close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об одной задаче равновесного состояния вала гидростатического подшипника-уплотнения.

код для вставкиСкачать
УДК 621.822.5.032
Н. Н. Саримов
ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ РАВНОВЕСНОГО СОСТОЯНИЯ ВАЛА
ГИДРОСТАТИЧЕСКОГО ПОДШИПНИКА-УПЛОТНЕНИЯ
Ключевые слова: гидростатический подшипник-уплотнение, равновесное состояние вала.
Рассматривается задача равновесного состояния вала гидростатического подшипника-уплотнения, находящегося под нагрузкой. Доказывается существование угла эксцентриситета, удовлетворяющего условию равновесного состояния вала.
Keywords: hydrostatic bearing-seal, equilibrium state of the shaft.
We consider the problem of the equilibrium state of the shaft of the hydrostatic bearing-seal under load. We prove the
existence of the angle of eccentricity, satisfying the equilibrium state of the shaft.
pφ, z  - распределение давления в тонком смазоч-
Рассматривается задача равновесного состояния вала гидростатического подшипникауплотнения (ГСПУ, Рис. 1), находящегося под нагрузкой, направленной по оси OX. Равновесное состояние вала определяется параметрами e - эксцентриситетом вала (величиной смещения оси вала от
оси подшипника) и θ - углом эксцентриситета, отсчитываемым от оси OX. Сами эти параметры зависят, в свою очередь, от величины нагрузки на вал и
от распределения давления в тонком смазочном слое
между валом и втулкой подшипника.
ном слое Ω \ K считается удовлетворяющей уравнению Рейнольдса:
h
  h 3 p  1   h 3 p 
,
 Λ
 2





φ .
φ  μ φ  λ z  μ z 
(1)
φ, z   Ω \ K
Здесь μ - вязкость смазки (в изотермической постановке постоянна), Λ - величина, характеризующая скорость вращения вала, λ - геометрические параметры подшипника, h(φ )  1  e cosφ  θ 
- безразмерная величина зазора между валом и
втулкой подшипника, e  0,1 , θ  0,2π  .
4
3
Y
O
Γ2
θ
Kα
Γ1
2
e
Z
X
1
φ
O
Рис. 1 - Схема ГСПУ: 1 – втулка подшипника, 2 –
вал подшипника, 3 – гидростатические камеры, 4
– дросселирующие элементы
Математическая постановка задачи
X
Рис. 2 - Область, соответствующая рабочей поверхности ГСПУ
Математически задача формулируется в
изотермической постановке в безразмерных величинах следующим образом.
1. Распределение давления в тонком смазочном слое будем описывать, следуя [1,2], классическим уравнением Рейнольдса.
Пусть Ω   1,1  0,2π  - область, соответствующая рабочей поверхности подшипника с границами Γ1   1 0,2π  и Γ2  1 0,2π  ( Γ1, Γ2 торцы подшипника). Область Ω содержит непересекающиеся подобласти K α , α  1,, m , соответст-
2. На торцах подшипника давление считается заданным:
pφ, z   p1, φ, z   Γ1,
.
(2)
pφ, z   p2 , φ, z   Γ2
3. Давление в пределах каждой из гидростатических камер считается величиной постоянной
pφ, z   pˆ α  const , φ, z   K α , (3)
определяемой уравнением баланса расхода смазочного вещества через гидростатические камеры
вующие m гидростатическим камерам с границами
Γα , K α  K α
 Γα ,
K 
m
 Kα .
Тогда
функция
α 1
86
дополнительных условий гладкости и доказаны существование и единственность решения задачи (8)
при фиксированных e  0,1 и θ  0,2π  следующей теоремой.
Теорема 1. (См. [1]). Пусть Qα p  - непре ,
рывные,
монотонные
на
и
 h 3 p


 
h 3 p
 
 Λh  cosn, φ   2
cosn, z dγ

, (4)
λ μ z
 μ φ


Γα 

 Qα pˆ α ,
α  1,, m
где Qα pˆ α  - поток смазочного вещества через дросселирующий элемент с номером α , зависит от конструкции дросселирующего элемента, давления подачи смазки и давления в самой гидростатической
камере.
4. Для определения равновесного состояния
вала (параметров e и θ ) система уравнений (1)-(4)
дополняется уравнениями:
J x θ, e   P  0 ,
(5)
J y θ, e   0 ,
(6)
Qα p   C
любых θ  0,2π  и e  0,1 существует единственное решение p  M Ω задачи (8).
Существование угла равновесного
состояния вала
Докажем существование угла равновесного
состояния вала для фиксированной величины эксцентриситета e  0,1 , т.е. докажем существование
величины θ  0,2π  и соответствующего ей поля
распределения давления pθ  M Ω  , удовлетворяющих уравнениям (6), (8).
Для
этого
введем
оператор
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
T : Ω  Ωt  φ, z  : φ  φ  t , z  z; φ, z   Ω поворота поверхности цилиндра Ω вокруг оси на заданный угол t .
Определение 1. Систему (6), (8) назовем t периодической, если для заданного t  0,2π  существует такое целое n  m ( m - число камер), что
T K α  K α  n , Qα p   Qα  n p  α  1
, ,m .
Замечание 1. В определении 1 подразумевается, естественно, что нумерация камер по окружности периодически повторяется. Если α  n  m , то
номер полагается равным α  n  m , и наоборот, если α  n  1 , то α  n  m .
Замечание
2.
Очевидно,
что
tпериодическая система будет k  t -периодической
для любых целых k .
Теорема 2. Если система (6), (8) t периодическая, то для решения pθ задачи (8) имеет
место равенство pθ  t φ, z   pθ φ  t , z  .
Доказательство. В уравнении (8) произведем замену переменных φ  φˆ  t , z  zˆ , тогда оно
примет вид
h 3 φˆ  t  pˆ θ ηˆ
dφˆ dzˆ 

μ
φˆ φˆ
где J x θ, e    p cos φdφ dz - проекция на ось OX
Ω
(Рис. 1) сил давления на вал со стороны смазочного
слоя, P - безразмерная величина нагрузки на вал,
OX,
направленной
вдоль
оси
J y θ, e    p sin φ dφ dz
есть горизонтальная со-
Ω
ставляющая (вдоль оси OY) сил давления на вал со
стороны смазочного слоя.
Понятие обобщенного решения задачи
Сформулируем понятие обобщенного решения задачи (1)-(4). Введем в рассмотрение множество
M Ω  
0

,
 η  2  η  2 


1
    dφ dz  0
η  H Ω  :  
 φ   z  

K 

(7)
0
где H 1Ω  - подпространство 2π -периодических по
0
φ функций пространства W2(1) Ω  интегрируемых с
квадратом первой обобщенной производной и равных нулю на Γ1  Γ2 функций. В работе [3] показано, что M Ω  является гильбертовым пространством
со
скалярным
произведением
u,v M    u v  u v dφdz
и
нормой
φ φ z z 
Ω
, .
M 
Обобщенным решением задачи (1)-(4)

T Ω\K
назовем функцию p  M Ω  , удовлетворяющую интегральному тождеству
 h 3 p η h 3 p η 
dφ dz 
ap, η    

 μ φ φ λ2 μ z z 


Ω\K
m
1

 Qα p ηd
α 1 mes K α
dz 

Ω\K
h
η
d dz  0
φ

h 3 φˆ  t  pˆ θ ηˆ
dφˆ dzˆ 
2
zˆ zˆ
λ
μ
T Ω \ K 

m
1

Qα  n pˆ θ ηˆ dφˆ dzˆ 
mes
TK α TK
α 1
α
(8)
Λ
Kα
Λ
p   ,  , α  1, m , тогда для


T Ω\K
η  M Ω 

ηˆ
hφˆ  t  dφˆ dzˆ  0
φˆ
ηˆ  M TΩ 
Здесь
pˆ θ φˆ , zˆ   pθ φˆ  t , zˆ , ηˆ φˆ , zˆ   ηφˆ  t , zˆ  .
В [3] доказана также эвивалентность задач
(8) и (1)-(4) при налагаемых на решение задачи (8)
87
(9)
J y θ  kt , e   pθ  kt φ, z  sin dφ dz 

В силу t -периодичности системы для слагаемых в уравнении (9) справедливы следующие
преобразования:
 h 3 φˆ  t  pˆ θ ηˆ h 3 φˆ  t  pˆ ηˆ 
  μ φˆ φˆ  λ2 μ zˆ zˆ dφˆ dzˆ 
T Ω \ K 
Ω
 pθ φ  kt , z  sin φ dφ dz 

Ω
 pθ φ, z  sinφ  kt dφ dz

 h φˆ  t  pˆ θ ηˆ h φˆ  t  pˆ ηˆ 
dφˆ dzˆ;

  
2


ˆ
ˆ
ˆ
ˆ


μ
φ
φ
z
z


λ
μ

Ω\K 
3
Ω
3
m
Замечание 4. Формула (11) показывает, что
для вычисления значения функционала J y θ, e  из

 Qα  n pˆθ ηˆ dφˆ dzˆ 
α 1 mes TK α  n
1
(6) в точке θ  kt при любом целом k достаточно
знать распределение давления лишь для одного угла
эксцентриситета θ .
Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 1, тогда решение задачи (8) непрерывно зависит от параметра θ в M Ω  и имеет место неравен-
TK α  n
m

 Qα  n pˆθ ηˆ dφˆ dzˆ 
α 1 mes TK α
1
TK α

mn
1
Qα pˆ θ ηˆ dφˆ dzˆ 
mes
Kα K
α 1 n


ство pθ  p β
α
m

α


T Ω\K

ηˆ
hφˆ  t  dφˆ dzˆ 
φˆ
ηˆ
 hφˆ  t  φˆ dφˆ dzˆ .
Ω\K
 h 3 p
hβ3 pβ  η
θ
 θ
dφ dz 

 μ φ
μ φ  

Ω\K 

Учитывая предыдущие преобразования,
произвольность функции η̂ и то, что M TΩ   M Ω  ,
из уравнения (9) получим
h 3 φ  t  pˆ η
 μ φθ φdφdz 
Ω\K

Ω\K
m
h 3 φ  t  pˆ θ η
dφ dz 
z z
λ2 μ
 h 3 p
hβ3 pθ  η
θ
 θ
dφ dz 

 λ2 μ z λ2 μ z  z

Ω\K 


(10)
Λ

Λ

Ω\K
m
θ
η
 hθ  hβ   dφdz  0
η  M Ω 
Ω\K
Произведя тождественные преобразования
и положив η  pθ  pβ , получим
α
η
hφ  t  dφ dz  0
φ
1
 mes K α  Qα p   Qα pβ ηdφdz 
α 1
Kα
1

Qα pˆ θ ηdφ dz 
mes
Kα K
α 1

 C θ  β , где pθ и p β решения
задачи (8) для углов эксцентриситета θ и β соответственно.
Доказательство. Составим разность двух
уравнений вида (8) с различными параметрами θ и
β
1
Qα pˆ θ ηˆ dφˆ dzˆ;
α 1 mes K α K

M
η  M Ω 

Но, так как hφ  t   1  e cosφ  θ  t  ,
решением задачи (10) будет функция pθ  t φ, z  . Таким образом, в силу единственности решения задачи
(10) будем иметь
pˆ θ φ, z   pθ φ  t, z   pθ  t φ, z 
Теорема доказана.
Замечание 3. Смысл теоремы 1 в том, что
распределение давления в смазочном слое инвариантно относительно поворота втулки подшипника
на угол t .
Следствие 1. Пусть выполнены условия
теоремы 2, тогда для любого целого k справедлива
формула
Ω\K
hθ3
μ
 p  p
β
 θ
 φ

2

1  p  pβ
   θ

z
λ2 





2
dφ dz 


1
 mes K α  Qα p   Qα pβ pθ  pβ dφdz 
α 1
m

θ
Kα
Λ
pθ  pβ
 hθ  hβ  φ dφdz 
Ω\K
 h3 hβ3  pβ pθ  pβ 1 pβ pθ  pβ 
 θ  
dφdz.
 2

 μ
 φ
μ
φ
z
z



λ

Ω\ K 

В силу монотонности функций Qα p  и ограниченности функции h будем иметь

J y θ  kt, e    pθ φ, z  sinφ  kt dφdz (11)
Ω
Доказательство. В силу t -периодичности
системы (6), (8) и замечания 2
88
 p  p
β
 θ
 φ


C0
Ω\K

Λ
hθ  hβ 
Ω\K


Ω\K
2
  pθ  p β
 
 
z
 
pθ  p β
φ




1, тогда существует хотя бы одно значение
θ  0,π  , удовлетворяющее уравнениям (6), (8).
Доказательство. Покажем сначала непрерывность функции J y θ, e  по θ . Действительно,
2
dφ dz 


dφ dz 
используя неравенства Коши-Буняковского и Фридрихса, будем иметь
3
hθ3 hβ p β pθ  p β
1 p β pθ  p β
dφ dz,
 2


z
μ
μ
φ
φ
λ z
J y θ, e   J y β, e  
1  e 3 min1,
1
 2 .
μ
 λ 
Применив в правой части формулу Эйлера и
оценив производую функции h , продолжим это неравенство
 p  p  2  p  p  2 
β
β
 θ

 θ
 dφ dz 
C0
 φ   
 
z




 
Ω \ K 
pθ  p β
dφ dz 
 Λ θβ
φ

Ω\K
где C0 

откуда в силу теоремы 3 получаем
J y θ, e   J y β, e   C3 θ  β .
Осталось убедиться в том, что непрерывная
по θ функция меняет знак на 0,π  .
В силу условий теоремы существует k такое, что k  t  π , поэтому
J y π , e   pπ sin φ dφdz  p0 sinφ  π dφdz 




dφ dz,


2

 Λ mes Ω  C1 pβ
M
 θ  β  p
θ
 pβ
M
,
откуда pθ  pβ

M
 C θ  β , где
C  Λ mes Ω  C1 p β
M
C
0
Ω
  p0 sin φ dφdz   J y 0, e 

.
Ω
Теорема доказана.
Литература
12
 1
max 1, 2  .
μ
 λ 
Далее, воспользовавшись неравенством
Коши-Буняковского и определением пространства
M Ω  , получим
M

Ω
где C1 
C0 pθ  pβ
 pθ  pβ  sin φ dφdz  C2 pθ  pβ M ,
Ω

 p β pθ  pβ
p β pθ  pβ




 C1 θ  β
 φ
z
z
φ
Ω\K 
 pθ  pβ sin φdφdz 
Ω
.
Теорема доказана.
Разрешимость задачи (6), (8) устанавливается следующей теоремой.
Теорема 4. Пусть t -периодическая система
(6), (8) такая, что найдется целое k , для которого
k  t  π . Пусть далее выполнены условия теоремы
1. Подольский, М.Е. Упорные подшипники скольжения:
Теория и расчет / М.Е. Подольский. – Л.: Машиностроение, Ленингр. отд-е, 1981. – 261 с.
2. Саримов, Н.Н. Определение характеристик гидростатического подшипника-уплотнения / Н.Н. Саримов, С.Л.
Фосс, М.М. Карчевский, А.В. Палладий // Исследование
гидростатических опор и уплотнений двигателей летательных аппаратов. – Межвуз. темат. сборник научных
трудов, 1986. – С. 138-145.
3. Карчевский, М.М. Метод фиктивных областей для одной задачи теории смазки подшипников скольжения /
М.М. Карчевский, Н.Н. Саримов // Сеточные методы
решения задач метематической физики. – Казань, 1984.
– С. 75-80.
4. Хисамеев И.Г. Разработка механизма движения поршневого компрессора, исследование газораспределительной ступени// Вестник Казан. технол. ун-та. – 2011. №17. –С. 194-198.
© Н. Н. Саримов – канд. физ.-мат. наук, зав. каф. информационных систем и технологий НХТИ КНИТУ, nazyf@inbox.ru.
89
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
255 Кб
Теги
вала, одной, состояние, равновесной, подшипники, уплотнения, задачи, гидростатического
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа