u x − pijy − piju u y + pis qsj − qis psj .
x,
y
и u . Тогда
Условие SpK = 0 имеет вид
 ∂Q ∂Q ∂u ∂P ∂P ∂u 
 = 0 .
+
−
−
Sp
 ∂x ∂u ∂x ∂y ∂u ∂y 
Исключая случай, когда матрица K представляет собой каноническую жорданову форму, можно вместо условия K = 0 рассмотреть условие
∫ SpKK ds = 0 ,
*
(2)
D
где Sp означает след, D – область, содержащая начальную точку x0 , y0 ; ds – элемент площади.
Займемся решением второй задачи.
Вычисление функции u ( x, y ) , удовлетворяющей условию (2), сводится к решению вариационной задачи на минимум скалярного функционала:
G (u ) = ∫ SpKK *ds ,
(3)
D
где
SpKK * =
2
∑k
i , j =1
2
ij
.
Исследование на экстремум функционала (3) описано, например, в работе
[2, с. 312].
Введем обозначения:
∂u
∂L
∂u
∂L
p=
, q=
, SpKK * = L(t , x, y, p, q) , L p =
, Lq =
.
∂x
∂y
∂q
∂p
Тогда функция u ( x, y ) является решением уравнения Эйлера
Lu −
∂
∂
L p − Lq = 0 .
∂x
∂y
(4)
Легко увидеть, что полученное уравнение (4) зависит от структуры матрицы K .
Нам потребуются несколько утверждений, приводящих матрицу K к удобному виду
для применения вариационной задачи. Одним из таких удобных видов является при-
надлежность матрицы K алгебре n × n -квадратных матричных функций со следом
нуль, то есть sl (nR) .
~
~
Лемма 1. Пусть P = CPC −1 ± C x C −1 , Q = CQC −1 ± C y C −1 – калибровочные преобразования матричных функций Ρ и Q , где C = C ( x, y ) – некоторая невырожденная
~
гладкая матричная функция. Пусть, далее, K = Qx − Py ± [Q, P ] . Тогда K = CKC −1 .
Утверждение леммы легко проверяется, причем, знак «+» нужно брать в случае
∩
∪
интеграла ∫ , а знак «–» – в случае интеграла ∫ .
Лемма 2. Пусть P ( x, y ) ∈ sl (n, R ) , Q( x, y ) ∈ sl (n, R ) . Тогда K ( P, Q) ∈ sl (n, R ) .
Доказательство. Имеем
К ( P, Q) = Qx − Py − [Q, P ] ,
SpK ( P, Q) = Sp (Qx ) − Sp ( Py ) − − Sp ([Q, P ]) .
Sp ( Py ) = (SpP ) y = 0 ,
Sp ([Q, P ]) = 0 ,
Учитывая,
получаем
откуда следует, что
что
Sp(Qx ) = (SpQ )x = 0 ,
SpK ( P, Q) = 0 ,
то
есть
K ( P, Q) ∈ sl (n, R ) .
Однако, если K ( P, Q) ∉ sl (2, R ) , то можно подобрать такое калибровочное преобразование неособой матричной функцией C ( x, y ) , что при некоторых ограничениях
~
преобразованная матрица K = CKC −1 будет принадлежать алгебре 2× 2 -квадратных
матричных функций со следом нуль.
Лемма 3. Пусть n = 2 ,
~
P = CPC −1 − C x C −1 ∈ sl (2, R) ,
~
Q = CQC −1 − C y C −1 ∈ sl (2, R) ,
(5)
~ ~ ~
где ( SpP ) y = ( SpQ ) x и det C = ∫ ( SpPdx + SpQdy ) . Тогда K ( P , Q ) ∈ sl (2, R ) .
~ ~ ~
Доказательство. Принадлежность K ( P , Q ) ∈ sl (2, R ) следует из леммы 2. Остается предъявить матричную функцию C ( x, y ) . Из условий (5) имеем:
~
~
SpP = Sp(CPC −1 ) − Sp(C x C −1 ) = 0 , SpQ = SP(CQC −1 ) − Sp(C y C −1 ) = 0 ,
Так как Sp(CΡC −1 ) = SpP и Sp(CQC −1 ) = SpQ , то получаем
SpΡ = Sp (C x C −1 ) ,
SpQ = Sp(C y C −1 ) .
(6)
При C = (cij ) , i, j = 1, 2 уравнения (6) равносильны системе уравнений
 p11 + p22 = с11x c22 − c12 x c21 − c21x c12 + c22 x c11 ,

 q11 + q22 = с11 y c22 − c12 y c21 − c21 y c12 + c22 y c11 ,
или
∂
DetC = SpP ,
∂x
∂
DetC = SpQ . Условие интегрируемости:
∂y
∂
∂
SpP = SpQ .
∂y
∂x
При этом (см., например, [3, с. 59]) имеет место равенство det C = ∫ ( SpPdx + SpQdy ) .
Таким образом, матричная функция C ( x, y ) вычислена в явном виде.
Покажем, что преобразованием подобия произвольную матричную функцию
~
K ∈ sl (2, R) можно свести к матричной функции K ∈ sl (2, R) , являющейся линейной
относительно переменных u , p и q .
k12 
c 
k
c
 , C =  11 12  ,
K =  11
 k 21 − k11 
 c21 c22 
 − c12 k 21 + c21 p

c12


~
k11 − u

.
CK = KC . Тогда С =
− c12 q + c21k12 

c21


k11 − u


Теорема 1. Пусть
Доказательство. Имеем
~ u p 
 .
K = 
q − u
Пусть
c11k11 + c12 k 21 = c11u + c21 p,
c k − c k = c u + c p,
 11 12 12 11 12
22

c21k11 + c22 k 21 = c11q − c21u ,
 c21k12 − c21k11 = c12 q − c22u.
(7)
−c k +c p

c11 = 12 21 21 ,

k11 − u

− c q + c21k12

c22 = 12
,

k11 − u

k k
pq
c12 (k11 + u + 12 21 −
) = 0,
k11 − u k11 − u


k12 k 21
pq
−
) = 0.
c21 (k11 + u +
k11 − u k11 − u

(8)
Из системы (7) получаем:
Так как
k11 + u +
k12 k 21
pq
k 2 + k k − u 2 − pq
−
= 11 12 21
,
k11 − u k11 − u
k11 − u
~
то, учитывая, что DetK = − k112 − k12 k 21 и DetK = −u 2 − pq , получаем:
~
k12 k 21
pq
DetK − DetK
k11 + u +
−
=
.
k11 − u k11 − u
k11 − u
~
~
Кроме того, из равенства CK = KC следует, что DetK = DetK . Следовательно,
k k
pq
k11 + u + 12 21 −
= 0 , то есть c12 и c21 являются свободными переменными
k11 − u k11 − u
системы (8). Таким образом,
 − c12 k 21 + c21 p

c12


k11 − u

.
C=
− c12 q + c21k12 

c21


k11 − u


Теорема 1 доказана.
Следствие. Имеем SpKK * = 2u 2 + p 2 + q 2 . Уравнение Эйлера (4) примет вид:
∂ 2u ∂ 2u
+
= 2u ,
∂x 2 ∂y 2
(9)
где начальная точка x0 , y0 ∈ D . Отметим, что помимо начальных условий можно
сформулировать граничные условия на области D . Уравнение (9) представляет собой
известное уравнение Пуассона (или Гельмгольца) (см., например, [4, с. 375]).
~
Таким образом, подбирая матрицу K соответствующим образом, можно получать дифференциальные уравнения в частных производных.
Покажем, что если K является линейной матричной функцией от переменных
u , p и q , то уравнение Остроградского представляет собой линейное дифференциальное уравнение второго порядка.
Пусть
K = A( x, y )u + B ( x, y ) p + C ( x, y )q ,
A( x, y ) = (aij ) ,
где
B ( x, y ) = (bij ) ,
C ( x, y ) = (cij ) – дифференцируемые 2× 2 - матричные функции.
Введем обозначения:
a = (a11 , a12 , a21 , a22 ) ,
b = (b11 , b12 , b21 , b22 ) ,
c = (c11 , c12 , c21 , c22 ) .
Тогда
F = SpKK * = u 2 a 2 + p 2b 2 + q 2 c 2 + 2up(a, b) + 2uq(a, c) + 2 pq(b, c) ,
где (a, b) – скалярное произведение векторов a и b .
Вычислим частные производные по переменным u , p и q .
∂F
= 2(ua + pb + qc)a ,
∂u
∂F
= 2(ua + pb + qc)b ,
∂p
∂F
= 2(ua + pb + qc)c .
∂q
Подставляя вычисленные значения частных производных в уравнение (4), получаем линейное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка:
b 2u xx + 2(b, c)u xy + c 2u yy = (a 2 − (a, b) x − (a, c) y )u − ((b 2 ) x + (b, c) y )u x − (b, c) x + (c 2 ) y )u y .
Перейдем к исследованию второй вариации.
Для функционала

∂u ∂u 
S = ∫ L x, y, , , u dxdy
∂x ∂y 
D 
формула второй вариации имеет вид:
δ 2S =
 ∂ 2 L ∂  ∂ 2 L  ∂  ∂ 2 L
1
 − 
dxdy
 2 − 
2 D∫
u
x
u
u
∂y  ∂u∂u y
∂
∂
∂
∂
x 



  (δu ) 2 +



∂ L
∂ L
∂ L
2
2
(
δ
u
)
(
δ
u
)
δ
u
δ
u
+
+
+
x
y
x
y .
(∂u x ) 2
(∂u y ) 2
∂u x ∂u y

2
2
2
В нашем случае имеем функционал

∂u
∂u 
L =  ua + b + c  .
∂x
∂y 

2
Вычислим частные производные второго порядка:
(10)
∂2L
= 2a 2 ,
2
∂u
∂  ∂2L

∂x  ∂u∂u x
∂2L
= 2b 2 ,
2
(∂u x )
∂2L
= 2c 2 ,
2
(∂u y )
 ∂
 = (2ab) = 0 ,
 ∂x
∂  ∂ 2 L
∂y  ∂u∂u y
∂2L
= 2ab ,
∂u x ∂u y
 ∂
 = (2ac) = 0 .
 ∂y

Тогда вторая вариация (10) примет вид
δ 2 S = ∫ {a 2 (δu ) 2 + b 2 (δu ) 2 + c 2 (δu ) 2 + ac(δu xδu y )}dxdy .
D
Таким образом, решена вариационная задача в случае, когда кривизна криволинейного мультипликативного интеграла является линейной функцией относительно переменных u , p и q .
Замечание 1. Отметим, что случаю K = A( x, y )u + B ( x, y ) p + C ( x, y )q соответствует следующий выбор подынтегральных матричных функций, при котором одна из
u,
подынтегральных функций линейно зависит от
P( x, y, u ) = B1 ( x, y )u ,
Q( x, y, u ) = C1 ( x, y ) , где A = − B y + [ B1 , C1 ] , B = 0 , C = − B1 , C1x = 0 .
Это обстоятельство позволяет сформулировать ряд задач, связанный с линейной
зависимостью подынтегральных матричных функций от переменной u .
1. Одна из подынтегральных функций P и Q линейно зависит от переменной u .
Пусть P ( x, y, u ) = B ( x, y )u , Q ( x, y, u ) = C ( x, y ) , где B ( x, y ) и C ( x, y ) – достаточно гладкие матричные функции второго порядка.
Тогда
K = (− B y + [ B, C ])u − Bp + C x .
Следовательно,
(
)
(
)
KK * = (− B y + [ B, C ]) − B y* + [ B, C ]* u 2 + (− B y + [ B, C ])C x* + (− B y + [ B, C ])C x* u +
(
)
(
)
+ (− B y + [ B, C ])B * + B * (− B y + [ B, C ]) uq − BC * + CB * q + C x C x* .
Вычислим L = SpKK * .
Введем обозначения:
(
)
+ [ B, C ])C + (− B + [ B, C ])C ) ,
+ [ B, C ])B + B (− B + [ B, C ])) ,
A1 = sp(− B y + [ B, C ]) − B y* + [ B, C ]* ,
(
= sp ((− B
= sp(BB ) ,
= − sp (BC + CB ) ,
A2 = sp (− B y
A3
A4
A5
y
*
x
*
*
x
y
*
y
*
*
*
A6 = C x C x* .
Тогда
Имеем
L = A1u 2 + A2u + A3uq + A4 q 2 + A5 q + A6 .
Lu = 2 A1u + A2 + A3q ,
Lp = 0 ,
Lq = A3u + 2 A4 q + A5 .
Следовательно, уравнение (4) запишется в виде
2 A1u + A2 + A3 q − A3 y u − A3 q − 2 A4 y q − 2 A4u xy − A5 y = 0 ,
откуда получаем линейное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка:
2 A4u xy + 2 A4 y u y − (2 A1 − A3 y )u + A5 y − A2 = 0 .
2. Обе подынтегральные функции P и Q линейно зависят от переменной u .
Пусть P ( x, y, u ) = B ( x, y )u , Q ( x, y, u ) = C ( x, y )u , где B ( x, y ) и C ( x, y ) – достаточно гладкие матричные функции второго порядка.
Вычислим кривизну интеграла (1):
K = u 2 [ B, C ] + u ( Bx − C y ) + Bp − Cq .
Тогда
KK * = u 4 ([ B, C ][ B, C ]* ) + u 3 ([ B, C ]( B x −C y )* + ( B x −C y )[ B, C ]* ) +
+ u 2 ( Bx − C y )( Bx − C y )* + u 2 p ([ B, C ]Bu * + Bu[ B, C ]* ) − u 2 q([ B, C ]Cu * + Cu[C , B]* ) +
+ up (( Bx − C y ) B* + B( Bx − C y )* ) − uq(( Bx − C y )C * + C ( Bx − C y )* ) +
+ p 2 BB * − q 2CC * − pq( BC * + CB * ) .
Вычислим L = SpKK * .
Введем обозначения:
A1 = u 4 sp ([ B, C ][ B, C ]* ) ,
A2 = u 3 sp ([ B, C ]( B x −C y )* + ( B x −C y )[ B, C ]* ) ,
A3 = u 2 sp( Bx − C y )( B x − C y )* ,
A4 = u 2 psp([ B, C ]Bu * + Bu[ B, C ]* ) ,
A5 = −u 2 qsp([ B, C ]Cu * + Cu[C , B ]* ) ,
A6 = upsp(( Bx − C y ) B * ,
A7 = −uqsp(( Bx − C y )C * + C ( Bx − C y )* ) ,
A8 = p 2 sp ( BB * ) ,
A9 = − q 2 sp (CC * ) ,
A10 = − pqsp ( BC * + CB * ) .
Тогда
L = A1u 4 + A2u 3 + A3u 2 + A4u 2 p + A5u 2 q + A6up + A7 uq + A8 p 2 + A9 q 2 + A10 pq .
Имеем:
Lu = 4 A1u 3 + 3 A2u 2 + 2 A3u + 2 A4up + 2 A5uq + A6 p + A7 q ,
L p = A4u 2 + A6u + 2 A8 p + A10 q ,
Lq = A5u 2 + A7 u + 2 A9 p + A10 p ,
∂
L p = A4 x u 2 + 2 A4up + A6 x u + A6 p + 2 A8u xx + 2 A8 x p + A10 x q + A10u xy ,
∂x
∂
Lq = A5 y u 2 + 2 A5uq + A7 y u + A7 q + 2 A9 y q + 2 A9u yy + A10 y p + A10u xy .
∂x
Следовательно, уравнение (4) запишется в виде нелинейного дифференциального
уравнения в частных производных:
2 A8u xx + 2 A10u xy + 2 A9u yy + (2 A8 x + A10 y − 2 A6 )u x + (2 A9 y + A10 x − 2 A7 )u y +
+ (2 A6 x + A7 y − 2 A3 )u + ( A4 x + A5 y − 3 A2 )u 2 − 4 A1u 3 .
В заключение статьи авторы надеются, что теория мультипликативного интеграла
и связанные с ней вариационные задачи получат дальнейшее развитие.
Примечания:
Мантуров О.В. Мультипликативный интеграл // Проблемы геометрии. 1990. Т. 22.
С. 167-215.
2. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.:
Наука. 1965. 424 с.
3. Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных
первого порядка. М., 1960. 260 с.
4. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по
дифференциальным уравнениям с частными производными: точные решения. М.:
Международная программа образования,
1996. 496 с.
1.
References:
1. Manturov O.V. Multiplicate integral // Geometry problems. 1990. Vol. 22. P. 167-215.
2. Elsgolts L.E. Differential equations and calculus of variations. M.: Nauka. 1965. 424 p.
3. Kamke E. The directory of the first-order partial differential equations. M., 1960. 260 p.
4. Zaytsev V.F., Polyanin A.D. The directory of
the partial differential equations: exact decisions. M.: International education program,
1996. 496 p.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
8
Размер файла
216 Кб
Теги
интеграл, мультипликативный, одной, вариационных, задачи, теория
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа