close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об одной задаче с нелинейными краевыми условиями для гиперболического уравнения.

код для вставкиСкачать
22
Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2012. № 9(100)
УДК 517.95
ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ С НЕЛИНЕЙНЫМИ КРАЕВЫМИ
УСЛОВИЯМИ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО
УРАВНЕНИЯ
c 2012
⃝
Н.В. Бейлина1
В работе изучается вопрос разрешимости задачи для гиперболического
уравнения с нелинейными граничными условиями. Показана однозначная
разрешимость.
Ключевые слова: гиперболическое уравнение, нелинейные граничные условия, обобщенное решение, разрешимость.
Введение
Задачи с нелинейными граничными условиями для гиперболических уравнений изучались многими авторами. Например, в работе [1] исследована задача
для линейного многомерного гиперболического уравнения с нелинейными краевыми условиями, а в работе [2] изучена задача для гиперболического уравнения на
плоскости, однако только одно граничное условие нелинейно. В предлагаемой работе исследуется вопрос разрешимости задачи для нелинейного гиперболического
уравнения на плоскости с двумя нелинейными краевыми условиями. Хотелось бы
отметить, что нелинейные условия вида (1.3), (1.4) могут возникать, например,
в задачах о продольных колебаниях пружины при упругом закреплении концов,
не подчиняющемся закону Гука [3].
1.
Постановка задачи
Рассмотрим уравнение
utt (x, t) − uxx (x, t) + c(x, t)u(x, t) = G(x, t, u(x, t)),
(1.1)
в области QT = (0, l) × (0, T ) и поставим для него задачу: найти в QT решение
уравнения (1.1) с условиями
u(x, 0) = 0,
ut (x, 0) = 0,
(1.2)
ux (0, t) − |u(0, t)| u(0, t) = 0,
(1.3)
ux (l, t) + |u(l, t)| u(l, t) = 0.
(1.4)
σ
ρ
Будем полагать, что σ 6 ρ.
1 Бейлина
Наталья Викторовна (natalie@samdiff.ru), кафедра высшей математики и прикладной информатики Самарского государственного технического университета, 443100, Российская Федерация, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244.
Об одной задаче с нелинейными краевыми условиями ...
23
Введем обозначения
Γ = {(x, t) : x = 0, x = l, t ∈ (0, T )}.
W (QT ) = {u(x, t) : u(x, t) ∈ W21 (QT ) ∩ Lp (Γ)},
p = ρ + 2,
∥u∥W (QT ) = ∥u∥W21 + ∥u∥Lp (Γ)
Ŵ (QT ) = {v(x, t) : v(x, t) ∈ W (QT ), v(x, T ) = 0}.
Стандартным способом получим тождество, определяющее обобщенное решение поставленной задачи [4].
Определение. Под обобщенным решением задачи (1.1)–(1.4) будем понимать
функцию u(x, t) ∈ W (QT ), удовлетворяющую условию u(x, 0) = 0 и тождеству
∫T ∫ l
[−ut (x, t)vt (x, t) + ux (x, t)vx (x, t) + c(x, t)u(x, t)v(x, t)] dxdt+
0
0
∫T
∫T
|u(0, t)| u(0, t)v(0, t) dt +
|u(l, t)|ρ u(l, t)v(l, t) dt =
σ
+
0
(1.5)
0
∫T ∫ l
=
G(x, t, u(x, t))v(x, t) dx dt
0
0
для любой функции v(x, t) ∈ Ŵ (QT ).
2.
Разрешимость поставленной задачи
Теорема. Пусть выполняются условия: c(x, t) ∈ C(Q̄T ), f (x, t) ∈ L2 (QT ),
G(x, t, u) ∈ C(QT × R1 ), для любых (x, t) выполняется условие Липшица
|G(x, t, u1 ) − G(x, t, u2 )| 6 L|u1 − u2 |, тогда для ρ > 0, σ > 0 существует единственное обобщенное решение задачи (1.1)–(1.4).
Доказательство теоремы.
I. Доказательство единственности обобщенного решения проведем стандартным методом. Предположим, что существует два различных решения u1 и
u2 задачи (1.1)–(1.4). Тогда функция u = u1 − u2 удовлетворяет тождеству
∫T ∫ l
[−ut (x, t)vt (x, t) + ux (x, t)vx (x, t) + c(x, t)u(x, t)v(x, t)] dxdt+
0
0
∫T
(|u1 (0, t)|σ u1 (0, t) − |u2 (0, t)|σ u2 (0, t)) v(0, t) dt+
+
0
∫T
(|u1 (l, t)|ρ u1 (l, t) − |u2 (l, t)|ρ u2 (l, t)) v(l, t) dt =
+
0
(2.1)
24
Н.В. Бейлина
∫T ∫ l
[G(x, t, u1 (x, t)) − G(x, t, u2 (x, t))] v(x, t) dx dt.
=
0
0
Возьмем в тождестве (2.1) в качестве v(x, t) функцию вида
 t
 ∫
u(x, η)dη, 0 6 t 6 τ,
v(x, t) =
 τ
0,
τ 6 t 6 T.
(2.2)
После интегрирования по частям первых двух слагаемых в левой части (2.1) получим
∫l
]
1 [ 2
−
u (x, τ ) + vx2 (x, 0) dx+
2
0
∫τ
∫t
(|u1 (0, t)| u1 (0, t) − |u2 (0, t)| u2 (0, t))
σ
+
σ
∫τ
∫t
(|u1 (l, t)| u1 (l, t) − |u2 (l, t)| u2 (l, t))
ρ
+
ρ
∫t
[G(x, t, u1 (x, t)) − G(x, t, u2 (x, t))]
0
u(l, η) dη dt =
τ
0
∫τ ∫ l
=
u(0, η) dη dt+
τ
0
(u1 (η, t) − u2 (η, t)) dη dx dt−
τ
0
∫τ ∫ l
−
c(x, t)v(x, t)vt (x, t) dx dt.
0
0
Заметим, что
d
|u|γ u = (1 + γ)|u|γ > 0,
du
∀γ > −1,
откуда следует, что
(|u1 |γi u1 − |u2 |γi u2 ) (u1 − u2 ) > 0,
i = 1, 2, γ1 = ρ, γ2 = σ. Но тогда
∫τ
∫t
(|u1 (0, t)| u1 (0, t) − |u2 (0, t)| u2 (0, t))
σ
σ
u(0, η) dη dt < 0,
τ
0
∫τ
∫t
(|u1 (l, t)| u1 (l, t) − |u2 (l, t)| u2 (l, t))
ρ
ρ
u(l, η) dη dt < 0.
τ
0
В силу последних неравенств (2.3) можно переписать так:
1
2
∫l
[ 2
]
u (x, τ ) + vx2 (x, 0) dx+
0
∫τ
∫τ
(|u1 (0, t)| u1 (0, t) − |u2 (0, t)| u2 (0, t))
σ
+
0
σ
u(0, η) dη dt+
t
(2.3)
Об одной задаче с нелинейными краевыми условиями ...
∫τ
∫τ
(|u1 (l, t)| u1 (l, t) − |u2 (l, t)| u2 (l, t))
ρ
+
ρ
(2.4)
∫τ
[G(x, t, u1 (x, t)) − G(x, t, u2 (x, t))]
0
u(l, η) dη dt =
t
0
∫τ ∫ l
=
25
(u1 (η, t) − u2 (η, t)) dη dx dt+
t
0
∫τ ∫ l
+
c(x, t)v(x, t)vt (x, t) dx dt.
0
0
Так как левая часть равенства (2.4) в наших предположениях положительна, то
из (2.4) следует неравенство
∫l
]
[ 2
u (x, τ ) + vx2 (x, 0) dx+
0
∫τ
∫τ
(|u1 (0, t)| u1 (0, t) − |u2 (0, t)| u2 (0, t))
σ
+
σ
∫τ
∫τ
(|u1 (l, t)| u1 (l, t) − |u2 (l, t)| u2 (l, t))
ρ
+
62
0
0
u(l, η) dη dt 6
ρ
(2.5)
t
0
∫τ ∫ l
u(0, η) dη dt+
t
0
τ
∫
|G(x, t, u1 (x, t)) − G(x, t, u2 (x, t))| (u1 (η, t) − u2 (η, t)) dη dx dt+
t
τ l
∫ ∫
+2 c(x, t)v(x, t)vt (x, t) dx dt .
0
0
Оценим правую часть неравенства (2.5). Так как функция G(x, t, u(x, t)) удовлетворяет условию Липшица, то
τ
∫
∫τ ∫ l
2
|G(x, t, u1 (x, t)) − G(x, t, u2 (x, t))| (u1 (η, t) − u2 (η, t)) dη dx dt 6
0
t
0
∫τ ∫ l
6 2L
∫τ
|u1 (η, t) − u2 (η, t)|
0
|u1 (η, t) − u2 (η, t)| dη dx dt.
t
0
Применяя к правой части последнего неравенство Коши — Буняковского, получим
оценку
τ
∫
∫τ ∫ l
2
|G(x, t, u1 (x, t)) − G(x, t, u2 (x, t))| (u1 (η, t) − u2 (η, t)) dη dx dt 6
(2.6)
0
t
0
√
6 2L τ
∫τ ∫ l
2
|u1 (η, t) − u2 (η, t)| dx dt.
0
0
26
Н.В. Бейлина
В силу условий теоремы существует c0 > такое, что max |c(x, t)| 6 c0 . Тогда
QT
применяя неравенство Коши, получим
τ l
∫ ∫
∫τ ∫ l
( 2
)
v (x, t) + vt2 (x, t) dx dt.
c(x, t)v(x, t)vt (x, t) dx dt 6 c0
2
0
0
0
(2.7)
0
Заметим, что в силу представления (2.2) функции v(x, t) справедливо неравенство
 t
2
∫
∫τ
2


v (x, t) =
u(x, η) dη
6 τ u2 (x, t) dt.
(2.8)
τ
0
С учетом полученных неравенств (2.6)–(2.8) из (2.5) следует оценка
∫l
[
]
u2 (x, τ ) + vx2 (x, 0) dx+
0
∫τ
∫τ
(|u1 (0, t)| u1 (0, t) − |u2 (0, t)| u2 (0, t))
σ
+
σ
t
0
∫τ
∫τ
∫τ ∫ l
(|u1 (l, t)| u1 (l, t) − |u2 (l, t)| u2 (l, t))
ρ
+
u(0, η) dη dt+
u(l, η) dη dt 6 c1
ρ
t
0
√
где c1 = 2L τ + c0 (1 + τ ). Из (2.9), в частности, следует
∫l
u2 (x, t) dx dt, (2.9)
0
0
∫τ ∫ l
u (x, τ ) dx 6 c1
2
0
u2 (x, t) dx dt.
0
(2.10)
0
Применяя теперь к (2.10) неравенство Гронуолла [5], заключаем, что u(x, t) = 0.
Таким образом, единственность поставленной задачи доказана.
II. Доказательство существования обобщенного решения.
Пусть функции wk (x) ∈ C 2 [0, l] линейно независимы и образуют полную в
1
W2 (0, l) ∩ Lp (0, l) систему.
Будем искать приближенное решение задачи (1.1)–(1.4) в виде
um (x, t) =
m
∑
ck (t)wk (x)
k=1
из соотношений:
∫l
( m
)
′
m
m
ρ m
utt wj + um
x wj + cu wj dx + |u (l, t)| u (l, t)wj (l)+
0
∫l
m
σ m
G(x, t, um (x, t))wj (x) dx.
+|u (0, t)| u (0, t)wj (0) =
(2.11)
0
Дополнив (2.11) начальными условиями
ck (0) = 0,
c′k (0) = 0,
(2.12)
Об одной задаче с нелинейными краевыми условиями ...
27
получим задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений,
которая разрешима на отрезке [0, tm ], так как матрица коэффициентов при старших производных суть матрица Грамма.
Для дальнейших шагов доказательства получим априорную оценку, которая
позволит утверждать, что tm = T , а также будет полезна для доказательства
возможности предельного перехода.
Умножим (2.11) на c′ k (t) и просуммируем по j от 1 до m, а затем проинтегрируем по t от 0 до τ , получим
∫τ ∫ l
∫τ
m
(um
tt ut
0
m
um
x uxt
+
+
cum um
t )
0
0
∫τ
∫τ
∫l
|um (0, t)|σ um (0, t)um
t (0, t) dt =
+
|um (l, t)|ρ um (l, t)um
t (l, t) dt+
dx dt +
0
G(x, t, um (x, t))um
t (x, t) dx dt.
0
(2.13)
0
В левой части (2.13) проведем преобразования. Первые два слагаемых проинтегрируем по частям. Далее, заметим, что
d mp
um
= p|um |p−2 um
|u | = p|um |p−1 m um
t ,
dt
|u | t
тогда
1 d m
|um (l, t)|ρ um (l, t)um
|u (l, t)|p ,
t (l, t) =
p dt
1 d m
|um (0, t)|σ um (0, t)um
|u (0, t)|q ,
t (0, t) =
q dt
где p = ρ + 2, q = σ + 2.
После приведенных преобразований (2.13) примет вид:
1
2
∫l [
]
1
1
2
2
m
(um
(x,
τ
))
+
(u
(x,
τ
))
dx + |um (l, t)|p + |um (0, t)|q =
t
x
p
q
0
∫τ ∫ l
=−
∫τ ∫ l
cum um
t
0
G(x, t, um )um
t dx dt.
dx dt +
0
0
(2.14)
0
Применяя теперь к (2.14) неравенство Коши, имеем
1
2
∫l [
]
1
1
2
2
m
(um
(x,
τ
))
+
(u
(x,
τ
))
dx + |um (l, t)|p + |um (0, t)|q 6
t
x
p
q
0
∫τ ∫ l [
∫τ ∫ l
]
k 1
c0
2
2
2
m
m
(u (x, t)) + (ut (x, t)) dx dt + +
(um
6
t (x, t)) dx dt,
2
2 2
0
0
0
(2.15)
0
здесь k > 0 : |G(x, t, u)| 6 k, так как функция G(x, t, u), в силу условия теоремы,
непрерывна по всем переменным.
∫τ
Заметим, что справедливо представление um (x, τ ) = um
t dt, откуда
0
∫l
∫l
∫τ
2
(um (x, τ )) dx 6 τ
0
2
(um
t (x, t)) dxdt.
0
0
(2.16)
28
Н.В. Бейлина
Таким образом, из (2.15) и (2.16) получаем оценку:
1
2
∫l [
2
2
m
m
(um
t (x, τ )) + (ux (x, τ )) + (u (x, τ ))
2
]
1
1
dx + |um (l, t)|p + |um (0, t)|q 6
p
q
0
C2
6
2
∫τ ∫ l [
0
2
2
2
m
(um (x, t)) + (um
t (x, t)) + (ux (x, t))
]
dx dt +
k
,
2
(2.17)
0
где C2 = max c0 + 1, T . Из (2.17), в частности, следует неравенство
∫l [
]
2
2
2
m
m
(um
dx 6
t (x, τ )) + (ux (x, τ )) + (u (x, τ ))
0
6 C2
∫τ ∫ l [
0
2
2
2
m
(um (x, t)) + (um
t (x, t)) + (ux (x, t))
]
dx dt + k.
0
Применив к последнему неравенство Гронуолла [5] и проинтегрировав полученное
по t от 0 до T , приходим к оценке
∥um ∥2W 1 (QT ) 6 kT eC2 T .
(2.18)
2
Тогда с учетом (2.18) из (2.17) вытекает неравенство
1 m
1
k
|u (l, t)|p + |um (0, t)|q 6 C2 kT eC2 T + .
p
q
2
(2.19)
Объединяя полученные неравенства (2.18) и (2.19), получаем равномерную по m
оценку
∥um ∥2W (QT ) 6 M,
(2.20)
где M = (C2 + 1)kT eC2 T + k2 . Оценка (2.20) влечет за собой разрешимость задачи Коши (2.11)–(2.12) на отрезке [0, T ]. Это означает, что последовательность
{um (x, t)} приближенных решений задачи (1.1)–(1.4) полностью определена в QT .
Оценка (2.20) позволяет выделить из построенной последовательности
{um (x, t)} подпоследовательность, за которой сохраним обозначение, такую,
что um (x, t) → u(x, t) слабо в W21 (QT ) ∩ Lp (Γ). Так как последовательность
{um (x, t)} ограничена в W21 (QT ), а вложение W21 (QT ) в L2 (QT ) компактно [4], то
подпоследовательность {um (x, t)} можно выбрать так, чтобы она сходилась по
норме L2 (QT ). Выберем ее сразу такой, что она сходится почти всюду [6, с. 363].
Из (2.20) следует, что ||u(l, t)||Lp (0,T ) 6 M , ||u(0, t)||Lq (0,T ) 6 M , что влечет
за собой следующие включения |um (l, t)|ρ um (l, t) ∈ L ρ+2 (0, T ), |um (0, t)|σ um (0, t) ∈
ρ+1
∈ L σ+2 (0, T ), а также справедливость утверждения о сходимости |um (l, t)|ρ um (l, t)
σ+1
к |u(l, t)|ρ u(l, t) и |um (0, t)|σ um (0, t) к |u(0, t)|σ u(0, t) при m → ∞ почти всюду
в (0, T ).
Заметим, что из ограниченности последовательностей |um (l, t)|ρ um (l, t) и
m
|u (0, t)|σ um (0, t) в Lp иLq соответственно, следует их слабая сходимость к функциям χp (t), χq (t). Применив теперь лемму 1.3 [7, с. 25], убеждаемся в том, что
χp (t) = |u(l, t)|ρ u(l, t), χq (t) = |u(0, t)|σ u(0, t).
Проведенные рассуждения позволяют перейти к пределу в (2.11). Но сначала умножим каждое из равенств (2.11) на hj (t) ∈ C[0, T ] такие, что hj (T ) = 0,
Об одной задаче с нелинейными краевыми условиями ...
29
просуммируем по j от 1 до m, затем проинтегрируем по t от 0 до T . После интегрирования по частям получим
∫T ∫ l
m
m
[−um
t (x, t)ηt (x, t) + ux (x, t)ηx (x, t) + c(x, t)u (x, t)η(x, t)] dxdt+
0
0
∫T
∫T
|u (0, t)| u (0, t)η(0, t) dt +
m
+
|um (l, t)|ρ um (l, t)η(l, t) dt =
σ m
0
(2.21)
0
∫T ∫ l
G(x, t, um (x, t))η(x, t) dx dt,
=
0
0
где
η(x, t) =
m
∑
hj (t)wj (x).
j=1
Учитывая полученные выше включения и сходимости, перейдем в (2.21) к пределу при m → ∞ и получим (1.5) для v(x, t) = η(x, t). Заметим, что в силу усло∫T ∫l
∫T ∫l
вия Липшица
G(x, t, um (x, t))η(x, t) dxdt сходится к
G(x, t, u(x, t))η(x, t) dxdt.
0 0
0 0
Так как множество всех функций η(x, t) плотно в W21 (QT ) ∩ Lp (Γ), то тождество
выполняется для произвольной v(x, t) ∈ Ŵ (QT ). Следовательно, предельная функция является обобщенным решением задачи (1.1)–(1.4).
Литература
[1] Пулькина Л.С. Задачи с нелинейными граничными условиями для гиперболического уравнения // Труды Математического института им. В.А. Стеклова.
2012. Т. 278. C. 208–216.
[2] Пулькина Л.С., Стригун М.В. Две начально-краевые задачи с нелинейными
граничными условиями для одномерного гиперболического уравнения // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2011. № 2(83).
[3] Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. 735 с.
[4] Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.
408 c.
[5] Гординг Л. Задача Коши для гиперболических уравнений. М.: Иностр. лит.,
1961. 120 с.
[6] Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального
анализа. М.: Наука, 1972. 496 с.
[7] Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.:
Мир, 1972. 588 с.
Поступила в редакцию 20/XI/2012;
в окончательном варианте — 20/XI/2012.
30
Н.В. Бейлина
ON CERTAIN INITIAL-BOUNDARY VALUE PROBLEMS
WITH NONLINEAL BOUNDARY CONDITIONS FOR
HYPERBOLIC EQUATION
c 2012
⃝
N.V. Beilina2
In this paper, we study the solvability of a problem for a nonlinear hyperbolic
equation with a nonlinear boundary conditions. The unique solvability is proved.
Key words: hyperbolic equation, nonlinear boundary conditions, generalized
solution, unique solvability.
Paper received 20/XI/2012.
Paper accepted 20/XI/2012.
2 Beilina Natalya Viktorovna (natalie@samdiff.ru), Dept. of Mathematics and applied informatics, Samara State Technical University, Samara, 443100, Russian Federation.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
238 Кб
Теги
нелинейные, уравнения, одной, условиями, краевыми, задачи, гиперболическое
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа